认知结构，数学教学的本质
【摘要】数学的知识教学不是不加组织地向学生传授孤立的知识，而是要教师根据学生
的实际情况和教师对书本知识的理解，对知识进行加工组织，让学生形成知识的认知结构
。数学教学的本质就是学生在教师的引导下能动地建构数学认知结构，并使自己得到全面
发展 的过程。在分数应用题的教学中要充分发挥其作用，让学生在主动积极的思维活动
中，深刻理解知识，掌握技能，形成 科学 的思维方法，达到举一反三、触类旁通的效果
。 【关键词】数学教学；认知结构；分数应用题乌申斯基有句名言：“智慧不是别的
，而是组织得很好的知识体系”，同时还批评那些缺乏知识的人是“装着一些片断，没有联
系的知识的头脑，象一个乱七八糟的仓库，主人从那里是什么也找不出来的。”数学的知
识教学不是不加组织地向学生传授孤立的知识，而是要教师根据学生的实际情况和教师对
书本知识的理解，对知识进行加工组织，让学生形成知识的认知结构。数学教学的本质就
是学生在教师的引导下能动地建构数学认知结构，并使自己得到全面发展的过程。下面就
分数应用题的教学谈建构学生认知结构的几点教学策略。 1 揭示知识之间的内在联系
，帮助学生生成认知结构 郑毓信教授多次强调“数学教学不应求全，而要求联”。这里
所强调的“联”是指数学的基本原理，这显然是要求数学教师不但要关注知识点的教学，更
要重视沟通知识点之间的内在联系，在引导学生建构开放的、 网络 化的数学知识结构的
过程中，既要让学生知道“是什么”，更要让学生明白“为什么”。 在新旧知识联系
中学习分数乘法的意义 例题 1 一个水杯装水 45 千克，3 杯水重多少千克?12 杯水重
多少千克?34 杯呢?如果把“45 千克”该成“800 克”，3 杯水重多少克?12 杯水重多少克?34
杯呢? 通过教学使学生明白以下知识结构： 一杯水的重量×杯数=杯数所对应的
水的重量 一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。 在
新旧知识联系中学习分数乘法应用题例题 2①学校合唱队有女生 10 人，男生人数是女生
的 2 倍，男生有多少人?②学校合唱队有女生 10 人，男生人数是女生的 45，男生有多少
人? 一倍的量×几倍=几倍的对应量(已有知识) 单位“1”的量×几分之几=几分之几
的对应量(新知识) 通过揭示知识之间的联系，学生把新知识纳入原有的认知结构中，
使新学习材料与原有的认知结构建立联系。通过这个过程，学生对已有知识和新学知识很
自然 地融会贯通了，同时也生成了初步的认知结构，这样不仅有利于学生形成对知识的
规律 性认识，而且有利于发展学生的思维能力。 2 加强结构训练，帮助学生完善认
知结构 在各种数学能力中，其中有一个能力是数学问题结构的能力。什么叫数学问
题结构?通常人们在解答一个问题前，必须先了解这个问题，分柝这个问题，找出问题的
已知条件和要求，这就要进行分析、综合研究条件之间的关系，条件与问题之间的关系，
然后把这些成分综合成一个整体，抓住问题申具有本质意义的那些关系。这就抓住了数学
问题的结构。能力强的学生拿到一道数学题时，一眼就看出了问题的结构，就能把已知条
件和问题联系起来，而数学能力平常的学生只是感知问题孤立的数学成分，并不理解这个
问题。因此，加强问题的结构训练很有必要。 将知识组块化:学生从长时记忆中
提取出信息加以运用时，这时的信息要转入短时记忆系统。认知心 理学 家应用字母、音
节和字词等各种材料进行实验，研究短时记忆的容量。结果发现：短时记忆的容量很小，
其容量约是 7±2 个组块。但一个组块可以是一个字母、一个单词、一个词组、一个短语
等，一个组块的信息总量是变化的。在课堂教学中，将知识从表层特征进行归类， 总结
其中共同的表现特征，使知识条理化、纽块化，进而可以使学生对知识的特点清晰化，使
知识变得容易辨别和记忆。 例如，解分数应用题需要找出哪些数量，分析它们之间
的关系?我们可以引导学生将分数应用题基本数量关系“单位‘1’的量×几分之几＝几分之几
的对应量”划分成三个组块：单位“1”的量、几分之几、几分之几的对应量。组块的划分可
以帮助学生对分数应用题的记忆和提取，并使学生有了完整的认知结构：当学生有了这个
认知结构后，再让学生分析分数应用题时，学生就会很容易地从记忆中提取这三个组块一
一辨别，这样会发现找单位“1”的量是首要的，是关键的，其次找几分之几和几分之几的对
应量。在此基础上在进行一定的买际练习。 对同类分数应用题进行归类:系统论
告诉我们，任何系统的整体功能等于各个部分功能之和加上各个部分相互联系而形成的结
构功能。在部分功能不变的情况下，整体功能的大小取决于各个部分的联系。因此，在掌
握部分之后，要根据各个部分联系起来，形成一个层次分明、类别清楚和联系紧密的网络
结构。在教学中，我们可以将同类的分数应用题进行适当的归类，把用于一批教学内容的
教学时间集中用于一个或几个代表性的内容，对这些内容进行充分深入的教学活动。这样
既节省了教学时间，又能够让学生提高学习的效果。 例题 3①池塘里有 12 只鸭和 4
只鹅，鹅的只数是鸭的几分之几? ②池塘里有 12 只鸭，鹅的只数是鸭的 13。池塘里
有多少只鹅? ③池塘里有 4 只鹅，正好是鸭的 13。池塘里有多少只鸭? 分析：
单位“1”的量×几分之几=几分之几的对应量 ↓↓↓ 鸭的只数×鹅是鸭的几分
之几=鹅的只数列式 124 4÷12 1213 ? 12×13 13 44÷13 例题 4①
学校有 20 个足球，篮球比足球多 14，篮球有多少个? ②学校有 25 个篮球，比足球
多 14，足球有多少个? 分析： 足球的个数×(1+14)=篮球的个数列式
2020×(1+14) 2525÷(1+14) ③学校有 20 个足球，25 个篮球，篮球比足
球多几分之几? ④学校有 20 个足球，25 个篮球，足球比篮球少几分之几? 分
析： 足球的个数×多几分之几=多的个数列式 20?（25－20）（25－20）÷20
篮球的个数×少几分之几=少的个数 25？(25-20)(25－20)÷25 以上几题都
是这分数应用题的代表性题目，这样的分析既减轻了学生思维的负担，又能够让学生再次
深刻理解分数应用题的结构特征：找单位“1”的量及几分之几和几分之几的对应量。由此学
生的解题能力和思维能力得到培养，运用知识的能力得到提高。
3 加强思维训练，帮助学生巩固认知结构 在分数应用题教学中，除了要改变了
教材上那种一类一类问题地教、一个一个例题地讲的教学方法，还要以培养数学能力为中
心，重新设计编排一套练习，反复地系统地进行训练。这种训练的目的着眼于培养学生举
一反三和思维的灵活性，形成数学能力。它包括各种思维训练，如补题、改题的训练。论
文联盟 编辑。 补充条件训练 例题 5 打字比赛，，小明每分
钟比小红多打 18，小红每分钟打多少个字?(提出三个条件，分别使它成为一步、两步和
三步 计算 的应用题。) 一步计算：小明每分钟比小红多打 5 个字。 两步计算：
小明每分钟打 45 个字。 三步计算：小明每分钟和小红每分钟共打 85 个字。
补充问题训练 例题 6 一桶油漆重 18 千克，用去 56，?(提出三个问题，分
别使它成为一步、两步和三步计算的应用题。) 一步计算：用去多少千克? 两步
计算：还剩多少千克? 三步计算：用去的比剩下的多多少千克？ 改题训练
例题 7 制造一种机床，原来每台用钢材 2 吨，现在每台用的钢材比原来节约 15，现
在每台机床用钢材多少吨?(你能把这一题改成一步计算的应用题吗?） ①把条件“节约
15”改成“节约 15 吨”。 ②把问题“现在每台机床用钢材多少吨”改成“现在每台用的钢
材比原来芍约多少吨”。 ③把条件“原来每台用钢材 2 吨”改成“现在每台用的钢材比原
来节约 45 吨”，把问题“现在每台机床用钢材多少吨”改成“原来每台机床用钢材多少吨”。
学生思维越广阔，补题、改题的途径就越多；学生思维越灵活，补题、改题的式样
就越新颖；学生思维越深刻，补题、改题的内容就越复杂，学生解答分数应用题的基本功
就越扎实。 另外还有画线段图训练、题意不变改变叙述方法训练、对比训练和自编
应用题训练等。 4 加强综合训练，帮助学生深化认知结构 综合训练是深化知识
的过程，一是为了充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用知识解决问题的技能技
巧。二是为了开阔学生的思路，促进学生认知结构的综合贯通与精确分化，以深化学生的
认知结构， 发展 学生的智能。 例题 8:某汽车厂去年计划生产汽车 12600 辆，结果
上半年完成全年计划的 59,下半年完成全年计划的 35。去年超产汽车多少辆? 分析：
全年计划的产量×超产全年计划的几分之几=超产的产量 12600(59+35-1)? 例
题 9 一本书两天读完，第一天读了全书的 27，第二天比第一天多读 18 页。全书共有多少
页? 分析： 全书的页数×第二天比第一天多读全书的几分之几=多读的页数?(1-
27-27)18 例题 10 粮店运进大米的袋数比面粉多 23，购进的大米和面粉共 64 袋。
购进大米和面粉各多少袋? 面粉的袋数×大米和面粉一共的袋数是面粉的几倍=大米和
面粉共有的袋数(1+23+1)64 通过这样的综合练习训练，学生拿到复杂的分数应用就
能很快地把已知条件和问题联系起来，从而解决问题。 总之，当知识以层次 网络 或
图式结构的方式排列时，可以大大的提高知识的的检索效率，有助于问题解决时在短时记
忆容量范围内进行思维操作，有助于心理视野看得更远。教学中要充分发挥其作用，让学
生在主动积极的思维活动中，深刻理解知识，掌握技能，形成 科学 的思维方法，达到举
一反三、触类旁通的效果。
