金融风险管理
第十章 相关系数和Copula函数
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本章主要内容
相关系数定义
相关系数估计
多元正态分布
Copula函数
Copula函数应用于贷款组合
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相关系数和协方差
变量V1和V2的相关系数定义为：
协方差
Cov(V1,V2)=E(V1V2)−E(V1)E(V2)
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独立性
如果两个变量V1、 V2，其中任意一个变量的
信息不会影响另一个变量的分布，那么这
两个变量就是独立的，即
其中， f(.)代表变量的概率密度函数
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独立性不等同于不相关
假设 V1 = –1, 0, 或者 +1 (等可能性的)
如果V1 = -1 或者 V1 = +1 那么 V2 = 1
如果V1 = 0 那么 V2 = 0
显然V2 的值取决于V1 (反之亦然) 但是这两个
变量的相关系数却为0
下面的图10-1描述相关关系
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扫描 10-1
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采用EWMA模型
第9章：用EWMA模型预测方差
本节：用EWMA模型预测协方差
.
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多元正态分布
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多元正态分布
处理上相对简便
方差-协方差矩阵定义了变量之间的方差
和相关系数
为了满足内部一致性的条件，方差-协方
差矩阵必须是半正定的
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基于蒙特卡罗模拟产生的随机抽样
在Excel中，=NORMSINV(RAND())能产生一个来自于正态
分布的随机样本
间接构造随机数
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因子模型
如果有N 个变量 Vi (i = 1, 2,..N), 那么
在一个多元正态分布中有N(N−1)/2 个相关
系数
我们能够通过估计因子模型的方法来减少
相关系数参数的数量
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因子模型
单因子模型：
若{Ui ,i=1,2,…N}满足标准正态分布，则
共同因子F和特殊因子Zi服从标准正态分布且相互独立
变量Ui 和Uj 的相关系数是aiaj
M个因子模型
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Copula函数
已知联合分布可以确定边缘分布。
当已知了两个随机变量的边缘分布，怎样来估计
他的联合分布？
Copula函数方法提供了一个估计联合分布的方法
基本思想：等概率投影到已知联合分布函数上，
通过随机变量的替换反推出未知联合分布。
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高斯Copula 函数模型:
用于对不服从正态分布的变量生成相关结构
假设我们想对变量V1、 V2定义一个相关结构，但V1、
V2不服从正态分布
我们把变量V1映射到一个新的服从标准正态分布
的变量U1上，这种映射为分位数与分位数之间的
一一映射
变量V2也按变量V1的方法映射到新的变量U2 上
变量U1、 U2服从二元正态分布
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计算联合累积分布的例子
变量V1、 V2同时小于的概率同变量U1 <
−且U2 < −的概率相同
当 Copula 相关系数等于 时，也就是
M( −, −, ) =
其中，M为二元正态分布的累计分布函数
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二元学生t-分布比二元正态分布尾部价值更高
(1)5000个抽样，相关系数均为，学生t-分布自由度为4
(2)正态分布价值大于或小于的抽样值定义为尾部价值
(3)学生t-分布价值大于或小于的抽样定义为尾部价值
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多元Copula函数
类似的，我们可以定义多个变量V1,
V2,…Vn之间的相关结构
在分位数与分位数对应映射的条件下，把
变量Vi映射到一个新的服从标准正态分布的
变量Ui上
变量Ui服从多元正态分布
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因子Copula函数
多元Copula模型中，市场分析员常常假定
变量Ui, 单因子模型中
共同因子F和特殊因子Zi都服从标准正态分
布且相互独立
变量Ui 和Uj 的相关系数是aiaj
F和Zi也可以假设服从其他分布
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信贷违约相关系数
两个公司之间的信贷违约相关系数用来衡
量这两个公司同时违约的倾向
在风险管理上，违约相关系数对于分析信
贷风险多样化是非常重要的
违约相关系数对于某些信贷衍生品的估值
也是大有用处的
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将Copula函数应用于贷款组合
我们把公司i违约的时间Ti映射到一个新的变量
Ui ，并且假设
其中 F 和Zi 服从正态分布，并且相互独立
定义 Qi 为Ti的累积概率分布
Prob(Ui<U) = Prob(Ti<T) when N(U) = Qi(T)
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贷款组合模型
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观察违约概率：
(1)当F增加时，以上概率减小
(2)当F服从标准正态，则F<N-1(Y)的概率是Y此时违
约概率率大于
的概率为Y
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贷款违约模型
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作业题
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