第一单元 行列式
第 1 次课程教案 2 课时
教 学 内 容 二阶与三阶行列式、排列
教 学 目 标
1.会用对角线法则计算二阶、三阶行列式；
2.会用二阶、三阶行列式求解方程组；
3.会求排列和逆序数.
重 点 难 点
1. 利用三阶行列式解方程组；
2. n 阶排列逆序数的计算.
教 学 条 件
环 境
多媒体教室；粉笔；ppt 课件
教 学 方 式
课堂讲授； 混合式教学；□ 讲授；案例教学； 分组教学；□ 实验演示；□
作业讲评；□ 实践教学；□ 其他活动
教 学 过 程 设 计
教 学 环 节
与 时 间 分
配
教 学 内 容
互 动 设
计
思 政
映 射
点
导 入
（ 5 分 ）
问题引入
（1）线性代数的主要内容是什么？
（2）本学期所学的线性代数与高等数学的区别是什么？它的主
要内容是什么？
（3）初中学过的二元一次方程组，三元一次方程组的解法
学生思考
学生回答
体 会 科
学 的 方
法 论 中
严谨，实
事 求 是
的 重 要
性，培养
科 学 思
维方式
正 文 讲 授
（ 75 分 ）
一．二阶与三阶行列式
行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方
程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．
设有二元线性方程组
(1)
用加减消元法容易求出未知量 x1，x2 的值，当 a11a22 – a12a21≠0 时，
有
(2)
这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，
学生思考
学生倾听
学生回答
特殊到
一般的
哲学思
想
2222121
1112111
bxaxa
bxaxa
21122211
211211
2
21122211
212221
1
aaaa
abba
x
aaaa
baab
x
应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就
是 行 列 式 的 起 源 ． 我 们 称 4 个 数 组 成 的 符 号
为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式
中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代
数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上
两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又
叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．
根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成
， ，
如果记 ， ，
则当 D≠0 时，方程组(1) 的解(2)可以表示成
， ， (3)
象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．
首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位
置而排成的．分子中的行列式，x1 的分子是把系数行列式中的第 1 列
换成(1)的常数项得到的，而 x2 的分子则是把系数行列式的第 2 列换
成常数项而得到的．
例 1 用二阶行列式解线性方程组
对于三元一次线性方程组
(4)
作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号
(5)
为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可
用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，
从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．
21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
222
121
212221 ab
ab
baab
221
111
211211 ba
ba
abba
2221
1211
aa
aa
D
222
121
1 ab
ab
D
221
111
2 ba
ba
D
2221
1211
222
121
1
1
aa
aa
ab
ab
D
D
x
2221
1211
221
111
2
2
aa
aa
ba
ba
D
D
x
23
142
21
21
xx
xx
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
312213332112322311
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
例 2
令 ，
， ．
当 D≠0 时，(4)的解可简单地表示成
， ， (6)
它的结构与前面二元一次方程组的解类似．
例 3 解线性方程组
例 4 已知 ，问 a，b 应满足什么条件？(其中
a，b 均为实数)．
为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入 n
阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．
二．排列
在 n 阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍
排列的一些基本知识．
定义 1 由数码 1，2，…，n 组成一个有序数组称为一个 n 级排
列．
例如，1234 是一个 4 级排列，3412 也是一个 4 级排列，而 52341
是一个 5 级排列．由数码 1，2，3 组成的所有 3 级排列为：123，
132，213，231，312，321 共有 3!=6 个．
数字由小到大的 n 级排列 1234…n 称为自然序排列．
定义 2 在一个 n 级排列 i1i2…in 中，如果有较大的数 it 排在较小
的数 is 的前面(is<it)， 则称 it 与 is 构成一个逆序，一个 n 级排列中
逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作 N (i1i2…in)．
例如， 在 4 级排列 3412 中， 31，32，41，42，各构成一个逆
532
134
212
106201224230
1325)4(123223)4(211532
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D
D
D
x 11 D
D
x 22 D
D
x 33
423
1523
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
0
101
0
0
ab
ba
序数，所以，排列 3412 的逆序数为 N(3412)=4．同样可计算排列 52341
的逆序数为 N(52341)=7．
容易看出， 自然序排列的逆序数为 0．
定义 3 如果排列 i1i2…in 的逆序数 N(i1i2…in )是奇数，则称此排
列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列．
例如，排列 3412 是偶排列．排列 52341 是奇排列． 自然排列
123…n 是偶排列．
定义 4 在一个 n 级排列 i1…is…it…in 中， 如果其中某两个数 is
与 it 对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的 n 级排列 i1…
it…is…in，这样的变换称为一个对换，记作(is，it)．
如在排列 3412 中，将 4 与 2 对换， 得到新的排列 3214． 并且
我们看到：偶排列 3412 经过 4 与 2 的对换后，变成了奇排列
3214． 反之，也可以说奇排列 3214 经过 2 与 4 的对换后，变成了
偶排列 3412．
一般地，有以下定理：
定理 1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变．
定理 2 在所有的 n 级排列中(n≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，
各为 个．
又由于 n 级排列共有 n!个，所以 q + p = n!， ．
定理 3 任一 n 级排列 i1i2…in 都可通过一系列对换与 n 级自然
序排列 12…n 互变，且所作对换的次数与这个 n 级排列有相同的奇
偶性．
因为 12…n 是偶排列，由定理 1 可知，当 i1i2…in 是奇(偶)排列时，
必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数
与排列 i1i2…in 具有相同的奇偶性．
课 堂 小 结
（ 10 分 ）
问题 1 本节课学习了哪几个行列式？
问题 2 为什么要学习行列式？
问题 3 总结逆序数的计算方法
学生回答
透 过 现
象 看 本
质
课 后 作 业
目 标 达 成
度 的 主 要
观 测 点
会用对角线法则计算二阶、三阶行列式；会用二阶、三阶行列式求解方程组；会
求排列和逆序数
教 后 小 结
2
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2
!n
pq
