第 2O卷第 2期
2006年 4月
高等函授学报(自然科学版)
Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences)
VoI_2O No．2
April 2006
文章编号 ：1006—7353(2006)02—0022(06)一02
参数极大似然估计的几点注记
张忠诚
(黄冈师范学院 数学系，湖北 黄州 438000)
摘要：极大似然估计具有很好的性质，在实际中有非常广泛的应用。本文着重探讨了在应用极
大似然估计时所应注意的问题，并给出了相应的解决方法。
关键词 ：参数估计 ；似 然函数 ；唯 一性
中图分类号 ：O211 文献标识码 ：A
参数极 大似然估计[1]最 早是 由高斯 (C．F．
Gauss)所提出的，它是建立在极大似然原理的基
础上的一个统计方法 ，并且所得到的极大似然估
计具有很好 的性质，如一致性 、有效性和不变性 ，
从某种意义上来说没有比极大似然估计更好的参
数估计，极大似然估计方法在实际中有非常广泛
的应用 。对极大似然估计 问题进行深入研究是很
有必要的，文[2]讨论了极大似然估计的一般计
算方法和技巧，本文着重探讨在应用极大似然估
计时所应注意的问题。
1．极大似然估计的几点注记
1．1必须确定出总体分布的概率函数
在进行极大似然估计时，依极大似然估计的
方法，必须构造出相应的似然函数，而似然函数的
构造必须依据总体的分布，因此首先必须确定总
体分布的概率函数。对于离散型总体分布，要求出
离散型随机变量的取值与取该值的概率的解析表
达式；对于连续型总体分布 ，要求出其概率密度。
1．2注意似然 函数的一般形式和特殊形式的转换
设总体X为具有参数 的概率函数{f(x， )：
∈@)，取样本观察值 z。，z。，⋯ ，z ，则：
L(O；x。，z。，⋯，z )一Ⅱf(x ； ) (*)
i = 1
称为关于参数 0的似然函数 。
这里要特别注意(*)式中的样本观察值 z。，
z。，⋯，z ，既可 以是一般的观察值变量 ，也可以是
具体的一组样本观察值。在构造似然函数时，对于
给出的一般样本观察变量很容易按 (*)式直接
写 出似然函数，但 如果给 出的是一组具体的观察
值时，反而不知如何写出似然函数 。因此 ，在实际
应用时应注意(*)式中样本观察值 z。，z。，⋯ ，．27
的意义 。
1．3极大似然估计不一定存在
极大似然估计就是求似然 函数的极 大值点 ，
似然函数是样本的联合分布密度，似然方程是似
然函数的导函数为零的函数。导函数为零的点只
是函数的驻点，而驻点未必是函数的极大值点，所
以似然方程的解未必是极大似然估计 ，也即极大
似然估计不一定存在。因此通过解似然方程的方
法求极大似然估计 时，需要验证似然方程的解是
否是似然函数的极大值点。
1．4极大似然估计不具备唯一性
求参数 的极大似然估计，按定义实际上是依
据样 本观察值 z。，z。，⋯，z 构造 出似然 函数 式
(*)，再求出使(*)式达到最大值的参数 的值，
而使函数值达到最大值的点有时不止一个，如取
常数值的函数。因此，参数的极大似然估计也不具
备唯一性 。
2．举例
例 1 袋中装有黑、白两种颜色而大小、形
* 收稿日期：2006—01—10
基金项目：湖北省教育厅重点项目(2004D001)
作者简介：张忠诚(1963一 )．男，湖北蕲春人，副教授，主要从事概率统计教学及其研究工作。
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状相同的球 。有放回地抽取一个容量为 n的子样 ，
其中有 k个白球。求袋中黑球数和白球数之比R
的最大似然估计。
解 设袋中有 z个 自球 ，则有Rx个黑球 ，因
此袋 中共有(R+ 1)z个球 。从袋中有放 回地抽一
个白球的概率为z／[(R+1)x-l一1／(R+1)，抽一
个黑球的概率为P,x／E(R+1)x-l—R／(R+1)．由
题意可认为总体 X服从两点分布 ：
X 0 1
P 1／(R+ 1) R／(R+ 1)
有放回地抽取一个容量为 n的子样 ，其中有
k个白球，这是一组具体样本观察值，于是得到似
然函数 ：
：== (研1) (南 )
一 垦二：
(R + 1)“’
两边取对数后对R求导数，并令其为零可解得：
= 。
n
— 1．
经验证R是R的极大似然估计。
例 2 设 X ，zz是取 自柯西(Cauchy)分布 ：
f(x； )一 1
丌[1+( c9 ’
O2
，
。 一 —
E
—
(x
— —
l
—
+
— —
x
—
z
—
)
—
+
_
— —
~ ／
-
(x
— —
l
—
-
— —
x
—
2
—
)2
— —
-
— 一
4-]
．
根据极值判断法，由ElnL(O)] 的符号可知：
当 为0的极大似然估计时，O2，。不是 0的极大似
然估计；反之，当O2，。为0的极大似然估计时，01不
是 0的极大似然估计。这说明参数0的极大似然估
计是不唯一的。
例3 设总体 X的概率密度函数为
， 一 J 专≤z≤ 吉，
【0，其他，0是未知参数
(z ，zz，⋯，z )是来自该总体的样本值，求参数 0
的极大似然估计。
解 似然函数为
L( )一IIf(x ， )
一
， 一
1≤ zc ，zcn ≤ +专
．
【0，其他
这里 z(1】一 m
．
in
． xl，x( )一max．~f．由极大似然估
计定义知，0应满足：
0一寺≤X(1】，X( )≤0+百1，
一 。。< <。。 即 zc 一丢≤ ≤z⋯+ 1．
的样本，求参数 。的极大似然估计。
解 似然函数为
L( )一 可1 ，
取对数得
lnL(O)一一ln丌一ln[1+(z1一 ) ]一ln[1+
(z2一 ) ]，
两边对 求导数，并令其为零得
[-lnL(O)-] 一一2(x1+z2—20)[ 一(z1+
X2) +X1z2+1]
== 0
解得 ol一 ，
因此凡满足上述不等式的估计量 都可作为
0的最大似然估计。但当X 一百1> X㈨+ 时，
厶 厶
的极大似然估计不存在。
参 考 文 献
E13魏宗舒．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教
育 出版 社，2001．
Ez]张忠诚．两种情形下参数的极大似然估计[J]．高等
函授学 报(自然科学版)，2005，(2)．
[3]沈恒范．概率论与数理统计[M]．北京 ：高等教育出
版社 ，200i．
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