预 测, FORECASTING 2005年第2期合作竞争博弈及其求解1,2311刘慧宏, 余洁雅, 祁明德, 糜仲春(1.中国科学技术大学商学院,安徽合肥230026;2.宁波大学商学院,浙江宁波315211;3.北京师范大学经济与工商管理学院,北京100875)摘 要:合作竞争已成为当今经济发展战略的大趋势,本文提出合作竞争博弈模型,并给出了有限合作竞争博弈与效用函数可微的无限合作竞争博弈求解均衡的方法。同时对n寡头产量合作竞争进行求解,将合作竞争博弈均衡与竞争博弈均衡及合作博弈均衡做了比较。关键词:合作竞争博弈;效用系数;Kuhn-Tucker定理中图分类号: 文献标识码:A 文章编号:1003-5192(2005)02-0073-03CoopetitionGameandApproachtoSeekItsEquilibrium1,2311LIUHui-hong,YUJie-ya,QIMing-de,MIZhong-chun(,TheUniversityofScience&TechnologyofChina,Hefei230026,China;-nessSchool,NingboUniversity,Ningbo315211,China;&BusinessAdministra-tion,BeijingNormalUniversity,Beijing100875,China)Abstract::coopetitiongame;utilitycoefficient;Kuhn-Tuckertheorem作战略终将被合作竞争战略所替代,因此博弈问题1 引言的研究必须在建模及研究方法上对合作竞争进行随着信息、通信技术、网络以及虚拟组织的发探索和创新。展,企业之间出现了既合作又竞争的现象。合作竞2 合作竞争博弈争首次由Barry和Adam提出,并用博弈论来描述[6][1]包含竞争与合作两个组成部分的现象。随后诸 竞争博弈与合作博弈的比较多学者在各领域研究了合作竞争战略,Bengtsson博弈论研究决策主体的行为发生直接相互作[2]和Kock研究了企业网络的合作竞争;Loebbecke用时的决策及决策的均衡问题。按决策者相互作[3]等人研究了基于合作竞争的知识转移理论用的行为方式可以分为竞争博弈、合作博弈和合作;[4]竞争博弈。竞争博弈讨论单个参与人的可能行动Piescik研究了网络与医疗中心的合作竞争;[5]Hausken和Stavange研究了团队间合作竞争。集合及其可能结果(行动组合)的偏好关系;每个行其实动由参与人自主采用。合作博弈讨论参与人群的,合作和竞争研究历史已久,合作就是通过利他达到利己的目的,将自利整合为共同实现的目联合行动集合族,不考虑参与人群内部的相互作标用,博弈结果形成的联盟及其所采取的联合行动不,竞争使自利成为一场争输赢的斗争。合作竞争是同一关系的两个方面,合作是手段,竞争是目的依赖于联盟形成的细节。,联盟成员通过合作获得最大收益并保持和扩大自竞争博弈均衡表明,由于参与人仅仅考虑自己己的竞争优势。的利益,往往形成两败俱伤的结果。合作博弈则通随着合作竞争日益成为生产制造、商业贸易、过合同、威胁、承诺以获得较高水平的效用,因为没技术开发等各领域的发展战略,完全竞争与完全合有考虑参与人的个人利益,使联盟往往被违背合同收稿日期:2004-03-07·73·
, 预 测 2005年第2期或承诺等行为破坏,威胁更是不起什么作用。为解动组合。因此我们用穷举法来求解有限合作竞争决这对矛盾,本文提出合作竞争博弈方法,使参与博弈均衡:人在竞争环境中形成联盟,自利的联盟成员选择较(1)将效用函数标准化为效用系数函数;好的联合行动,形成具有稳定均衡解的联盟。(2)找出各战略行动组合x∈X下各参与人 合作竞争博弈模型中最小的效用系数uc(x)=minuc(x);i-i∈N合作竞争博弈建立在个人偏好基础上,以竞争(3)从各最小的效用系数uc(x)中选出最大值-博弈为微观基础。其基本要素是:参与人的可能行*uc(x)=maxuc(x);动集合及参与人关于博弈可能结果的偏好关系。x∈X-*定义x就是所求的合作竞争博弈均衡。1 一个合作竞争战略博弈<N,(Xi),(uc)>包括:(1)有限集合N(参与人集合);(2)参 效用函数可微的无限合作竞争博弈求解i与人i∈N的非空行动战略集合X(对参与人i有i对于无限合作竞争博弈,由于战略行动组合是效的行动集合);(3)参与人i∈N在集合X=无限的,无法采用穷举法求解博弈均衡。对无限合×j∈NX上的偏好关系>(参与人i的偏好关ji作竞争博弈中的一类效用函数可微的无限合作竞系争博弈,我们将其求解问题转化为一个非线性规划),用对效用函数u标准化后的效用系数函数i[7]uc∶X→R表示偏好关系,只要x>y,就有uc来求解。iii由上面的讨论我们可以知道,解合作竞争均衡(x)>uc(y)。i如果每个参与人i的行动战略集合X有限相当于最优化:maxminuc(x),即,iix∈Xi∈N则称为有限合作竞争博弈。参与人行动战略集合P1 maxmin{uc(x),…,uc(x)}1nx∈X形成的凸多胞体称为行动空间。效用函数ui标准这是个不可微规划问题,我们将它转化为等价化是指参与人在各种战略组合中的效用与其在所的可微规划问题P2,P2是个经典的非线性规划问用战略组合中最高效用的比,因此效用系数函数题。uc表示参与人对相应行动战略组合的满意程度。iP2 maxV有时参与人的偏好很自然的过渡到结果集合≤uc(x), i=1,…,ni上而不是行动战略组合本身。我们引进结果集合x∈XC、联系结果与行动战略组合集合的函数g∶X→P2的Lagrange函数是C,以及C上的偏好关系集合>。在博弈中每个in参与人的偏好关系>被定义为:x>y当且仅giiL(V,x)=V+λi(uci(x)-V)∑i=1(x)>ig(y)。n定义2 合作竞争战略博弈<N,(X),(uc)>ii此处可限制λ≥0,i=1,…,n;λ=1。ii∑i=1*的均衡是某个战略行动组合x∈X,满足:minuci**i∈N若V,x是P2的最优解,则根据Kuhn-***(x)=maxminuc(x)。达到合作竞争博弈均衡iTucker必要条件可知:存在λ,…,λ满足1nx∈Xi∈Nn的战略称为合作竞争均衡战略,该战略对应的效用****** L(V,x)= [V+λ(uc(x)-V)]=0,ii∑组合称为合作竞争均衡效用。i=1n合作竞争博弈的均衡满足:给定所有参与人的λ≥0,i=1,…,n;λ=1。ii∑偏好,各参与人先找到自己在各种战略组合下的最i=1**小效用系数,再在所有最小效用系数中选择较高效由此得知,若对某i∈N有V<uci(x),则*用系数所对应的战略。合作竞争均衡是参与人选λ=0。i***择最多战略中的一个,均衡状态处较多参与人获得令I(x)={i|uc(x)=V},可知Kuhn-i较高的效用系数,参与人在博弈均衡处达到势均力***Tucker条件是:存在λ,i∈I(x),满足λ≥0,ii敌的稳定状态。***λi=1,λi uci(x)=0。∑∑**3 合作竞争博弈求解i∈I(x)i∈I(x)*特别称满足i∈I(x)的uc(x)≥V为 有限合作竞争博弈求解由合作竞争博弈均衡的定义可知,合作竞争博的有效约束。弈均衡战略的决策准则是:均衡战略是所有参与人由此可对非线性规划P2设法求解,P2的解是*最小效用系数中的最大效用系数所对应的战略行x就是所求的合作竞争博弈均衡。·74·
刘慧宏,等:合作竞争博弈及其求解n4 n寡头的合作竞争博弈4x(a-x-c)ii∑ 问题描述i=1uci(x)==02假定市场上有n家寡头企业,企业i的产量(a-c)为(2)若(nλi-1)=0,则λi=1/n,结合∂L/∂xix∈X,成本为C(x)=cx(c>0,x>0),逆iiiiiin需求函数为P(x)=a-(x+…+x)(P>0为1n=0,可以求得x=(a-c)/2,uc(x)=2x/iii∑价格i=1,a>0为市场潜在需求量),利润为u(x)=i(a-c)。又因为λ1=…=λn=1/n≠0,所以uc1Px-C(x)。他们通过合作竞争产量战略最大iii2x12xn化效用系数。企业、产量决策、产量决策组合、利润=…=uc=maxV,即=…=,显然xn1a-ca-c就是合作竞争博弈中的参与人、行为决策、结果和a-c=…=xn=。此时效用,根据定义可得到效用系数函数。企业i垄断2n2n时获得最大利润为(a-c)/4,则效用系数函数为4xi(a-xi-c)∑Pxi-Ci(xi)i=11 uc(x)=iuc(x)==2i2(a-c)/4n(a-c)n*结合(1)与(2)可知,该合作竞争博弈均衡点为x4x(a-x-c)ii∑i=1a-ca-c*=, i=1,…,n=(,…,),对应的均衡效用为u=22n2n(a-c)22(a-c)(a-c) 博弈均衡求解(,…,)。4n4n求解n寡头的合作竞争博弈均衡相当于最优 合作竞争均衡与Nash均衡及合作均衡之间n的比较4xi(a-xi-c)∑i=1n寡头产量博弈的完全竞争下的Nash均衡为化:maxmin,即2x∈Xi∈N(a-c)a-ca-cnx=(,…,),对应的均衡效用为uNashNashn+1n+1P3 maxmin(x1(a-xi-c),…,∑x∈X22i=1(a-c)(a-c)n=(,…,);n寡头产量博弈的完22(n+1)(n+1)x(a-x-c))ni∑i=1a-ca-c全合作时的均衡为xcooperation=(,…,),2n2nP3可以转化为可微的非线性规划问题2(a-c)P4 maxV对应的均衡效用为u=(,…,≤x(a-x-c),i=1,…,nii∑(a-c)*)。对各种均衡效用进行比较得到,u=i=124nx∈Xu≥u。cooperationNashP4的Lagrange函数是通过比较可以发现,相对完全竞争战略而言,nnL(V,x)=V+∑λi(xi(a-xi-c)-V)合作竞争战略能给企业带来更大的利润,使其获得∑i=1i=1更大效用;与完全合作战略相比,合作竞争战略与由Kuhn-Tucker定理可得完全合作战略给企业带来的利润是相同的,但合作nn∂L/∂x=-λx-λx+λ(a-c)=0iikkki竞争战略在联盟之初就确定了各企业产量和利润∑∑k=1k=1n战略,解决了完全合作中可能出现的因产量和利润 (∂L/∂xk-∂L/∂xi)∑分配而解体的弊端。无论从问题建模还是研究方k=1nn法上,合作竞争具有很大优越性。当今企业发展趋 =(λ-λ)(x-(a+c))ikk∑∑势是既合作又竞争,几乎不存在完全竞争或完全合k=1k=1nn作,因此,合作竞争博弈及其求解具有现实意义。 =(xk-(a+c))(nλi-λk)∑∑5 结论k=1k=1n本文对比了竞争博弈与合作博弈的优劣,建立 =(x-(a+c))(nλ-1)=0ki∑k=1了合作竞争博弈模型;并对有限合作竞争博弈与效n用函数可微的无限合作竞争博弈,给出了求解均衡(1)若xk-(a+c)=0,则∑k=1(下转第72页)·75·
