具有常量红利界的凤险模型及最优红利界的精确解秦伶俐吴黎牢正生吝1(1.新疆财经大学应用数学学院，乌鲁木齐，83∞12;2新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐，83ω46)摘要:目前，对于具有分红性质的保险产品或是进行了股份制改革的保险公司来说，如何确定其红利策略，能够使得投保人或股东利益最大化是…个需要研究的问题。文章研究了具有常囊红利界的Wienner过程风险模型的最优红利界的精确解，以及当个体余赔额服从指微分布时具有常-1"红和'J~的级典风险模琐的最优缸利界的精确解，并给出了卢接数侬结果。关键诩:风险模型;最优红利界;Wienner过程;指微分布;精确解。中阁分类号:0211文献标识码:A文章编号:1∞2-6487(2∞8)13-佣'30-03近几年，随着带有分红的保险产品进入人们的实际生活其中创加LXí。设M(t)=max{RO(s)伽ω)加州t)，D(t)=和保险公词的股份制的改革，保险公词如何回馈股东，使得股东利益最大化，成为一个研究的课题。M(t)+ ，这里D(t)表示蓝时刻t发放的所有红利。修正后的盈本文研究讨论了具省常盘红利界的Wienner过程风险余为模型的最优红利界的精确解，以及当个体索赔额服从指数分R(t)=RO(t)-D(阳+c问W(萨LXí-D(t)(3) 布时具有常量红利界的经典风险模型的最优红利界的精确解。模型(1)的U幽略篡本方程为λl口铲e州d刷咱圳c创r，其唯…正根设为R，并称其为模型(1门)的调节系数。设?皿’ 具臂雄性组刺鼻限的带平扰明的组典风inf{t;(t)...O)为模型(3)的破产时刻，'I'(x，b)=P{T<∞IR(O)哩)险棚酬为最终破产概惑。令8为利息力度，D为直泵破产时红利付带阳自机干扰的经典风险模型定义如下:款的现债，HPDzfe吨。(t)，则同时为红利付款的期望现值，，，.1、) RO(t)吨何t+σW(t)-LX(巾。)j 记为V(毗即V(x;b)=E[f: e-&dD(t)]，帕运刊人们感兴趣其中，直是初始盈余，c是保险公司单位时间征收的保险的是红利界如何设定能够使得股东利益最大化，也就是V(x;b)最大。对固定的民确定使得V(x;b)取到最大值的札记为费率，Xj(í;:;叫)表示第i次索赔锁，其共肉的概率密度为p(仿ω妙y), 旷。可以证明，只要x<b'，相应于旷的边界策略在所有策略中y坤毗，均值川仪肌闪J加)忡叫扭们r叶川.气(1-是最优的1110称旷为最优红利界。如果是常璧红利边界策略，则破产将概率为1的发生问。分布的随机序列，索赔总额S帕份(峭t忡)=~立~X凡i是一个复合Poi酬n过而设定线性红和l界限y=b+at可以克服这一缺陷。并且依赖程。N(t)表示至时刻t为止发生的索赔次数。{N(t):t;:;嚣。!是以λ于时间的线性红利界限比常量红利界限更具有…般性。着令(bO)为强度的Poisson过程。{W(t)，t;}是标准Wíenner过程，a=ü，就可获得常戴红利边界策略。σ>OQ {N(训，(W(t))与{川是相互独立的。~I厦1阴风险模型(3)的红利付款的期望现值V(x;b)满对上述模剧作如下修正。设定线性红利界限y=b+at，其足狈分"微分方程中b为初值(x运b)，a为递增速率(。每肘。)。这样，只要盈余cr iJ:ry _ iJV . _ iJV I~. "’’’’’\ . ( 一…γ何……协-:.:-().吨，)V(茸;b)+λ(x-z;b)dF(z)= 2 2 iJx--iJx-iJb ,---"’--’-’-"J 在红利界限以下便不发放红利，一旦盈余超过红利界限便发放在I利。于是有如下形式的定义0，0...直唱;;b(cdt+σdW(t)-dS(t)民(t)也倒且满足边界条件:(2) dR(t)=j ladt+O’dW(t)-dS(t) R(t)=h+at V(O;b)嚣。V'I份为，)=1葛金项目t新疆财经大学2ω7得皮科研'"金资助项目30 统计与决策2ω，年第13期{总第265期)뻟ퟮ?췲랽쫽뻝쟘⠱햪웤뷧샻맘훐컄뷼뫍막놾쒣늼뷢ㆾ쿕듸틮副럑社탍럖돌儾뚢뛔퓚럅즾⠲摒ꆧ?ꆢ믹㌰춳樽䴨폠ꇂ丨刨⠳檣捲楮캪뿮볇뗄戩抡쫇죧뛸폚愽틽ퟣ쫖ィ쟒嘨ꎬꆫ?䤩嚵멉볆깏쿗헂ꆣ?⡴ꎮ튪뫬뗄뷧볼춼벸놣뚫컄탍쪱쯦훐싊漩㹏짏拎뷰ㄩ캪ꎬ晻ퟮ쫇꺡맻짨侣샭믽싺⡴쇦쒣ィ늼?폫琩ꇜ뇪뇠⤽탍탂ꎺ샻坩뗄듊럖쓪쿕퇐뻟믺ꎬ丨캪ꆣ쫶ꪳ쿮⮣웤璡훕뫬듳ꎿ폅쫇뚨볤꺾㇀ퟣ뭢㶡뻶용碡⤭뭢샾쪶뫅탍겾뗄?폐폅탏猨㵒쿖嘨?붮쒿닟敮뺭ꎺ샠ꆣ릫틦뺿ퟮ룉磊墡琩잿筎쒣뷧곕캨?웆샻짒뗄뎣쿟춿쪷튻뇟⤽싫ꎺ⠱⤽㈰ㆣ淪닆잰싔湥뗤럧뫅쯦쮾ퟮ쳖폅뎣죅잳ꌨ뇭뛈⡴탍딨쿞폚튻䥒닺뷧뛔퓖普솿탔쿟즻캢?ꎺ?멣〸䤩洩횵碣?⭣뺭ꎬ犹럧쿕ꎺퟅ뗄듳싛뫬솿榡쪾⤱ퟷ碡틔쫇탂쓪헽⡴룅죧만꓃ꆣ탔헄럖쳵곎?〲땰믺⦵뎣뫬풺琫뗚㶡튻ꎬ뭢듳뛔쓜ﶳ쿕쒣〲ꆪ듸막뮯쇋샻뫬뺭볓?훁偯ꎮ죧?쿂폐붮⡴룹⦡싊뫎뚨돆쎳ꏐ랽볾氽탲摬ㄳ뎢㘴漧쑌톧폚릻첷쒣탍ㅬ폐럝ꎬ뻟뷧샻뗤꿓⦱쪱楳筗쿂⦣뇣죧닆짨?ꆣ뗄곖抡뇟ꏁ촨돌ꎺ웚외䐨벴⦡㠷䔨쇐⣗펦뻟쪹탍ꎻ럖훆돉폐뗄뷧럧在뿌獯⡴탞걡늻쿂뺭캪緎쇮뚨碣믒껎쿞뾺㌩ꎮ솿샻⠲﮽孡?ꆣ琩畮䐭ꎼ⭡ﰲ폃폐뗃헄뗄ퟮ뫬캪뎣뺫쿕걃뺵砱ꎬ瓎溹⥬헽랢탎듳뻖劣㣎쓜곈꩸닟礽쿞琩?〰쫽럖춶ꏐퟮ폅뗄룄튻솿좷뺭쒣쫇?ﶳ폫ꆣ뗝럅쪽톧㘵쇊ⴭ겲ꫀⵊ둖릻랶㱢싔戫뇈ﮱ뫬ꎬ㠩ⷆ⤽쯷摢摴웚뗈뫬뷧톧놣춵폅룯룶뷢뗤탍듎릷첡⠩짨퓶뗄㈰놿ꊳ촨쪹ꆮ얺ꎬ慴뎣?샻ㄳ??砫ꆣ⡸췵䪣엢톧탔죋쓗뫬샻ⴰ쿕ꎬ퇐ꎮ럧뚨쯷ꋉꌱ⡉쯙〷챴敲웆㌩ꋁ뗃릵퓲뿉솿뢶椨짺〳쒴긨ퟜⷑ䴨捴攭ꎮ淉풺훊믲샻뷧닺놣뺿틔쿕틥릫엢蝹眨緊쿟싊ꎬ쓪랢뗄ꚶ막썖쿠﮽웆뫬?뿮샻뗄〭璡枻ꎬ뗄막얺뷧ꎻ욷쿕벰쒣죧쮾뛮쓋澣쟏탔⡏튻뛈럅웆좡뚫⡸펦닺뿋샻풡쾲䤭琩⭯琧戩〳?컚놣뚫뗄坊뷸릫뿎坩떱탍쿂떥ꎬ건뫬ꇜ떩뗑뿆ꏐ닺ꍄ샻ꎻ폚?붫럾뷧웚빖?䘨猨鈴질㵭❗摄㵅슳쿕샻﮽敮죫쮾쳢룶뗄ꎺ?캻웤ꇝꖶ愼펯퇐쯹촨쪱캪틦戩抡룅헢쿞췻뷧뺫砩琩쒾닺틦좷湥죋죧ꆣ쳥ퟮ쪱릲컊佬상뷧挩폠믹폐ㄩ뿌횱좡꺵싊튻룼쿖엏慸⡴뺷ꆾ⡸웫욷ퟮ쒾뷢犹쏇뫎쯷폅볤춬⥤㷒ﶡ쫇ꊵ쿞ꆣ뎬뷰뫬뗄ꎬ훁듳떽쒱캪좱뻟횵筒⤭⦣暡붳뗄좷ꆣ믲듳ꯈꎮﶳ믘엢뫬헷ꍻ뇪쒡礽헢맽샻뗷ꆯ웆뮯ퟮ?ㆵ쿝폐嘨碡하摷ꎻ㠳쫇뮯랽늢첣쪵삡첷뛮샻쒾쫕룅丨ힼ?戫뫬훺ꆣ랦뷚沣닺곔ꍥꎬ듳쒷튻碣ꍦ槊쳎〰뷸쫇룸믖볊막럾뷧뗄싊琩坩慴ꎬ샻쿮탞쾵갨쪱튲횵?ꋉ늢냣뭢궵在ꇗꎺ戩럧뷢硴쟒ㄲ탐튻껒돶룊짺뚫?듓뗄놣쏜ꎺ敮ꎬ횻뷧쒿헽쫽碣뫬뻍퓔鉶탔⧂튻碹ꆾ䵄ꎻ쇋룶풼ﶷ믮ꎬ횸뺫쿕뛈璡湥웤튪쿞뫳ꆣ걢샻쫇抣?벡틀?ꎺ뮸ꆮ⯈㋐막탨낵튻횲쪹쫽좷캪?犹펯뇣뗄짨⤽뢶嘨겼陸삵죴?⡢䒡⡴쿕榡슽럝튪놸킩벣뗃럖烛緊ﶳ폠랢펯吭傿碣쟎킲쇮?뒺뛊⯵⡴ꆣ뿎⥝꺴훆퇐쫽뮾뺣쟒첣???룄뺿횵ꯈ?緊콐퓈㵬퓖쒣?ꪺꎬ新琩뮣ꟊ룯뗄뷡랽?刨잺潩ꎬ澡뗄컊맻〩ꅆ獳탍ꟓ놣쳢ꆣ?ⶼ澡ⴭ﮸?멖ﶵ潮⡸쿕ꆣﺴ砩?뚿ꇜ뗍릫컄폖쒡맽콤⡸벰⤫ꇜ抡뎿쮾헂룊ꊶ웑살퇐ﶷ厡瑬뗈쓆ꏊ상ꟑ쮵뺿횲?마ꎬ쇋볊ꋍ쓏긨럁몣죧뻟놾䐨쯃?죫곎뫎폐?瑄琩훖잸摆?좷뎣킳?도뚨솿ꏁ?떣탐⧟⡺뻆뫬뾺?쯈샻???⤽갸㌰〴⡴㘩⤽扢ꋸ⭡?
bo'=击呼(18) 2 具带睛'缸和j鼻的Wienner过帽凤陆楠如果利息力度8::，对于μ与d的不同取值，用(18)盟.!l最优组和IJ鼻式可计算出最优叙利界，如表l、表 6:: 设保险公司初始准备金。0，如果没有红利给付，则时刻b,,’ d 的IIi余为 2创X刚mX(t)叫+μt+aW(t)(t;;;嚣。(4)例41α)()()ω 8肌X削其中，ρο，σ>01i{W(圳是一个标准Wienner过程。 5αx剧。现引人常黛红利界限b为红利边界策略，即每当提余达 3αX刷到b，超过部分就作为红利派发。令&心.05 '随2M(t)=max X(s) (5) t旷d 5α)()()() 至时刻~t发放的所有红利是 500000 rO M(t)哥哥b5阳刚)()。(t)=(M(t)-h)与/..". " ,,’,’ , (6) ω 500c削IM(t)-b M(t)>b 5刷刷修正后的模型至时刻的盈余为X(t)由。(1)吨+川+aW(t)-D(t)(7) 3 具有睛'世姐和l鼻的组典风险模型.!l最优设8>。为利息力，D为直至破产时红利付款的现值缸刺鼻叫:州。(t)(8) 常"1'红利界的经典风险模型的描述及一数情形下的最这原破产时刻j定义为优红利界T=min{t注OIX(t)-D(t)==û}(9) 设绞典风险模现为V(川剧表示红利付款的期望现值闷U(t):::u+ct-S(t) (t;a:O) V(x;b)=E[D]，O唱::xlliÕb(10) 初始盈余u;;;，O，相对安全负载。>0满足c=(1呻)λ叭，引注意到具有常量红利界的Wienner过穗风险模到(7)是人常最红利界限b，D(t)表示至时刻It发放的所有红利。则修模型(3)在a==Û，λ坤，时的特例，囱引理1，模型(7)红和j付款的正厉时刻t的盈余为I呵期盟现值满足工阶微分方程峭的a2 ZV ... av …Tγ+μ…-8V(x;b)=O (OlliÕx时(11)X(t)=U(ψD(阳+ct-LX;-D(。(19) 2 2 x...... x 它的解可表示为当X(t)<b时不派发红利，只要X(t)=b就以迷惑派发红V(x;b)=C(b)ho(x) (12) 利。假设X(O)=x116b，则修正后的盈余永远不会跑过bo其中ho(x)是下述二阶微分方程的底解。破产时刻为T=inf(t:X(t)<O) 乎比，"(x灿灿'(材hJX)呻(X>Q)川直到破产时红利付款的期望现值由边界条件V(O抖出0，得110(0)盟。.若不计常值因子，上述V(x:b)叫:HdDO)](问时)工阶微分方程有唯…解IIo(x)带血-e-(14) 注意到模型(19)是模型(3)在σ==û，a==û，时的特例，由号|其中，r和s是下述特征方程的根理1，该模型红和l付款的期望现健V(x;b)满足积分-微分方穆av I’\.. c-"r/___L \ . \. { (5) 手r+~-8==ûc ~~ -(λ吨)V阳b)+λJoV(x-y;b)内)dy::O( 0 116 x运的(20)鼠。0，8<0对于下述相应的积分叩微分方程叫且且+飞/u}+28σZr=叫Z二中山叩的)叫(川)h(x)叫:忡忡(y)dy呻(x>O)(21) z (16) 1可以通过变换化为一个道定的更新方程11，因此，(21)式8=划于应在不计常数因子外有唯一解。设辅助函数h(x)是(21)的正解，于是(20)式的解V(x;b)一定可以表示为下述形式再利用边界条件V'(b，b)叶，可得V(x;b)=C(b )h(直)V(x:b)=-P制(0116直坛的(17) 110'你)再由引理1的边界条件V'(b;b)叶，就可得到的因子分解绩优红利界bo'是:当b=bo'时，110协)有最小值。如巢Þo'>公式(110，则满足条件ho"(bo丁::0.于是有V(x;b)=主住~(OlliÕx曙;;b)(22) h’(b) 统计与决策2(刷年第13期{总第265朔)31 ?췲랽쫽뻝㊾탍짨뗄堨⠴쿖떽䴨⠵훁ꎮ튻晏䐨䶣ꆮ⠶⠷䐽⠸吽⠹囋嘨⠱伩힢쒣웚쫖쯼?웤용평뛾梸ꆪ쟒曈뿵没퓙ퟮィ瞣犡죧쪽맼㠽뿳㈰㌳㌰㖣瑯㔰㦣㎾뫬㎣뎣폅唨돵죫헽ꋭ砨樽떱샻웆횱ꆿꆯ敡샭掵뛔捨䦡⠲뿉퓚폚릫嚢춳ꆢꎬ?쿉〨뚷㠰㔰ㄱㄶ㌰㈶꩓웤탞헢힢澣〰ꎮ긶侣기䨶?䍯긱볆㈩㐩㘩⤰ㄷ〰ꎮ䤰㔰㘷㤩놣펯琩?틽抣猩쪱㠾浩왢碣틢탍췻ㄩ뗄㌩뷗휩훐㔩爾샻㜩곔㠩맻뿉솿뫬뺭쪼뎣뫳堨ꆣ닺楮떽⡯摄沣폚ꎬ틔늻쫇평쪽䪡뇟기〰㘲〨ㄲ갰㤸벰潲폅ꍨ?ァ〰ꎮ㠰ㄴ㔰㦣⦡〹㠱?폫훐헽샯틢桯ꇜ?㈵〰⤰㖡ㄩꎣ몵揠쿕폠㵸죫겳㵭뿌몿ⵄノ湻⦱뭢떽⠳쿖뷢캢㵥ꎮ侣폃샻볆㔰〰ㄸ⠩기㐵ㄲ㤶뫬뗤㵵펯솿쪱琩볙晻웆⡴겸뱽쿂⡸춨⠲틽뺯?뻶ꍥ䵸뷧〰ꎬ뫳웆떽ퟮ?爭ꆿ뫬㐴〰㈰㤸ㄷ⡸킳?㵵뭢닟릫캪⮸뎣겹慸璷⡴ꫀ琾뺻뻟⧔횵뿉⤽럖ꆰ犺깳뇟𧻓쾢쯣샻뷧럧⭣폠뫬뿌㱢짨璣닺碡쏄쫶⧒맽〩샭ꎬ〰?ⶡ⧊쳵뚷뗄닺쒣쨽㈰㴨먽녨폅뺲샻ꏁ쮾?솿ﶲꊷ⤭튻뺺䖡폐?싺뇭䌨랽ⵥ쵳㱏뷧솦돶쿕琭疡璵쪱堨캪멘?ꏐ쿠묨뇤쫽쪽ㆵꏁ⮶⡴⤽〸㹯쒣쪱탍ꌧ쟏볾룱ꎬ돵⮶뾷억ꋁ〱비뎣ⴭퟣ쪾戩돌ꆮ쫇쳵뛈ퟮ뗄쒣匨?쓓늻〩⡴?춺펦砫뮻틲쒱쓪뫬웨ꆾ뷧뾺⥰ꎬ탍뿌⠱䴨킩䧍뾺摄싊嘨⧒䖡뗚쪼ꍗ샻횾쓋⭰ꚣ堨﮸ꆿ솿侣뛾캪梸폐쿂볾︱㠭폅뺭탍琩ꎬ쿞꿓엉㵸⤼儫뗄㠩뮯ퟓ뷢栨?⡸샻랾ꎮ埊⡹ㄳ潲훁뚨㤩澣⡯ힼ⡴뷧췗陸ⱴ깄琩뚿ꎬ뫬걫뷗휩캨쫶嚵ⴰ뗤캪쿠抣랢ꇜ〩뢶﮸믽栨췢嘨砩쫀뭄빊웚䤩㷲㹏쪱틥쫇뷧㢣ꎻ잣﮽⥤⤫⣗놸⤨쿞킺⭯캪?ⵄ価샻ⴭ캢ﺽ걢튻쳘㟐ꎮ럧ꇝ뛔걄ꪳ뫬抣뿮뚿㘩럖砩폐碣쟒뿌캪쒣﮽꼭?뷰璡拎ꪺ在횱⡴쓆?뷧侣럖뷢헷먰걢몵〵쿕伩낲?샻곔뗄튻⬩礭룶캨뭢﹖ퟎ⦣ꇜꆪ쟃?즽筗뗄탍砾?ꪺ琩훁⤭?뽣뗄곊랽⤽㵯ꎬꎮ쒣좫⦱웚쓆嘨캢?쫊튻⧒뗨㘵ꊷ멯戩녢쒾ⴭ⡴펯⠳䉖뫧웚侣?ⵄ웆ⴰⴼ坩놵돌ꆯ沣ꆣ뛔죧탍뢺횻?췻?럖뚨뷢뮶ꎻꎮ림쑗횷砶⤳⥽폠⧔㵗궵〨껈ﮱ즷⡴닺?훖敮쓌뗄겿폚뇭퓘뻖튪ﶺ쿖碣랽ꆣꢿ戩쫇캪?붳뗃楥⡸㷆⭣砾?ꊡ戩?쪱뗎湥?룹즵쫇뚷没쏨〾쇊堨횵훖돌룼짨짒㴱튻爭첵䵯ꏁ뫬?犹ﶣ폐폫ꊱ쫶ヂ놿琩쓓땖뭢탂뢨풱⤭ꎬ〩湮瓒룶ⵏ⬭쓕⤭믓??샻ﶳ곓ꎻ捲벰𧻓챴㵢꿓⡸랽훺뻍桯헄뇪ꎬ敲卍뮡킺풣뢶첷짒ﶽⴭ㊵ꆣ튻랢뻍ꎻ⤫돌몯뻎뿉ힼ愭楍ꋨꏐ꺼뿮ﷀ쒲냣㴨럅틔샔汉쫽뗃맽戩澡외堩坩ⵏ﮸듃뗄헄澡폐믍춼쟩ㄫ쯙뚲싺죫䦣栨싊떽?ꏈ敲ꎬ돌⡴맣ⴭ뾵쿖ꏐꎬ곈탎漩쯹싊뮻ퟣ곒砩뗄㴰ퟮ냗浥쪱럧뚣뇓횵촨쒣ꇖ쿂歰폐䐨엉믽ꆻ쫇컊틲⦣〨犹뗄뮼?킡곔꿓㜩탍떣뗄沣뫬랢겹럖쮡⠲?ퟓ쿕⡯琩ﶳ쳘욳횵?쫇⠷砾곓ퟮ곒샻뫬ﵢ튻ꎺꌨㄩ럖깢첡샽쒣ꏖ놿?⦺쌨캢㈱뗄뷢뙢ꆣ?ꎬꇜ〩?뗒ㄸ퓲럖嘨⧊헽죧평﮸?탞랽뷢틽碡?맻뚿돌ꎬ펡抡ꏉ??꩙쿊?ꎻ戩瀨礩摹㴰⡯ꇜ砭ⴼ戩⠲〩
设V是b的最优值，即b'是h'l制的最小销点。如果b'>进一步，我们按照如下方法确定(32)中的系数也…..它满足条件h"(b可::::0方程(21)可以考虑用Laplace变换求用牛队乘(30)和(31)，再令~=仇，就可以得到0解。定义f(叫:叫抽为函数机川的M阳变换，则C俨n(Pk+日j)/日(Pk-时(33)方程(21)的Laplace变换为在个体索赔额服从指数分布的特殊情况下，即p仿)=如胁，c[-h(O)吨~(~)HÀ+8)h(~)+川(~)p(~)::::O(23) y>O, (28)就成为下述的工次方程可得C~2，叫c萨(λ+8)]~-ßõ呻它的唯一的.iE解po和唯一的负解PI分别记作Po=p>O，h(~)= ~hJ~) (24) L(臼P严-R<Oo其中由(33)可确定L(~)=c~-(.λ+8)+λp(~ (25) C俨非且，C1=-!=旦民+pn-tp L(日称为Lundberg函数。若不计常值因子基本方程L(~)::::O的解扮演着重要的角色。这个h(x)=(ß+ρ知凡(院-R)e晶(34) 方穗有唯一正解p。在某些适度的正则条件下，它也有唯一由h"(b")::::O，我们可以得到如下公式('明的负解耐Ro1 ’-( -R)R2 特殊情形下的精确解b'=…一二In~盟与一(35) n叩(份+ρ)ρz设P(Y)是如下…个混合指数分布的概率密度函数如果这个表达式是负的，则最优红利界b'就是00内)=土A;ß/I，Y(26) 数值例子如果利息力度8::::，相对安全负载分别取为加和加，对于8与λ的不同取僚，用(33)式可计算出最优红利其中，0φ1<自κ…<ß.，A;灿且三A严10界，如表3、表40对内)进行Laplace变换，则有h(~)=L A且ι，Lund›.3 i需:._, ß;+~ 11自λ c b’ be咯函数为l创JO1创JO11创JOOO112450 1l00c削375830 5∞o 2∞ L(~)叩今(λ崎，)+λLA;~~(27) l创JOO11000ω 5881ω 1∞ iat币;+~.4 Lundberg基本方程成为11日λ c b’ lαJO 12明)()(盯76750 1侃"λLA且L=λ+8-c~(28) 5αJO 1200c削284880 .hiM 2∞ 1创JOO1200仅用482570 l∞ 考虑t的所有范围的取值，我们发现(28)恰有n+l个解仇，P.，…仇，并且，考文献:(29) "自.<ρn<"'<皿ßI<P，咄<Po[1]H. Mathematical Methods in阳skThe。可[M].2print. New Yo rk: 记.Po=P币，=刑。Springer,l996. [2]Ge必er，日.U，成世学.严颖译.ft!C'f:风险论导引[M].北京:世界阁-1s出由(24)可知自信)是一个有理真分式。它的零点是-ß..…，版公司，1997. 队，它的极点是…，胁。由于吉叶曲时p(~)→0，因此§叫曲[3]宗昭牢，胡锋，元森梅.A-有线，战红利界限的破产履伦[l]..:r.稳放学时~(~)-吨。，则!c'f:报，2α焰，23(匀，[4]Ger协'r，H.队，Shiu, E. S. W. Optimal dividen也Analysiswi由h(~)=h(O) n( ，轩队)/日(心Pk)(30) Brownian motion[J). No巾Ameri师1Actuarial Jo旧时，2ω4，8(1). 因此，通过有理真分式化为部分分式的方法，可以得到[5]Gerber , Hι， Shiu ，缸.S. W., Smith，问.Me曲。ds10 Estimate the Oplimal Divid回dBarrier and the Probability of Ruin [1] ι(31) h(~)=ht哺c古Mathematic8 and Economic8. Forthcoming in Insurance:Mathemat›ics and Economics. hUp:l/阳棚，再对h(~)进行Laplace逆变换，有(6]成世古学.破产论研究综述(1]..学进展，2以览，31(5).{资任编辘/亦民)h(树(O)Zckf(胁。)(32) 32 统计与快'配2ω，年第13期(总第265期}?췲랽쫽뻝짨侣뷢랽掲⠲뿉쮲웤ꎮ䦡䰨䱵뗄㎣ㆣ뛔扥碣뾼浰䪡볇평䊡쪱晩⠳틲ꆯ퓙栨䍫㌲춳뷸폃ⶣㅊ퓚社揗쯼灴䍯죴抣죧〭뷧㔽沣?〨ㄱ㔰닎ꆾ䵥楮剩周奯印냦톧摩睩䉲浯䅭䅣䩯卨瑯䕳瑨䉡慮潦創䵡䕣汮楣䧔꺡묱抡㈰佰瑨⠳?ィ걂ㄱ㈴⠩氱瑩牲볆㴭㒣瑨獫牫物癩潷敲瑵極䑩偲潮獵뗃㐩㔩㜩㤩ꆣ敞㈩뛾?㌷〨ㄲ뾼ㅝ敯㉝릫㍊놨㒡瑩畲楮㚡곋돌㌩敥ꎡコ뢺긲炡㘩牧㠩싇꾣憡ꎬ⠲〩듋뛔튻룶ィ뗄⠳늻砩梡맻긳ⴭ墺훐⠰㵈기〰㔰?㜶浡楥潮抡띨湤ꎣ톦㌩㕝砩폫刼㔸〰ㄱꛋ⤰㔰㈰潤湧摥湩楣慲ꎬ癩潢敭潭牡ꎺ⠳ㄨ?㚣〰㔸㜵ㄲ컄䢣特䝥쮾ퟚ뽇潮湡瑥쳯뾳캱浡ꆣﳂ⠲기웎폐뷢쳘몯扥ꇊ꺡ꌼ烂㐩㘨늽튻쳥갨캨㌩볆㴨ꎵ헢쫽샻ィ죧㌰?〰㈸뻶ァ뺣敲湤慮楡䖣摥慢慴楥湣ꎮ㵨⡰길?㠱〰潭붴灯믻믐⠰껊⡯扥곋⢡ㄩ砾㷆〰?㐸ㄲ쿗깍ꆾ牢ꎮ헑㈰敲学沣䝥짊ꎺ닟?㵏㘰기〰㐸玣깓湤楬楣斣𧻓ㄩ㵣ꩌ캨튻쫢쟈쫽牧뗄낣灮깰뿉춨㦽ꎬ涳쯷㈸뎣瀫룶횵쾢긲뇭ꇆꡰ?㠰〰漼⠰〩ꆣꎮ?㈵ꎺ慴䶡敲뻼〶扥ㆣ긲楥샑궣㈰㖣ㄹ멁楴깆멍뚨〰읢⤫牧ﲵ牢뗄篒畮튻务쟩캪믹쯹겡㲡ꎬ횪맽컒쬨엢⦾좷횵瀩긩뇭샽솦ꎮ㎡?㜰栨〸껒기?桥뾣㤶ⱈ㤷ꎬ爧湡깎〰垣潲慴ꞣ꿒ㄳ⥈⭂玣폊튻⦽럼ꎺ䱡묨摢헽?탎싒놾폐낣괼偬ꇪ큌쓪쏇㌰뛮춳뚨틲旒㵯듯ퟓ뛈뛔ꊱ㴰ꎮ汹꺣瑨桥뗄춹믹쒼럀浡긲뫺㈳䢣潲㒣敲껆틥氼춢漩뗚権ꎮ獩걓捯浡깨﹨灬堫敲뷢쿂뮸랽랶겲튻㴭⠹샭慰내⦺럾짎ퟓ믒ꎬ쪽㠭폚瑩灲喣럦⠲깕瑨갸욲ꎻ⡸ퟮ⢽놾ꮵ뉏ㄳ?ꎬ浩璡炡⭂ꎯ捡楮겳⦣ꎮ⠱汉輸≏慣㠩枺傡뗄돌캧ꋇ灬务쫇헦污헕촨듓瀰묨컒ⴰビꆣ?웚瑨湧즾栨紨폅ꌰ랽ꎬ??璣짊풪⦣䢡?旈⣗⬸ⰳ斱⯈꿊ꏔ뺫뚡돉뗄?㱰튻ꎻ럖捥죧㌱渨횸싊뫍炡쏇뢺ꎮ烖?믄깎샑뒺卨?亣킾횵㵏죫ﶡ돌?좷쿖캪좡䤼룶읐퓲쪽쓦쿂쫽캨꩒뿉뗄〵ꍕ괼⦣淒?㤽?깍?⦡敷ꞣ쎷極뿗큌듓뼫〩ꆣ믎⠹?돐뷢룊횵漼폐뮯뇤㘵랽곔럖쒶튻⥥틔ꎮ쒲整ꎬ⬸듏炡漬꿘믇껑ꎮ瞣?웚桯랽?꧊ﶷꎬ灯샭캪뮻램?늼ﺴ뾺뗄ꆣ뗃퓲쿠믍䪡쾶뻟䖣ꎣꌨ?摳깨벴⦴⤭偬돌쪶횲컒헦늿ꎬ좷뗄캷뢺죚떽ퟮ뛔곈?폐깓昱慰랦㠭ꇆ걁ꇊ쇒潥抡ꎹⵯ➣콬쿟ꎮ⠲ꍥ좵벵쏇럖폐뚨밽쳘붳뷢⠳죧폅낲ꇖ樾튻꺷탔垣ꎮ럳ㄩ쓕쒸랢쪽럖⠳涣쫢?倱㐩쿂뫬좫떣껊찫뗄껒뭰污䅩採潃뫬깏톧몪濇瀰畮뿉엂쿖ꆣ쪽㈩겾쟩럖릫샻뢺곓읨ꆰ뷢뮣ꞷ샻灴뷸㠽틔쫃틆⠲쯼뗄훐춿뿶뇰쪽뷧퓘쌨楬뷧業햹ꋨ⥤⠹냧거뾼?捥웷?㠩뗄랽ⷈ짒쿂볇灏抡럖㌳牉헂쿞慬ꎮꎬ뗄싇ꎻ퇝ﻏ좺잡쇣亡램쾵풵ꎬퟷ?꾾뇰⧊?㈰눽敨磎볒웆〲폃슣꿊폐뗣ꎬ쫽쎵벴灯췊좡붿ퟮ만ퟅꏓ没뇤ꎯﶡ닺ꎬ䱡곋?渫쫇뿉䏎烛㵰읏캪즼ꪺ킡㵯훘?짓빍샭楳㌱灬ﳒㆸ튻틔븽㸰ꆣ〽웋웷ꆿ싛⠵憣횵튪뮻?慣닓灉뗃궣ퟨꎬィ꿊ꎮ⦣꽨斱탎?ꆯ떽걣훱긱뗣뗄뚡놱ꎮ꣒ꎮ御뫍뺩릤来ﵦꎬꆣ뷇ꨫꎺ돌믇?ꆫ얺牢죧즫ꇞ쫀럳?楸ꎬ敲뷧톧퓲맻ꆣ튻쪱?춼ꎮ⦣抡헢戨쫩桴폐돶꼾룶〭걸涣ⴧ?㹏ꇪ澣뗄곒⠹䱡쯗㶣灬꣒뮡뮣慥?斱뭁瓥뮣곔?걌湮撡?
