随机变量及其分布
第四节 连续型随机变量
及其概率分布
一、连续型随机变量及其密度函数
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
一、连续型随机变量及其密度函数
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度
函数，简称为概率密度 .
有
,使得对任意实数 ,
对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) ,
连续型随机变量的分布函数在 上连续
1、连续型随机变量与密度函数的概念
一、连续型随机变量及其密度函数
2、概率密度函数的性质
1 o
2 o
【注】这两条性质是判定一个
函数 f(x)是否为某连续型X
概率密度的充要条件
0
x
f(x)
面积为1
一、连续型随机变量及其密度函数
利用概率密度可确
定随机点落在某个
范围内的概率
对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
0
x
f(x)
x1
x2
一、连续型随机变量及其密度函数
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落
在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于线密度.
若 x 是 f(x) 的连续点，则
对 f(x)的进一步理解:
一、连续型随机变量及其密度函数
若不计高阶无穷小，有
表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 .
在连续型 r .v 理论中所起的作用与
在离散型 r .v 理论中所起的作用
相类似.
一、连续型随机变量及其密度函数
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度(取值)，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
f (x)
x
o
a
一、连续型随机变量及其密度函数
(1) 连续型随机变量取任一指定实数值a 的概率均为0. 即
这是因为连续型随机变量的F(x) 是连续的，且
请注意:
当 时
得到
一、连续型随机变量及其密度函数
(2) 对连续型 随机变量 X , 有
由P(B)=1, 不能推出 B=S
由P(A)=0, 不能推出
由此可以得到如下结论：
一、连续型随机变量及其密度函数
一、连续型随机变量及其密度函数
一、连续型随机变量及其密度函数
一、连续型随机变量及其密度函数
一、连续型随机变量及其密度函数
例19
练习1
一、连续型随机变量及其密度函数
故有
解
(1) 因为 X 是连续型随机变量,
一、连续型随机变量及其密度函数
一、连续型随机变量及其密度函数
一、连续型随机变量及其密度函数
练习2 设随机变量X的概率密度函数为：
且 求
（1）a,b的值；（2）
解（1）
一、连续型随机变量及其密度函数
解之得
（2）
一、连续型随机变量及其密度函数
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
（一）均匀分布
则称X在区间( a, b)上服从均匀分布，
X ～ U(a, b)
若随机变量X的概率密度为：
记作
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
例20 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.
解
依题意， X ～ U ( 0, 30 )
以7:00为起点0，以分为单位
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.
所求概率为：
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
（二）正态分布
1、一般正态分布
若连续型随机变量X 的概率密度为
其中 和 ( >0 )都是常数, 则称X服从参数为
的正态分布或高斯分布.记作
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
2、一般正态曲线
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
（3）x = μ σ为 f (x) 的两个拐点的横坐标；
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
（4）正态分布 的分布函数
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
3、标准正态分布
的正态分布称为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用 和 表示：
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
的性质 :
事实上 ,
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
3、一般正态分布与标准正态分布关系
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
证
Z 的分布函数为
则有
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
根据结论,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.
于是
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
4、正态分布表的应用
书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.
当 x < 0 时 ,
表中给的是 x >0 时, Φ(x)的值.
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
例21
例22
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
例23
解：
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
5、3σ原则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
这说明随机变量的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，
超出这个范围的可能性仅占不到%.
当X～N(0,1)时，
P(|X| 1)=2 (1)-1=
P(|X| 3)=2 (3)-1=
P(|X| 2)=2 (2)-1=
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
将上述结论推广到一般的正态分布,
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
区间内.
这在统计学上称作“3 准则” .
~N(0,1)
时，
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
6、标准正态分布的分位点
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
解
P(X≥ h)≤
或 P(X< h)≥ ，
下面我们来求满足上式的最小的h .
练习1 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?
设车门高度为h cm,按设计要求
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
因为 X～N(170,62),
故 P(X< h)=
查表得 ()=>
因而 = ,
即 h=170+ 184
设计车门高度为
184厘米时，可使
男子与车门碰头
机会不超过.
P(X< h )
求满足
的最小的 h .
所以 .
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录取？
练习2 某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者的考试成绩
分析
首先求出
和
然后根据录取率或者分数线确定能否录取
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
解 成绩X服从
录取率为
可得
得
查表得
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
查表得
解得
故
设录取的最低分为
则应有
某人78分，可
被录取。
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
（三）指数分布
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.
若 随机变量 X具有概率密度
为常数,
则称 X 服从参数为 的指数分布.
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
若X 服从参数为 的指数分布, 则其分布函数为
事实上 ,
当 时,
当 时,
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
例25
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
例25
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
例25
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
例26 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为
θ=2000的指数分布(单位:小时).
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以
上的概率.
(2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以
上,求还能使用1000小时以上的概率.
X 的分布函数为
解
二、几种常见连续型随机变量的概率分布
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
