第26卷第2期经济数学, 2 0 0 9年6月MATHEMATICS IN ECONOMICS 分数跳一扩散模型下的互换期权定价*何传江，方知(重庆大学数理学院，重庆400030) 摘要用保险精算法，在标的资产价格服从分数跳扩散过程，且风险利率、波动率和期望收益率为时间的非随机函数的情况下，给出了一类多资产期权一一欧式交换期权的定价公式.该公式是标准跳扩散模型下的欧式期权及欧式交换期权定价公式的推广关键词分数Brown运动，交换期权定价，保险精算定价，跳扩散过程中图分类号F830. 9 ;0211. 6 文献标识码:A1. 51 交换期权是一种特殊的期权，它使期权持有人在到期日时有权但非必须以一种资产换取另外一种资产.交换期权在国际贸易、进出口结算，投资顾问的给酬等金融领域有着极为重要的应用.1978年，M缸grabe[l]在扩散模型下首次得到了交换期权的定价公式.通常，标的资产(如股票)的价格过程是通过几何Brown运动来描述的，它是一种有连续路径的纯扩散过程.但是，在现实资本市场中，当一些重大信息出现时，标的资产的价格会发生不连续的跳变，需要通过跳一扩散过程来描述.众多学者对此做了研究:Scott[2]建立了具有随机波动率和利率的跳一扩散模型jGukhal[3]建立了一种特殊跳跃高度的跳扩散模型，Li推广了该模型，提出了参数依赖时间的跳一扩散模型.在上述模型中，标的资产的价格过程都是基于几何Brown运动的.但是，标的资产的价格波动通常具有自相似性、长期相依性等分形特征，这导致几何Brown运动与市场存在一定的差距，不是刻画标的资产价格过程的理想工具[5]大家知道，分数Brown运动具有自相似性、长期相依性等特征，它能很好地刻画标的资产的价格波动规律[6]这使得它成为研究标的资产价格过程的一个更为合适的工具因此，在跳扩散模型中用分数Brown运动代替几何Brown运动将使模型更加贴近实际市场，从而具有更好的适应性.顺便指出，当Hurst指数为时，分数Brown运动就是几何Brown运动.在跳一扩散模型中用分数Brown运动代替几何Brown运动，本文提出分数跳一扩散模型，并研究在分数跳一扩散模型下的欧式交换期权的定价问题.在无风险利率、波动率和期望收益率均为时间的非随机函数的情况下，采用保险精算方法[7]得到了在分数跳一扩散模型下的欧式交换期权的精确定价公式.* 收稿日期:2008-11-28 基金项目:重庆市科委自然科学基金计划资助项目(CSTC，2007BB2123) 作者简介:何传江(1964-)，男，贵州遵义人，博士，教授，博士生导师，主要从事偏微分方程、金融数学等研究E-mail: chuanjianghe@;hec _cq@
-24一经济数学第26卷2.分数跳-扩散模型 跳-扩散模型在跳一扩散模型中，标的资产的价格过程15(t):t注01满足随机微分方程[ (t) = 5 ( t )[μ(t )dt +σ( t ) dB ( t) + (e’ (t) -1) d Qt ]. ( 1) 其中，5是几何Brown运动;Qt表示标的资产价格在时间段[0，t]内随机跳跃的次数，它服从参数为A的泊松过程;}(t)是服从正态分布N(-0"]/2，σ])的随机变量，e'(t)-1表示股票价格跳跃的相对高度;μ(t)为t时刻的期望收益率;σ2(t)为t时刻的收益率方差(&P波动率). 解随机微分方程(1)得[4J Q 5( t) = 缸h问X叩p叫(2) 这里，5是标的资产的当前价格.其中e臼xp是指数函数，即e臼x时pl!只(υx)1是e的f只(υx)次方.根据跳一扩散模型独立于风险偏好这一事实，考虑一个风险中性世界，由风险中性定价原理，可以用无风险利率r(t)代替式(2)中的期望收益率μ(t).于是，标的资产的风险中性价值模型可以写成:5(t) = 5e叶(3) 分数跳一扩散模型分数Brown运动是一个连续高斯过程lBH(t)，t仨RI:BH(O) = O,E(BH(t)) = 0，协方差为2HCH(t,s) = (1 t 12H +1 s 12H -1 t -s 1)/2.其中，0<H<1，H称为Hurst指数.当H= 时，B( t)即为几何Brown运动B(t). H分数Brown运动具有自相似性、长期相依性等特征，这使得它成为研究标的资产价格过程的一个更为合适的工具.但当H手时，分数Brown运动既不是马氏过程，又不是半鞍，所以不能用通常的随机积分来分析.在H>时，文献[8，9J用Wick积和分数噪声理论定义了一种关于分数Brown运动的随机积分:j〉(tJ)dBH(t)=llTo仇叫。他们+1)-B( tk)) ω H其中，。为Wick积.本文采用这种随机积分定义，并设ζH<l.前已指出，分数跳一扩散模型是把跳一扩散模型中的几何Brown运动扩展为分数Brown运动.因此，用分数Brown运动BH(t)代替方程(1)中的几何Brown运动B(t)就得到分数跳一扩散模型，即标的资产价格过程15(t):t注01满足随机微分方程:d5(t) = 5(t)[μ(t )dt +σ(t)dBH(t) + (e’(t) -1)dQJ. (5) t由式(5)得，坐监=[μ(t)dt +σ(t)dBH(t) + (e’(t) -l)dQJ. t5( t)严根据随机积分式(4)、函数exp<>(X)的定义和性质(详见文献[9])，不难得到
第2期何传江，方知:分数跳-扩散模型下的互换期权定价一25一5(t) = 5exp<>U:，u(s)叫;σ(s陆(s)+主川)) =叫I:(p(s)陆2(S)SZH-l)ds+ J:ð(s)d马(s)+主J(i)f (6) 以及期望的(T))= 5(t)exp(ι(s )ds) (7) ) 显然，当H= 时，式(6)即为式(2). 3.分数跳-扩散模型下交换期权定价公式因为当Hurst指数H芋时，分数Brown运动既不是马氏过程，也不是半棋，而且服从分数Brown运动的资产市场是有套利的[10]所以不能用一般的无套利定价理论(风险中性定价，1ω定理)来解决分数跳一扩散模型的欧式交换期权的定价问题.经研究表明，Hu等人[8]提出的分数Ito公式和Necula[9]提出的分数风险中性定价理论也难以解决本文模型下的欧式交换期权的定价问题.为了克服这个困难，本文采用Bladt等人[7]提出的保险精算定价方法. 期权的保险精算法考虑具有连续时间的三项资产(ρ(t)，5(t)，乌(t))的金融市场，其中ρ(t)是无风险资产1(如债券)，其价格ρ(t)满足dp(t)=ρ(t) r( t )dt，ρ(0) = 1，其中，r(t)表示无风险利率;5(t)，5(t)是风险资产(如股票)，其价格过程15(t) : t注O，i= 1，21是定义在某个完备概率1zi空间(ο，F，P)上的随机过程.假设5，(0)= 51'乌(0)=马，0表示初始时间，T表示到期日-51 (t)表示标的资产，乌(t)表示计价资产，C(5(T)，5(T)，T)和P(5(T)，5(T)，T)分别1z1z表示以51(t)为标的资产、5(t)为计价资产、到期日为T的欧式看涨交换期权和欧式看跌交换z期权.设5(t)遵循分数跳扩散模型:iJid5( t) = 5(t ) [μi(t)dt +σi(t)dBH(t) + (e(tl-l)dQ,J, i = 1,2. (8) i i 其中，B(t)是分数Brown运动;Qt表示标的资产价格在时间段[0，tJ内随机跳跃的次数，是参数HJtJ为A的泊松过程;J(t)是服从特殊的正态分布N(-ð}/2，σD的随机变量，e/表示资产价格i5(t)跳跃的相对高度;μi(t)和乓(t)分别为资产价格5(t)在t时刻的期望收益率和收益率方i i差(即被动率). 由式(6)可得:Q M)=kxp|luz(5)一时(川1)ds + f>i(S)dBH(s)十三JJi) f, i = 1,2. (9) 定义1[7] 标的资产的价格过程15(t): t注01在时间区间[0，TJ产生的期望收益率J: ß(s)ds由下面的方程定义:FtE-ETEBEaOd ，，，、、‘Saa--βμ'·' '飞、，α 1/EBB-/E/''飞、、，、，，，Jt、、，，，A。，// E QU T QU 4E 一一ex p cd cd υ飞飞，，‘‘、，，，，
一26一经济数学第26卷其中，卢(t)称为连续复利收益率.定义2[7](保险精算定价)标的风险资产到期日价格按期望收益率折现的值与执行价格(看作无风险资产价格)按无风险利率折现的值的差，在标的资产实际分布的概率测度下的数学期望值，称为欧式期权在t时刻的价值.欧式期权在到期日被执行的充要条件是，欧式看涨(看跌)期权为标的资产到期日价格按期望收益率折现的值与执行价按无风险利率折现的值的差大于零(小于零)[7J 根据定义2，到期日为T的欧式看涨交换期权和欧式看跌交换期权定价公式为:r I rT rT、「C(S](T),S2(T), T) = EI (S](T)expl一J卢](s)dsf-S2(T)expl一L 2 (s) ds t }IA J ’ o(11) r I rT rT、「P(S](T),S2(T), T) = EI (S2(T)eXp!一J0 2 (s )ds t -SI ( T)叫j-J 1(s)ds t )IB J o (12) 其中，事件A，B定义为rT rT \ \ A = !Sj(T)叫l一J卢l(s)dsf > S2(T)叫j-L卢2(s )ds t t orT rT \ \ pdsB = jSz(T)expj-L 2(S)dst> SI(T)exj一L卢I(S)ttrT h为示性函数(I!PA发生时，ι1;A不发生时，ι=0).1 ß;Cs)ds为风险资产Si(t)在时间[0, TJ区间的期望收益率.注1: 1)定义2没有对金融市场作任何的经济假设，计算潜在的损失仅仅用了风险资产按期望收益率折现，无风险资产按元风险利率(债券利息率)折现的思想，因此，其结果对无套利的、均衡的、完全的和有套利的、非均衡的、不完全的市场都有效.2)定义2给出的欧式期权定价与传统的期权定价是不同的. 分数跳扩散模型下交换期权定价公式定理1设资产ISi (t) : t二三0，i=1，2f在有效期内无红利支付，其价格过程满足分数跳扩散模型(8)，则欧式看涨交换期权和欧式看跌交换期权的定价公式分别为:已eλT(λT)n时(t)，S2(t)，T)=主丁广ISIN(dj)明白)f ，口)已e-H(ì..T)n时(t)，S2(t)，T)=剖丁「|明白)-S]N(d]) f. (14) 这里，N(.)是标准正态累计分布函数，川α= j ;〉〉H扭(川ω叫σ1川ω巾(μ山ω川Sο)一才σ吨飞2山ω州μ(μω5ο)俨j由ds+ n ((1J] -(1J 2)2 IrT IrT d= a + ~ L2 I耐(5)52His+mi，的=a + ~ J21对(s)FVs+mj2·j o
第2期何传江，方知:分数跳-扩散模型下的互换期权定价-27一证明川(t),52 (t) ,T) = E [ ( 51 ( T)叫-f: 1 (叫-52(T叫f:ß2(叫)叫(15) 根据定义1、定义2和式(10)，易知:对风险资产5(T)来说，i叫-f: ßi(叫=E(5;(T))/5=叫-[ JLi ( s ) ds \, i = 1,2, i 即式(15)可改写为:叫(t)，52(t)，T) = E[川[( 乌511川(T)叫一-ι[〉μJ:Lμ川川1(川山μs)由dsf一斗S乌均2川叫一-ι[〉J;〉L-向2川以μ(其中c= 阳1S乌51川叩(T叫-[μ〉JLμ阳ω仙1〉1川(山μω5ο)ds斗f>乌52(T叫一-μ[〉ν川J;L向2}叫2州μ(仙μρω川5ο)由ds川ff.(16) 因为在5(T)的表达式中出现了泊松过程，所以iE [ ( 51 (T)叫-f:JL1(S)叫52(T叫一f:向(叫)叫= E[主I(51 (T)e-f~f1，(s)d， -5( T)e-f;"2(’)d’)X Ic I # jumps = n 1 x Prob( # jur 2=主斗?21叫(5(T)e-f;"，('川1ÀT已e-(λT)n>:一一丁一一[Ej-EJ. (17) 2n=O n! f这里，5(T)包含n次跳跃，E1= E[eιμ，(，)d'5(T)Ic I nJ ,E2 = E[e-;μ2( ，)咆2(T)Ic I n ] . i1关于E的计算:1c rT c rT . I’T 因为EIIσ(s)dBH(s)1= o，EIIσ2(s)dB(s) 1= 21 1陆2( S ) S2H -1 ds (见文献[9])，又H~]i(i) -N(一Qtl1}/2，Qtl1}) , i 1，2，所以1oq(s)dBH(S)+与Jz(i)~N(QA/2，2j时(s)s2H-ds + Qtl1}) , (18) f:二:Q [(σI(S) -112(S)陆(s)+主川)-]2(i))-N( -Qt(气一句2问2f:H(σ1 (s) -σ2(川叫s+ Qt(句1句2)2)(19) I’T 1取5(T)包含n次跳跃，并令Wi= 21 HI1;(s)s2H-ds，则由式(17)可知:资产在T时刻的i价格5(T)可以表示为:iI rT I’T 5(T) = 5t(向(s)-HI1;(s)s2H-1)ds + t l1i(s)dBH(s) +二]i(i)f 叫ii=才S鸟缸2卢β呻e臼阳X叩呻问p叫纠叫uμ:〉〉;(ωJ〉MLμiω(5ο) 一耐陆时时胁h灿7?(μ协引s5山ωο)s俨(20)
-28一经济数学第26卷这里，g是相互独立的标准正态变量，即g-N(O,l). 利用式(19)计算整理式(16)可得:c= 19>-al, ln(M2)tn(句:飞)2-[H(σî ( s) -(]~ ( s ) ) iι1ds 其中，a 1f:2H(σ1(S)一σ2(队2H-ds+巾'J一句1 T h、.可Va盯r盯叫ω叫1+ m?1 1 工|儿02H σdi红(ω5ο)i归H-→1讪ds+ ηMσ ii1 , E=毛广eLJS)dsS1(T)jdy= 1 气IL.π" -a 左j盯!丁歹μ〉:乌W叫〉μ〉1问协呻S臼p呻左[~5exj 一m刚叫rq1-2??乌ω?y+叫泸斗f句d妒y尸= 1P毛广5expj一(y-/可1)2!d;=W1) (21) 1'112πJ -a I 2 这里，的=a + /百r1. 类似可得计算E得:2E’:j = 5N(d)，的=a + rv函(22)22把式(21)-(22)代人式(17)即可完成证明.欧式看跌交换期权定价式(14)可以相似得到.注21)当H= 时，公式(13)和(14)就是跳扩散模型下的欧式交换期权定价公式(无红利支付情形). 2)设K是常数，r是无风险市场常利率，μ1(t) =μ，σ1 (t) =σ，当5(T)= K(即向(t)= 20, 5( t)为无风险资产)及H= 时，公式(13)和(14)就是熟知的跳-扩散模型下的欧式期权2定价公式(无红利支付情形). 4.结论基于跳一扩散模型和分数Brown运动，本文提出了分数跳一扩散模型，并用保险精算法导出了资产价格服从分数跳一扩散模型的欧式交换期权的定价公式.该公式是标准跳-扩散模型下的欧式期权及欧式交换期权定价公式的推广.参考文献[1] MARGRABE M. The value of an option to exchange one as配tfor anotherlJ]. Journal of ,XXXIII( 1): 177 -186. [2] 叹刀'TTL O. Prici咆stockoptions in a jump-diffusion model with st∞hastic volatility皿dint自由trat白:Appli-cation of fourier inver›sion methodslJ]. Mathematical Finance, 1997. (4) :413 -426. [3] ∞mpound option approach to american options on jump-diffusions lJ]. Journal of E∞nomics问namicsand Con›trol. 2004,28:2055 -2074.
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