第 5 章 一元微分学的理论与应用
三个微分中值定理，它们具有明显的物理意义和几何意义.Taylor 公式称得上是一
元函数微分学的理论顶峰，各种余项的精确表示为很多问题的解决指明了方向。
微分中值定理
质点的直线运动与微分中值定理
取定坐标系，则质点 M 的直线运动是在数轴 Ox 上的左右往复运动，其位移 x(t)
关于时间 t 连续，位移 x(t) 关于时间 t 可导，速度 v(t) = x′(t)。
通过观察，以下三个事实是成立的：
第一，在时段 (t0 − ∆t, t0 + ∆t) 内，若位移 x(t) 在时刻 t0 处“最大”(即时段
(t0−∆t, t0+∆t)内距离参照点 o最远)，而 t0 之前、之后的任一时刻 t，质点位移 x(t)
都小于 x(t0)，则运动在 t0 时方向改变，即速度符号改变。因此，在时刻 t0 处，速度
v(t) = x′(t0) = 0 时，才能实现方向的改变。
第二，任取质点 M 非静止的时段 [t1, t2]，若运动位移 x(t) 在初时刻 t1 和末时刻
t2 处相同，即 x(t1) = x(t2)，则 [t1, t2] 内，有质点 M 距离原点 O 最远或最近的时刻，
记为 t = ξ，则 ξ ∈ (t1, t2) 且速度 x′(ξ) = 0。
第三，更一般地描述上一事实，任取质点 M 非静止的时段 [t1, t2]，则在此时间
段之内总有时刻 t = ξ，使质点 M 的瞬时速度 v(ξ) 等于该时段内的平均速度，即在
ξ ∈ (t1, t2) 处有 v(ξ) = x′(ξ) =
x(t2)− x(t1)
t2 − t1
。
以上三个事实的观察，分别对应著名的 Fermat 定理、Rolle 中值定理和 Lagrange
中值定理，准确地叙述并证明它们，需要以下概念。
定义 . 设 f(x) 在某 U(x0, δ) 内有定义，若在 U(x0, δ) 内恒有 f(x) ≤ f(x0)，
则称 x0 为 f(x) 的极大值点，f(x0) 称为它的极大值；若在 U(x0, δ) 内恒有 f(x) ≥
f(x0)，则称 x0 为 f(x) 的极小值点，f(x0) 称为它的极小值.
若上述不等号严格成立，则称 f(x0) 为严格极大 (小) 值。
极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。
定理 . (Fermat 定理) 设函数 f(x) 在 U(x0, δ) 中有定义. 若 x0 是 f(x) 的极
值点，且 f ′(x0) 存在，则 f
′(x0) = 0.
证明 : 不妨设 f(x0) 为极大值，则当 ∆x > 0 且 x0 +∆x ∈ U(x0, δ) 时，有
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
≤ 0,
令 ∆x → 0+，得 f ′(x0) ≤ 0。当 ∆x < 0 且 x0 +∆x ∈ U(x0, δ) 时，又有
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
≥ 0,
令 ∆x → 0−，又得 f ′(x0) ≥ 0。综上所证，得 f ′(x0) = 0。
注 . 方程 f ′(x) = 0 的解 x0 称为函数 f(x) 的驻点。Fermat 定理的逆不成立，
因为在 x = 0 处考察 y = x3 可知，驻点不一定是极值点。
从几何上看，当 y = f(x) 在 x0 处取极值时，若该函数的图像在点 (x0, f(x0)) 处
存在切线，则该切线一定是水平的。
定理 . 设 f(x) ∈ C[a, b]，在 (a, b) 内可导，则
(1) 当 f(a) = f(b) 时，存在 ξ ∈ (a, b)，使 f ′(ξ) = 0；
(2) 存在 ξ ∈ (a, b)，使 f ′(ξ) =
f(b)− f(a)
b− a
.
证明 : (1) 因为 f(x) ∈ C[a, b]，故 f(x) 在 [a, b] 上有最大值 M 与最小值 m.
当 M = m 时，f(x) 在 [a, b] 上为常值函数，从而 f ′(x) ≡ 0, ∀x ∈ [a, b]，取 (a, b)
中任一点作为 ξ 均可。
当 M > m 时，M 与 m 至少有一个不等于 f(a) = f(b)，不妨设 M > f(a)。于
是，存在 ξ ∈ (a, b)，使 f(ξ) = M，从而 ξ 为 f(x) 的一个极值点。
注意到 f ′(ξ) 存在，则由 Fermat 定理，f ′(ξ) = 0。
(2) 由函数 f(x) 和过点 (a, f(a)) 和 (b, f(b)) 的直线方程，作函数
F (x) = f(x)−
(
f(a) +
f(b)− f(a)
b− a
(x− a)
)
,
则 F (x) 满足 (1) 中条件，故存在 ξ ∈ (a, b)，使 F ′(ξ) = 0，此即结论。
以上定理的 (1)(2)分别称为 Rolle中值定理和 Lagrange中值定理，且 (2)中 F (x)
常称为辅助函数。
例 . 设 f(x), g(x) 在 [a, b] 上二阶可导，任给 x ∈ (a, b)，g′′(x) 6= 0，且 f(a) =
f(b) = g(a) = g(b) = 0，则存在 ξ ∈ (a, b)，使
f(ξ)
g(ξ)
=
f ′′(ξ)
g′′(ξ)
。
证明 : 首先在 (a, b) 上，g(x) 6= 0。若不然，设 x0 ∈ (a, b) 使 g(x0) = 0，则由
定理(1)，存在 η1 ∈ (a, x0) 和 η2 ∈ (x0, b)，使 g′(η1) = g′(η2) = 0。于是，存在
η0 ∈ (η1, η2) ⊆ (a, b)，使
(
g′(x)
)′|x=η0 = 0，即 g′′(η0) = 0，矛盾。
进而，令 F (x) = f ′(x) · g(x) − f(x) · g′(x)，则 F (x) ∈ C[a, b]，在 (a, b) 内可
导，且 F (a) = F (b) = 0。于是，由定理(1)，存在 ξ ∈ (a, b)，使 F ′(ξ) = 0，即
f ′′(ξ) · g(ξ)− f(ξ) · g′′(ξ) = 0。由此结论成立。
例 . 证明：当 x > −1 且 x 6= 0 时，有
x
1 + x
< ln(1 + x) < x.
证明 : 对 ln(1 + x)，在 0 和 x 之间应用 Lagrange 中值定理，得
ln(1 + x)
x
=
ln(1 + x)− ln 1
x− 0
= (ln(1 + x))′|x=ξ =
1
1 + ξ
,
其中 ξ 在 0 和 x 之间. 再注意到当 x > 0 时，有
1
1 + x
<
1
1 + ξ
< 1; 且 −1 < x < 0
时，有 1 <
1
1 + ξ
<
1
1 + x
，则所证不等式成立.
例 . 任意取定 α ∈ (0, 1)，则 f(x) = xα 在 [0,+∞) 上一致连续.
证明 : 由于 f(x)在 [0,+∞)上连续，因此它在 [0, 2]上一致连续.于是，任给 ε > 0，
存在 δ1 > 0，使当 x1, x2 ∈ [0, 2] 且 |x1 − x2| < δ1 时，有
|f(x1)− f(x2)| < ε.
另一方面，因为 f ′(x) = αxα−1 在 [1,+∞) 上严格单减，故
|f ′(x)| ≤ α < 1, ∀x ∈ [1,+∞).
于是，任给 x1, x2 ∈ [1,+∞)，应用 Lagrange 中值定理，得
|f(x1)− f(x2)| = |f ′(ξ)(x1 − x2)| ≤ |x1 − x2|,
即对给定的 ε，取 δ2 = ε，则当 x1, x2 ∈ [1,+∞) 且 |x1 − x2| < δ2 时，有
|f(x1)− f(x2)| < ε.
现取 δ = min{δ1, δ2, 1}，则任给 x1, x2 ∈ [0,+∞)，当 |x1 − x2| < δ 时，一定有
x1, x2 ∈ [0, 2] 或 x1, x2 ∈ [1,+∞)，从而 |f(x1)− f(x2)| < ε。
于是，f(x) 在 [0,+∞) 上一致连续.
注 . 从以上证明可知，若函数在某区间上的导数有界，则它在该区间上一致
连续. 反之，即使导数存在，一致连续的函数也不一定导数有界.
也可以用平面上曲线的变化说明微分中值定理，这称为微分中值定理的几何意义：
在定理的条件下，至少在一点 ξ ∈ (a, b) 处，曲线 y = f(x) 的切线平行于其端点
的连线 (图，图)。这样的 ξ 可能不止一点，但求解往往十分困难。
图 Rolle 定理示意图 图 Lagrange 定理示意图
此外，具体应用时，常需要固定一点 a，为此改写定理(2)为f(a+h)− f(a) =
f ′(ξ)h,
其中 ξ 在 a与 a+h之间，h则根据需要取正数、负数。进而，若令 θ =
ξ − a
h
∈ (0, 1)，
则 ξ = a+ θh，且有微分中值公式f(a+ h) = f(a) + f ′(a+ θh)h.
中值定理的进一步说明与推广
由微分中值定理，可得以下结论，它们刻画了原函数的本质特征及其相互之间的
共性，是不定积分的理论基础。
定理 . (1) 设函数 f(x) ∈ C[a, b]，且在 (a, b) 内可导. 若 f ′(x) ≡ 0，则存在常
数 C 使 f(x) ≡ C；
(2) 设函数 f(x), g(x) ∈ C[a, b]，且在 (a, b) 内可导. 若 f ′(x) ≡ g′(x)，则存在
常数 C 使 f(x) ≡ g(x) + C。
证明 : (1) 任给 x ∈ [a, b]，在 [a, x] 上应用 Lagrange 中值定理知，存在 ξ ∈ (a, x)，
使 0 = f ′(ξ) =
f(x)− f(a)
x− a
。取 C = f(a)，则 f(x) ≡ C.
(2) 对 f(x)− g(x) 应用 (1) 即可.
Lagrange中值定理可以推广至参数方程决定的函数，从而有 Cauchy中值定理，为
此需要如下两个引理，第一个是著名的导函数介值定理。
引理 . 设函数 f(x) 在 [a, b] 上可导，f ′+(a) 6= f ′−(b)，则任给 f ′+(a) 与 f ′−(b)
之间的数 η，存在 ξ ∈ (a, b)，使 f ′(ξ) = η.
证明 : 先假设 f ′+(a) > 0，f ′−(b) < 0，η = 0.
根据定义，由 f ′+(a) > 0 知存在 δ1 > 0, 使
f(x) > f(a), ∀x ∈ [a, a+ δ1];
同理，由 f ′−(b) < 0 知存在 δ2 > 0，使得任给 x ∈ [b− δ2, b]，有 f(x) > f(b).
此外，由最值定理，记 M = maxx∈[a,b] f(x)，则存在 ξ ∈ (a, b)，使 f(ξ) = M . 由
上所证 ξ 6= a, b，故由 Fermat 定理得 f ′(ξ) = 0.
同理可证 f ′+(a) < 0, f
′
−(b) > 0，和 η = 0 的情形。
对一般情形，构造辅助函数 F (x) = f(x)− ηx。则由 f ′+(a) 6= f ′−(b) 知
F ′+(a) = f
′
+(a)− η, F ′−(b) = f ′−(b)− η
异号，故存在 ξ ∈ (a, b)，使 0 = F ′(ξ) = f ′(ξ)− η，即 f ′(ξ) = η。
导函数尽管有介值性，但是却不一定连续。一般说来，这类函数不会是初等函数，
如 f(x) =
{
x2 sin
1
x
, x 6= 0,
0, x = 0.
易知，f ′(x) 在 x = 0 处不连续。
由引理，结合反证法易证如下引理。
引理 . 设 f(x)在区间 I 上可导，且 f ′(x) 6= 0, ∀x ∈ I，则在 I 上恒有 f ′(x) > 0
或者 f ′(x) < 0，从而 f(x) 在 I 上严格单调。
定理 (Cauchy 中值定理). 若函数 f(x), g(x) ∈ C[a, b]，在 (a, b) 内可导，且
g′(x) 6= 0，则存在 ξ ∈ (a, b)，使
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)
=
f ′(ξ)
g′(ξ)
. ()
注 . 上述得到 f
(
g−1(s)
)
的过程称为参数方程消参。因为显函数是特殊的参
数方程，故 Lagrange 中值定理是 Cauchy 中值定理的特例。显然，()中允许
b < a，且仍有唯一的 θ ∈ (0, 1) 使 ξ = a+ θ(b− a)。
证明 : 由引理，g′(x) 6= 0蕴涵着 g(x)在 [a, b]上严格单调，不妨设 g(x)在 [a, b]
上严格单增。从而，由反函数定理，在闭区间 [g(a), g(b)]上，g(x)的反函数 x = g−1(s)
存在、可微且
(
g−1(s)
)′
=
1
g′(x)
∣∣∣
x=g−1(s)
.
令 u(s) = f
(
g−1(s)
)
, 则由复合函数的连续性、可微性定理，u(s) ∈ C
[
g(a), g(b)
]
且在
(
g(a), g(b)
)
上可微。从而由定理(2)，存在 η ∈
(
g(a), g(b)
)
，使
u′(η) =
u
(
g(b)
)
− u
(
g(a)
)
g(b)− g(a)
.
由链式法则和反函数的导数，得
u′(s) = f ′(x)
∣∣
x=g−1(s)
·
(
g−1(s)
)′
= f ′(x)
∣∣
x=g−1(s)
·
1
g′(x)
∣∣∣
x=g−1(s)
,
记 ξ = g−1(η)，则 ξ ∈ (a, b) 且
u′(η) = f ′
(
g−1(s)
)∣∣
s=η
·
1
g′
(
g−1(s)
)∣∣∣
s=η
=
f ′(ξ)
g′(ξ)
.
再由 u(s) 的定义，显然有 u
(
g(b)
)
= f(b), u
(
g(a)
)
= f(a)，从而
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)
=
u
(
g(b)
)
− u
(
g(a)
)
g(b)− g(a)
= u′(η) =
f ′(ξ)
g′(ξ)
.
显然，若 f(x) 和 g(x) 满足定理的条件，则关于 sOt 面上的曲线段
(s, t) =
(
g(x), f(x)
)
(x ∈ [a, b]),
存在 ξ ∈ (a, b) 使得点
(
g(ξ), f(ξ)
)
处的切线平行于点
(
g(a), f(a)
)
和
(
g(b), f(b)
)
的连
线。此即 Cauchy 中值定理的几何意义。
例 . 证明: 任给 x ∈ R\{0}，有 arctanx+ arctan
1
x
≡
π
2
.
证明 : 令 f(x) = arctanx+ arctan
1
x
，则任给 x ∈ R\{0} 有
f ′(x) =
1
1 + x2
+
1
1 + 1
x2
·
−1
x2
≡ 0.
于是由定理(1) 知 f(x) ≡ C，而 f(1) =
π
2
，故结论成立.
例 . 设 a > 0, f(x) ∈ C[a, b], 在 (a, b) 内可导 , 则存在 ξ ∈ (a, b), 使
2ξ ·
(
f(b)− f(a)
)
= (b2 − a2)f ′(ξ).
证明 : 令 g(x) = x2，应用 Cauchy 中值定理，存在 ξ ∈ (a, b)，使
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)
=
f ′(ξ)
g′(ξ)
,
注意到 g′(ξ) = 2ξ，整理即得结论。
