第6讲 切比雪夫不等式与大数定律
第4章 数字特征与极限定理
经济数学—概率论与数理统计（慕课版）
第6讲 切比雪夫不等式与大数定律
概率论与数理统计的研究内容是随机现象的统计规律性，而随
机现象的规律性是通过大量的重复试验才呈现出来的.
研究大量的随机现象，常常采用极限方法，利用极限定理进行
研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:
大数定律与中心极限定理.
2
本讲内容
01 切比雪夫不等式
大数定律02
设随机变量 X 的期望E(X)与方差 D(X)存在，则对于任意实数 > 0,
或
理论价值 证明大数定律等等
实用价值 估计概率
切比雪夫不等式
01 切比雪夫不等式
4
由切比雪夫不等式可以看出，若方差越小，则事件
的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.
由此可体会方差的概率意义：
它刻划了随机变量取值的离散程度.
01 切比雪夫不等式
5
某车间生产一种电子器件，月平均产量为9 500只，方差为10 000
只，试估计车间月产量为9 000至10 000只之间的概率．
设X 表示车间月产量，则
由切比雪夫不等式可得
车间月产量为9 000至10 000只之间的概率超过
例
解
01 切比雪夫不等式
6
设X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和
4，而相关系数为－，则
例
解
由切比雪夫不等式
01 切比雪夫不等式
7
本讲内容
01 切比雪夫不等式
大数定律0202
大量的随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景：
大量抛掷硬币正面出现频率 产品的废品率
大数定律
02 大数定律
9
在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性
大量的随机现象的平均结果具有稳定性
概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理，称为大数定律（law of large number)
大 数 定 律
02 大数定律
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大数定律为概率论所存在的基础 ——“概率是频率的稳定
值”提供了理论依据，它以严格的数学形式表达了随机现象最
根本的性质之一：平均结果的稳定性。它是随机现象统计规律
的具体表现，也成为数理统计的理论基础。
02 大数定律
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设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数, p 是每次试
验中 A 发生的概率, 则
有
或
依概率收敛频率 p
伯努利大数定律
02 大数定律
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在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率“稳定于”
事件A在一次试验中发生的概率
在 n 足够大时, 可以用频率近似代替 p .
这种稳定称为依概率稳定.
给概率的统计定义提供了理论依据
如命中率等
伯努利大数定律的意义
理论价值
实用价值
02 大数定律
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且具有相同的数学期望和方差
则 有
或
相互独立，设随机变量序列
且具有数学期望相互独立同分布，设随机变量序列
切比雪夫大数定律
辛钦大数定律
02 大数定律
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当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.
具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值
依概率收敛于数学期望.
算术
均值
数学
期望
近似代替可被平均数法则
定理的意义
02 大数定律
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因此根据大数定律有
依概率收敛于
例
02 大数定律
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学海无涯，祝你成功！
概率论与数理统计（慕课版）
