第23卷 第5期2009年10月保险职业学院学报(双月刊)JOURNALOFINSURANCEPROFESSIONALCOLLEGE(Bimonthly)Vol123 No15Oct1 2009
破产概率和最优超额损失再保险
桂有利 杨金铎
(中南大学数学科学与计算技术学院,长沙 410075;保险职业学院保险管理系,长沙 410114)
[摘 要]本文对超额损失再保险后的传统风险模型进行扩散逼近,研究使得破产概率最小的最优超额损失再保险的自留额。当索赔额为指数分布和Erlang(2)分布时,得到破产概率的表达式和最优自留额所满足的方程。通过数值计算,得到再保险对破产概率的影响,以及最优自留额与各参数之间的关系。
[关键词]破产概率;超额损失再保险;风险暴露;扩散逼近
[中图分类号]F84 [文献标识码]A [文章编号]1673-2009)-[Abstract]Inthepaper,westudytheriskprocessafterexcessoflossreinsurance1Westudytheoptimaloalruinprobability1WegettheexpressionofruinprobabilityandthetimastheclaimsizeareexponentialdistributionandErlang(2)weobtaintheeffectofreinsuranceonruinprobability,andthere2lationshipopalexposureandparameters1
[KeyWprobability;Excessoflossreinsurance;Riskexposure;Diffusionapproximation
一、引言
在保险实务中,不论是保险监管,还是保险公司本身为减少所面临的风险,都必须对赔付进行再保险安排。再保险的方式有很多,但使用的最多的是比例再保险和超额损失再保险。虽然再保险可以分出一部分风险,但再保险也要分出一部分保费,因此选择最优的自留水平,使得破产概率最小,已成为风险理论的一个新的研究热点。
有大量的文献对保险公司的最优投资和最优再保险问题进行研究。Browne
sen[2][1],Taksar和Markus2,Bai和Guo
[5,6][3],Luo等[4]对扩散风险模型,研究了使得破产概率最小的最优投资和比例再保险策略。Schmidli,Liang[7,8]等对传统的风险模型,研究了使得破产概率最小的最优比例再保险策略。目前大多数文献都集中在最优比例再保险上,而很少有文献对最优超额损失再保险进行研究,而我们知道超额损失再保险也是广泛应用的再保险方式,因此对传统的风险模型,找到使得破产概率最小的超额损失再保险的最优自留额水平,无论在理论上,还是在保险实务中,都具有非常重要的意义。
二、模型
为了使数学上更为严格,假设所有的随机过程和随机变量都定义在完备的概率空间上(Ω,F,P),并且有一满足通常条件的σ-流{Ft,t≥0},即Ft右连续且P完备。
作者简介:桂有利(1983-),女,湖南永州人,中南大学数学科学与计算技术学院硕士研究生,研究方向:数理金融。
杨金铎(1981-),男,河南南阳人,管理学硕士,保险职业学院保险管理等教师,研究方向:保险公司经营管理、风险管理。
16保险职业学院学报(双月刊) 2009年第5期
N(t)
考虑下面传统的风险模型:R(t)=x+ct-ΣYi
i=1
(211)
其中x≥0为保险公司的初始盈余,c>0是保险公司单位时间的保费收入;{N(t),t≥0}是具有参数为λ>0的齐次Possion过程,表示到时刻t为止的总的索赔发生次数;{Yt,i=1,2,Λ}是独立同分布的(严格)正值的随机变量,分布函数为G(y),密度函数为g(y),期望值为μ=E[Y1],Yi表示第i次赔付的大小。因此Rt为t时刻保险公司的盈余。此外,假设{N(t),t≥0}和{Yi,i=1,2,Λ}之间相互独立。
假设t时刻保险公司的超额损失再保险水平为M,M称为风险暴露。如果保险公司的风险暴露M已确定,当理赔发生时,保险公司将赔付小于等于M部分,即保险公司赔付额为Min{Y,M},再保险公司赔付M以上部分,即再保险公司支付Max{0,Y-M}。同时保险公司要支付部分保费给再保险公司,假设
μ和c1=(1+η)λE[(Y-M)+],其中θ和η分别为保险公司和再保险公司的保费分别为c=(1+θ)λ
保险公司和再保险公司的安全负载,且θ<η。在考虑超额损失再保险策略M下,保险公司的盈余过程可以表示为
μ-(1+η)λE[(Y-M)R(t,M)=x+{(1+θ)λ
+
N(t)
]}t-Σ(Yt∧M)
i=1
(212)
要得到模型(212)的无限时间破产概率是很困难的,而模型(212)μ-(1+η)λE[(Y-M)X(t,M)=x+{(1+θ)λ
其中{Wt,t≥0}是标准布朗运动。
M
定义破产时刻为:τ=inf{t≥0:X(t,M)MM
和无限时间破产概率为:Ψτ}
+
]E[(Y)+)]Wt
(213)(214)(215)
,因此我们的目标是使得保险公司的破
(x)(216)产概率最小,)M
3
M,使得:Ψ(x)=ΨM3(x)(217)
三、Hamilton-Jacobi-Bellman方程
定理311 假设Ψ(x)在(0,∞)上二次连续可微,则Ψ(x)满足下面的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程
μ-(1+η)λ∫(y-M)g(y)dy-λ(∫(x)+inf{[(1+θ)λyg(y)dy+∫Mg(y)dy)]Ψ′
M2
M
M
∞M∞
M2
λ[∫yg(y)dy
02
(x)}=0+∫Mg(y)dy]Ψ″
M
∞
∞∞
M22
λθμλη()()Ψ()()(x)}=0即:inf{[-∫y-Mgydy]′x+[∫ygydy+∫Mg(y)dy]Ψ″MM0M2
[9]
)边界条件为:Ψ(0)=1,Ψ(∞)=0(该定理的证明是标准的,见Fleming和Soner。
(311)
定理312 如果ψ(x)在(0,∞)上二次连续可微,且ψ(x)满足HJB方程(311)和边界条件(312),则
∞
M2
ψ(x)=Ψ(x)。若M满足:[λθμ-λη∫(y-M)g(y)dy]Ψ′(x)+λ[∫(y)dy+∫(M3)2g(y)dy]yg
0M3M32
3
3
∞
3
Ψ″(x)=0
3
[9]
(313)
则M为最优超额损失再保险自留额水平。(采用Fleming和Soner中标准方法,可得此检验定理)四、破产概率和最优超额损失再保险
由定理311可知,如果索赔额Y的分布未知,要得到最优超额损失再保险自留额水平和破产概率的显示解是非常困难的。下面对具体的索赔额分布,给出最优超额损失再保险自留额水平和破产概率的显示解。
2009年第5期(总第126期) 桂有利 杨金铎:破产概率和最优超额损失再保险17
11假设索赔额Y服从指数分布,即密度函数为:f(y)=αe
-αy
,y>0 则由定理311得到HJB方
程为:
inf{[λ
M
α
η∫(y-M)αe-λ
M
∞
-αy
∞
M2-αy2-αy
(x)+[∫(x)}=0dy]Ψ′yαedy+∫Mαedy]Ψ″
0M2
αα-αM
-λe-M]Ψ′(x)[-Me-M-)]Ψ″(x)}=0化简,即有:inf{[λeMααα2αα
(411)(413)
边界条件为:Ψ(0)=1,Ψ(∞)=0
-定理411 假设索赔额Y服从指数分布,即密度函数为f(y)=αe
αy
,y>0,则最优自留额水平M由
方程θM
-
ηη-αM3η=-e给出,此时最小破产概率为Ψ(x)=exp(-3x)。
ααM
ηΨ′(x)3
,将其代入(412),可得M满足
Ψ″(x)
(412)
证明 由(412)可得,最优自留额水平M=-3θM-
ηη-αM3
=-e
αα
η
3x)M
2
-αy
再根据边界条件知破产概率为:Ψ(x)=exp(-
(413)
,y311得到HJB
21假设索赔额Y服从Erlang(2)分布,即密度函数为(ye
∞α22αy22-αy
-λη∫(y-M)α2ye-ydy]Ψ([(x)}=0(413)方程inf{[λ+∫Mαyedy]Ψ″MM0Mα2
边界条件为:Ψ(0)=1,Ψα-αM
-(-M)′x)2-(2M2(x)}=0即:inf{[λ2)e]Ψ″Mαα2α
(414)(415)(416)
0)=1,Ψ(∞)=0
定理412 假设索赔额Y服从Erlang(2)分布,则最优自留额水平M由方程3-3)e
-αM3
η
=(Mα+
给出,此时破产概率为Ψ(x)=exp(-
η
)
证明 同定理411,此处略。3x)。(
M
假设索赔额Y服从指数分布G(y)=1-exp(-αy),如果不进行超额损失再保险,则传统风险模型dt+2dwt的扩散逼近为:dR(t)=x+λααx)其破产概率为:ψ(x)=exp(-θ额损失再保险的破产概率如图1所示。
(4111)(4112)
假设α=2,θ=011,η=0115,x∈[5,10],则由(415)和(4112)得到进行超额损失再保险和不进行超
图1 破产概率与再保险
18保险职业学院学报(双月刊) 2009年第5期 从图1可知,进行超额损失再保险后的破产概率明显小于没有进行再保险的破产概率,因此最优再保险决策可以减少保险公司的破产概率。
3假设θ=011,η=0112,0115,0118,α∈[015,2],则由(414)得到超额损失再保险最优自留额M与η
和α之间的关系如图2所示
。
图2 超额损失再保险最优自留额M3与η和α之间的关系
由图2可知,随着α的增大,最优自留额会增大,α,越大时,赔付额较小,因此保险公司要分出的赔付较少,;,因为η越大,在保险保费越高,因此分出的再保险越少。
[]
[1]Browne,S1Optiforfirwitharandomriskprocess:Exponentialutilityandminimizingtheprobabilityofruin1
Math11,-9571
[2]MichaelI1otteMarkussen1Optimaldynamicreinsurancepoliciesforlargeinsuranceportfolios1FinanceandSchochast12003,7:
97-1211
[3]LihuaBai,JunyiGuo1Optimalproportionalreinsuranceandinvestmentwithmultipleriskyassetsandno-shortingconstraint1Insurance:Math2
ematicsandEconomics,2008,42:968-9751
[4]ShangZhenLuo,MichaelTaksar,AllanusTsoi1Onreinsuranceandinvestmentforlargeinsuranceportfolios1Insurance:MathematicsandEco2
nomics,2008,42:434-441
[5]SchmidliH1Optimalproportionalreinsurancepoliciesinadynamicsetting1ScandinavianActuarialJournal,2001,1:55-681
[6]SchmidliH1Onminimizingtheruinprobabilitybyinvestmentandreinsurance1TheAnnalsofAppliedProbability,2002,12:890-9071
[7]ZhibinLiang,JunyiGuo1Upperboundforruinprobabilitiesunderoptimalinvestmentandproportionalreinsurance1Appl1StochasticModels
Bus1Ind12008,24:109-1281
[8]LiangZ1OptimalinvestmentandReinsurancefortheJump-DiffusionSurplusProcess1ACTAMATHEMATICSSINICA,ChineseSeries,
2008,51:1195-12041
[9]Fleming,W1H1andSoner,H1M1ControlledMarkovProcessesandViscositySolutions1SpringerVerlag,NewYork,19931
(责任编辑:吴金文)
1
