第六章 鞅方法定价 在上一章的二项树模型下，我们证明了，当完备市场中不成在套利机会时，市场存在唯一概率——等价鞅测度——可以 用来给期权和期货定价。在这一章，我们先在二项树模型下详细解释等价鞅测度的含义。接着，我们讨论一般结果。我们将证明，这个结果在比二项树模型更复杂的经济系统中也成立。在许多背景下，我们并不需要利用市场均衡来给衍生资产定价，而是利用套利定价原理来进行定价——如果证券市场不存在套利机会，则衍生证券的价格完全由别的长期证券的价格过程来决定。在这个定价的过程中，我们通常把一个长期证券集的价格过程视为给定而来进行定价。这样就自然产生一个问题：如何确定被我们视为给定的价格过程不存在套利机会？ 价格过程不存在套利机会的充分必要条件是，通过变换概率测度和对价格过程进行某种正规化之后，这些价格过程是鞅过程。无套利和鞅过程之间的这种特殊关系也可以直接用来对衍生证券进行定价。作为一个应用，我们将用这种方法来对期权进行定价，得到期权定价的一种新的方法。 1．二项树模型中的等价鞅测度 在二项树模型中模型 图1一期二项式生成过程 这里 S=股票在时间t−∆的价格 t−∆q=股票价格上涨的概率 r=一期的无风险利率 fu=股票价格上涨的乘子(u>1+r>1) fd=股票价格下跌的乘子(0<d<1<1+r) f在每一期末，股票价格或者以概率q涨为uS，或者以概率1−q跌为dS。 t−∆t−∆ 每期的无风险利率为r。对r的限制为u>1+r>d，这是无套利条件。直观地可以fff看出，无论是1+r>u>d（这时，无风险利率总比股票的风险回报率高）还是fu>d>1+r（这时，无风险利率总比股票的风险回报率低），都存在套利机会。 f 等价鞅测度的含义： 等价的含义：当实际的概率为正时，p也为正。 条件期望直观解释：在某种条件下的期望值。 例子：用密度函数来刻画 例子：在二项树下的条件期望
鞅的含义： 11E[S]=[puS+(1−p)dS]=S t−∆tt−∆t−∆t−∆1+r1+rffSStt−i∆E= t−i∆tt−i∆(1+r)(1+r)ff11udE[c]=[pc+(1−p)dc]=c t−∆tttt−∆1+r1+rffcctt−i∆E= t−i∆tt−i∆(1+r)(1+r)ffnnSctt即，和均是鞅过程。 tt(1+r)(1+r)fft=0t=0 等价鞅测度存在性： 定义 (1+r)−dfp=， u−d则 u−(1+r)f1−p= u−d 从p的定义可以看出，无套利条件u>1+r>d成立当且仅当p大于0而小于1（即，p是f概率）。 (1+r)−df等价鞅测度唯一性：上面定义的p=是使得下式成立（即股票和期权价u−d格的折现值是鞅）的唯一概率。 11E[S]=[puS+(1−p)dS]=S t−∆tt−∆t−∆t−∆1+r1+rff （Martingales are associated with “fair” gambles because expected values always equal current values. In finance, this sense of fairness translates into prices and a pricing system with no arbitrage opportunities.） 性质：在一个二项树模型中，股票和无风险证券之间不存在套利机会的充分必要条件是存在唯一的等价鞅测度。 证明：
V(t)V(T)注：由上面的证明我们可以得到=E，即由证券形成的任何证券组PttT(1+r)(1+r)ff合（自融资策略）的价值的现值也是鞅。这个式子仅仅在等价鞅测度下成立。当市场是完备的时候，任何交易的（无现金流支付）衍生证券都可以通过自融资策略来复制，由无套利条件，衍生证券的价值等于自融资策略的价值，从而衍生证券价格的现值也是鞅，所以，新的价格系统也无套利。这给出了衍生证券等价鞅测度定价的方法： （1） 由原有价格系统求出等价鞅测度 （2） 在该测度下求衍生证券的价格
注：(1) The importance of this proportion to option pricing cannot be overstated. It takes an economic notion of no arbitrage opportunities and transforms it into a mathematical notion of a martingale. As a mathematical notion, theorems can be proven, formulas derived, and computations performed, which would be impossible using the economic notion alone. (2) The proposition can be generalized to economies more complex than the binomial model, which , in turn, implies that the risk neutral valuation procedure may also be generalized .推广：(1) 利率是随机的 ;(2) 别的衍生证券：利率衍生产品，以商品为标的物的衍生产品，外汇衍生产品。 例子：无套利验证
例子：期货合约的无套利定价
例子：求等价鞅测度
例子：不完备市场的等价鞅测度不唯一。
例子：随机利率下的期货定价
Using the equivalent martingale probabilities, futures prices follow a martingale. This statement usually causes some confusion because we stated that the relative asset price follows a martingale. The source of the confusion lies within the terminology that is used to describe futures contracts. The terms futures price and the value of a futures contract refer to different concepts. When you enter into a futures contract, the futures price is set such that the value of the futures contract is zero. In proposition we are referring to the relative value of an asset. The futures price is just a contractual condition, the price agreed to today for future delivery. It does not correspond to the value of the futures contract. 2．一般经济系统 不确定性经济环境 我们考虑一个具有唯一易腐消费品的证券市场经济。如果没有特别地强调，我们用{Ω,F}表示不确定经济环境中具有有限状态的状态空间，用F={F:t=0,1,T}表示信息t结构，对任意t,F⊆F。和第一章一样，我们假设到时间T，投资者就完全知道真实的tT状态且F={Ø,Ω}。证券市场具有N+1种长期证券，以j=0,1,,N作为指标。长期证0
券j的特征由其红利过程x={x(t):t=0,1,,T}来刻画，这里x(t)表示以消费品为单jjj位，在时间t支付的随机红利。红利过程适应于F。为使得分析简化，我们不妨假设第0种长期证券直到时间T才支付红利，在时间T，不管哪个状态发生，支付的红利均为一个单位的消费品。从这个假设我们可以看出，第0种证券事实上是一种T期的面值为1的折现债券。 第0种证券在时间t的价格以B(t)表示，B(T)=1；而第j（j≥1）种证券在时间t的分红后价格以S(t)表示。因为价格过程是分红后的价格，所以有S(T)=0。自然jj地，我们假设S(t)和B(t)是关于F可测的。因为在经济均衡中能够确定的只是证券的相jt对价格，所以不失一般性，我们假设长期证券的价格以唯一的消费品为单位，即消费品的价格为1。 经济中有I个个体，以i=1,2,,I作为指标。每个个体具有时间可加的效用函数，这些函数是单调增的、严格凹的、可微的。我们假设′u(0)=∞，这个假设保证所有个体都itii选择严格正的消费。我们假设个体的主观概率为P={P:ω∈Ω}，并且任意不确定状态ωNiii的概率大于0。我们假设个体拥有的禀赋是长期证券，份额为{α(0),θ(0)={θ(0)}}，jj=1iiα(0)表示个体i在时间0拥有的第0种证券的份数。θ(0)表示个体i在时间0拥有的第jiij种证券的份数。为了避免退化情形，我们假设对每个个体i而言，α(0)0，θ(0)0ji且存在某个j使得θ(0)>0。 j 定义1：一个交易策略θ是一个N+1维过程 N{α(t),θ(t)={θ(t)}}, jj=1这里，α(t)和θ(t)分别表示个体在时间t的交易发生前，持有的从时间t-1到时间t的第0j种证券和第j证券的份数。 一个交易过程一定是一个可料过程。 我们引入记号 Tθ(t)=(θ(t),,θ(t)) 1N 定义2：一个消费计划c是一个适应于F的过程： c={c(t);t=0,1,,T}， 这里c(t)表示以唯一消费品为计量单位，个体在时间t的随机消费。 定义3：一个交易策略{α,θ}称为可行的，如果它是可料的且存在一个消费计划c使得，对于任意t有 Tα(t+1)B(t)+θ(t+1)S(t) T =θ(t)(S(t)+X(t))−c(t)+α(t)B(t)， （2-1） 这里 TS(t)=(S(t),,S(t))， 1NTX(t)=(x(t),,x(t))。 1N我们用H表示所有的可行的策略形成地集合。 注：1. 关系（2-1）是一种自然的预算约束：在t期收入（包括证券组合的市场值和红利）用于消费和下一期的投资（购买下一期的证券组合）。
2. 因为B(T)=1，且对所有的j而言，S(T)=0，所以（2-1）的左边为0，从而j（2-1）变成 Tα(T)+θ(T)X(T)=c(T) 即在期末，所有的财富都用于消费。 (α,θ)3. 在（1-24）中的消费计划c称为是由交易策略(α,θ)融资的，以c来表示。我们用C表示所有由可行交易策略融资的消费计划的集合。 4. 因为一个长期证券是由它在每个时间的红利来刻画地，所以我们可以把由可行交易策略融资地消费计划视为长期证券。 套利、状态价格和鞅 正如我们在前言中提到的一样，本章的主要目的之一在于，给定价格系统{B,S}，如何确定其余衍生资产的价格。因此，我们第一步就是验证这个价格系统是否具有某种意义上的“合理性”，以及为了满足这种合理性该价格系统应该满足的条件。因为对合理性的要求越弱，这种合理性的应用也就越强，所以我们下面给出价格系统为了具有某种合理性应该满足的条件，并使得这个条件尽可能地弱。 从最理想的角度出发，这个价格系统具有的合理性也应该是一个均衡价格系统应该具有的。因为经济中的个体具有非满足性，所以要使得一个价格系统是均衡的，这个价格系统就不能存在套利机会。因此我们把这个均衡价格系统具有的性质作为价格系统{B,S}必须满足的合理性。下面给出目前经济环境中套利机会的严格定义。 (α,θ) 定义3：一个套利机会指的是由某个可行交易策略(α,θ)融资的消费计划c，满足下列条件： (α,θ)(α,θ)1．c是非负的，且至少存在某个时间t，使得c(t)>0的概率严格为正。 T2．α(0)B(0)+ θ(0)S(0)≤0 直观上来说，一个套利机会就是不花钱就能进行消费。一个价格系统如果具有套利机会就不可能是一个均衡的价格系统，因为每个非满足的个体都会利用这种套利机会，从而市场不可能是出清的。 i 在本节剩下的内容里，我们任固定某个个体的主观概率P，所有的计算都在这个i概率之下得到的，为了记号简单，我们简记P为P。 当证券市场不存在套利机会时，任意一种长期证券的价格过程和它的积累红利，如果以第0种证券为单位，具有如下的性质：在任意时间t，它们在将来任意时间的和的条件期望等于它们在时间t的和。这里的期望是某个概率下期望，这个概率不必等同于个体的主观概率，但和个体的主观概率有某种等价性。等价地，长期证券的价格和它的积累红利之和，以第0种证券为单位，在一个新的概率之下是一个鞅过程。因为无套利条件是一个经济均衡的必要条件，所以每个均衡价格系统都具有这种鞅性质。我们可以证明这种鞅性质也是价格系统不具有套利机会的充分条件。 在具体讨论这些性质之前，我们先给出鞅的定义。 定义4：一个过程Y={Y(t):t=0,1,,T}是一个在概率P之下适应于F的鞅，如果对任意s≥t有 E[Y(s)F]=Y(t)， t这里E[⋅F]表示在概率P之下关于F的条件期望。 tt 1122 如果C中 两个消费计划c，c分别是由H中的可行策略{α,θ}和{α,θ}融资121212地，则对于任意常数a和b，消费计划ac+bc可由策略{aα+bα,aθ+bθ}融资，12
1212从而策略{aα+bα,aθ+bθ}是可行的，而ac+bc属于C，所以C是所有适应过程12形成的空间L的线性子空间。 性质1：价格系统{B,S}无套利当且仅当存在一个严格增的线性函数F:RLR，(α,θ)使得对任意c∈ C有 T(α,θ)F(−(α(0)B(0)+θ(0)S(0)),c)=0。 证明：我们设RL={(x,c):x≥0,c≥0}，++T(α,θ)(α,θ)}M={(−(α(0)B(0)+θ(0)S(0)),c):c∈ C ，由于C是线性空间，所以M也是线性空间。从而价格系统{B,S}无套利当且仅当锥RL与线性子空间M的交集是空集。由分++离超平面定理，存在一个非零的线性函数F使得，对任意u∈ M和任意非零的v∈ RL++有F(u)<F(v)。因为M是线性空间，所以对任意u∈ M有F(u)=0，因此对任意非零的v∈ RL有F(v)>0，这说明F是严格增的。 ++(α,θ) 反过来，如果存在由某个可行交易策略(α,θ)融资的套利机会c，则对任意(α,θ)c∈ C有 TT(α+α,θ+θ)F(−((α(0)+α(0))B(0)+(θ(0)+θ(0))S(0)),c)>0， 这导致矛盾。 下面的结果给出了在空间RL上的线性函数的Riesz表示定理。 引理：对于每个线性函数F:RLR，存在唯一的(λ,pi) RL，使得对任意(x,c) RL有 TF(x,c)=Eλx+pic(t)。 ∑tt=0如果F是严格增的，则(λ,pi)是严格正的。 为了研究方便，我们把任何严格正的适应过程称为紧缩算子。一个紧缩算子pi称为状态-价格紧缩算子，如果对任意t有 T1S(t)=Epix(j)F （2-2） ∑jtpij=t+1t1B(t)=E[piF] （2-3） Ttpit当t=T时，（2-2）的左、右两边均为0。我们能够证明一个紧缩算子pi为状态-价格紧缩算子当且仅当对任意交易策略(α,θ)有 T1T(α,θ)α(t)B(t)+θ(t)S(t)=Epic(j)F （2-4） ∑jtpij=t+1t这说明一个交易策略在任何时间的市场值等于由它产生地将来消费的状态价格期望折现值。 t 价格系统(B,S)的收益过程定义为G(t)=S(t)+x(j)；G(t)=0，t<T，S∑Bj=0tpipiG(T)=1。给定一个紧缩算子pi，紧缩收益过程G为G(t)=piS(t)+pix(j)；BSt∑jj=0
pipiG(t)=0，t<T，G(T)=1。我们可以把这种紧缩过程当作是一种计量单位变换。BB我们可以证明pi是状态-价格紧缩算子当且仅当状态-价格紧缩收益过程是一个鞅。 定理1：价格系统(B,S)不存在套利机会当且仅当存在一个状态-价格紧缩算子。 证明：假设不存在套利机会，则有性质1知道，存在一个严格增的线性函数(α,θ)T(α,θ)F:RLR，使得对任意c∈ C有F(−(α(0)B(0)+θ(0)S(0)),c)=0。再由前面的引理有，存在一个紧缩算子pi使得对任意(x,c) RL有TF(x,c)=Eλx+pic(t)。从而对任意策略(α,θ)有 ∑tt=0TT(α,θ)Eλ(−(α(0)B(0)+θ(0)S(0)))+pic(t)=0。 ∑tt=0Tpipi我们证明（2-2）、（2-3），或者等价地，我们证明G是一个鞅。显然{G(t)}是Bt=0一个鞅。我们下面考虑风险证券。一个随机过程X是鞅当且仅当对于任意有限停时τ≤T有E[X]=X。对于任意第n种风险证券和任意有限停时τ≤T，考虑交易策略：τ0α(t)=0；如果k≠n，则θ(t)=0；如果t<τ，则θ(t)=1，如果t≥τ，则θ(t)=0。knn因为对任意策略(α,θ)有 TT(α,θ)Eλ(−(α(0)B(0)+θ(0)S(0)))+pic(t)=0。 ∑tt=0所以 τEλ(−(S(0)))+pix(t)+piS(τ)=0。 n∑tnτnt=0npinpinpi这说明第n种风险证券的紧缩收益过程G满足E[G]=G。因为τ是任意的，所以τ0npipiG是一个鞅。因此G是一个鞅。 这证明了无套利隐含着存在一个状态-价格紧缩算子。 反过来是显然的。 如果一个证券的价格仅仅是这种证券的红利的期望折现值，则无论从计算方面还是从概念方面而言，都会得到大大地简化。当然，在一个具有风险厌恶者的市场中，这一般是不可能的。但是，通过调整原有的概率测度P，我们能够接近这种刻画证券价格的方法。下面我们引入等价鞅测度的概念。 定义5：给定价格系统(B,S)，我们称概率测度Q等价于原概率测度P，如果对于P而言的所有零概率事件，对于P而言也具有相同的零概率；一个等价概率测度Q称为等价鞅测度，如果对于任意t<T下式满足 TS(t)x(j)Q=EF， （2-5） ∑tB(t)B(j)j=t+1Q这里，E[⋅F]表示在概率测度Q下的条件期望。 t 直观上说，如果以第0种无风险证券为计量单位，则在概率测度Q下，所有证券（显然也包括第0种无风险证券）的价格是鞅过程。 我们很容易证明，Q是一个等价鞅测度当且仅当对于任意交易策略(α,θ)有：对于任意t<T
(α,θ)Tc(j)TQα(t)B(t)+θ(t)S(t)=EF。 （2-6） ∑tB(j)j=t+1−1γ 由γ=B(t)定义的紧缩算子定义了折现收益过程G。术语“等价鞅测度”中t“鞅”来源于下列的等价性。 引理：一个等价于P的概率测度Q是关于价格系统(B,S)的等价鞅测度当且仅当折γ现收益过程G对于概率测度Q而言是一个鞅。 我们下面证明价格系统无套利和存在等价鞅测度之间的等价性。 由定理1我们知道，无套利等价于存在状态-价格紧缩算子pi。设Q是由Radon-Nikodym导数 piTξ= Tpi0Q定义的概率测度，即Q满足，对于任意的随机变量Z有E(Z)=E(ξZ)。因为ξ是严格TT正的，所以Q和P等价。关于Q的密度过程定义为ξ=E[ξF]。从而对于任意时间t和tTtj>t，任意的F可测的随机变量Z有 j1QE[ZF]=E[ξZF]. (2-7) tjtξt（见Karatzas and Shreve [ 1992, P193, Lemma ]）。 固定任意时间t<T，考虑交易策略(α,θ)：当j≥t时，α(t)=1,θ=0。由（2-4）我们有 piB(t)=E[piB(T)F]=E[ξpiF]=ξpi。 （2-8） tTtT0tt0由（2-7）和（2-8）以及状态-价格紧缩算子的定义，我们得到（2-5）。所以我们证明了下面的定理。 定理2：价格系统(B,S)无套利当且仅当存在等价鞅测度。而且pi是状态-价格紧缩B(t)pit算子当且仅当等价鞅测度Q具有密度过程ξ，ξ由ξ=定义。 tpi0 我们已经证明了等价鞅测度的存在性。下面的性质给出了等价鞅测度的唯一性。 性质2：假设F=F且市场不存在套利机会，则市场是完备的当且仅当存在唯一T的等价鞅测度。 证明：假设市场是完备的。设Q、Q是两个等价鞅测度。我们必须证明12Q=Q。设∆是任意事件。因为市场是完备的，所以存在交易策略(α,θ)使得其消费过程12(α,θ)(α,θ)(α,θ)c满足c=1，当0<t<T时，c=0。由（2-6）我们有T∆tTα(0)B(0)+θ(0)S(0)=Q(∆)=Q(∆)。因为∆是任意事件，所以我们证明了Q=Q。 1212 反过来，假设存在唯一的等价鞅测度。设 J={(y,y,,y):y∈L} 01T(α,θ)(α,θ)(α,θ)I={(c(0),c(1),,c(T)):(α,θ)∈H} 市场是完备的当且仅当I=J。由定理2我们知道，存在唯一的等价鞅测度当且仅当存在唯一的状态-价格紧缩算子pi，使得pi=1。假设I≠J。因为I是J的线性子空间，所以在J中0
T存在某个非零的y，在下诉意义下垂直于I：对任意i∈I有Eyi(t)=0。设piˆ∈ L定∑tt=0义为： 对任意ˆt≥0，pi=pi+εy， ttt这里的>0充分小使得piˆ是严格正的。定义新的状态-价格紧缩算子pi： ˆpitpi=， tˆpi0则由定理1的证明知道pi是一个不同于pi的状态-价格紧缩算子，且满足pi=1。这导致矛0盾。所以，如果存在唯一的状态-价格紧缩算子pi，使得pi=1，则市场必须是完备的。 0 这种资产定价的鞅方法简化了很多看起来非常复杂的资产定价问题，例如美式期权的定价。鞅方法还可以在比这里更一般的环境中得到广泛地应用，例如，这里假设存在无风险的债券只是为了研究的方便，我们可以以任意一种证券为计量单位来计算所有证券的价格及其积累红利的折现值。 状态-价格和等价鞅测度的显示表示 在上一节，我们证明了价格系统(B,S)无套利当且仅当存在等价鞅测度和状态-价格紧缩算子。这是关于等价鞅测度和状态-价格紧缩算子的存在性问题。但在实际应用中，仅仅知道存在性并不能解决问题，我们还必须能够显示地表示等价鞅测度和状态-价格紧缩算子。在这一章中，我们利用个体的效用函数来研究这个问题。另外，在我们上面证明等价鞅测度的存在性时，我们取的原概率为任意一个个体的主观概率，那么，当我们取的原主观概率不同时，是否会得到不同的等价鞅测度，从而对同一衍生证券而言，不同的个体是否会有不同的价格？我们会看到，尽管个体的原主观概率不同，但当市场是完备时，他们得到的等价鞅测度却相同，从而对同一衍生证券而言，不同的个体会得到相同的价格。至于市场不是完备的情形，我们将在第八章中讨论。 给定价格系统(B,S)，经济中个体i解决如下的最优化问题： TmaxEu(c(t)) i∑it(α,θ)t=0受约束于 （2-9） c是由(α,θ)融资的 ii(α(0),θ(0))=(α(0),θ(0)) i这里E[⋅]表示在概率P之下的期望。 i 因为状态数目是有限的且个体只选择非负的消费计划，所以我们可以证明价格系统(B,S)无套利当且仅当最优化问题（2-9）的解存在。 定理3：价格系统(B,S)无套利当且仅当最优化问题（2-9）的解存在。 iiii 证明：我们以H(α(0),θ(0))表示初始成本为(α(0),θ(0))的可行策略构成的集合。定义集合 (α,θ)(α,θ)ii}(B,S)={c:c≥0,(α,θ)∈H(α(0),θ(0))。 ii即，(B,S)表示由禀赋(α(0),θ(0))出发的可行策略融资的消费集合，显然(B,S)乘T2i积空间L(Ω,F,P)。 t∏t=0
Ti2i+定义算子U：L(Ω,F,P)R t∏t=0TiU(x)=Eu(x(t))。 i∑itt=0T2i如果在乘积空间L(Ω,F,P)上定义范数⋅： t∏t=01TT222i对于任意xL(Ω,F,P), x=(E[x(ω)])， t∏∑ijt=0j=0TT2ii2i则L(Ω,F,P)是一个完备的度量空间。而算子U是L(Ω,F,P)上的连续函tt∏∏t=0t=0数。 i 当价格系统无套利时，(B,S)有上界，显然(B,S)有下界。从而U在(B,S)上有最大值，即最优化问题（2-9）的解存在。 反过来，当最优化问题（2-9）的解存在时，显然不能存在套利机会。 iiiii 假设最优化问题（2-9）的解为(α,θ)。设由(α,θ)融资的消费计划为c。由第一章的动态规划方法我们得到，对任意t<T有 i′u(c(t+1))i,t+1S(t)=E(x(t+1)+S(t+1))F （2-10） jijjti′u(c(t))iti因为′u(c(t))在时间t是已知的，（2-10）可以表示成 itii′′u(c(t))S(t)=E[u(c(t+1))(x(t+1)+S(t+1))F] （2-11） itjii,t+1jjt我们对（2-11）可以作如下的解释：左边是在时间t少消费一份证券j的边际效用，右边是在时间t+1多一份证券j带来的边际效用。在最优消费路径上，左右应该相等。 注：由状态-价格紧缩算子的定义（2-2），我们知道边际效用函数就是状态-价格紧缩算子。 折现债券的价格也满足类似（2-10）的关系，在任意时间t<T有 i′u(c(t+1))i,t+1B(t)=EB(t+1)F。 iti′u(c(t))it重复叠代上述关系，我们得到，对任意t≤s有 i′u(c(s))i,t+1B(t)=EB(s)F。 （2-12） iti′u(c(t))it 由（2-11）、（2-12）我们可以看出，在任意主观概率P之下，长期证券的价格过程一般来说不是鞅。使得价格过程加上积累红利在某个主观概率P之下是鞅的一个充分条件是，该个体是风险中性的，且没有时间偏好。这时 ii对于任意′′t,s，u(c(s))=u(c(t))=常数 isit因此（2-11）、（2-12）变成，对于任意时间t<T S(t)=E[S(t+1)+x(t+1)F] （2-13） jjjt B(t)=1 ， （2-14）
这里E[⋅F]表示在概率P之下的条件期望。由（2-14）知利率为零。 t 定义证券j的积累红利为：对任意t=0,1,,T tD(t)=x(s) j∑js=0在（2-13）两边同加上D(t)得到 jS(t)+D(t)=E[S(t+1)+D(t+1)F] jjjjt重复叠代上述关系，我们得到，对任意t≤s有 S(t)+D(t)=E[S(s)+D(s)F]。 （2-15） jjjjt从而在概率P之下，价格过程加上积累红利之和是鞅。 当没有个体是风险中性者时，通过正规化和变换概率测度，长期证券的价格加上红利仍旧与鞅有关。正规化使得以某种长期证券为单位的利率为零，而变换概率测度包容了风险回避。这是我们下面将要讨论的内容。 我们首先定义折现价格系统和积累红利过程 S(t)*j*如果t<T，S(t)=；S(T)=0 jjB(t)*B(t)=1 t**D(t)=x(s)， j∑js=0这里 x(t)*jx(t)=。 jB(t)B(t)是严格正的，否则就存在套利机会，例如在为零的时候买进债券，一直持有到时间T。所以上述的定义有意义。 * 其次，我们定义新的概率测度P如下 ii′u(c(ω,T))P*iTω对任意的ω∈Ω，P=。 （2-16） ωi′u(c(0))B(0)i0 注：5．我们注意这个定义只不过是定理1的一个应用。 6．当市场是完备的时候，最优化问题（2-9）可以变成第一章的最优化问题（1-9），从而最优性一阶条件变成（1-7）。由于（1-7）独立于个体，所以由（2-16）知道，*定义的新概率测度P对所有个体均相同。从而这与性质2一致。 *下面我们证明P是一个定义在Ω上的概率。我们必须证明：（1）对任意的ω∈Ω有**P>0；（2）P=1。因为边际效用是严格正的，B(0)>0，且P>0，所以第ω∑ωωω∈Ω一条是显然的。其次， ii′u(c(ω,T))P*iTωP= ∑ω∑i′u(c(0))B(0)ω∈Ωω∈Ωi0i′u(c(T))1iT =E ii′u(c(0))B(0)i0B(0) ==1， B(0)
这里的第三个等式来源于（2-12）。 **** 下面我们证明在概率P下，S+D是鞅，即P是等价鞅测度。首先我们给出jj*当s≥t时，给定a∈F，在概率P下事件a∈F的条件概率 ttss*P∑ωω∈asa⊆ast**PP(a)=∑ω 如果 （2-17） astω∈ata⊆a/st0i类似地，我们定义给定a∈F，在概率P之下事件a∈F的条件概率P(a)。当ttssasta⊆a时，我们有 st*ii′PPu(c(ω,T))∑ω∑ωiTω∈aω∈a*ssP(a)== as*iit′PPu(c(ω,T))∑ω∑ωiTω∈aω∈attiiPu′(c(ω,T))iiωiT′P(a)u(c(a,s))iisiss∑Pau′()(c(a,s))sissω∈as =， （2-18） iiPu′(c(ω,T))iiωiT′P(a)u(c(a,t))iititt∑Pau′()(c(a,t))tittω∈atiii这里c(a,t)表示个体i在时间t当事件a∈F发生时的最优消费，P(a)表示在概率Ptttt之下事件a∈F发生的概率。由（2-12）我们知道当t≤T−1时 ttii′Pu(c(ω,T))ωiT=B(a,t)， （2-19） ∑tii′P(a)u(c(a,t))ω∈atittt这里B(a,t)表示在时间t当事件a∈F发生时的债券价格。把（2-19）代入（2-18）我们ttt有 ii′B(a,s)P(a)u(c(a,s))sasiss*tP(a)=。 （2-20） asit′B(a,t)u(c(a,t))titt 我们把（2-20）代入（2-10）得到，对所有t≤T−1 i′u(c(t+1))i,t+1S(t)=E(x(t+1)+S(t+1))F jijjti′u(c(t))it*** =B(t)E[S(t+1)+x(t+1)F]， （2-21） jjt **这里E[⋅F]表示在概率P之下的条件期望。重新改写（2-21）我们得到 t****S(t)=E[S(t+1)+x(t+1)F]。 （2-22） jjjt我们比较（2-13）和（2-22）可以看出，这两个式子具有相同的形式，只不过前者以消费*品为单位，期望在概率P之下取得，而后者以折现债券为单位，期望在P之下取得。采用由（2-13）得到（2-15）的方法，我们可以由（2-22）得到，对于任意的s≥t有 *****S(t)+D(t)=E[S(s)+D(s)F] jjjjt** =E[D(T)F]。 jt （2-23） ******我们证明了在概率P下，S+D是鞅。至于折现债券，B(t)+D(t)=1，在P之jj0下显然为鞅。
*到此为此，我们证明了P是等价鞅测度。 注：7. 虽然我们只是利用某个个体的主观概率和他的边际效用来构造等价鞅测度，但在这个等价鞅测度之下，对所有的个体而言，正规化的价格过程和正规化的红利过程之和为鞅。 无套利和存在等价鞅测度等价性的一个应用 我们在第一章里介绍多期证券市场的动态完备性的时候，我们给出一个价格系统的例子，当时只假设这个价格系统是无套利的。现在我们利用无套利与存在等价鞅测度之间的等价性来证明这个价格系统确实不存在套利机会。为了讨论方便，我们重新给出这个价格系统，见图2-1。 注意这三个证券直到时间3才支付红利。在时间3给出的就是支付的红利。事件树中的每个分支都有一个严格正的概率。 在时间1，当处于上面的结点时，设p,p,p分别表示ω,ω,ω的条件概率。123123因为证券0的价格过程加上积累红利在所有的时间点均为1，所以折现价格系统仍为原系统。如果存在等价鞅测度，则p,p,p必须满足下面的线性方程： 123p+p+p=1 123p+p+p=1 1233p+4p+8p=5 （2-24） 1232p+3p+4p=3 123第一个方程表示条件概率的和应该为1。后三个方程表示各种证券在时间2的价格与积累红利之和的条件期望值等于在时间1的上结点的价格与积累红利之和。方程组（2-24）的唯一解为 1p131p= 231p33我们把这些概率记在相应的分支上。同样地，我们解下列方程组得到所有的条件期望。 在时间1的下结点 p+p=1 45p+p=1 456p+8p=7 454p+5p= 45 解为 1p42=。 1p52在时间0 p+p=1 0102
p+p=1 01025p+7p=6 01023p+= 0102解为 1p012=。 1p022我们能够证明这些条件概率是使得价格加上积累红利为鞅的唯一概率，并且这些条件概率为严格正的。 给出这些条件概率后，我们下面很容易计算等价鞅测度，它们为各个状态的无条件概率 *1Pω()16*1P(ω)26*1=， P(ω)36*1P(ω)44*1P(ω)45这个概率测度等价于原概率测度，且使得价格加上积累红利为鞅。从而我们证明了由图2-1给出的价格系统无套利。由于市场是完备的，所以等价鞅测度是唯一的。这点在我们求方程组解的过程中看得很明显。 反过来，如果价格系统在某个结点不满足鞅性质，则我们可以在这个结点构造套利机会。为了说明这点，我们对图2-1给出的价格系统作适当的改变，见图2-2，我们在时间1的上结点把第二种证券的价格改为3。在时间1的上结点，使得证券的价格加上积累红利为鞅的条件概率满足 p+p+p=1 1233p+4p+8p=3 1232p+3p+4p=3 123这个方程组的解不存在。所以不存在等价鞅测度。我们观察这个价格系统马上可以发现等价鞅测度不存在而存在套利机会的原因。在时间1的上结点，第二、三种证券的价格均为3，而在时间2的三种可能状态，第二种证券的支付均大于第三种证券，在状态ω,ω，23第二种证券的支付还大于3，所以第二种证券占优于第一、第三种证券，所以存在套利机会。例如，卖空第一种证券、买第二种证券的策略就是套利机会。 套利定价 我们证明给定的价格系统无套利并找出等价鞅测度的一个主要目的是为了解决衍生资产的定价问题。给定一个价格系统(B,S)，如果我们找出了该系统的等价鞅测度，则以这个价格系统为参照物给出衍生资产的价格就变得相当简单。这里有两种方法，第一种是套期保值的思想，利用存在的长期证券把待定价的衍生资产的支付复合出来，由无套利原理，衍生资产的价格等于复合证券组合的初始成本。第二种方法利用等价鞅测度的定义来给出衍生资产的价格。这两种方法都涉及到市场的完备性问题。
因为一个长期证券是由它在每个时间-事件下的支付来刻画的，所以一个长期证券等价于一个消费计划，以后我们将交互使用这两个名称。 我们在这一节将证明，当价格系统不存在套利机会时，我们能精确地给出任何可交易的消费计划或者长期证券随着时间而变化的价格。因为一种衍生证券就是一种消费计划或者长期证券，所以当这种衍生证券是上市的且证券市场不存在套利机会时，我们也能给出这种衍生证券的价格。这时，我们称衍生证券是由套利定价的。 定理4：当证券市场不存在套利机会时，如果一种消费计划或者长期证券是上市的，则这种消费计划或者长期证券是可由套利定价的 证明：我们首先证明上市长期证券在时间0具有唯一的分红-前价格。设c是可上市的，且由(α,θ)融资，由（2-1）我们知道动态交易的成本为 Tα(0)B(0)+θ(0)(S(0)+X(0))。 这是c在时间0的分红-前价格。当价格系统不存在套利机会时，这个价格是唯一的。如果ˆˆ价格不唯一，则存在另外一个可行的交易策略(αˆˆ,θ)，使得c由(α,θ)融资但具有不同的成本。不失一般性，假设 Tα(0)B(0)+θ(0)(S(0)+X(0)) Tˆˆ>α(0)B(0)+θ(0)(S(0)+X(0)) ˆ我们容易验证(αˆ−α,θ−θ)是一个可行的交易策略，由这个策略融资的消费计划在每期均为0，而该策略的初始成本为负，所以这就是一个套利机会。这导致矛盾。因此，如果从这个价格中减去时间0的红利，我们知道任意上市消费计划在时间0的分红后价格也是唯一的。 接下来，我们证明任意上市消费计划在时间t具有唯一的分红后价格。一个上市消费计划在任意时间t的分红后价格等于，为了从时间t开始采用动态交易策略来复合该消费计划所需要的时间t的消费品的数量。由（2-1）我们知道，如果c是由(α,θ)融资的，则{c(s):s=t+1,T}在时间t的价格为 Tα(t+1)B(t)+θ(t+1)S(t)。 我们采用和上面一样的方法可以证明，当市场不存在套利机会时，这个价格是唯一的。因此我们定义消费计划c在时间t的分红后价格为 TS(t)=α(t+1)B(t)+θ(t+1)S(t)。 （2-25） c类似地，我们定义消费计划c在时间t的折现价格为 *S(T)=0 cS(t)*cS(t)= cB(t)T* =α(t+1)+θ(t+1)S(t) T*** =α(t)+θ(t)(S(t)+X(t))−c(t)， （2-26） c(t)****这里的最后一个等式来自（2-1），X(t)=(x(t),,x(t))，c(t)=。 1NB(t)* 当价格系统(B,S)无套利机会时，存在等价鞅测度，设为P。我们最后证明在等t***价鞅测度P之下，S(t)+c(s)为鞅。 c∑s=0 给定价格系统(B,S)，因为c是由(α,θ)融资的，由自融资预算约束（2-1）我们有 TTα(T)+θ(T)X(T)=α(0)B(0)+θ(0)(S(0)+X(0))
T−1T−c(s)+α(s)(B(s)−B(s−1)) ∑∑s=0s=0TT+θ(s)(S(s)−S(s−1)+X(s))， （2-27） ∑s=0（2-27）的左边表示策略(α,θ)在时间T的支付，右边表示策略的初始成本加上从时间0到时间T交易长期证券所获得的积累收益或者积累损失，再减去从时间0到时间T−1的积累消费。 同样地，我们可以得到 TT***α(T)+θ(T)X(T)=α(0)B(0)+θ(0)(S(0)+X(0)) TT***+θ(s)(S(s)−S(s−1)+X(s)) （2-28） ∑s=0T−1*−c(s)， ∑s=0T***让D(t)=(D(t),,D(t))，则 1N***X(t)=D(t)−D(t−1) (2-29) T**因为c(T)=α(T)+θ(T)X(T)，所以（2-27）变成 TT***c(t)=α(0)B(0)+θ(0)(S(0)+X(0)) ∑t=0TT****+θ(s)(S(s)+D(s)−S(s−1)−D(s−1))。 （2-30） ∑s=0由（2-26）我们有 TT***α(t+1)+θ(t+1)S(t)=α(0)+θ(0)(S(0)+X(0)) tT***+θ(s)(S(s)−S(s−1)+X(s)) （2-31） ∑s=1t*−c(s)， ∑s=0把（2-31）代入（2-30），我们得到 TT**c(s)=α(t+1)+θ(t+1)S(t) ∑s=t+1TT****+θ(s)(S(s)+D(s)−S(s−1)−D(s−1))。 （2-32） ∑s=t+1*在（2-32）两边关于P求条件期望得到 TT***Ec(s)F=α(t+1)+θ(t+1)S(t) ∑ts=t+1T**T****+EE[θ(s)(S(s)+D(s)−S(s−1)−D(s−1))F]F。 ∑s−1ts=t+1T**=α(t+1)+θ(t+1)S(t)=S(t) （2-c33） *即，消费计划c在时间t的分红后价格的折现值是将来消费的折现值之和在P下的条件期望。 由（2-33）马上可以得到，对任意t有
tT****S(t)+c(s)=Ec(s)F。 （2-34） c∑∑ts=0s=0由（2-34）我们有，对于s≥t s***ES(s)+c(l)F c∑tl=0T***=EEc(l)FF ∑stl=0Tt****=Ec(s)F=S(t)+c(s)。 （2-35） ∑tc∑s=0s=0t***所以，我们证明了在等价鞅测度P之下，S(t)+c(s)为鞅。 c∑s=0 通过上面的证明我们知道，如果价格系统(B,S)无套利机会，则不仅长期证券的价格，而且上市消费计划的价格也具有鞅性质。给定一个等价鞅测度，在这个测度之下取条件期望就能够得到我们所要的价格。 注：尽管个体对不确定状态的主观概率不同，但他们得到的上市消费计划的价格过程却是一样的。因为上市消费计划的价格过程是由无套利条件确定的，而套利机会的定义不依赖于任何个体的主观概率。 套利定价的一个例子 考虑由图（2-1）给出的价格系统。唯一的等价鞅测度由那些方程组的解给出，条件概率标在图中相应的各个分支上。三个交易/消费日是t=0,1,2。第一种证券是折现证券，因为它在时间0，1的价格都为1，所以利率是0。由上一章的内容，我们知道这个证券市场是动态完备的，因此任意消费计划都可以通过动态调整各个长期证券来复合，从而我们可以进行定价。 现在考虑一个由图2-3给出的消费计划。 在这个消费计划中，个体仅仅在时间2消费。这个消费计划在时间2以前的价格可以通过寻找能够复合该消费计划的交易策略来得到。在我们已经得到等价鞅测度以后，这个定价问题变得特别简单。我们可以利用（2-34），通过非常直观的方法来计算价格。因为对于任意t，B(t)=1，所以折现价格系统等于原系统。因此 11111S(0)=0++++ c66644 =2， 111S(ω,1)=0++=， 如果n=1,2,3 cn33311S(ω,1)=+=， 如果n=4,5 cn22
