ᇏݓ॓ં໓ᄝཌ 考虑了回收率和违约率负相关的债券投资#组合信用风险研究 *麦强，胡运权5 （哈尔滨工业大学管理学院，哈尔滨 150001） 摘要：大量的实证研究表明回收率和违约概率之间存在一个负相关关系，但传统的投资组合信用风险模型如CreditMetrics将违约时的回收率看成是外生的一个常数参数或是与违约概率相独立的一个随机变量。本文基于CreditMetrics的分析框架，应用MonteCarlo模拟方法对一个债券投资组合进行研究，比较了常数回收率，Beta分布回收率，回收率与风险率负10 相关这三种假设下债券投资组合的不同信用风险（VaR，CVaR）。其中，通过假设不同信用等级债券的风险率遵循不同参数的Gamma分布，本文考虑了相同信用等级债券违约频率的异质性。并且，本文采用Student’s t-copula函数对投资组合中债券之间的相关性进行处理。最后，本文通过一个假设的债券投资组合对模型进行了应用。结果说明回收率风险是一个系统性风险因素，它可能引起风险溢价。 15 关键词：信用风险；回收率；违约率；VaR；CVaR；Student’s t-copula 中图分类号： Study on the Credit Risk of a Bonds Portfolio with Considering the 20 Mai Qiang, Hu Yunquan (Management School, Harbin Institute of Technology, Harbin, 150001) Abstract: IA large quantitative experimental researches indicate that there is a negative relationship between the recovery rate and the default probability. But the classical portfolio credit risk models such as CreditMetrics treat the recovery rate in case of default either as a constant 25 parameter or as a stochastic variable independent from the probability of default. Based on the analysis framework of CreditMetrics, this paper researches a bonds portfolio using MonteCarlo Simulation, and compares the different credit risks( such as VaR, CVaR) based on three assumptions about recovery rate: constant , Beta-distribution, negative to hazard rate. According to the assumption that the hazard rate of different rating class is Gamma-distribution with different 30 parameters, this paper also considers the heterogeneity of default frequency between bonds of the same rating class. At the same time, this paper uses the Student’s t-copula function to deal with the correlation between the bonds in the portfolio. At last, this paper applies the model to a hypothetic bonds portfolio. And the results indicate that the risk of recovery rate is a systematic risk factor which can bring risk premium. 35 Key words: Credit Risk; Recovery rate; Default rate; VaR; CVaR; Student’s t-copula 0 引言 信用风险，利率风险，流动性风险和操作风险是银行面临的主要风险。其中，信用风险是指由于借款人或合约方违约而导致损失的可能性，在更广泛的意义上，还包括借款人信用40 等级变动及履约能力变化而导致其债务价值变动而引起损失的可能性。 随着BaselⅡ协议的推广和各国对其的认同，金融机构迫切需要更有效的定量工具来进 基金项目：国家自然科学基金（70903017）；高校博士点基金（（20092302120012）；黑龙江省自然科学基金（QC2010087） 作者简介：麦强（1977-），男，副教授，主要研究方向：风险分析，风险管理- 1 -
ᇏݓ॓ં໓ᄝཌ 行信用风险管理，进而开发了一些信用风险模型，其中包括JP Morgan的CreditMetrics[1]（Gupton，Finger和Bhatia，1997），Credit Risk Financial Product’s CreditRisk+（1997），[2][3]McKinsey’s CreditPortfolioView（Wilson，1997a，1997b），和KMV’s 45 CreditPortfolioManager。它们被称之为在险价值（value at risk, VaR）模型，主要是测度在提前给定的置信水平下的潜在损失，也就是说一个带有信用风险的投资组合在规定的时间期限内（通常是1年）可能遭受的损失。 这些模型还可以被看成是简化形式模型，其中，违约时的回收率（recovery rate, RR）通常被看成是外生的一个常数参数或与违约概率（probability of default, PD）独立的一个随机50 变量。其中一些模型，例如CreditMetrics，CreditPortfolioView和CreditManager，将违约时的RR看成是一个Beta分布的随机变量，并且与PD独立。其它的模型，如CreditRisk将RR看成是一个常数，并且需要对每个信用风险资产给定一个输入值。 但大量研究已经开始关注回收率的估计及违约概率和回收率之间的关系，如Fridson，Garman和Okashima（2000），Frye（2000），Jarrow（2001），Bakshi，Madan, Zhang（2001），[4][5][6][7][8]]9]55 Jokivnolle和Peura（2003），Altman，Brady，Resti和Sironi（2004）等。他们的实证研究表明，违约概率和回收率之间存在一个负相关关系。 为了检验PD和RR负相关关系对信用风险投资组合的影响，本文基于CreditMetrics的分析框架，应用MonteCarlo模拟对一个债券投资组合进行研究，并比较了以下三种假设情况的投资组合风险： 60 （1）回收率是一个常数。 （2）回收率是一个Beta分布的随机变量，与违约概率相独立。 （3）回收率与违约率负相关。 在对债券的信用风险进行分析时，本文应用了简化形式模型方法。对于投资组合中债券之间的相关性，本文采用了Student’s t-copula方法。 65 1 投资组合的信用风险 风险率 在简化形势模型中，违约过程通常被定义为一个带有给定强度h的Poisson过程的首次跳跃。设随机违约时间为τ，则违约过程被定义为： 1if⎧τ≤tN=1= （1） ⎨t{τ≤t}0ifelse⎩70 该违约强度被称为风险率（hazard rate），其直观意义是，对于较小的Δt和t<τ，乘积hΔt近似于在(t,t+Δt)期间内违约发生的概率。根据Mashal和Nald（i2002），Menequzzo[10][11][12]和Vecchiato（2002），Di Clemente和Romano（2003），定义一个随机变量T，称0为直到违约时间（time-until-default），它表示从现在到违约的存活时间。设F(t)是该变量0的分布函数，则根据以上的风险率定义，有以下公式： t⎛⎞⎜⎟75 F(t)=Pr{T≤t}=1−exp−h(u)du （2） 00∫⎜⎟⎝0⎠设t<t，直到时间t的条件存活概率是： 122- 2 -
ᇏݓ॓ં໓ᄝཌ t2⎛⎞⎜⎟Pr{T>tT>t}=exp−h(u)du （3） 0201∫⎜⎟t⎝1⎠则时间区间(t,t)的条件违约概率是： 12t2⎛⎞⎜⎟Pr{t<T≤tT>t}=1−exp−h(u)du （4） 10201∫⎜⎟t⎝1⎠80 在本文中，假设债务人每年的风险率h是一个常数。这样，它可以根据信用评级机构的违约概率计算出来： ln(1−F(t))−ht0F(t)=1−e⇒h=− （5） 0t可以看出，这时的直到违约时间遵循一个指数分布。 回收率 85 在对债券定价的信用风险模型中，对于违约时发生的回收率（RR）有以下几种假设：（1）零回收模型（Zero-Recovery）。在违约发生后，债券持有者得到的价值为零，如Litterman[13]和Iben（1991）；（2）面值回收模型（Recovery of Face Value）。一旦发生违约，债券持有者得到面值的一部分，如Duffie（1999），Duffie和Singleton（1999）及Lando（1998）[14][15][16]；（3）价值回收模型（Recovery of Treasury）。在违约的情况下，债券持有者得到90 等同条件下无违约风险债券价值的一个外生给定部分（可能是随机的），即债券面值的当前价值的一部分，如Longstaff和Schwartz（1995），Jarrow和Turnbul（l1995）及Collin-Dufresne[17][18][19]和Goldstein（2001）；（4）市值回收模型（Recovery of Market Value）。在违约时，[15]违约支付被描述成风险债券的违约之前价值的一部分，如Duffie和Singleton（1999）。由于穆迪等信用评级公司的平均回收率数据都是按面值计算的，所以本文采用面值回收模型95 的假设。 在传统的结构化模型和简化形式模型中，通常独立的处理违约概率（PD）和违约的回收率，认为它们之间没有关系。但在过去的30年中，出现了许多对PD和RR之间的关系进行建模，并对两者之间的关系进行实证分析的研究。 例如，Frye（2000）应用1982-1997年间穆迪的违约风险服务数据（Moody’s Default Risk 100 Service database）对于公司债券进行分析，结果显示违约率和RR之间存在一个极强的负相[5]关关系。Altman，Brady，Resti和Sironi（2004）应用1982-2000年间的样本作为可违约债[9]券的数据进行了实证研究，结果与Frye的研究一致：违约率和RR之间负相关。 这些证据暗示出回收率风险是一个系统性风险因素。所以，它可能引起风险溢价并且应该在信用风险管理的应用中足够重视。这样，如果假设PD和RR相互独立，潜在结果意味105 着信用风险会被低估。所以，在本文中，将会考虑违约概率和回收率之间的负相关关系。 信用转移 债券价值的影响因素不仅仅是债券的违约风险，而且还有债务人信用等级的变化。这种变化通常可以从信用评级机构发布的信用等级转移矩阵中得到。设信用评级机构对债务人的信用评级有K类，则在每个时间区间的末尾，任何债务人的可能状态有K+1个：违约或在110 K类的某个信用等级。 从公式（4）可以看出，直到违约时间遵循一个指数分布，可以应用该分布及信用转移- 3 -
ᇏݓ॓ં໓ᄝཌ 矩阵中的转移概率得到这K+1个可能信用等级状态的临界值。设p表示债务人i的违约Dii概率，s表示违约临界值。根据公式（4），第一个临界值即违约临界值是： 1ln(1−p)iDis=− （6） 1hi115 其中，h表示债务人i的风险率。设p表示该债务人在第k个信用等级的概率，它对ikiii应着两个临界值s和s： kk+1iiip=Pr (s<T≤ （7） s)kik0k+1该概率是非条件概率，根据公式（2）和（3），它等于： iiiiiiiiip=Pr(s<T≤sT>s)⋅Pr(T>s)=exp(−h⋅s)−exp(−h⋅s) （8） kik0k+10k0kikik+1120 所以，债务人i期末信用等级为1的概率p是： 1i⎛⎞⎛ln(1−p)⎞iiDii⎜⎟⎜⎟ （9） p=exp(−h⋅s)−exp(−h⋅s)=exp−h−−exp(−h⋅s)1ii1i2ii2⎜⎟⎜⎟h⎝i⎠⎝⎠ 对应的第二个临界值是： ln(1−p−p)iDi1is=− （10） 2hi这样，类推得到的第k个临界值是： k−1⎛⎞⎜⎟ln1−p−pDi∑ji⎜⎟j=1⎝⎠i125 s=− （11） khi2 债券价值及投资组合的损失风险测度 债券价值 假设债券投资组合中包含n个债券，其份额分别为设它们的到期日序列及在各期的现金iiiiiiii流分别为t=(t,t,K,t)和C=(z,z,K,z)，其中i=1,K,n。假设期初t的即期利12T12T0130 率和一年期后的远期利率已知，分别为r(t,t)和R(t,t)。则每个债券在期初的价值为： 0j1jT−r(t,t)⋅(t−t)ii0jj0V=ze （12） t∑j0j=1在一年期后，如果债券没有违约，则它的价值为： T−R(t,t)⋅(t−t)ii1jj1V=ze （13） t∑j1j=1如果发生违约，则它的价值为： i135 V=F×RR （14） tii1其中，F是债券i的面值，RR是债券的回收率。 iim设随机变量向量y∈R代表影响债券价值的不确定性（包括风险率，信用等级的改变和随机的回收率）。则债券i的价值在一年期后发生的损失是： ∗L(y)=V(y)−V(y) （15） iii∗140 其中，V(y)表示信用特征（特别是信用等级）没有发生变化时债券的价值。用向量i- 4 -
ᇏݓ॓ં໓ᄝཌ Tx=(x,K,x,Kx)表示每个债券的份额，用L(y)=(L(y),K,L(y),K,L(y))表示单1in1in个债务人的损失函数向量，则债券投资组合的损失函数为： nL(x,y)=L(y)x=L(y)⋅x （16） ∑iii=1假设y的分布密度是p(y)，则投资组合损失的均值，方差分别为： 145 μ(x)=L(x,y)p(y)dy （17） ∫Y22σ(x)=(L(x,y)−μ(x))p(y)dy （18） ∫ 投资组合的损失风险测度 对于债券投资组合的损失，本文用VaR和CvaR来表示其风险。 所谓VaR，即“Value at Risk”的缩写，含义为“在险价值”，是指在给定的市场条件[20]150 与置信水平下，某一金融资产或证券组合在给定的时间区间内的最大期望损失。VaR的最大优点在于测量的综合性，可以将不同市场因子，不同市场的风险集成为一个数，较准确测量由不同风险来源及其相互作用而产生的潜在损失，较好的适应金融市场的动态性，复杂性。 CVaR（conditional value at risk）是在VaR（value at risk）基础上发展出的一种投资风155 险计量方法。许多实证研究表明，尽管VaR方法简单易操作，但有很多缺陷：首先，VaR不满足一致性定理，即用VaR来计量风险，投资组合的风险不一定小于或等于在组合中各种资产分別计量的风险值之和，这违背了风险分散化的市场现象；其次，VaR尾部损失测量的非充分性，它无法考察超过百分位点的下方风险信息；其三，VaR应用的前提必须是[21]债券收益率服从正态分布，这一点要求较为苛刻。 160 为了克服VaR的缺陷，Rockafeller和Uryasev（2000）年提出了条件风险价值[22]——CVaR。CVaR是指投资组合的损失大于某个给定的VaR值的条件下，该投资组合损失的平均值。与VaR相比，CVaR满足次可加性、正齐次性、单调性及转换不变性，因而CVaR是个一致性的风险计量方法，所以越来越受到重视。 根据以上的损失函数L(x,y)和分布密度p(y)，则投资组合的损失不超过某一阈值ς的165 概率是Ψ(x,ς)=p(y)dyp(y)。这时，在置信水平α∈(0,1)下的VaR和CVaR分别∫L(x,y)≤ς为： ς(x)=min{ς∈R:Ψ(x,ς)≥α} （19） α1ϕ(x)=L(x,y)p(y)dy （20） α∫1−αL(x,y)≥ς(x)α3 Student-t copula 170 对于n个债券的投资组合，直到违约时间的多元分布函数是： 1inF(t,K,t,K,t)=Pr{T≤t,K,T≤t,K,T≤t} （21） 01in010i0n对于这个多元分布，非常有用的工具是copula函数。该函数可以分别研究随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构，对边缘分布的选择也不加以限制。并且若对变量作单调增[23]的变换，由copula函数导出的一致性和相关性测度的值不会改变。 - 5 -
ᇏݓ॓ં໓ᄝཌ 175 Sklar定理指出，对于一个具有一元边缘分布F,K,F,K,F的联合分布函数F，一定1in存在一个copula函数C，满足： F(x,K,x,K,x)=C(F(x),K,F(x),K,F(x)) （22） 1in11iinn如果F,K,F,K,F连续，则C唯一，并且： 1in−1−1−1C(u,K,u,K,u)=F(F(u),K,F(x),K,F(x)) （23） 1in11iinn180 实际上，（）和（）意味着copula函数C将F,K,F,K,F给定的边缘分布从联合分1in布函数F所包含的依赖结构中分离出来。它为分析多元分布的相关结构提供了一条便利的途径。所以，许多模型应用copula函数方法表示信用投资组合的依赖结构。如：Li（2000）应用Gaussian Copula函数来说明违约风险，扩展了CreditMetrics模型；Hull和White（2004）[24][25]利用多因子copula模型与傅立叶转换等方法处理违约概率。 185 Copula函数有多元常态Copula（Gaussian Copula），多元Student’s t-copula和多元Archimedean Copulas。本文将应用Student’s t-copula函数来体现联合分布中依赖关系的两个特点：相关性水平和尾部依赖。 设向量X包含n个变量，它们遵循自由度为ν的标准Student’s t分布，并且协方差矩阵ν是R（对于ν>2）。该向量可以表示为： ν−2ν190 X=Y （24） S2其中，S~χ，随机向量Y~N(0,R)，并且它们相互独立。 νn这样，向量Y的copula是自由度为ν的Student’s t-copula。该copula可以表示为： nn−1−1−1C(u)=t(t(u),K,t(u),K,t(u)) （25） ν,Rν,Rν1νiνnνnn其中，t表示随机变量向量Y的多元分布函数，t表示t的边缘，它与公式（）相ν,Rνν,RS195 对应。这样，就可以得到投资组合中各个债券的直到违约时间。 4 Monte Carlo模拟过程 本文将应用MonteCarlo模拟来计算债券投资组合的损失风险。在模拟过程中，对以上所讨论的各个部分进行如下的处理： 风险率和回收率 200 在对风险率的计算中，通常有三种方法：应用评级机构统计的历史违约频率；应用信用差额；应用Merton期权理论方法。这三种方法都有自己的优缺点，如第一种方法无法反应当前信息，并且暗示相同信用等级的债务人违约概率也相同，这与事实不符；第二种方法很难反映出债务人之间的违约相关性；第三种方法有着结构化模型固有的缺点，很难实际应用。 针对以上的分析，本文假设对于一个给定信用等级k的债务人i，每年的风险率h是一i205 个常数，并且该值遵循参数为α和β的Gamma分布，即h~Gamma(α,β)。应用从kkikkGamma分布中得到的风险率，从公式（）中可以得到每个债券的直到违约时间的指数分布函数。该函数与所假设的copula函数的边缘分布相对应。同时，设该分布的均值为h，它i与该信用等级的历史违约频率相对应，这样可以应用公式（）从信用评级机构的信用转移矩- 6 -
ᇏݓ॓ં໓ᄝཌ 阵中得到该均值。并且通过公式（），可以得到每个债券的信用转移边界。 210 应用Gamma分布，不但可以对不同信用等级的债券给定一个不同的风险率，而且对于相同信用等级的债券，风险率也可能是不同的，这种异质性与Kealhofer，Kwok和Weng[26]（1998）等的实证研究结果相符。 当债务人违约时，债券持有者会收到债券面值的一部分。对于面值回收的回收率，本文假设两种情况：（1）给定信用等级k的债务人i，回收率RR遵循均值为μ标准差为σirkrk215 的Beta分布，即RR~Beta(μ,σ)。该分布的参数可以从评级公司对不同优先级债券的irkrk历史统计回收率中得到。（2）债务人i的回收率RR与其风险率h负相关： iiRR=ϖ−ϖln(h)。 i01i其中，所选择的参数ϖ,ϖ>0，并且使0<RR<1。在这两种假设下，因为回收率01i都是随机的，所以回收率风险也将成为一个系统性风险因素。（3）回收率是一个常数。本220 文将比较这三种假设下投资组合的风险测度。 投资组合的分布 由于无法得到债券损失的分布，需要应用MonteCarlo模拟来决定损失分布的形状和它均值，方差，α-VaR和α-CVaR。其中，将模拟M个情景y，y，K，y，每个情景12M1的概率是。 J225 在情景y中，投资组合的损失函数是： jnL(x,y)=L(y)x （26） j∑ijii投资组合的期望损失是： JL(x,y)∑jj=1μ[L(x)]= （27） J投资组合的方差是： J2{L(x,y)−μ[L(x)]}∑jj=12230 σ[L(x)]= （28） Jα-VaR被定义为： ζ(x)=QL(x) （29） αα其中QL(x)是损失分布的α-分位数。 αα-CVaR被定义为： +JJ11235 φ(x)=L(x,y)=ζ(x)+[L(x,y)−ζ(x)] （30） α∑jα∑jαJ(1−α)J(1−α)j=1j=1L(x,y)≥ζ(x)jα其中， +[L(x,y)−ζ(x)]=L(x,y)−ζ(x) 如果 L(x,y)−ζ(x)>0 jαjαjα- 7 -
ᇏݓ॓ં໓ᄝཌ +[L(x,y)−ζ(x)]=0 如果 L(x,y)−ζ(x)≤0 jαjα 模拟过程 240 根据以上对各部分的假设，基于Student’s t-copula的债券投资组合风险模拟分析过程如下： （1）找到投资组合中债务人的相关矩阵R的Cholesky分解Α。当投资组合中只包含很少的债券或贷款的时候，可以简单的假设债务人的信用变动不相关，这样可以很容易的得到信用等级转移联合概率。但对于大型贷款和债券投资组合的分散化绩效进行评测时，就不245 能忽略信用等级变动之间的相关度。CreditMetrics用企业股票价格作为无法直接观察到的实际资产价值的一种近似值，并据此估算债务人资本收益之间的相关度。本文将应用该相关度作为债务人直到违约时间的相关度。应用Cholesky分解法，可以得到相关度的正态方差。 v（2）设x=×A×z。其中，随机变量向量z=(z,K,z)遵循标准正态分布，随1ns2机变量s遵循自由度为ν的χ分布，并且s与z相互对立。 v250 （3）根据公式（）得到边缘分布的边界u=t(x)，i−1,K,n。最后得到的Student’s iviTnt-copula是C(u,K,u)。 v,R1n根据以上对各部分的假设，基于Student’s t-copula的债券投资组合风险模拟分析过程如下： （1）首先，确定每个债务人的直到违约时间的边缘分布，并得到各信用等级的临界值。255 该边缘分布是一个指数分布，其参数是从Gamma分布中产生的一个随机变量，表示该债务人的风险率。应用公式（）得到K+1个可能信用等级状态的临界值。 （2）第二步，按照所介绍的Student’s t-copula得到债务人的多元直到违约时间分布。Copula函数中的第i个随机变量代表对债务人i所模拟的直到违约时间。 （3）对于每个债务人，按照以下规则检察模拟的直到违约时间： 260 （a）如果小于1，说明债务人发生违约。这时按照所假设的三种回收率确定期末债务人违约后债券的回收价值。 （b）否则，说明没有发生违约。用该模拟值与第一步得到的信用等级临界值相比较，以确定该债务人新的信用等级。接着，计算期末债券在该信用等级的远期价值。 （4）对于每次模拟，通过加和得到整个投资组合在期末的总价值。与投资组合中各债265 券在期末不发生信用等级转移的价值和相减，得到投资组合在期末的损失。 （5）重复J次以上步骤，得到投资组合的损失分布。按照该分布，计算损失的均值、方差、α-VaR、α-CvaR。 5 模型在债券投资组合中的应用 数据描述 270 本文假设了一个包含有10个债券的投资组合，对各债券的描述见表1： - 8 -
ᇏݓ॓ં໓ᄝཌ 表1. 投资组合中的债券 275 Bonds of a portfolio 债券 等级 优先级 面值 息票 到期日 V(i) 01 AAA 优先担保债券 7,000,000 % 3 7,587,181 2 AA 优先担保债券1,000,%41,144,1593A优先无担保债券 1,000,000 % 3 1,093,892 4 BBB 优先次级债券1,000,%41,152,0205 BB 次级债券 1,000,000 % 3 1,097,229 6B次级债券1,000,%41,196,5617 CCC 低等次级债券 1,000,000 % 2 977,605 8A优先无担保债券1,000,%41,148,4809 B 次级债券 1,000,000 % 2 1,041,126 10 BBB 优先次级债券1,000,%31,082,121 其中，对各个债券的信用等级的假设采用了标准普尔的评级方法。对于每个债券，可以应用各信用等级的一年期远期零息曲线得到一年后债券在不同信用等级的价值。一年期远期零息曲线如表2所示，根据该表，表3给出了投资组合中各债券1年后的可能价值。 280 表2. 每个信用等级的1年期远期零息曲线（%） Tab. 2 One-year forward interest rate of each rating bond（%） 信用等级 1年2年3年4年 资料来源：CreditMetrics，JP摩根。 285 表3. 一年后债券在不同信用等级时的价值 Tab. 3 bonds value of different rating one-year later 债务人 AAA AAABBBBBB CCC 178690897859143 7830184776680674780867257561 62800902 11964951194597 1189060117733211193721078290 924045311421911140757 1136591112745310858581054119 9129934 12308171228888 1223270121133911524741110767 953308512180891216603 1212313120282011597591127025 9796436 14138691411773 1405724141386913290211283979 1109374713184751317405 1315309130784712797591260321 11168288 12079361206027 1200464118866711304061089116 933800911524841151492 1149535114262811166271098397 96588610 12180891216603 1212313120282011597591127025 979643 从中可以看出，如果1年后各债券的信用等级没有发生改变，则投资组合的总价值为18,473,862。 290 本文采用标准普尔公司的信用转移矩阵形式，如表4。并且根据公式（）计算的各信用等级的风险率期望也包含在该表中。 295 300 - 9 -
ᇏݓ॓ં໓ᄝཌ 表4. 信用等级转移矩阵和风险率期望 Trans-Matrix of credit rating and mean of hazard rate 初始信一年后的信用等级 E(h)i用等级 AAA AA A BBB BB B CCC Default AAA AA A BBB BB B CCC 资料来源：标准普尔的《信用周刊》并整理，1996年4月 305 根据公式（12），可以应用以上的信用等级转移矩阵计算得到不同信用等级的债券一年后在各个信用等级的临界值，如表5所示。 表5. 信用等级的临界值 310 Tab. 5 Default bound of different credit rating 初始信用一年后的信用等级 等级 AAA AA A BBB BB B CCC AAA 4 2 1 AA 2 1 1 1 为了模拟得到各债券的风险率，本文假设如下的风险率和Gamma分布参数表。从表中可以看出，随着信用等级的下降，风险率的均值和方差都在增大，这与Gordy（2000）的分析一致。 315 表6. 风险率及Gamma分布参数 Tab. 6 Hazard rate and parameters of Gamma distribution 等级 均值 方差 参数a 参数b 1 BB CCC 同样，为了模拟不同债券在违约时的回收率，本文采用如下的按照优先级统计的回收率表。根据表中不同优先级债券的均值和方差，本文采用Beta分布得到债券的随机回收率。320 为了反映风险率和回收率之间的负相关关系，本文假设公式（6）中的ϖ=，0ϖ=。在以下的分析中，本文将比较这两种不同假设对投资组合损失风险的影响。 1 表7. 不同优先级债券的回收率 Tab. 7 Recovery rate of different bonds 优先级 均值（%） 标准差（%） 优先担保债券 优先无担保债券 优先次级债券 次级债券 低等次级债券 325 资料来源：Carty&Lieberman（1996）——Moody’s Investors Service - 10 -
ᇏݓ॓ં໓ᄝཌ 最后，需要投资组合中债务人的相关度数据。本文采用CreditMetrics的方法，用企业股票价格作为无法直接观察到的实际资产价值的一种近似值，并据此估算债务人资本收益之间的相关度。具体数值见表8。 330 表8. 债务人间的相关矩阵 Tab. 8 Correlation matrix between debtors 债务人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 模拟结果及分析 首先，本文假设Student’s t-copula中的自由度ν为10，并且对模拟20,000次该过程。根据模拟结果，当考虑风险率和回收率负相关时，债券投资组合的损失分布有以下特征，并335 且一年后债券投资组合价值的均值为：18,169,000。 表9. 风险率和回收率负相关时债券投资组合的损失分布的特征（自由度10） Tab. 9 Loss distribution characteristics of portfolio when there is a negative-correlation between RR and PD ( degree of freedom 10) 均值04,590 (μ3) 标准差(σ543,700 ) 模拟损失分布（20,000次） 正态分布(μ,σ) 置信区间（%） VaR CVaR 置信区间（%）VaR 90 1,039,2002,397,10090 1,001,400951,127,000 2,765,000 951,198,900 1,817,5003,880, 1,370,200992,057,400 4,309,100 991,569,400 2,115,0004,527, 1,705,100340 当假设回收率按照表7的参数是一个Beta分布的随机变量时，债券投资组合的损失分布有以下特征，并且一年后债券投资组合价值的均值为：18,282,000。 表10. 回收率是Beta分布的随机变量时债券投资组合的损失分布的特征（自由度10） 345 Tab. 10 Loss distribution characteristics of portfolio when recovery rate follows Beta distribution ( degree of freedom 10) 均值(μ) 151,390 标准差(σ) 385,920 模拟损失分布（20,000次） 正态分布(μ,σ) 置信区间（%） VaR CVaR 置信区间（%）VaR 90 885,3002,047,80090 646,000951,102,900 2,403,200 95786,200 1,202,6002,669, 907,800991,363,900 3,135,000 991,049,200 1,627,3003,712, 1,145,500 当回收率是一个常数时，本文假设常数的回收率是。这时债券投资组合的损失分布有以下特征，并且一年后债券投资组合价值的均值为：18,256,000。 - 11 -
ᇏݓ॓ં໓ᄝཌ 350 表11. 回收率是常数时（RR=）债券投资组合的损失分布的特征（自由度10） Tab. 11 Loss distribution characteristics of portfolio when recovery rate is a constant RR= ( degree of freedom 10) 均值(μ218,060 ) 标准差(σ414,850 ) 模拟损失分布（20,000次） 正态分布(μ,σ) 置信区间（%） VaR CVaR 置信区间（%）VaR 90 754,4941,805,60090 749,70095882,080 2,162,700 95900,400 1,378,0062,970, 1031,100991,586,977 3,350,300 991,183,100 1,615,1093,544, 1,286,600 比较表9表，10和表11，可以看出假设风险率和回收率负相关时，Var和CVaR的值355 要大于假设随机风险率和常数风险率时的对应值。这说明回收率风险是一个系统性风险因素，它可能引起风险溢价并且应该在信用风险管理应用中受到足够重视，否则会低估相应的信用风险。 表9，表10和表11中还包含了假设债权投资组合的损失按正态分布所得到的VaR，其中正态分布采用了模拟得到的均值和方差。比较模拟结果和假设的正态分布的结果，可以看360 到两者的差别不是很大，说明通过模拟得到的结果与应用CreditMetrics模型得到的结果类似。 为了说明自由度对尾部依赖的影响，本文还应用MonteCarlo模拟得到了自由度ν为3时的结果，如表12所示： 365 表12. 不同自由度的VaR和CVaR（多项式模型和二项式模型） Tab. 12 VaR and CvaR when degree of freedom is different 多项式模型 二项式模型 (v) VaR CVaRVaRCVaR VaR99 CVaR99 2,067,000 2,131,500 4,361,9004,624,3002,065,1002,122,8004,346,400 4,582,20010 2,057,400 2,115,000 4,309,1004,527,8002,064,2002,112,4004,264,100 4,421,900 从表中可以看出，自由度对尾部依赖的影响是较为显著的。表中还包含了二项式模型的风险测度。二项式模型的意义是指没有考虑投资组合中债券的信用等级转移，即在期末债券370 在原信用等级或者发生违约。从上表可以看出，信用等级转移是信用风险的一个主要组成部分。 表13表述了投资组合中，各债券的边际风险贡献，即当债权投资组合中不包含该债券时，单位债券对投资组合损失的方差、VaR、CVaR的改变。 表13. 边际风险贡献 375 Tab. 13 Marginal risk contribution 排除的债务人 边际标准差（%） 边际VaR99（%） 边际CVaR（99%） %% % %% % %% % %- 12 -
ᇏݓ॓ં໓ᄝཌ 根据上表，不同债务对投资组合损失的边际风险贡献从大到小的排序分别为： 表14. 不同债务的边际风险贡献排序（从大到小） Tab. 14 Order of marginal risk distribution of different debts 边际标准差 边际VaR99（%） 边际CVaR（99%） 88834522419310 3 1 410105129596667 7 7 380 从上表可以看出，债券8能够最大限度的减少投资组合损失的方差、VaR及CVaR，而债券6和7的减少效果最差。 6 结论 本文对债券投资组合的信用风险测度提出了一个新的模型。该模型采用了Credit Metrics385 的分析框架，应用简化形式模型方法得到了直到违约时间的边缘分布，并应用Stduent’s t-copula函数考虑了债券之间的相关性。 应用Monte Carlo模拟，本文检验了3种不同回收率假设下的债券投资组合损失的信用风险。从不同置信区间的VaR和CVaR可以看出，当假设回收率和违约概率负相关时，投资组合的损失风险要大于Beta分布的回收率和常数回收率时的损失风险。所以，回收率风390 险是一个系统性风险因素，它可能引起风险溢价并且应该在信用风险管理应用中受到足够重视，否则会低估相应的信用风险。因此，没有仔细考虑违约概率和违约回收率负相关的信用模型可能会造成不充足的银行资本准备，并且造成对金融市场不必要的冲击。这对我国银行业采用高级内部评级法（IRB, internal-rating based approach）有着重要的指导意义。 395 [参考文献] (References)[1] Gupton G M, Finger C and Bhatia M. CreditMetrics-technical Document[R]. New York: JP Morgan, 1997 [2] Wilson T C. Portfolio Credit Risk[J]. Risk, 1997, 10(9): 111-117 [3] Wilson T C. Portfolio Credit Risk (Ⅱ) [J]. Risk, 1997, 10(10): 56-61 [4] Fridson M, Garman M and Okashima K. Recovery Rates: The search for Meaning[R]. Merril Lynch & Co., 400 High Yield Strategy，2000, March [5] Frye J. Collateral Damage Detected[R]. Federal Reserve Bank of Chicago, Emerging Issues Series, 2000, October [6] Jarrow R A. Default Parameter Estimation Using Market Prices[J]. Financial Analysts Journal, 2001, 57(5): 75-92 405 [7] Bakshi G, Madan D and Zhang Frank. Understanding the Role of Recovery in Default Risk Models: Empirical Comparisons and Implied Recovery Rates[A]. Finance and Economics Discussion series. Federal Reserve Board of Governors[C]. Washington D. C., 2001, 37 [8] Jokivuolle E and Peura S. A Model for Estimating Recovery Rates and Collateral Haircuts for Bank loans[J]. European Financial Management, 2003, 9(3): 299-314 410 [9] Altman E, Brady B, Resti A and Sironi A. The link between Default and Recovery Rates: Theory, Empirical Evidence and Implications[R]. NYU Salomon Center, 2003, Series #S-03-4 [10] Mashal R and Naldi M. Pricing Multiname Credit Derivatives: Heavy Tailed Hybrid Approach[R]. USA: Columbia University, 2002 [11] Meneguzzo D and Vecchiato W. Copula Sensitivity in Collateralised Debt Obligations and Basket Default 415 Swaps Pricing and Risk Monitoring[R]. Intesa Bank, 20002 [12] Di Clemente A and Romano C. Measuring and Optimizing Portfolio Credit Risk: a Copula-based Approach[R]. Rome: University of Rome, 2003 [13] Litterman R, Iben T. Corporate Bond Valuation and Term Structure of Credit Spread [J]. Journal of Portfolio - 13 -
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