2O
第 31卷 第 21期
2007年 11月 10日
电 力 系 统 自 动 化
Automation of Electric Power Systems
Vo1．31 No．21
NOV．10，2007
基于分位数的 CVaR方法在水电多风险分析中的应用
刘嘉佳 ，刘俊勇 ，田立峰 ，张 力 ，都 亮
(1．四川省电力公司通信自动化中心，四川省成都市 610043；2．四川大学电气信息学院，四川省成都市 610065)
摘要：提出了一种基于分位数的条件风险价值(CVaR)方法，以各期 CVaR的绝对偏差加权和最小
为目标函数建立数学模型，针对水电在上网竞价过程中面临的电价、来水、需求等各类营销风险，在
蒙特卡罗模拟奈件下，给出相应的发电收益率表达式，对模型进行扩展。该模型可同时应用于计及
风险的发电量时间分解和空间分配计算，以完全市场模式下水电厂年发电量在各月多个市场中的
分解为例 ，说明该风险度量指标的可行性和实用性。
关键词：电力市场；多期投标组合；多风险分析；分位数；条件风险价值
中图分类号 ：TM73；F123．9
0 引言
电力市场环境下，水电厂要综合水电的经济和
技术特性，考虑上网竞价过程中的各种不确定性因
素，在多个时段和多个市场中对发电量进行分解和
分配，该优化调度过程称为多期投标组合。这种电
量的时空分布计算常常呈现多期风险，即动态风险。
对于发电企业的风险决策问题，国内外的专家
学者已经做了大量研究[J ]。发电量的多期投标组
合是一个动态的优化问题，因此，对风险的度量也应
该是动态的。已有研究中所采用的风险计量指标，
仅能在时间上或空间上对某一种风险进行度量，对
于电量时空分布的多风险分析还没有相应的指标体
系。本文提出了一种基于分位数的条件风险价值
(CVaR——conditional value at risk)方法 ，分别考
虑电价、来水和需求 不确定性 ，以各期 CVaR的绝
对偏差加权和最小化建立数学模型，并采用蒙特卡
罗模拟和分位数回归的方法进行求解，确定在完全
市场模式下，水电厂年发电量在各月多个市场中的
分配比例，对该风险度量指标的可行性和实用性进
行了探讨 。
1 基于分位数的 CVaR方法
1．1 CVaR静态风险计量指标
CVaR是损失超过风险价值 (VaR)的条件均
值，反映了损失超过 VaR临界值时可能遭受的平均
潜在损失的大小，较 VaR更能体现潜在的风险价
值 。
收稿 日期 ：2007-01-22；修 回 日期 ：2007-07—02。
国家 重 点 基 础 研 究 发 展 计 划 (973 计 划 )资 助 项 目
(2004CB217905)。
假设 s为投标组合可行集，S∈S，为 ，2维投标组
合方案向量，P为 维随机变量，表示市场的随机
因素(如市场价格、需求等)，对于确定的s，由P引
起的损失函数为f(S，P)。假设 a为 -厂(s，P)的临界
值，应用蒙特卡罗法来模拟随机向量 P的累积分布
函数，即根据市场的历史数据，取随机向量 P的L
组样本值P ，P。，⋯，PL，则 CVaR的估计式为[5]：
1
Fp(S，a)一a+ ∑Ef(s，P )一a] (1)
⋯ Z— l
式中：Ef(s，P )一a] 表示 max{0，f(s， )一a)，
∈(O，1)为置信水平，这里指在 1一 的概率下，投
资者允许其(单期)投标组合策略的损失为某一风险
水平；L为总样本数；z‘为样本参变量。
由于CVaR只考虑某一时间段的资产组合，是
一 种基于固定投资期限的静态一致性风险度量[6]。
1．2 分位数简介
分位数 qua是描述随机变量的样本分布和位置
的统计量[7-8]。 ．
令实值随机变量 y的分布 函数为 F(Y)一
prob(Y~y)，对于任意的 y∈(O，1)，若存在数值 y
使得F( )一y，则称 y 为 y的 y分位数。而比例
为1一y的部分称为y的y上侧分位数。
1．3 基于分位数的 CVaR方法
将投标期限的时间间隔 K一1等分，离散化后
的时间段记为k一1，2，⋯，K，考虑 K期投标组合的
情况。因此，s( )和P( )分别表示时间段 k的投标
组合可行集和随机变量。对于确定的S(k)，由p( )
引起的损失 厂(s( )，P( ))是 R上服从某一分布的
随机变量 ：
-厂(S(志)，P(志))一 X(志) (2)
风险度量p( )是风险集合 n到实数轴 R上的
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· 运行可靠性与广域安全防御 · 刘嘉佳，等 基于分位数的 CVaR方法在水电多风险分析中的应用 21
一 个映射，由于 x(忌)<o是概率空间上的有限实随
机变量，因此，p(sc)度量的是效用低于目标时的资产
价值，即严格意义上的风险。时间段 是的投标组合
S(忌)对应一种随机的基于固定投资期限的静态风
险 ．0(X(忌))，且与时间段 忌 的投标组合 S(忌 )对应
的 ．0(X(忌 ))相关 ，忌 一1，2，⋯ ，忌一1，是+1，⋯ ，K。
这种风险间的时间相关特性将难以对整个投资期限
的动态风险M(sc)进行量化。令 Y—10(X(忌))，定
义 ：
M (sc)一 qua JD(X(忌)) (3)
女一1，2．⋯ ．K
式中：M(sc)是定义在完备概率空间上的实随机变
量，M(sc)一qua Y— ，这里，y可理解为多期风险
分析的置信水平。
文献[8]证明了M(sc)满足转移不变性、次可加
性、正奇次性、单调性等 4条一致性公理，是一种基
于 K期的动态一致性风险度量 。
由于条件风险价值 CVaR是静态一致性风险
度量 ，令 ．0(X(忌))一 、， (X(忌))，得到：
， 1
M (z)一
1 2 Kia(忌)+ ‘ 女=．，⋯，I L 1一U，
、
>：Ex (忌)一a(忌)]’。} (4)
2 水电时空分布计算的多风险分析
2．1 水电年发 电量的时空分布
水 电是能量受 限的发电单元 ，其发 电成本随电
量的增加而减少，其发电收入不仅取决于系统结算
电价，还取决于发电量在各时段各市场的分配，因
此，必须考虑水电在时间和空间上的竞争能力。本
文考虑在完全竞争的电力市场条件下，电厂根据 自
身的运行情况，考虑各种风险因素，将全年的总发电
量在时间上分解到各月份 ，在空间上分配到多个市
场中，以此指导全年的竞价和调度计划。
设 S (忌)一(S1(忌)，S2(忌)，⋯，S (忌))为水 电厂
在 忌月 的投标组合 ，分量 S (忌)表示年总发 电量在 忌
月市场 i的权重 ，忌一1，2，⋯，12；i一1，2，⋯， ； 为
市场总数。
作为风险的一种相对计量方法，将收益、损失和
风险度量折算为与之线性对应的收益率。则 是月的
发电收益率为：
G∑s (忌)p (忌)一 ∑s (忌)c
— X (忌)一 —上 —————————生 —一
∑s (忌)c
一 1
K
(5)
G—AH∑Q(k)ZxT (6)
女= 1
式中：P (忌)为 忌月市场 i的电价 ；C为水电的单位发
电成本 ；G为年总发电量 ；G—G( (忌))为年平均发
电量；Gc为年平均发电成本(由于水电的固定成本
比重大，在此将成本项作为 G的线性函数)；A为水
电综合 出力 系 数；H 为 平 均发 电净水 头 ；Q(忌)和
△ 分别 为忌月的发 电流量和小时数 。
若假设年初和年末的水位为正常蓄水位，则
K
G≈AH∑(q(忌)一w(k))ATk (7)
一 1
式中：q(忌)和 (忌)为 忌月的入库流量和弃水量。
2．2 水电上网竞价的风险
水电在上网竞价过程中面临的风险主要有：市
场价格风险、由来水不确定性引起的发电量风险、由
需求不确定性引起的发电量风险、市场环境变化对
上 网竞价的影响等 ]。
若 x，(忌)为 忌月由第J类风险引起的损失，相
应的风险度量为p(X (忌))，J一1，2，⋯， 。式(5)和
式(6)中，根据引起风险的不确定因素，将相应的状
态变量 P (忌)或 q(忌)作为随机变量处理，并应用蒙
特卡罗方法估算 出 、， (X，(忌))的函数表达式。
1)市场价格不确定性
将市场电价 P (忌)作为随机变量，入库流量
q(忌)为统计均值，因此 G—G。则蒙特卡罗方法中
随机变量的样本表达式为 ：
一 X{(忌)一
∑s (忌)p (忌)
— — — — 一 一 1
∑s (忌)c
i= 1
(8)
当P (忌)<c时，表示存在市场价格风险。
2)来水不确定性
将入库流量 q(忌)作为 随机变量，市场电价
P (忌)作为统计均值，则
K
∑(q (忌)一w(k))AT
一 X!(忌)一与 ———————一 ·
∑( (忌)一w(k))ATk
一 1
∑s (忌) (忌)
— — — — 一 一 1
∑s (忌)c
i= 1
(9)
当 q(k)或 (忌)的取值使收益率 一X (忌)<o
时，表示存在来水或弃水风险。
3)需求不确定性
假设水电厂和所参与的市场具有同样的电力逆
需求 函数 ，且为线性函数 ：
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22 电 力 纛 统 自 动 化
Pf一 厂(D )一 口f—biD (10)
式中：口 和b 分别为市场 i逆需求函数的截距和斜
率；D 为电厂在市场i的发电量。
式(10)可转化为电力需求函数 ]：
D(P )一 E — P (11)
式中：E =口 ／b ； i=1／b 为需求弹性系数，表示市
场 i中需求量变化对价格变化的敏感程度，电力市
场中需求弹性通常较低，一般为 0．02～0．20，E 在
这里可以看做是无需求弹性情况下电厂在市场 i的
发电量，可假设 E ：Gs ( )。
文献[1O]指出，参数 口 和b 在特定时间段的特
定市场中可以设定为固定值。可见，需求不确定性
实际上表现为一定需求弹性下的市场价格不确定
性。由式(5)和式(11)得到：
。 H
(Os ( )一 ( ))P ( )
一 X。(愚)：
G∑Si( )c
f嚣 1
(12)
将市场电价 乡 ( )作为随机变量，入库流量
g( )为统计均值，则
一 X ( )：一X{( )一
∑ pl(k))
i 1 (13)
∑Si( )c
当P( )的取值使收益率一X。( )<0时，表示
存在需求风险。同时，当需求弹性系数 一0，即市
场中无需求弹性时，X。( )一X ( )。
2．3 数学模型和约束条件
设虚拟变量 ( )：[X (k)一a( )] ，其 中
(愚)≥X ( )--a(k)且 ( )≥0。又设 Y ：口( )+
(L(1一卢))_。 ，其中u =∑ z ( )，则式(3)可变
为：
f 1 、
M ( =
⋯
q u
，
a
1 ⋯ 。
=
=1 。K{ +南 } 一，2，⋯。K =，2，⋯。K l L 1一 ， J
(14)
计算分位数的方法有迭代算法以及利用分布函
数关系的算法Ⅲ等，以上算法均基于随机变量分布
函数的具体表达形式，但在实际应用中往往难以获
得。由于式(14)中Y 是 的线性函数，因此可采
用分位数的回归原理 进行分析。
设函数U为Y 的绝对偏差加权和，表示为：
U= ∑ y I Y 一u,O I+
t ≥
∑ (1一y)I Y I ukO l (15)
式中：日是y的函数向量，日(y)∈R 。
设虚拟变量 一 0 ，式(15)可以表示为约束
条件 Y 一~Ok≥O( ∈N )，Y 一 <O( ∈N一)和线
性函数：
U一∑y( 一'Ok)一∑(1一y)( 一'Ok)
∈N+ ∈N-
(16)
对分位数回归的估计可以通过找到日(y)，使上
述绝对偏差加权和完成最小值线性规划得以实现，
目标函数即为：
rain U( ，口， ， ， ) (17)
对于给定的 ，随机变量 Y 的y分位数函数
为 ：
My(y I )一 日(y) (18)
根据分布函数和分位数的定义，y存在比例为
y的部分小于M，，即在 K期投标期限内，各期超额
损失的平均水平小于 的比例为y。可见，分位数
回归是一种在因变量条件分布的不同点上量化自变
量的技术 。
模型的约束条件为：
1)确保静态风险度量 CVaR以减少下方损失
为目标的约束：
z ( )≥ X ( )一 a( ) (19)
z ( )≥ 0 (2O)
2)分位数回归检验函数的绝对值约束：
』 一 ≥o k∈N十 (21)
I Y 一 < 0 k∈ N一
3)发电比例的总和约束：
K
∑∑s ( )一1 (22
此外，还应考虑水电的技术特性约束Ⅲ]，如水
量平衡约束、水库蓄水量约束、水库下泄流量约束、
水电厂出力约束、水电厂总用水量约束等。
上述模型的状态变量为乡( )和g( )，决策变量
为 S( )，Q( )和 叫( )。式(17)～式 (22)可描述为：
考虑水电上网竞价的各种不确定因素，寻求发电量
时空分布计算的最优结果，在给定置信水平卢和 y
下，使水电厂各月投标组合策略的超额损失平均水
平的绝对偏差加权和最小。
3 算例分析
假设某水电厂的装机容量 3 300 Mw，保证出
力 1 000 Mw，综合出力系数 8．7，加权平均水头
l70 m，最大引用流量 2 400 m。／s，水库正常蓄水位
1 200 1TI，相应库容58亿 1TI。，发 电最低运行水位
1 155 1TI，校核洪水位 1 203．5 m。
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假设各市场电价的均值和标准差成正比，模型
中取 N一4，表示年合同、月合同、日前和实时市场，
其电价均值依次如图 1实线 1～4所示，均值越大相
应 的标准差(点线 )越大 ，即市场波动程度越大 。
7
¨． ⋯ ． ：： 删 ：：喜：：
该水电厂月平均入库流量的均值和标准差如
表 1所示。枯水期为 12月～次年 4月 ，发电存在来
水风险；平 水期为 5月 和 11月 ；丰水 期为 6月 ～
10月，发电存在弃水风险。
假设水电单位发电成本为1 90元／(Mw ·h)，
针对以下 3种风险情况，模型中只需修改约束条件
(19)中 X (忌)的表达式 。
表 1 入库流量的均值和标准差
Table 1 Average and standard deviation of inflow
平均入库流 平均入库流
月份 量／(m。·s一 ) 月份 量／(m。·s )
均值 标准差 均值 标准差
1月 531．00 19．58 7月 2 880．O0 576．O0
2月 462．00 14．82 8月 2 660．O0 491．36
3月 457．00 14．50 9月 2 310．O0 370．56
4月 527．00 19．29 10月 2 250．O0 351．56
5月 958．00 ·63．73 11月 1 130．O0 88．67
6月 2 210．00 339．17 12月 641．O0 28．53
1)考虑电价不确定性的仿真结果
按正态分布随机产生电价的 L一100组样本
P (忌)，作为模拟的市场历史数据。置信水平 口和y
均取 0．95。仿真结果见表 2中电价风险，发电收益
率为 0．22，动态风险度量为 0．083 081，这意味着发
电厂允许全年由于电价的不确定性造成的超额损失
的平均水平大于 8．31 的比例为 5 ，即 1一y。
表 2 发 电量 时空分布计算结果
Table 2 Time and space distribution results of power generation with integrated risk
2)考虑来水不确定性的仿真结果
按正态分布随机产生入库流量的L一100组样
本 q (忌)，作为模拟的来水历史数据。仿真结果见表
2中来水风险，发电收益率为 0．17，动态风险度量为
0．042 389，这意味着发电厂允许全年由于来水的不
确定性造成的超额损失的平均水平大于 4．24 的
比例为 5％。
由于考虑 了来水的不确定性 ，发电厂在丰平水
期的发电分配比例增大，即试图增大来水的可靠性
而放弃较高的风险。
3)考虑需求风险的仿真结果
按照市场的运行情况，假设年合同、月合同、日
前和实时市场的需求弹性系数分别为 0．02，0．16，
0．19和 0．20，表示市场需求量变化对该市场价格变
化的敏感程度依次增大。历史电价数据与情况 1相
同。仿真结果见表 2中需求风险，发电收益率为
0．16，动态风险度量为 0．076 341，这意味着发电厂
允许全年由于需求的不确定性造成的超额损失的平
均水平大于 7．63 9／6的比例为 5％。
与情况 1相比，由于考虑了各个市场的弹性需
求，合同市场的需求量变化对价格变化的敏感程度
较低 ，因此该市场的分配比例有明显增加，导致收益
率下降，风险相应减小。
图2依次绘出了 3种风险情况下发电引用流量
和弃水量的决策曲线。曲线的走势比较客观地反映
了水 电厂发电的实际行为：枯水期发电流量平稳 ，基
本没有弃水现象；丰水期发电流量大，且由于来水和
电价波动较大，产生一定量的弃水。水电厂可在一
次决策的基础上，在短期交易市场获取再次交易的
机会 ，或考虑形成弃水电量(市场外 的增发电量)由
系统收购 ，利用市场机制最大限度减少弃水 。
以考虑来水不确定性的情况为例，图 3绘出了
发电量的时空分布曲线。可见，电量时空分布计算
结果是三维空间上的一组 曲线 ，z坐标为时 间轴(月
份)， 坐标为空间轴(市场)，z坐标为电量轴。G为
统计的年总发电量，G ，G ， 和 G 依次为水电厂
在年合同、月合同、日前和实时市场中的发电量。
其他 2种风险情况也有类似曲线。从计算统计
结果来看，发电厂在合同市场分配的发电比例占全
年发电量的 85％～90 9／6，这样可 以规避 市场风险，
0 0 0 如 ∞ 如
一．．一q．参 一． 一 ＼嬷 $面
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24 电 力 系 统 自 动 化
维持电价稳定和系统安全；而日前和实时市场的发
电份额相对较少，起到平衡市场的作用(差价合约的
竞价模式除外)
l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ll l2
月份
(a)电价不确定性风险
l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1l l2
月份
(b)来水不确定性风险
l 2 3 4 5 6 7 8 9 l0 ll l2
月份
(c)需求风险
图2 发电引用流量和弃水量决策曲线
Fi窖．2 Decision curves of discharged and discarded water
图3 计及来水风险的发电量时空分布曲线
Fig．3 Time and space distribution curves of power
generation with inflow uncertainty
置信水平卢和y分别取0．95和 0．99，得到不同
置信度下的动态一致性风险度量，如表 3所示。
表 3 不同置信度下的动态一致性风险
Table 3 Dynamic coherent risk measures under different
confidences
从表 3可以看出，当 y一定时，随着卢的增大，
或当 一定时，随着 y的增大，即发电厂对风险的厌
恶度程度越大，最优点对应的动态风险M 越大。这
说明卢和 y都是反映发电风险承受能力的指标，区
别在于，卢是单期投标组合策略的置信水平，与发电
量在空间上的分布密切相关；而 y是用来衡量各期
超额损失平均水平比例的，与发电量在时间上的分
布密切相关。决策者可根据 自身的风险偏好和对来
水及电价预测的准确程度，来选择置信水平，如对于
喜好风险的发电厂，可以设置较低的 和 y，作出积
极的投标策略，以获得较高的期望发电收益水平。
考虑电价和来水的波动，将市场电价和入库流
量的标准差分别按一定比例减少，重新产生样本数
据， 和y仍取 0．95，仿真结果如表 4所示。
表 4 减小随机变量标准差后的发电量时空分布计算结果
Table 4 Time and space distribution results of power
generation after reducing standard deviations
风险 年合同 月合同市 日前市 实时市 丰平水 枯水 动态
情况 市场／( )场／( )场／( )场／( )期／( )期／( ) 风险
可见，随着电价标准差的增大，水电厂通过增加
合同市场(电价波动幅度较小)的发电份额，或者随
着入库流量标准差的增大，通过增加枯水期(来水波
动幅度较小)的发电份额，来适应市场和运行工况的
变化，以规避风险。
4 结论
本文对水电厂年电量的最优投标组合策略进行
研究，通过引入基于分位数的 CVaR方法来衡量其
多期和多类风险，并得出以下结论：
1)风险的动态特性必须体现到时间相关性上，
当前时段的风险度量值与历史时段相关，而且应对
未来风险的波动产生持续的影响。静态风险的度量
忽略了风险对未来投资收益波动的长期影响，本文
将分位数作用于静态一致风险度量 CVaR，表征了
多期风险的动态特征。
2)发电厂对风险的态度会影响其投标电量的分
配策略，置信度 和y取值越高，越倾向于在来水有
保障的月份或在价格波动较小的市场增加投标比
例。因此，选择适当的置信度有助于发电厂正确决
策 。
3)对于市场规则、对手报价、机组检修、网络状
况等其他类型的不确定因素，同样可通过给出相应
风险情况下发电收益率表达式来建立模型。最终应
根据当前生产状况和市场条件决定所选用的模型。
4)本文提出的动态一致性风险度量并非只适用
于水电机组。对于火电机组，由于其运行成本(变动
。 咖 。 咖咖咖。
一H。∞． 叫)／凝譬I 一卜s． 叫)／褰 一* 一卜s． 叫)／褰 ■ 一II．≥0 皿越瓣
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· 运行可靠性与广域安全防御 · 刘嘉佳，等 基于分位数的CVaR方法在水电多风险分析中的应用 25
成本)较大 ，且与发 电量有密切关 系，因此在模 型的
成本部分，可用火电的煤耗曲线(成本函数)替代水
电的单位固定成本，同时约束条件也要考虑火电的
经济和技术特性。
参 考 文 献
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2002，26(24)：22—25．
刘嘉佳(1979一)，男，博士研究生，主要从事电力市场方
面的研究 。E-mai1：Kiefer@126．corn
刘俊勇(1963一)，男，教授，博士生导师，主要从事电力
市场 、电力 系统灵活交流输 电及 电压稳 定性 方面的研究 。
张 力(1982一)，男，博士研究生，主要从事电力市场方
面的研 究。
Application of CVaR Based on the Quantile to Multi。risk Analysis of Hydropower
LIUJiajia 一，L U Junyong。，TIAN Li feng 一，ZHANG Li。，DU Liang。
(1．Sichuan Electric Power Company，Chengdu 610043，China)
(2．Sichuan University，Chengdu 610065，China)
Abstract：This paper proposes fl novel conditional value at risk (CVaR) method based on the quantile，and minimizes the
weighted sum of the absolute deviation of each CVaR to build fl mathematical mode1．Using the Monte Carlo method，the model
proposed is extended by deducing the generation yield expression corresponding to various marketing risks，such as the price
risk，the inflow uncertainty and the demand uncertainty，confronted in the course of the on—grid bidding．The model can be
applied to both the time and space distributions of power generation with risk constraints．An annual volume regulation of
hydropower in fl completely competitive market is simulated to show that the risk measurement index proposed is feasible and
applicable．
This work is supported by Special Fund of the National Basic Research Program of China(No．2004CB217905)．
Key words：electricity market；multi—period portfolio；multi—risk analysis；quantile；conditional value at risk (CVaR)
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