矿产资源的管理模型
基于优化商业利润与生产可持续的角度来研究
主要讨论以下几个模型：
1、开发会枯竭资源的泛函最大值模型
2、矿业的非线性模型
3、有采掘成本的最优控制模型
重点确定最优开发速度以及税金等
所建立的数学模型主要用到微分方程和泛函变分的最大值原理
其建模思想和原理对其它可枯竭或可再生资源亦适用。
1、开发会枯竭资源的泛函最大值模型
令 为t时刻的贮量，初始贮量为 是已知
的， 表示采掘率，于是矿物贮量的数学模型是线性微分
方程的哥西问题:
其中
(1)
(2)
设矿石价格为 是已知的，经营者的目标是使收益现
值最大，设贴现率为 ，则时刻t的收益 满足
其中 即现值，解得 ，故值 ，对于
上述开矿问题，其总现值PV为
(3)
我们需要确定 ，以使总现值最大。这样把问题转化成
了求泛函 的最大值问题。
考虑哥西问题
（4）
（5）
其中 是已知的三元连续函数，称 为状态变量，
（4）、（5）为状态方程.对于每个给定的函数 ，（4）、
（5）的解 称为 的一个响应，这里
是区间 上的分段连续函数集合 .
其中 是已知连续可微函数，最优控制理论中的
核心问题是求使 最大的所谓可行控制 ，如果这样
的可行控制 存在，则称其为最优控制。
设 ，且设终点 是固定的，而起点 是
可变的，设 是最优控制，即
函数 称为最优获利函数。
(6)
（7）
引入 的泛函
在整个区间的最优控制策略对划分的各个子区间也分别是最
优的
对（8）式进行 计算得
即
由（7）可得
其中 是与最优控制 对应的最优轨线，公式（8）
指出下面的最优性原理：
（8）
上式两端除以 且令 取极限得
即
考虑任意函数 ，定义控制 为
其中 是对应于起点 的最优控制，
是对 的响应，于是
用 代替变点 得
令
固定 ,由(11)得
(10)
则有
(11)
(12)
由(11),当 时, 达到它的最大值,
在足够光滑的条件下
令 (13)
(14)
故由(12)得
(15)
其中右端的自变量皆为 ,由 的定义
称 为哈密顿函数, 为伴随变量,
上述推导得到下面的重要结论
于是有
(16)
最大值原理：对于满足边条件 的状态方
程
使目标泛函
取最大值的最优控制 和相应的最优响应
满足伴随方程：
(16)
和 (15)
要确定的最优控制 和最优响应 可由 及伴
随方程和状态方程解出。
例如对于矿产资源管理工作线性模型(1)(2)(3)，其哈密
顿函数是
由伴随方程得
(17)
所以 ，假设到 时矿产采完，则
,因此
为使哈密顿函数达到最大，则得
（18）式给出了为使采矿收益的现值最大采用的最优采掘
率。即当矿产价格超过 时，用采掘率 去
开采，否则停产，出现若干生产时期 ，
则满足 ，其中 ，
见图
(18)
0 t
q
图
元$
0 t
2、矿业的非线性模型
若价格受采掘率的影响， ,则与（3）对应的目标
泛函为
以及条件
哈密顿函数是
设 , 对
（22）
又 ，故得
（23）
设价格随采掘率 之提高而线性下降
由最大值原理
由伴随方程式 ，所以
相应于最优控制采掘率 ，价格
则由（20）得
由最大值原理，为使 取最大值， 即
T由（24）解出，由于 ，
故当 时 单调上升，所以满足（24）的T，即采完
日期是唯一存在的。
采掘日起T满足
（24）
3、有采掘成本的最优控制模型
最大
设采掘成本 ，且是 的增函数，即采掘越快，成本
越高，这时要求最优控制 ，使得
（25）
由伴随方程得
相应的哈密顿函数为
对于任固定的 ，在 为变量的坐标系上（见图），
是（26）的唯一正数解，如果 曲线与
相交，这种正数解存在，注意这里的
已固定，视为常数了。
由最大值原理， ，即
(26)
唯一的正数解 是 的斜率为
点的横坐标，如果 与 只一个公共点
，则
如果多家竞争开发一种矿藏，设有 家厂商组成的采矿业，
第 家的成本为 是第 家厂商的采掘率，
则第 家厂商的目标泛函为
（27）
于是有
（28）
是第 厂商的开采上限；又由市场平衡知
（30）
(28)(29)(30)中共有2n+1个未知量
有2n+1个方程，可从中解得各自的最优控制
以及
（29）
设成本为 是常数， 时表示价格补贴率，
时表示税率，则目标函数为
（31）
由最大值原理可以导出
（32）
最后讨论有价格补贴或税金的情形
如果成本 则由（32）得
又由于到时刻T开采完毕，由 得
（33）
（34）
采完日期可由公式
确定，如果价格 则
由（36）式知税金越重T越大，补贴越多 越小，即价格
补贴可以加速矿物的采掘，缩短采掘日期，税收则可以减少采
掘量，延长采掘日期；加大征税，可以保护矿藏资源.
(33)代入(34)得最优控制
（35）
