非对称式的转化策略
李其明
解决数学问题实质上是一个不断转化的过程。在中考或竞赛试题中常常会出现一些含两
根的非对称式的问题，同学们感到非常困难，不易下手，其实利用转化的思想，则可将复杂
的、生疏的问题转化为简捷的、熟悉的问题，从而达到解决问题的目的。下面举列说明转化
的常用策略。
一、降次转化
例 1. 设 是一元二次方程 的两根，那么 的值为（ ）
A. -4 B. 8 C. 6 D. 0
分析：考虑到所求代数式的次数较高，可先根据根的定义，进行降次，再利用韦达定理
来解。
解：设 是方程 的两根
所以
即
又由根与系数关系得
所以原式
故应选 D。
二、消元转化
例 2. 已知 m、n 是一元二次方程 的两根，求代数式
的值。
分析：此种方法一般先根据根与系数关系，用代入消元法，消去一个根，把两根的非对
称式转化为只含其中一个根的代数式，并通过适当变形，最后由方程根的定义整体代入求值。
x x1 2， x x
2 3 0 x x1
3
2
24 19
x x1 2， x x
2 3 0
x x x x1
2
1 2
2
23 0 3 0 ，
x x x x1
2
1 2
2
23 3 ，
x x1 2 1
x x x1 1 23 4 3 19
3 4 7
3 3 4 7
4 4
4 1 4 0
1 1
2
2
1 1 2
1 2
x x x
x x x
x x
x x2 3 1 0 2 4 6 19992 2m n n
解：由已知 ，所以
所以原式
由根的定义得：
所以原式＝2011
三、配偶转化
例 3. 已知α，β（α＞β）为方程 的两根，不解方程求代数式 的
值。
分析：把代数式 设为 M，调换字母后，构造对偶式 ，再
联立两个非对称式 M，N，作出 ，即可求出 M、N，从而使问题得到解决。
解：设 ，则
所以
所以 M＝5，即 的值为 5。
四、组合转化
例 4. 若α、β为方程 的两根，求 的值。
m n 3 m n 3
2 3 4 6 19992 2n n n
6 18 2017
6 3 1 2011
2
2
n n
n n
n n2 3 1 0
x x2 2 0 2 2 1
2 2 1 N 2 2 1
M N M N ，
M 2 2 1 N 2 2 1
M N 2 2 2 2
2 2 2 2
1
M N 2 2 2
2
9
2 2 1
x x2 2 5 0 2 2
分析：所求代数式为α，β的非对称式。若巧妙地组合为 ，从而转化为
用基本对称式及根的定义去解决。
解：因为α、β为方程 的两根
所以
即
所以
五、公式转化
对 于 形 如 的 非 对 称 式 ， 其 转 化 公 式
。
例 5. 已知 的两根α，β（α＞β），不解方程求 的值。
解：由根与系数关系得：
所以
又因为α＞β，所以
由（*）式得：
六、整体转化
例 6. 已知α，β为方程 的两根，求 的
值。
2 2
x x2 2 5 0
5 2 5 02，
2 2 5
2 22 2 5 5 0
m n
m n m n m n
2 2
(*)
x x2 6 7 0 3 2
6 7，
2 8
2 2
3 2 3 2
2
3 2
2
1
2
5
2
1
2
6
5
2
2 2
3 5 2
x m x2 2 1 0 1 12 2 m m
解：由根的定义可知：
所以
同理：
所以
又因为
所以原式
七、构造转化
例 7. 设 ，且 ，求 的值。
解：因为
所以
又因为
所以
又因为 ，所以把 看作是方程 的两根
所以
所以
2 2 1 0 m
2 1 2 m
2 1 2 m
1 1 42 2 m m ·
1
4 1 4
a a b b2 4 22 1 0 2 1 0 ， 1 02 ab
ab b
a
2 2 20051
a a2 2 1 0
1
2
1
1 0
2
a a
b b4 22 1 0
b b2 2 22 1 0
ab2 1
1 2
a
b， x x2 2 1 0
1
2
1
12 2
a
b
a
b ， ·
ab b
a a
b
b
a a
b
a
b
2 2 2005
2
2 2005
2 2
2005
1 1 1 1
·
1 12005
