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收稿日期："))*;)";")
作者简介：刘慧宏（!<==;），男，浙江衢州人，中国科技大学商学院，博士研究生，主要从事决策与分析研究；胡达沙（!<>>;），男，中国科技
大学商学院副教授，主要从事运筹学研究；王志强（!<==;），男，河北石家庄人，中国科学技术大学商学院，博士研究生，主要从事决策分析与
企业管理研究。
一种有交易费用的交互式组合证券投资方法
刘慧宏， 胡达沙， 王志强
（中国科技大学 商学院，安徽 合肥"*))"?）
摘 要：本文基于乘积最大化准则，提出一种新的交互式组合证券投资方法，即将不可微的双目标规划问题转化
为可微的单目标规划问题。该方法可以充分考虑投资者的要求，在考虑交易费用的前提下，在整个投资方案达
到投资者要求底限的同时，实现收益和风险的权衡。
关键词：运筹学；组合证券投资；乘积最大化准则；交易费用
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) 引言
投资者为了获取利益而投资于某种资产，由于投资环境的不确定性，收益往往伴随着风险。一般情况
下，收益越高，风险越大。为了在获取较稳定收益的同时减小风险，将资金分别投资于多种不同的资产，即
进行资产组合投资是理想的选择。债券和股票统称为证券，是资产的一种。确定证券组合的关键是依据
投资者的偏好，并权衡收益和风险，从而在总投资资本中合理分配各种资产的金额。
投资者在选择证券组合时必须考虑一个重要因素———交易费用。投资者确定了要持有的证券组合，
在证券市场进行调整，将已有的证券组合调整为新的证券组合，无论是买还是卖都需要交易费用。交易费
用通常是新旧证券组合之差的函数。忽视交易费用的证券组合在实际中可能是无效的组合。
本文引入乘积最大化准则，基于投资者所能接受的收益和风险底限，在考虑交易费用的情况下，给出
了一种新的交互式多目标投资方案，此方案充分考虑投资者的要求，使收益和风险得到权衡。
! 有交易费用的组合投资模型
假设资本市场中有%种风险资产（例如股票），投资者可以在这个资本市场进行投资，也可以选择不
万方数据
在此进行投资而选择投资一个无风险资产（例如储蓄）。!!（!"，⋯，!"）表示证券组合，其中!#（#!"，
⋯，"）是在股票#上的投资比例，$#（#!"，⋯，"）是在股票#的期望收益率，!#（#!"，⋯，"）是股票#收益
率的标准差，"#%（#，%!"，⋯，"）是股票#与股票%的相关系数，&#（#!"，⋯，"）是股票#买卖的交易费用，
’#（#!"，⋯，"）是股票#买卖的交易费率，’#!#，$是无风险利率。
交易费用是新旧证券组合之差的函数，股票#的交易费用可以表示为
&#!’#"!#$!(#" #!"，⋯，"
其中!#、!(#分别是新旧证券组合在股票#上的投资比例。所以总的交易费用为
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交易费用应该包含在证券组合的收益中，因此证券组合!!（!"，⋯，!"）的期望收益和风险分别为
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投资者总是希望证券组合的收益最大，同时风险最小，所以证券组合选择问题可以表示为下面的双目
标规划问题+"
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其中第一个约束表示证券组合的期望收益率应该大于无风险利率，否则投资者不在资本市场投资，而选择
储蓄。第二个约束表示投资者要在资本市场投资就将他的全部资金投资到"种资产中去。第三个约束
表示不允许有买空行为，这点符合中国股票市场要求。
% 目标函数可微的双目标模型
由于模型+"中的目标函数包含了绝对值项，因此目标函数是不可微的。这是一个非光滑优化问题，
为了处理绝对值函数，可通过下列变换，使目标函数变为可微的。
令 ,.#!
"!#$!(#".（!#$!(#）
%
，,$#!
"!#$!(#"$（!#$!(#）
%
则 ,.#.,$#!"!#$!(#"，,.#$,$#!!#$!(#，
,.#·,$#!#，,.#$#，,$#$#
于是模型+"可以等价的转化为可微的模型+%：
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万方数据
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容易证明，当且仅当存在!!#（!!$，⋯，!!%），!"#（!"$，⋯，!"%）使（#，!!，!"）是&&的最优解时，#
也就是&$的最优解。
’ 单目标模型
考虑投资者所能接受的方案底限，结合乘积最大化准则，我们可以将双目标模型&&转化为单目标模
型来求解。
假设投资者所能接受的最小收益为’"最大风险为!&!，显然’""(。
结合最小收益’"，我们去掉&&中的第一个目标函数，同时将第一个约束改为’（#）!’"，于是我
们得到一个单目标模型&’，若&’无最优解，则不存在满足投资者要求的证券组合，投资者要么调整’"，
要么选择储蓄。若&’有最优解，对应的()*!&（#）为!&#，当!&#"!&!时，不存在满足投资者要求的证券
组合，投资者要么调整’"或!&!，要么选择储蓄。
结合最大风险!&!，我们去掉&&中的第二个目标函数，同时增加一个约束!&（#）$!&!，于是我们得到
一个单目标模型&+。若&+无最优解，则不存在满足投资者要求的证券组合，投资者要么调整!&!，要么
选择储蓄。若&+有最优解，对应的(,-’（#）为’#，当’#%’"时，不存在满足投资者要求的证券组
合，投资者要么调整’"或!&!，要么选择储蓄。
若存在’#"’"且!&#%!&!，结合乘积最大化准则我们可以得到一个单目标模型&.：
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容易证明&.的最优解也是&&的有效解。
+ 结论
本文在充分考虑投资者偏好的情况下，提出了一种组合投资模型，此模型依据现实情况，考虑到了交
易费用问题，并给出了模型最优解满足的条件，经过变换，将问题转化为可微单目标规划问题求解。此问
题研究的决策过程符合投资心理，具有现实意义。
参考文献
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