自从 20世纪 50年代后数理分析工
具广泛应用于金融分析领域，其中最为
知名的当属 M—M定理、CAMP以及无套
利(A 定理和鞅等价定理等。在这当
中，鞅等价定理直至目前仍然是金融分
析中的前沿课题。并且，等价鞅测度定理
还是人们在分析金融产品定价、消除金
融投机套利机会、降低金融产品投资风
险的主要工具。等价鞅测度定理在金融
市场分析中的很多领域都可以得到应
用。剖析等价鞅测度定理及其应用无疑
对掌握金融产品定价方法、优化金融产
品投资组合、降低金融产品投资风险将
有所裨益。
一
、鞅的定义及含义
一 个关于{口 } 适应的过程 f--(fj 。
称为一个(关于{口 } 的)鞅，如每个 f
可积，且 fn=E(fn I口 )，n=O，l U U U(1)
称为一个上鞅，如式(1)换为 ≥Eft, + l
口n1．n=O，l口口口称为一个下鞅，如式
(1)换为 fn≤Eft．+。I口I1)，n=O，l，U U U，
显然，f_(0是上鞅，当且仅当一f=(一fJ o是
下鞅。
现在，我们考虑股票价格的多元_|
维格栅模型化。在现存框架中，过程 s由
最初股票价格S。和 ∈ (to)=ua,+d(1一a )，
V05∈Q等式中独立随机变量序列 ∈．，-j=
1．⋯ ，r决定。更精确而言，S ，t=O，⋯ ，
r由概率空间(Q，F，P)中的sL=s。兀∈
】= l -
Vt r决定，或对等地，由下列关系决
定：
S l=∈ lS V t r (2)
S。∈口+。通过下式，引入贴现股票价格
过程 S ：
± 1
S．=s／B。=S／'y，Vt--<T (3)
设 D 为随机变量 s ，u t生成的窄
间 Q的解析族，即，对于任意 t--<T ，D．=
o(s。，⋯ ，S )。明显地，解析族 D．，t T
为 【T域递增族，意指对于任意t r—l，D．
cD 。注意到 D 族同时也是由随机变
量族∈ 一 生成 敛，从而更精确
言，D．=D(∈。，∈【'_一，毛)，Vt T ，等式中
依据惯例，∈ )=l 解析族 D．，t--<T 可将股
票价格观测值生成的离散信息流模型
化。从金融意义而吉’，解析族 D．意指时
间 t时所有投资者可以获取 的市场信
启、?对于任意t T ，设定 F+=(r(D．)，式
‘
中盯(D．)是解析族 D．牛成的盯域 显然
‘
F =【T(S0，S 一S )，V ≤T 。最后，F =(F )
．‘ 表示过程 s的自然 盯域族，或简言
之，过程 s的自然过滤因子。
下面引入 jf — P中概率测度 P对
等的概率测度 P 的定义，如此，贴现股
票价格 S 在 P 下对于它 自身的过滤因
子而言为公甲博 一另外，假定 I 属于P
类?根据 P类定义，任一 P中概率测度取
决于隐舍参数 u，d，r，的选取，而 u，d，r，
仅仅与P值相关：而且，此假设小会丧失
一 般性；不难求证：P外不存在与任一 P
类概率测度相等的慨率测度 P ，从而
CRR模型中的贴现股票价格 s 必将遵
循 P-_分布 从而，可在不丧失一般性条
件下采用下列鞅测度定义。
定义：概率测度 P P可称为贴现
股票价格过程的鞅测度如果下列等式成
{
立 ：E (S⋯IF )=S ，Vt--<T 一l； (4)
即如果过程s相埘过滤因子 F而言在
P 下遵循鞅分布一这种情况，人们可以断
言贴现股票价格 S 遵循( 一鞅分布，
或简言之，P 一鞅分布，如果没有歧义引
起的话 在某些情况中，可以假定股票价
格是在隐含过滤慨率卒阳】(Q，F，P)上给
出，等式中隐含过滤因子 F严格大于股
票价格过程牛成的自然因子P?但是，在
本节中，为了方便，设定 F=P，如同上述
定义所明确表示
引理：贴现股票价格 S 的鞅测度存
在当且仅当d<l+r=r<u 本例中，S 的鞅
测度 P 是相对 于 P=t =(1+r—d)／(u—r1)而
言的唯一 P类因子
1 1 9
缓嚣冀凌簧
2004年第9期(总第 177期)
■王 俊 罗 猛
证明：利用(2)和(3)等式，我们可以
根据以下方式重新构建等式(4)：
‘
一 ll+【l ‘-t
E (r S IF+)--r S ，V t T l (5)
或等价地，r S,E ( F。)=r S ，Vt--<T
l。
由于随机变量 相对于 盯一域 F。
独立，那么后一等式成立的充分必要条
件是，E ( )=r或明显地，等式 up+d(1一
p)=r必须满足。对最后方程求解 P值，人
们可以得到使得等式(5)成立的唯一 P
值。
注意钊股票价格遵循唯一鞅测度 P
分布，递增概率的指数随机游走(参见公
式 sl=s 1exp( ‘ )，V t--T )就等于 P 。这
J ： 1
个特征阐明了在不丧失一般性条件下，
为什么可将人们的注意力限定在隐含锥
宅间Q的特殊概率测度类型上。重要的
是要指出：鞅概率测度 P 不是为了将股
票价格实际波动观测值模型化而外生引
入的。相反的是，它应该被看作是衍生证
券套利估价中非常有用的技术工具。
评价：鞅测度(或风险中性概率)概
念本质 卜取决于基数资产的选择。可以
确认相对股票价格 B =B／S的唯一鞅测
度为P类的唯一因子 P，且 P与P的以
下值一致：P=p=(}一 。
二、等价鞅测度及其性质
等价鞅测度：具体地，如果一项证券
价格 S(t)是一个连续随机过程，其样本概
率分布记为兀一我们称其为等价鞅测度，
使得以兀汁算的未米期望恰好等于当前
地价格：s(t)--E~ 【e s( ，T>t (6)
其中E．1 【I]是在时刻 t的信息 I 已知的
条件下以兀计算的条件期望算子。
考虑一种普通证券，其价格变化呈几何
维纳过程 ：S(t)=Soe、⋯ (7)
其中Y(t)服从正态分布：Y(t)U N0xt，【T )
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(8)
注意这种表示法与前面随机微分方程的
表示法是等价的，事实上，Y(t)满足方
程：dY=trdt+crdW利用伊藤引理，满足的
随机微分方程是 dS=[tr+ 1 oa]Sdt+crSdW
(9)
为了后面的推导，任取一个参数，我们先
计算下面的矩生成函数
)iE【ekY(t~ exY 1 e～
'dY=e^．1I l f 101
函数 M(t)具有这样的性质 ：将其求导 n
次并在 k--O取值就得到 Y(t)的 n阶矩。
譬如容易验证
M'(0)=trt，M -(o)-_o-~t
现在我们利用 M( )来计算证券价格的条
件期望。假设 T>t，由定义(7)式，有
S(T)／S(t)=e ‘D ‘‘)[】N(~(T-t)，盯 (T-t))
(11)
注意到这个分布与信息 I。(时刻及之前
的股价 S(t))无关：
E s ／S(t)l=E,[e m 1=E【e
(T—1)+ (1 )／
最后一个等式用到了矩生成函数 (10)
式。又因为在信息 L下 s(t)是已知的，上
式两端乘以S(t)，得到
E 】=S(t)e“。 ‘ ’ (12)
对照Y(t)实际的概率分布(8)式，我们将
兀定义为正态分布N(pt， )，其中期望值
系数 P待定。利用(12)式，以兀计算 e-"S
(t)的条件期望：
E5e 】=s(t)e )
选取p=r--争cr2
立即有 En[e ；( =e S(t)
(13)
(14)
在上述构造下，e 成为概率分布兀下
的一个鞅。同时，仿照(9)式的推导，在兀
下 S(t)满足的随机微分方程是
1
dS=【p+—j1 oa]Sdt+crSdW
二
用(8)式置换后为：
dS=rSdt+crSd (15)
这里的d 是一个标准维纳过程，
它与(11)式中的 dW是不同的：后者的
概率分布是兀，而 dW-的概率分布是兀。
(zs)式与(14)式是等价的，它们的直观
解释是：在等价鞅测度下，每一种风险资
产的期望收益率都等于无风险资产收益
率。
由性质(14)式，衍生资产等价完全
转化成为一个技术过程。只要知道到期
日衍生资产的终值函数，利用兀求其期
望值，再以无风险利率贴现，就是它当前
的定价。下面以布莱克一斯科尔斯公式
的推导为例加以说明。
为简化表示式，只求 t=O时的买权
价格 S(0)=S。我们知道，一份欧式买权
在到期日的价值是
C(T)=max{S(T)一X，0}
由前面的推导，有
d—H= 1 exp{一 }
dY(T) (16)
而S(T)=Sexp[Y(T)】 (1 7)
由等价鞅性质，买权的当前价格就是其
到期 日的期望价值：
C=E“[exp(-rT)max{S(T)-X，0}】=J exp(-n)
max{S(T)一X．0}d兀
由于 S( ≥x等价于 Y(T)≥In(X／S)，
将(16)式代入上式，进一步将 Y(T)简写
为 Y：
C=S f xp{一 In(XJS)、v／2订盯 一
—
[Y-( r-ff2／2)T]2
一 rT}dY—Xe 』I n(
1 唧 卜 }dY(18)
可以验证前后两个积分恰好是布莱克一
斯科尔斯公式中的 N(d )和N(d2)。
等价鞅测度概念能够很好地说明为
什么在布莱克一斯克尔斯公式不含有标
的股票的预期收益和投资者的风险偏
好。在金融市场均衡中，每种股票在等价
鞅测度下的预期收益率正好是无风险收
益率。所以，无论投资者是风险厌恶者还
是风险爱好者，通过使用等价鞅测度，它
们都将按照同一无风险收益率来衡量标
的资产的收益。
三、等价鞅测度的应用
等价鞅测度工具性质如此良好 ，以
至于在金融市场定价中得以广泛应用，
国内研究主要将等价鞅测度应用于外汇
市场定价(田蓉、柴俊 2000)、可转换债
券定价(王梓坤 2000)、资产组合最优定
价分析(魏正红、张曙光 2003)等；当然，
等价鞅测度的最基本应用应为其在即期
1 2O
统诗与决策
市场与期货市场中的应用。
I、即期 市场鞅测度
尽管我们注意到，主观概率在对期
权定价时不能发挥作用，概率手段在状
态依存估价中仍有很大作用。它们取决
于概念鞅的使用，即直观上讲，公平博弈
的一种概率模型的使用。为了应用衍生
证券的鞅方法，必须首先找到一等同于
P的概率测度 ，从而贴现(或非贴现)
股票价格过程 S 可通过以下公式来定
义：
S。=So’S r=(1+r)一ST，
遵循 鞅分布；即，等式 S =EI~(ST)成立。
对于贴现股票价格过程 S 而言，这样的
概率测度 称为鞅测度。在两期模型
中，容易得出概率测度 (假定它存在)
被下列线性方程唯一地确定：
s (1+r) (p+S +(1一P+)s (19)
等式中p—P {(t)。}且 1-p．=P {(t) }。求解方
程中的P+得
)lJ=(1
s
r)
_
S~dSd，P {(t)：}一-S"-
、
(
～
1+r
．．
)So(20)
现在让我们考虑与 c 一致相关得价格
C。，此处 C 代表概率测度 P 下期权贴现
最终支付的预期值一即
def
C。=Ep．((1+r) CT)=E ((1+r)弋S广K)+)
评价：考虑到价格过程 S 遵从 P 一
鞅分布，那么贴现股票价格过程可被视
为风险中性经济中的公平博弈模型，即
在随机经济体系中期货股票价格波动的
概率由鞅测度 P 决定。但是，应该强调
的是，套利定价的基本理念完全基于资
产组合的存在，这种资产组合能将与风
险证券的不确定期货价格相关的风险完
美地对冲。从而，这个模型的概率性质不
具有本质意义。特别地，实际上人们不认
为现实世界经济是风险中性的。相反地，
风险中性经济体系更应该视为一种技术
工具。鞅测度引入的目的有两方面：首
先，它将衍生证券套利价格的明确评估
简单化；其次，它利用相关价格行为来刻
画原生证券的给定定价模型的无套利性
质。这种途径经常被视为局部均衡方式，
与一般均衡方式相对。强调的是，在后一
理论中，投资者偏好在随机模型中通常
表示为他们(预期)效用函数 ，且扮演重
要的角色。
总之，衍生证券套利价格概念并不
取决于衍生证券特定定价模型中概率测
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番尼象数 簿潺
嬲 丛林
2004年第 9期 (总第 177期)
■徐万坪
基尼系数的算法
1905年，统计学家马克斯·洛伦兹
(Max·Lorrenz)首先提出了一个用以描述
收入或财富分配不均等程度的曲线 ，即
洛伦兹曲线。洛伦兹曲线是指按照人均
收入水平由低到高排序，横轴为人口累
计比率 x，纵轴为收入累计比率 Y的平
面直角坐标体系下的一 条曲线 Y=Y
(x)。当洛伦兹曲线是 Y=X时，它表示人
均占有社会财富或人均收入水平的绝对
平均；当洛伦兹曲线是横轴与 X=100处
的垂线所构成的直角折线时，它表示收
入分配的绝对不平均。一般来说，洛伦兹
曲线是位于上述两种极端情况中问的一
条曲线 Y=Y(X)，该曲线与对角线越接
近，收入分配越平均；反之，收入分配越
不平均。(见图 1)。
V
图 1
1912年，意大利经济学家科拉多·
基尼(Corrado·Gini)又以 Lormnz曲线的
图形为基础，提出了基尼系数，基尼系数
的含义是指在全部居民收入中，用于进
行不平均分配的那部分收入占总收入的
百分比。它是测度收入分配不平等程度
注：本文系社科基金项目(03BjL038)的阶段性成果。
的指标，是在某一段时期内从总体上对
一 定范围内居民的收入分配的不平等程
度的描述。基尼系数是被人们普遍接受
的并行之有效的方法，作为联合国规定
的社会经济发展指标之一。基尼系数 G=
Ss／(S^十S )，其中S 是指 45度线 Y=X
与洛伦兹曲线 Y=Y(X)所围成的面积，而
sB是洛伦兹曲线 Y=Y(x)与 OX、XL所
围成的面积。由于 s^十s 等于 1，所以
G=2S 。若知道洛伦兹曲线，则基尼系数
f 1 f 1 f 1
G J o【x—Y(X)dX]／J 0 XdX=l一2 J 0 Y(x)
dX。国内外学者提出了许多基尼系数的
计算方法，包括直接计算方法、面积法、
拟合曲线法等等，但是缺乏一个比较系
统的总结。本文对基尼系数的一些常用
公式进行了推导和介绍，并提出一些在
实际应用公式时容易忽略和混淆的问
题。
基尼系数的计算方法
(一)直接计算法
基尼在 1912年给出了基尼系数的
计算公式，这种算法并不依赖于洛伦兹
曲线。
G：∑∑JY．．．，J／2n
i= 1 J= 1
它表示按人口分布所形成的收入差
距对收入总体期望偏离的相对程度。其
中，表示收入差的绝对值，表示收入的期
望值。表示收入的平均差，而将收入的平
均差除以收入期望值，得出收入平均差
偏离收入期望值的期望程度，也就是基
尼系数。该种方法的计算量较大，可以通
过计算机操作。若将直接计算法应用于
分组收入中，也就是《中国统计年鉴》所
提供的数据，因为该法必须估算出每组
的平均收入，如果组数比较少的话，会大
大降低其计算的准确性。而且应用于分
组收入的计算时，还必须进行各种假设：
如各组人口分布对应的收入均值等于各
人口组中间值对应的收入数值；每一组
别的收入分布随着人口累计呈等比例增
加的规律变化等。(钱敏泽，2002)。如果
按照采集数据的种类来分类，基尼系数
的方法可以大略可分为按个体收入来计
算的方法，以及按分组收入来计算的方
法。由于前种方法的数据不容易得到，官
方公布的数据也大都是分组收入，若要
应用前种方法，必须得到个体收入，或者
将分组收入换算成个体收入，其中隐含
了许多假设，使得计算的基尼系数不准
确，所以在实际应用中计算基尼系数的
公式以后一种方法为主。
(二)面积法
1．上梯形面积法
设有 n个分组，各组的收入总量为
Y ，各组收入占总体收入的比率为 Yi=Y／
∑Yi，以各组人口数 Pl来表示各组人口规
模的不同，各组人口占总体人口的比率
为pi=P／∑P．，各组人均收入水平 Z。=Y／P
(I=1，2，⋯n)且 Zl<z2<z3<⋯<z 。如图2阴
影部分表示，SA的面积等于 n个矩形面
积之和加上 n个三角形面积之和再减
1／2。
度的选取。进一步精确而言，标准概率术
语的引用，意味着套利价格取决于主观
概率测度的支撑，但是不随同一等值概
率测度集合中的特定概率测度的选取而
改变。金融术语中，上述论断可被重述
为：所有投资者在原生证券的期货价格
波动幅度上的认识达成一致；尽管他们
在相应的主观概率评估上有所不同。
2、期货市场鞅测度
寻求一概率测度P，使得其期货价
口
格过程(未贴现)遵循P鞅分布。一概率
P，如果存在，将由下列等式决定：
口 口
fe=E~(fT)=pP+(1一P)
容易得出
= = 一 =器
1 2 1
统计与决策
这表明鞅方法同样可用于期货市场，只
要对鞅测度概念稍加修改。
借助数理金融传统术语，人们可能
得出结论：风险中性经济体系具有期货
价格过程公平博弈性质。应该记住：风险
中性即期经济中贴现股票价格 (与股票
价格本身相对)可将公平博弈模型化。
(作者单位／中国人民大学财政金融学院)
(责任编辑／李友平)
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