七年级 下册 人教版
初中数学
七年级 下册 人教版
初中数学
初中数学
平行线“拐点”三种常见
模型(练模型)
专项素养综合全练(一)
初中数学
类型一 猪蹄模型
模型解读
如图,AB∥CD,则∠APC=∠A+∠C(过拐点P作AB或CD
的平行线可证).
初中数学
1.(2024广东一模)如图,直线l1∥l2,在l1,l2之间放置一块含30°
角的直角三角尺,使三角尺的锐角顶点A,B分别在直线l1,l2上.
若∠1=65°,则∠2等于 ( )
° ° ° °
D
初中数学
解析 如图,过点C作l3∥l1,
∵∠ACB=90°,
∴∠3+∠4=90°.
∵l3∥l1,∠1=65°,
∴∠4=∠1=65°.
初中数学
∴∠3=90°-∠4=90°-65°=25°.
∵l1∥l2,l3∥l1,∴l3∥l2,
∴∠2=∠3=25°.
故选D.
初中数学
2.【一题多解】如图,AB∥CD,P为AB,CD之间的一点,已知
∠2=28°,∠BPC=58°,则∠1的度数为 ( )
° ° ° °
B
初中数学
解析 【解法一】作辅助线构造内错角相等:过点P作射线
PN∥AB,如图①.
∵PN∥AB,AB∥CD,∴PN∥CD,
∴∠4=∠2=28°,
∴∠3=∠BPC-∠4=58°-28°=30°,
∵PN∥AB,
∴∠3=∠1,∴∠1=30°.故选B.
初中数学
【解法二】作辅助线构造同旁内角互补:过点P作射线PM∥
AB,如图②.
∵PM∥AB,AB∥CD,∴PM∥CD,
∴∠4=180°-∠2=180°-28°=152°,
∵∠4+∠BPC+∠3=360°,
∴∠3=360°-∠BPC-∠4=360°-58°-152°=150°,
∵AB∥PM,
∴∠1=180°-∠3=180°-150°=30°.
故选B.
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3.【一题多解】(2024山东聊城茌平一模)如图,AB∥EF,∠C=
90°,则α、β、γ的关系为( )
A.β=α+γ B.α+β+γ=180°
C.β+γ-α=90° D.α+β-γ=90°
D
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解析 【解法一】添加辅助线法:如图,分别过点C,点D作
CM∥AB,DN∥AB.
∵AB∥EF,
∴AB∥CM∥DN∥EF.
∴∠1=α,∠2=∠3,∠4=γ.
初中数学
∴∠1+∠2+γ=α+∠3+∠4.
∵∠3+∠4=β,∠1+∠2=∠BCD=90°,
∴90°+γ=α+β.∴α+β-γ=90°.
【解法二】口诀法:根据右边角度之和等于左边角度之和得
α+β=90°+γ,整理得α+β-γ=90°.
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4.直线AB∥CD,点P在两平行线之间,点E、F分别在AB、CD
上,连接PE,PF.尝试探究并解答:
(1)探究图1中∠1,∠2与∠3之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图2,∠1与∠3的平分线交于点P',若∠2=α,试求∠EP'F
的度数(用含α的式子表示).
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解析 (1)∠2=∠1+∠3.理由:如图,作PM∥AB.
∵AB∥CD,AB∥PM,∴PM∥CD,∠1=∠MPE,
∴∠3=∠MPF,∴∠EPF=∠1+∠3,即∠2=∠1+∠3.
(2)∵∠BEP+∠DFP=∠2=α,∴∠EP'F=∠BEP'+∠DFP'=
(∠BEP+∠DFP)= α.
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类型二 铅笔模型
模型解读
如图,AB∥CD,则∠A+∠AEC+∠C=360°(过拐点E作AB
或CD的平行线可证).
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5.(2023北京顺义期末)如图,AB∥CD,若∠B=140°,∠D=100°,
则∠BED的大小为 ( )
° °
° °
B
初中数学
解析 过点E作EF∥AB,如图,
则EF∥AB∥CD,
∴∠B+∠BEF=180°,∠FED+∠D=180°,
∴∠B+∠BED+∠D=360°,
∴∠BED=120°.故选B.
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6.(2024北京期中)如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而
过,若第一个拐角∠A=110°,第二个拐角∠B=140°,第三个拐
角是∠C,这时的道路CF恰好和第一次拐弯之前的道路AE平
行,则∠C为( )
° ° ° °
C
初中数学
解析 如图,过点B作BD∥AE,
由已知可得AE∥CF,∴AE∥BD∥CF,
∴∠ABD=∠A=110°,∠DBC+∠C=180°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=140°-110°=30°,
∴∠C=180°-∠DBC=180°-30°=150°.
故选C.
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7.图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱
托架.图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图,已知
AB∥CD,CG∥EF,∠BAG=150°,∠AGC=80°,则∠DEF的度数
为 ( )
° ° ° °
C
初中数学
解析 如图,过点F作FM∥CD,
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥FM,
∴∠DEF+∠EFM=180°,∠MFA+∠BAG=180°.
∴∠MFA=180°-∠BAG=180°-150°=30°.
∵CG∥EF,∴∠EFA=∠AGC=80°.
初中数学
∴∠EFM=∠EFA-∠MFA=80°-30°=50°.
∴∠DEF=180°-∠EFM=180°-50°=130°.故选C.
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8.如图,∠1=40°,∠2=140°,直线a∥b,则∠3的度数为
.80°
初中数学
解析 如图,作c∥a,则∠4=∠1=40°.
∴∠5=∠2-∠4=140°-40°=100°.
∵a∥b,∴c∥b,∴∠5+∠3=180°,
∴∠3=180°-100°=80°.
初中数学
9.如图,已知AB∥EF,若α=∠A+∠F,β=∠B+∠C+∠D+∠E,则
α与β之间的数量关系为 .
β=3α
初中数学
解析 如图,过点C作CG∥AB,过点D作DH∥EF.
∵AB∥EF,∴AB∥CG∥DH∥EF,
∴∠B+∠1=180°,∠2+∠3=180°,∠4+∠E=180°,
∴β=∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=∠B+∠1+∠2+∠3+∠4+∠E
=180°×3=540°.
∵AB∥EF,
∴α=∠A+∠F=180°,
∴β=3α.
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10.(1)如图①,∠CEF=90°,点B在射线EF上,AB∥CD.若
∠ABE=130°,求∠C的度数.
(2)如图②,∠CEF=120°,点B在射线EF上,AB∥CD.猜想
∠ABE与∠C的数量关系,并说明理由.
(3)如图③,在(2)的条件下,作GC⊥CE,垂足为C,反向延长CD
至H,若∠GCH=θ,则∠ABE的度数为 (请用含θ的
式子表示).
初中数学
解析 (1)如图①,过E作EK∥AB,则∠ABE+∠1=180°,
∴∠1=180°-∠ABE=50°,
∵∠CEF=90°,∴∠2=90°-∠1=40°,
∵AB∥CD,EK∥AB,
∴EK∥CD,∴∠C=∠2=40°.
初中数学
(2)∠ABE-∠C=60°,
理由:如图②,过E作EK∥AB,
则∠ABE+∠1=180°,
∴∠1=180°-∠ABE,
∵AB∥CD,EK∥AB,∴EK∥CD,∴∠C=∠2.
∵∠CEF=∠1+∠2=120°,
∴180°-∠ABE+∠C=120°,
∴∠ABE-∠C=180°-120°=60°.
(3)150°-θ.
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类型三 鹰嘴模型
模型解读
如图,AB∥CD,则∠AEC=∠C-∠A(过拐点E作AB或CD
的平行线可证).
初中数学
11.(2023辽宁大连中考)如图,直线AB∥CD,∠ABE=45°,∠D=
20°,则∠E的度数为 ( )
° °
° °
B
初中数学
解析 如图,过点E作EF∥AB,得∠CEF=∠B=45°.
∵AB∥CD,∴CD∥EF.∴∠1=∠D=20°.
∴∠CED=∠CEF-∠1=45°-20°=25°.故选B.
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12.(2023北京大兴期末)如图,已知AB∥CD∥EF,则∠1,∠2,
∠3之间的数量关系是 .
∠1+∠2-∠3=180°
初中数学
解析 ∵CD∥EF,∴∠2+∠CEF=180°.
∵AB∥EF,∴∠1=∠AEF=∠3+∠CEF.
∴∠CEF=∠1-∠3,
∴∠2+∠1-∠3=180°,即∠1+∠2-∠3=180°.
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13.(2024河南西华月考)如图,AB∥CD,N是CD上一点,M是
AB、CD外一点,连接BM、NM,若M=70°,∠ABM=110°,
则∠BMN的度数为 °.
40
初中数学
解析 如图,过点M作ME∥AB,
∴∠ABM+∠EMB=180°,
∵∠ABM=110°,∴∠EMB=70°,
∵AB∥CD,∴ME∥CD,
∴M+∠EMN=180°,
∵M=70°,∴∠EMN=110°,
∴∠BMN=∠EMN-∠EMB=40°.
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14.已知AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上.
(1)如图1,点P在AB的上方,则∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有何
数量关系?请说明理由.
(2)如图2,在(1)的条件下,若∠EPF=60°,∠PEA的平分线和
∠PFC的平分线交于点G,求∠G的度数.
初中数学
解析 (1)∠PFC=∠PEA+∠EPF.理由如下:
如图,过P点作PN∥AB,
因为AB∥CD,所以AB∥PN∥CD,
所以∠PEA=∠NPE,∠FPN=∠PFC,
所以∠PFC=∠FPN=∠NPE+∠EPF=∠PEA+∠EPF,
初中数学
即∠PFC=∠PEA+∠EPF.
(2)如图,过点G作AB的平行线GH,
因为GH∥AB,AB∥CD,所以GH∥AB∥CD,
所以∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG,
初中数学
又因为∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,所以
∠HGE=∠AEG= ∠PEA,∠HGF=∠CFG= ∠PFC,
由(1)可知,∠PFC=∠EPF+∠PEA,
所以∠HGF= (∠EPF+∠PEA),
所以∠EGF=∠HGF-∠HGE
= (∠EPF+∠PEA)- ∠PEA= ∠EPF,
因为∠EPF=60°,所以∠EGF=30°.
初中数学
看
