风险测量的Va R及 CVaR方法的对比研究
郑玉仙
(浙江水利水电专科学校，浙江杭州 310018)
【摘 要】 VaR是当今非常流行的一种风险管理工具，但当分布是非正态或不连续的时候，VaR没有稳定性；当数据
量较大时，VaR的计算很困难；当分布 函数是高维时，VaR并不可行。而 CVaR具有稳定性、凸性、次可加性，很好地克服了
VaR的缺点，而且由于 CVaR考虑了尾部的情况，因此比VaR更准确、更保险。CVaR是比VaR更好的风险管理工具。文章还指
出了当分布是正态分布时，则 VaR、CvaR和均值一方差理论有相同的最优解。
【关 键词】 VaR；CVaR；凸性；次可加性；正态分布
【中图分类号】F830．9 【文献标识码】A 【文章编号】1004—2768(2010)04—0146—02
在当今金融全球化和自由化的背景下，金融机构所从事的
业务范围都在不断扩大，承担的风险也越来越广泛、越来越复
杂。而以往的风险衡量技术，如标准差 、B系数、久期和delta等
方法都只能适应特定的金融工具或在特定的范围内使用，不能
综合反映风险承担情况。VaR适应当前风险管理的需要，是以
规范的统计技术全面衡量市场风险的方法，现已成为测量市场
风险的一种主流方法。
按照 Philippe Jorin的权威定义，VaR衡量在正常的市场条
件下，给定一定的时间区间和置信度水平，测度最大预期损失
的方法，即在一定的概率水平下 ，某一金融资产或证券组合在
未来特定的一段时间内(如一天、一周、一年)的最大可能损失 ，
可表示为prob(Ap>VaR)=1一 ，其中 △D为证券组合在持有期
△t内的损失，VaR即为置信水平 下的风险价值。例如，某一
基金在 95％的概率下其日VaR为 1 000 000美元 ，就是说在一
天的贸易中该基金只有 5％的可能其损失会超过 1 000 000美
元。VaR作为风险度量方法有很多吸引人的地方，如概念简单、
易于理解 ，能直接比较面临不同风险的不同工具之间的相对风
险度，同时还为高层管理者在风险一收益基础上评价业绩、资
本配置、风险限额等方面提供了简单的方法。但VaR也存在某
些缺陷，如缺乏次可加性，即投资组合的风险不一定小于各投
资工具的风险之和 ，另外，基于 VaR对投资组合进行优化时，
可能存在多个极值，局部最优解不一定是全局最优解。尤其当
分布是非正态或不连续的时候，VaR没有稳定性；当数据量较
大时，VaR的计算很困难；当分布函数是高维时，VaR并不可
行。而 2000年以后出现的 CvaR(Conditional Value—at—Risk)则
弥补了VaR的缺陷。
一
、VaR和 CVaR的定义
设损失函数X(a，b)：R ×R“一R，其中a是投资组合，b是
收益率，其概率密度是 P(a，b)：R“XRn—R，则损失函数的分布
是 1lr(‘)=p{X(a，b)≤f}。为了方便 ，在不影响问题本质的同时，
我们把投资组合a看成一个资产，b为这个资产的收益率，即
a，b∈R，并记X=X(a，b)，其概率密度为p(x)，分布函数1l，x)；
定义集合 x( )=fx R， (x)≥ }。
定义 1(仅一VaR)‘0I(X)=min{x∈X(ct)}=min{x∈R： (x)≥0【)。
定义 2(仅一CVaR) (x)E =E(xIx(0【))，即 一Tail的条件
期望。
引进示性函数 1 x)=【01,
．
x
琏
E
，由条件期望的性质，p(X
(0【))4) (x)=E【x‘1 ( )(x)]，即 (x)=— l_ E[x 1 ( )(x)】。
二、CVaR是比VaR更好的风险管理工具
定理 1 CVaR满足次可加性，很好的弥补了VaR处理高
维情形的不足。
定义3(CVaR的次可加性)a．，a 为任意两个投资，其损失
分别为随机变量 x，Y，则 ：
(X+Y)≤- (X)+ (Y)
证明：记随机变量 Z=X+Y，由定义 2知：
(x)= E[x 1 )(x)】，从而：
(1一 )【 (x+Y)一 (X)一寸) (Y)】
=E【zl )(Z)一x。lⅪ )(X)一y’14 )(Y)]
=E【x·1 )(z)一x·1Ⅺ )(x)]+E【y·1d )(z)一y·14 )(Y)】
=E[x·(1《 )(z)一1Ⅺ )(x))]+E[y·(1 )(z)一14 )(Y))】
当x>‘ (x)时，1Ⅺ )(x)=1，1d )(z)一14 )(x)≤0
当x<‘ (X)时，1Ⅺ )(x)=0，1 )(z)一14 )(x)≥0
所以E[x·(1 )(Z)一1Ⅺ )(x))】
≤E[‘ (X)·(1 )(z)一1《 )(x))]
=‘ (X)·E【(1 )(z)一1Ⅻ )(x))】
=‘ (X)·(E【(1 )(z)]-E【lⅪ )(x))】)
= ∈ (X)‘【(1-(x)一(1—01)】=0
同样 E[y·(1 )(z)一14 )(Y))】≤0，所以：
(1-o~)[qb (X+Y)一4) (X)一4) (Y)】≤0
即 (X+Y)≤ (X)+ (Y o
反例 ：VaR的非次可加性
【收稿日期】2005—03—22
【作者简介】郑玉仙(1972一)，女，浙江绍兴人，浙江水利水电专科学校副教授，研究方向：风险度量、银行风险控制。
VaR不满足次可加性。假设市场上有 100种债券 ，这些债
券的持有期都为 1年，债券的票面利率、持有到期收益率和违
约率都分别为 3％、3％和 1％，违约概率相互独立。若某投资者
拥有 100万元的现金 ，100种债券各投资 1万元，形成投资组
合 A。在组合中，只要有其中三种或三种以上的债券违约，投资
者就有损失，该投资者损失的概率是 1-0．99100__c 1
。。
×0．99 ×
0．O1一c： ×0．99”×0．O1‘ 7．9％，因此在95％的置信度下其
VaR大于 0；若该投资者将 100万元现金全部投资于某一债
券 ，形成组合 B，由于债券的违约概率为 l％，故在 95％的置信
度下起 vaR为 一3 000。组合 B优于组合 A，这显然与Markowitz
的分散投资理论是背道而驰的。
定理 2 cv椒 的凸性使得 CvaR可以转化为一个凸规划 ，
当数据量较大时，使计算很简洁。
证明：V k>O， [kX。+(1-k)x2】
(次可加性)≤(b [kX。]+4) 【(1-k)x ]
(齐次性)=k+oX +(1-k)4)
定理 3 当 P(X)是非正态或不连续时，VaR没有稳定性，
而 CVaR的稳定性弥补了这个不足。
定理 4 当 X(a，b)正态分布时 ，即 X(a，b)～N( (x)，盯
(x))，VaR、CvaR和均值一方差理论有相同的最优解。
证明：(1)因为 X(a，b)～N( (X)，盯 (X))，所以：
尘 ～N(0，1)
13"【凡 J
! ： 型
o【x) 1
由VaR的定义， (‘ (X))=0【，即f — e “dt=a 一 、／
21r
4- rf( )：f 一 -t [1l' ： rf- ( )
从而 ‘ (x)= (X)+k。仃(x)，其中 k。=erfI (o【)
由CVaR的定义， (x’l_ JIn( )xdW(x)，从而： ． ⋯
：上 r ．_l一 一t dt 盯(X) 一1-oL J
： 一 一 r(一 )d(_t2／2)
(1一 ) Jkt
： ! (一 )r
(1一仅)、／21T k L
1 一k
(1一仅)
=[(1一 ) exp(k~／2)l
从而 (x)=ix(x)+k：盯(X)
其中k2=[(1一 ) exp(k2 ／2)]
从而三个规划的目标函数都可以看成是 miner(x a，b))。
【参考文献 】
[1]Artzner，P．，Delbaen F．，Elber，J．M．，D．Heath．Coherent Measure of Risk
l J1．Mathematical Finance，1999，(9)：203—228．
[2]Pavlo Krokhmal，Jonas Palmquist，Stanislav Uryasev．Portfolio Optimization
With Conditional Value—at—Risk Objective and Constraints[EB／OL1．http：
／／www．gloriamundi．org．2001．
f31 R．Tvrrell Roekafellar and Stanislav Uryasev．Optimization of Conditional
Value—at—Risk[J]．Journal of Risk，2000，(2)：21—41．
『41 R．Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev．Conditional Value—at—Risk
For General Loss Distribution[EB／OL】．http：／／www．gloriamundi．org，2001．
(责任编辑：× 校对 ：Z)
(上接第 1 19页)
三、结论
第一，不同的博弈格局吓 ，“卖场 自雇营销员制度”和“卖场自雇销售员制度”都可能具有制度合理性。制度
的优劣取决于双方收益函数的形式和具体的赋值区间。第二，当供应商对卖场忠诚度高或依存度高时，合理的销
售人员用工制度安排将完全由卖场收益的高低来决定，而不需参考供应商收益的高低。第三，当卖场是供应商实
现销售的主渠道时，产品需求函数 、需求弹性、双方谈判力量是决定卖场销售人员制度走向的关键因素。在特定
条件下，“由供应商派遣营销员”和“由卖场自雇销售员”的制度都可能具有合理性和稳定实行的可能性。并且，条
件适当，这两种战略中组合的任何一种都可能成为占优战略组合 ，即成为供售双方的理性选择战略。第四，理论
推导下，卖场 自雇营销员制度并不必然导致供售双方的零和博弈(即卖场受益必然供应商受损)。为避免卖场 自
卖而导致的市场控制力下降，供应商可通过多人博弈形成联盟等方式来改变供售间博弈模式和结果。卖场尝试
自雇销售人员以提高销售终端控制力，应考虑优先选择那些品牌号召力强且富于价格需求弹性的家电产品。
【参考文献 】
【1】罗杰·A·麦凯恩．博弈论【M]．北京：机械工业出版社 ，2009．
[2】刘体斌，蒋相岚．基于收益管理的家电产品营销策略研究[J]．电子科技大学学报(社科版)，2008，(6)．
(责任编辑 ：X 校对：Z)
①本文仅考虑了家电供兽双方在两种纯战略组合下的情形，其它情形留待后续研究。
l47
