第11讲
灰色预测模型及其应用
如何预测？
数据插值与拟合
微分方程建模预测
差分方程
时间序列
回归分析
神经网络
……
灰色预测模型（Gray Forecast Model）
是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并给出预测
的一种预测方法.
目前常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的
样本.若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效.
灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，
在各种预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问
题的有效工具.
灰色系统的定义和特点
灰色系统的定义和特点
灰色系统理论是由华中科技大学邓聚龙2年提出并加以发展
的。它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的分析
与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用.
1. 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有
未知信息的系统称为灰色系统.
2. 灰色系统的特点
（1）用灰色数学处理不确定量，使之量化.
（2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律.
（3）灰色系统理论能处理贫信息系统.
灰色系统的模型
灰色系统的模型
有了一个时间数据序列后，
如何建立一个基于模型的灰色预测？
1. 数据的预处理
首先我们从一个简单例子来考察问题.
【例】 设原始数据序列
对数据累加
于是得到一个新数据序列
灰色系统的模型
归纳上面的式子可写为
称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成
，简称为一次累加生成.显然有
将上述例子中的 分别做成图、图.
可见图上的曲线有明显的摆动，图呈现逐渐
递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以
设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成
数列
灰色系统的模型
图 图
为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算
或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
灰色系统的模型
归纳上面的式子得到如下结果：一次后减
其中
灰色系统的模型
2. 建模原理
给定观测数据列
经一次累加得
设 满足一阶常微分方程
（）
（）
（）
灰色系统的模型
其中a是常数，称为发展灰数；称u为内生控制灰数，是
对系统的常定输入.此方程满足初始条件
的解为
()’
对等间隔取样的离散值 (注意到 ）则为
()
灰色建模的途径是一次累加序列（）通过最小二乘法来
估计常数a与u.
灰色系统的模型
因 留作初值用，故将
用差分代替微分，又因等间隔取样，
分别代入方程(),
故得
类似地有
于是，由式（）有
灰色系统的模型
由于 涉及到累加列 的两个时刻的值，因此，
取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将 替换为
把 项移到右边，并写成向量的数量积形式
()
灰色系统的模型
将（）写为矩阵表达式
令
这里，T表示转置.令
()
灰色系统的模型
则()式的矩阵形式为
方程组()’的最小二乘估计为
()’
()
灰色系统的模型
把估计值 代入（）式得时间响应方程
由()式算得的 是拟合值；
为预报值.这是相对于一次累加序列
的拟合值，用后减运算还原，
就可得原始序列 的拟合值
可得原始序列 预报值.
()
灰色系统的模型
灰色系统的模型
（3）预测精度等级对照表，见表.
灰色系统的模型
由于模型是基于一阶常微分方程（）建立的，故称为
一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的是， 建模时
先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数.
否则，累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时间递增
的目的.如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始
数据列进行“数据整体提升”处理.
注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我
们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解一阶常
微分方程（）.
灰色系统的模型
(1,1)的建模步骤
综上所述，GM(1,1)的建模步骤如下：
销售额预测
销售额预测
表 逐年销售额（百万元）
年份 1999 2000 2001 2002 2003
序号 1 2 3 4 5
【例】 表列出了某公司1999—2003年逐年的销
售额.试建立预测模型，预测2004年的销售额，要求作
精度检验。
销售额预测
解（1）由原始数据列计算一次累加序列 ，结
果见表.
表 一次累加数据
年份 1999 2000 2001 2002 2003
序号 1 2 3 4 5
销售额预测
（2）建立矩阵：
销售额预测
销售额预测
销售额预测
（6）精度检验及预测
交通事故次数
的灰色预测
某省市道路交通事故次数的灰色预测
【例7.某省市2004年1-6月的交通事故次数统计见表.试
建立灰色预测模型.
表 交通事故次数统计
解 利用GM预测软件计算，输出分析数据如下：
原始数列(元素共6个):83，95，130，141，156，185
某省市道路交通事故次数的灰色预测
[1]dx/dt+ax=u：a=，u=
[2]时间响应方程：
X(k+1)=*exp()
[3]残差 E(k)：(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
[4]第一次累加值:(1) (2)
(3) (4) (5)
(6)
[5]相对残差e(k)：(1) (2)
(3) (4)(5)(6)
某省市道路交通事故次数的灰色预测
[6]原数据均值g(x)：
[7]原数据方差 S(1)：
[8]残差的均值g(E)：
[9]残差的方差 S(2)：
[10]后验差比值 C：
[11]小误差概率 P：
[12]模型计算值X^(k)：(1) (2)
(3) (4) (5) (6)
[13]预测的结果X*(k)： (1) (2)
(3) (4) (5) (6)
(7)
预测精度等级： 好！
这表明：某省市不采取更有效的管制措施，7月的交通事故次
数将上升至213次.
某省市火灾发生次数
的灰色预测
某省市火灾发生次数的灰色预测
【例7.某省市2001—2005年火灾的统计数据见表
. 试建立模型，某省市2006年的火灾发生状况
做出预测。
表7.某省市2001－2005年火灾数据
年份 2001 2002 2003 2004 2005
火灾(起) 87 97 120 166 161
某省市火灾发生次数的灰色预测
解 利用GM预测软件计算，输出分析数据如下：
原始数列(元素共5个): 87，97，120，166，161
预测结果如下：
[1]dx/dt+ax=u： a=，u=
[2]时间响应方程：
X(k+1)=*exp()
[3]残差 E(k)： (1) (2)
(3) (4) (5)
某省市火灾发生次数的灰色预测
[4] 第一次累加值: (1) (2) (3)
(4) (5)
[5] 相对残差e(k)：(1) (2) (3)
(4) (5)
[6] 原数据均值g(x)：
[7] 原数据方差 S(1)：
[8] 残差的均值g(E)：
[9] 残差的方差 S(2)：
[10] 后验差比值 C：
[11] 小误差概率 P：
[12] 模型计算值X^(k)： (1) (2)
(3) (4) (5)
[13] 预测的结果X*(k)： (1) (2)
(3) (4) (5) (6)
预测精度等级： 合格！
结果表明：某省市不采取更有效的防火措施，
2006年的火灾事故次数约为 203 次.
灾变与异常值预测
灾变与异常值预测
1. 灾变预的数学原理与特征
灾变预测与数据预测的不同点，在于它不是预
测序列数据的量的变化，而是预测异常值或“灾
变”点出现的时间，它是应用灰色区间（间隔）
的预测而进行的。所以，灾变预测的基本要求是
“定量求时”。灾变预测的数学原理描述如下：
灾变与异常值预测
灾变与异常值预测
3.实际问题—旱灾预测
【例】某地年降水量原始数据序列如表所
示，根据多年的时间观测，每当年降水量小于430
～440mm时，该地区将发生旱灾.所以，选择阈值
=435mm, 利用GM(1,1)模型进行旱灾预报.
灾变与异常值预测
表 某地年降水量（mm）原始数据
灾变与异常值预测
灾变与异常值预测
灾变与异常值预测
