期权跨式组合
基本特征
以c表示买权的买入价格，P表示卖权的买入价格，X表示买权和卖权的约定价格， ST表示标的物到期价格。
到期时跨式组合的内在价值为买权的内在价值与卖权的内在价值之和，即：
Vp=max(ST -X，0) +max(X- ST ，0)=max(ST -X，X- ST)
到期时跨式组合的利润为买权的利润与卖权的利润之和，即：Ep=max(ST -X，X- ST)-c-p
=max(ST -X-c-p，X- ST -c-p)
ST=X+c+p或X-c-p时，跨式组合达到盈亏平衡。
ST<X-c-p时，跨式组合的利润为X-ST-c-p，
随着ST的减小，跨式组合的利润也增大，但有上限，上限为X-c-p；
X-c-p<ST<X时，投资组合的亏损为X-ST-c-p；
X<ST<X+c+p时，投资组合的亏损为ST-X-c-p；
X=ST时，跨式组合的亏损额最大，为-c-p；
ST>X+c+p时，跨式组合的利润为ST-X-c-p，
随着ST的增大，跨式组合的利润也增大，没有确定的上限。
未来标的物价格波动越剧烈，采取多头跨式组合策略越有利可图。
换句话说，当投资者预期股票价格会有大幅度变动，但不能确定其变动方向时，可采用多头跨式组合策略投机。
期权跨式组合例题
假设某投资者认为Y股票的价格到12月之前将发生大幅度升或降。该股票的现行市场价值为60美元。可通过同时购买12月份到期，约定价格为60美元的一个买权和一个卖权来构造跨式组合。
假定买权的成本为美元，卖权的成本为美元。
假设投资者L认为Y股票的价格到12月之前将发生大幅度升或降，该股票现行市场价值为60美元，可通过同时购买12月到期，约定价格为60美元的一个买权和一个卖权来构造跨式组合，假定买权成本买权成本，初始总成本美元。分析得买进p（X）当前现金流量，St<,大于小于60.等于60，大于60小于，大于时候，p（X）分别为60-ST,60-ST,0,0,0,;买进c（X）时，当前现金流量为时，到期日现金流量分别为0,0,0，ST-60，ST-60;总计为,；60-ST>,60-ST<,0，ST-60<，ST-60>..这一期权的盈亏平衡点为ST=X+c+p=60+=美元，和ST=X-c-p==美元。当到期Y股票价格在和美元之间时，L将遭受亏损，当ST=60美元时，出现最多亏损额，数值为美元，随着股票价格与约定价格的偏离的增大，L的收益状况将不断得到改善，当股票价格在美元到美元时，到期现金流量小于美元，不足以补偿初始投入美元，会发生亏损，当股票价格小于美元或大于美元，到期现金流量大于美元，将会有利润，比如股票价格跌倒44美元，可获利美元，而股票价格等于美元或等于美元则是该跨式组合的盈亏平衡点。
根据上述分析不难得出，空头跨式组合是一个高风险的策略，因为一旦股票价格出现大幅度的变动，会造成巨大的损失。
如果在到期日股票价格接近约定价格，投资空头跨式组合将会获利。
所以，如果投资者有很大把握认为到期股票价格不会偏离约定价格太远，则应该出售跨式组合期权。
牛市与熊市差价
牛市差价(bullish spreads)和熊市差价(bearish spreads)都是较为常见的差价交易。可以由两个不同约定价格的买权空头和多头组成，也可以由两个不同约定价格的卖权空头和多头组成。
熊市差价(bearish spreads)实际是空头的牛市差价。
牛市差价相当于是看涨头寸，在股票价格上升时有盈利，而在股票价格下降时会出现亏损。
熊市差价则相反，多在看跌股市的情况下使用。
买权组成的牛市差价
(1)基本特征
假定约定价格X1小于X2。我们用c1、c2分别表示买权X1和买权X2的期权费。
因此，c1>c2。
到期牛市差价的内在价值为多头买权X1与空头买权X2的价值之和，即：
Vp=max(ST-X1，0)+min(X2-ST，0)
到期牛市差价的利润为买权多头与空头的利润之和，即：
Ep=max(ST-X1，0)-c1+ min(X2-ST，0)+c2
得ST=X1+c1-c2所以，
ST=X1+c1-c2时，牛市差价达到盈亏平衡。
ST≤X1时，牛市差价的亏损恒为-c1+c2；
X1<ST<X1+c1一c2时，牛市差价的亏损为ST-X1-c1+c2；
X1+c1-c2<ST<X2时，牛市差价的利润为ST-X1-c1+c2；
ST≥X2时，投资组合的利润恒为X2-X1-c1+c2；
可见，牛市差价策略限制了股价上升时的潜在收益，同时也限制了股价下降时的损失。这种适度回避风险的作用是牛市差价广受欢迎的原因之一。同时，在未来股票行情上升时，投资牛市差价会获得利润。
具体而言，如果预计未来股票价格会上升超过X1+c1一c2，则可以投资牛市差价获利。
卖权组成的牛市差价例题
股票W现价为78美元，各种约定价格及到期月份买权的当前价格如表5-3所示。现在，投资者Z认为W股票行情看涨，他决定采用下面的差价策略：
买进20份8月份到期，执行价格为80美元的W买权，价格为4美元，期权费支出为4美元×100×20=8 000美元；卖出20份8月份到期，执行价格为85美元的W买权，价格为美元，期权费收人为美元×100×20=2500美元。这一价差策略有负价差4美元美元=美元，初始净投资为美元乘以100乘以20=8000-2500=5500美元，显然该投资者投资于一个牛市差价。到八月份期权到期时候，如果W股票价格升至90美元，两个买权都将被执行，价差由原来的美元扩大到5美元，价差投资者就获得美元乘以100乘以20等于4500美元的投资利润，到八月份W股票价格仅升至80美元，两买权都不会呗执行 ，他们价差由原来的美元缩小至0，价差投资者将损失全部的初始净投资5500美元，如果到8月份W股票价格升至X1+c1-c2=80美元+4，美元，美元=美元，买权X1有美元的实值，买权X2处于虚置状态，实值为0，价差没变，认为美元，价差不变应该盈亏平衡。投资者执行买权X1将获得现金流量-80乘以100乘以20=5500美元，而买权X2不会被执行，执行买权X1获得的现金流量5500美元正好可以补偿初始净投资5500美元，投资者处于盈亏平衡状态。负价差的扩大会给牛市差价的投资者带来利润，负价差的缩小会给牛市差价的投资者带来亏损，价差不变，股票价格等于X1+c1-c2时，投资者处于盈亏平衡状态，投资于该牛市差价的最高利润为每份买权多头和空头225美元（20分买权多头和空头则为4500美元） ，最大亏损为每份买权多头和空头275美元（20分买权多头和空头则为5500美元）
卖权组成的牛市差价
基本特征
约定价格X1小于X2 。我们用p1、p2分别表示卖权X1和卖权X2的期权费。因此，p2>p1。
到期牛市差价的内在价值为多头卖权X1与空头卖权X2的价值之和，即：
Vp=max(X1- ST ，0)-max (X2 -ST，0)
到期牛市差价的利润为卖权多头与空头的利润之和，即：
Ep=max(X1- ST ，0)-p1-max (X2 -ST，0) +p2
得ST = X2+p1-p2
所以， ST = X2+p1-p2时，牛市差价达到盈亏平衡。
ST ≤X1时，牛市差价的亏损恒为X1-X2-p1+p2；
x1< ST <X2+p1-p2时，牛市差价的亏损为ST -X2-p1+p2；
X2+p1-p2< ST <X2时，牛市差价的利润为ST -X2-p1+p2；
ST ≥X2时，投资组合的利润恒为p2-p1；
卖权组成的牛市差价策略同样既限制了股价上升时的潜在收益，也限制了股价下降时的潜在损失，同样是一种较为安全的投资策略。
所以，在预计未来股票行情上升时，也可通过投资卖权组成的牛市差价获利。
具体而言，如果预计未来股票价格会上升超过X2+p1-p2，则可投资卖权组成的牛市差价获利。
卖权组成的牛市差价例题
股票W现价为78美元，各种约定价格及到期月份卖权的当前价格如表5-3所示。现在，投资者Y认为W股票行情看涨，他决定采用下面的差价策略：
买进20份8月份到期，执行价格为80美元的W卖权，价格为6美元，期权费支出为6美元×100×20=12 000美元；卖出20份8月份到期，执行价格为85美元的W卖权，价格为9美元，期权费收人为9美元×100×20=18 000美元。 这一价差策略有正价差9-6=3美元，初始净现金流量为3美元乘以100乘以20=18000美元-12000=6000美元。到8月份到期时，W股票价格升至90美元，两个卖权都不会被执行，变得毫无价值，价差由原来3美元缩小至0，价差投资者拥有全部初始净现金流量6000美元，投资利润。如果懂啊8月份W股票升至80美元，卖权X2将被执行，执行价值为5美元，卖权X1处于平直状态，执行价值为0美元，价差由原来3扩大到5，价差投资者会亏损5-3乘以100乘以20=4000美元，到八月份W股票价格升至X2+p1-p2=85+6-9=82美元，，卖权X2有3美元的实值，卖权X1处于虚值状态，实值为零，价差没变为3美元，卖权X2呗执行，投资者将现有流出量85-82乘以100称20=6000美元，卖权X1只能放弃，不考虑资金时间价值，卖权x2被执行引起的现金流出量6000耗尽初始现金流量。价差不变，股票价格等于X2+p1-p2时，投资者处于盈亏平衡的状态，，投资者将卖权组成的牛市差价的最高利润为每份卖权多头和空头300美元，20份卖权多头和空头则为6000美元，最大亏损为每份卖权多头和空头200美元，20份卖权多头和空头则为4000美元。
某无红利股票的现价为56美元，无风险年利率为6%。如果执行价格为60美元，到期期限为6个月的该股票的美式买权价格为8美元，美式卖权价格为11美元；欧式买权价格为8美元，欧式卖权价格为9美元。
根据以上信息判断是否存在套利机会?
因为市场价格与理论价格有偏差就有套利机会，欧式买权的价格等于美式买权的价格，c=C=8美元，与理论价格相符，美式卖权价格P=11，大于欧式卖权价格p=9，也与理价相符；欧式卖权价格8小于股票价格58，大于S-Xe-rT==，符合欧式买权理论价格上下限；欧式卖权价格9，小于Xe-rT-S=，符合欧式理论价格上下限；美式买权价格应该等于欧式买权价格，欧式买权符合理论价格上下限，美式买权必定符合。；美式卖权价格11，低于理论价格上限X=60，高于理论价格下限X-S=60-56=4;根据欧式买权和卖权之间的平价关系，对应的欧式卖权价格p=Xe-rT+c-S=+8-56=，与实际欧式卖权价格p=9美元不相符。存在套利机会。；美式买权价格与卖权价格之间关系S-C<C-P<S-Xe-Rt,S-X=56-60=-4，S-Xe-Rt==，因此应该有-4<C-P<,实际C-P=8-11=-3符合理论价格范围。综上，可利用价格不符合欧式买权和卖权之间的平价 进行套利，现在Xe-Rt+c>p+S,应买进欧式卖权和股票，同时卖出欧式买权，并借入现金Xe-Rt，初始现金流量为Xe-Rt+c-（p+S）=+8-（9+56）=
利用约定价格关系套利
美式期权
(1)关系式
对于其他条件相同的两个美式期权而言，约定价格的差应该大于期权价值的差，或说期权价值的差应该小于约定价格的差。
对于美式买权，如果X1<X2，则
X2-X1≥C(X1)-C(X2)
对于美式卖权，如果x1<X2，则
X2-X1≥P(X2)-P(X1)
在X1<X2的情况下，假设X1-Xl<C(X1)-C(X2)，说明现金X2-Xl价格相对太低，C(X1)与C(X2)的差距相对太大；
也说明C(X1)价格相对太高，或C(X2)价格相对太低。
因而，可以买进C(X2)同时卖出C(x1)并投资X2-X1套利。由于美式买权可以提前执行，用t表示到期权被执行时的时间长度。
由于X2-X1<C(X1)-C(X2)，所以，买进C(X2)同时卖出C(X1)并投资X2-X1，
当前的净现金流量为：
C(X1)-C(X2)-(X2-X1)>0
到到期日之前，如果St≤X1(当然也就小于X2)，则C(X1)和C(X2)都不会被执行，投资本利所得为(X2-X1)exp(rt),所以，
净现金流量为：
(X2-X1)exp(rt) >0
如果x1<St≤X2，空头C(X1)会被执行，价值为-(St-X1)，加上投资本利所得，
净现金流量为：
-(St-X1)+(X2-X1)exp(rt)
=St+X2-(X2-X1)+(X2-X1)exp(rt)
-(X2-X1)(ert-1)+X2-St
“+”前的值大于零，“+”后的值也大于零，因而上式大于零。
如果St>X2(当然也就大于X1)，则C(X1)和C(X2)都会被执行，C(X1)价值为-(St-X1)，C(X2)价值为St-X2，投资所得仍然为)(X2-X1)exp(rt)
净现金流量为：
-(St-X1)+(St-X2)+(X2-X1)exp(rt)
=(X2-X1)(exp(rt)-1)>O
欧式期权
关系式
对于其他条件相同的两个欧式期权而言，约定价格差的现值应该大于期权价值的差，或说期权价值的差应该小于约定价格差的现值。
对于欧式买权，如果Xl<X2，则
(X2-X1)exp(-rt)≥c(X1)-c(X2)
对于欧式卖权，如果Xl<X2，则
(X2-X1)exp(-rt)≥p(X2)-p(X1)
【例】
F股票的约定价格为90美元和100美元的欧式买权价格分别为12美元和2美元，期限均为6个月。已知无风险利率为10％。试判断有无套利机会?
分析：
(X2-X1)exp(-rt) =(100-90)exp()×=美元
而c(X2)-c(X1)=12-2=10美元
美元<10美元， 存在套利机会，可以买进c（X1）同时卖出c（X2）并投资（X2-X1）e-rT以套取无风险利润。
