实 证分析
寿险保单早期退保率的预测 文/郭春燕
一、两种预测模型的简单回顾
样本中"被保险人的年均收入"变量有部分缺失，
考虑两种情况: 情况一，不把此变量最纳入到预测模型
中，得到预测模型J， 此时纳入的因子有被保险人的性
别、年龄、婚姻、职业、缴费方式、缴费期间、保额、职业
加费和健康加费，这个模型中对于连续变量进行了离
散化处理，并加入与时间的交互项 : 情况二，模型的预
测因子中纳入经济收入变盏，得到预测模型11， 此模型
加入了部分连续变量的最佳函数形式。
因1 模型I~)合检验;样本得到的预测生存 1M!线和实际生存l曲线比较
。俨 " %:::00;;: c: 二三一 --一
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阉·· . 睛.
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四 "一 …
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一…在经过检验样本的预测能力检验后，Cox模型I的
生存曲线和实际生存曲线的比较见图 1， 加入压缩医|子
改进后的预测效果见图2 ; 而预测模型H则是不加入压
端困子较好，对应预测曲线和实际生存曲线的比较如
图3所示。 这三个图均直观地比较了三个风险组的模型
预测生存曲线和实际生存曲线， 为了更加清楚的比较，
预测生存概率经过光滑度为的平滑后得到现在圈中
的生存曲线。 这三个图中横辅均表示保单持续期
(duration of polic沪，纵轴均表示生存概率值 (survival
fì.mcti∞) : 以预测模型得到的生存曲线以"预测"标示，
由Kaplan- Meier方法得到的生存幽线以"实际"标示，经
过压缩预测方法调整后的生存曲线用"调整"标示。 这
些图形中group=1 ， 2、 3分别对应生存率高、中、低，因此
称为低危险组、中危险组和高危险组。
院2 模型l预测加入压缩因子改造后的生存 |曲线和实际生存曲线的比较
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因3 模型11拟合检验样本得到的预测坐在!曲线和实际生存 IUI线比较
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二、模型预测能力的比较
1、检验样本的危险组区别能力比较
观察图2和困3可以看到模型口对于检验样本上的
高危险组和中危险组区别能力比较差，而且我们也尝
试了划分离、中危险组的其他临界值，发现效果也甚不
理想。 而图 l所表现的模型I在检验样本上的危险组区
别能力相对比较强，筒、中、低三个危险组犹如三条支
流清楚地分开了。
另外，从两个模型在检验样本上的风险得分聚集
度上看，表1给出了两个模型的主要分位点值，可以看
到模型I风险得分的分位点取值分布比较疏散， 分位点
25%到75%的取值范围在- 之间 ; 而模型H的
风险得分在这个范围的取值于3 .15-3 .86之间，风险得
分的分布非常聚集，所以模型H相对模型I来说难以将
高危险组和中危险组分开。
因此模型I对于危险组的区别能力更具外推力 ， 在
检验样本上表现出较强的危险组区别能力。
表1 模型l第1;模型"的风险得分主要分位点
模型 | 最小值 PIO P25 P50 P75 P90 最大傻
模型 1 1- -
模型日 1- 3. 15
2、检验样本中个体生存概率的预测能力比较
观察图1 、图2和图3，模型I在对第一组保单一一→;
危组生存概率的预测上表现稍微不佳，先是在前三个
年度低估生存概率，以后的年度却大大高估了，但是该
组经过压缩因子的校E生存概率有了较大的改善 : 对
于中危组和高危组的预测，模型I表现得不错 ，但是压
缩技术并没有进一步改善， 总之模型I在对三个危险组
的生存概率预测上基本相当。而模型H的外推能力相对
来说较差， 只有低危组的预测生将曲线和实际生存曲
线拟合的较好，离危组和中危组则没有区分开来。
所以比较而言，模型I的外推能力相对较强，而且
从两个模型的压缩因子估计值上看模型I为 ，模型
H的压缩因子估计值为， Copas(1 983)中指出如果预
测模型拟合检验数据比较好， 则压缩因子的估计值接
近于L这也再次说明模型I的预测能力比模型H要强。
3 、ROC曲线下覆盖面积的比较
如果根据每个个体的风险得分来预测该个体是否
为退保保单， 我们可以根据ROC曲线下面覆盖面积的
大小来判断那个模型的分类预测比较好。
根据RQC酬线的构造过程， 我们需要确定临界值，
拿本文获得校苦2年基金项目"寿险m保率预测模型研究，.α10 11012200801) 和1 1埠士科研启动基金项目"中国寿险业的返保风险研究"
仅001 101 220080Z>的资助。
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实证分析
本文中当风险得分大于此临界值则预测该个体为退保
保单，小号工或等于此值则为非迫保保单。 这样每个临界
值都会对应一个敏感度值也即返保保单的E确预测率
和一个明确度也即非*保保单的正确预测率，这样在
白敏感度sensitivity (图4中的纵轴〉和(1-明确度) (1-
specitivity图4中的横轴〉两个指标构成的平面上，可以
勾勒出的ROCf:掏钱所覆盖的面积越大说明该模型对于
检验样本退保保单的预测效果越好。
表2 模型l和1模型11的部分敏感度和明确度比较
模型I 模型口
临界值 (喃敏n，感~tiv度ity) 1 - 明确度 l临界傻 敏感度 1- 明确度
13
12
1 1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
。
-2
(1- 如∞itivity) (悟n面tivity) (1- 晤。citivityl
6
6 .52 5
2
4
.
49 .43
8 7
7
3
6
。
倒4 模型1和1模型11的ROC I曲线比较
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通过选择不同的临界值，得到相应的敏感度和明
确度〈见表2) ，由此建立两个模型的ROC曲线〈见图4) ,
图4中由实心困点构成的曲线是模型I的ROC曲线，由星
号构成的曲线是模型H的ROC曲线，而虚直线部分则是
标准线所覆盖的面积是50%，它表示预测模型对类别
没有任何区别能力:从图上能够明显的看出，模型I的
ROC曲线下所覆盖的面积大于模型H的ROC曲线所覆
盖面积。 这说明模型I的预测能力要高于模型llo
三、终身险客户卒期退保率的预测
1、年退保概率的预测方法
首先我们指定本研究中用到的终身险投保人群，
事实上，也就是对于模型I中的协变盘进行附值，当然
可以在取值范围内任意设定，每设定一组值也就代表
一个特定的投保人群。 这里我们指定的投保人群如下:
投保年龄为35岁的己婚男性保单，缴费期间20年，保额
10000元，年缴保费为800元，从事的职业为农牧业，没
有健康加费和职业加费。
根据上一部分预测模型比较，显然模型I比较令人
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满意，进一步观察图 l和由压缩技术校E的生存概率图
2，发现高危组和中危组的生存概率预测不用压缩技术
较好，而低危组的生存概率预测则用压缩技术较合理;
从保险年度上肴，前三个年度的生存概率宜用原模型
的预测较好，而三个年度后的生存概率宣用压缩技术
投E后的生存概率。
另外，在模型I的协变量中还有与时间变蠢的交互
项，所以我们也需要确定时间变蠢的取值。 这里需要说
明的是，当时间指示变盘中的t取值为 l时得到的生存概
率表示保单持续期达到1年的保单的持续率 : t取值为2
时则会得到保单持续期达到两年的保单组中"活过，.第
一年和第二年的生存概率，也就是得到S(I)和S(2): 其它
取值情况以此类推，这里根据我们原始数据跨越的年
数，时间变量最大取值到50
我们说到某个年度的保单持续率，它等于到该年
度末一直有究生的保单个数与该年度初有效保单个数的
比值。 事实上，也可以理解为"活过"前一个保险年度的
保单在该保险年度继续生存的概率，比如第二个年度
的保单持续率，设为p2，那么p2-P (R 21 T > 1) ; 进而得
到jp24恩=盟，于是第一年的迫保率为 1- p2 。其他S(1) 一
年度的退保率均可以接此思路计算得出。 f!p如果设qf>
表示t时刻的退保率，贝JJq/~b1- 一旦旦一 (1) S({t}- 1)
其中 {t}表示不小于t的最小身在数，这里规定S(0)=1 。
那么，根据上式对于某个保险年度内任意时刻发
生的迫保，例如，假设第二个年度的退保可能发生在该
年度中期，那么此时的*保率计算为: qw(l .5)=1- S()
/S(2- 1)。 如果利用一个退保率值描述该年度的退保情
况， 一般可以根据该年度的分布情况使用均值或中位
数进行刻圆。
2、本文用到的boωtrap算法简介
为了得到更加准确的中位数或者均值的估计值，
本文利用了bootstrap方法对中位数和均值迫二行了估计 ，
并得到二者在95%水平上的置信区间。
B∞tstrap方法是美国斯坦福大学统计系教授E金。n
在估计估计值的标准差时提出的一种新的统计推昕方
法但企00(1979)) 。 利用b∞>tstrap方法假设原始数据是一
个|施机样本，此方法模拟了从原始数据中重复抽样的
结果，可以以有放回或无放回方式囊复抽样，抽样的样
本小于原始样本个数，而实证研究表明当新样本的个
数与原样本相等时可以得到最好的结果。
假设希望得到均值估计量的标准误，原样本有10个
观测值，进行有放回的随机抽样B次，每个样本是10个观
测值。对于每个样本计算均值，这样得到B个均值并可以
建立频率分布圈，此图给出了均值样本分布的近似估
计，并且据图计算的标准离差(standard de、lÎation)成为
均值估计的标准误。一般来说，重复的次数B值越大，所
得到的结果越可靠，对于b∞tstrap方法的点估计至少主要
重复100次，而区间估计至少重复10000次。
在本文的区间估计中，利用了BCa区问估计法
(bias- ∞ne心ted and accelerated intervals) 0 一 般的
boo企strap区问估计〈这里指b∞>tstrap- t区间估计和百分
数方法〉具有两个触点 : 一是b∞也trap方法的估计往往
有偏于原始估计值;二是标准误差会随着估计值的不
同发生变化。 而B臼区间估计在这方面有了大大的改
进，这种区间估计需要计算偏态修芷值 (bias- corrected
vah:础和加速统计量(acωleratiOD statistic) 0
在统计学中，偏态定义为"样本在代表总体基础时
出现的系统性偏差"。 对于b倒strap方法，是指当根据重
复抽样计算的样本统计量会不会出现系统的商估或低
估，为此考察样本统计量低于原始样本统计量的比例，
即偏度修E值 (bias…dω : zo==<l> -, [ #{êt)- 6 吁，
其中6 表示原样本的中位数值，ê '(b)表示第b个新样
本的中位数，#{条件}表示满足这个条件的个数，。气功
表示标准E态分布的逆函数。
加速统计量是指样本估计莹的估计标准差关于该
统计量其实值的变化率， E企on &Tibshirani (1 993) 建议
该加速值可以通过计算估计量的刀切值Cjackknife
vdlue) 得到。 刀切估计考攘有多少记录会影响估计结
果，为此每次删失一条目录保留其它自录重新计算估
到4
L. (è' ω - ê ~y
计量，这样得到加速统计盘:Ef -妄百 ,
6 . {L. @' ω - è'矿产
i ~ I
其中ê (i)表示将第i条记录删除得到的jackni企d样本的
中位数， è' ω表示所有iac地nifud样本中位数的均值。
当计算出偏度修E值和加速统计最后，即可按照
下面步骤得到估计量的区间估计:
I z,+ z4叶。 -，但) I (1)计算α 产。 I ~+ ~-:.'+' \U} I 和 α 产。
l 1-α(~+φ . ，但 )) J
l扯扯。 '(1- 0 )}
1- â CZO+φ " (1-α 》
(ωD 计算N问， Bxα 3并并唱取其整数部分和N，二Bxα
取不小于此值的最小整数。
(3)对于B个bootstrap抽样样本分别计算的估计量
进行由低到高的排序。
(4) 第N，丰芋，本的估计值即为区间估计的下限，第N2
样本的估计值即为区间估计的上限。
3、年退保率平均水平的计算
以第一个年度的退保率中位数及其置信区间估计
实证分析
为例，描述其计算过程。当模型I中时间变蠢的取值为1
时，即dur=l时，得到364个生存时间位于0和1之间的生
存概率样本，由此计算这些样本的退保率值并得到频
率分布图如图5所示。 横铀 (&tπ-1) 表示第一个保险年
度的追保率值，纵轴 CPercenv 表示每个组别的频率。
阁5 第一个保险年度的返保率频率分布朗
•
•
. -….- .- .. .• .- .• .•
.."
从图5看频率分布俯态比较大，选择中位数统计量
衡量一般化比较合适。 下面利用b倒strap方法估计图5
的中位数及其95%水平上的置信区间，从364个样本中
有放囚的抽取364个新样本，这个步骤重复10000次，得
到10000个新的样本，并计算每个样本的中位数。 计算
中位数所在的置信区间则按照附录中给出的过程进
行。 如此计算得到终身险指定投保人群在前六个保险
年度的退保率预测值，见表3所示。
表3 囱模型l得到的指定投保人群的退保象预测值
时闷变最 I i且保~预测 中位数Øi晴的 退保毒草预测值均值所在的
的取值 l 值的中位数 95%贺信区间 的均值 95%贺信区间
dm=l I qw(1)=o..ω52 ~也0274， o..例44) qw(I)=o..0471 (0..041队0..)
dur=2 I qw(2)= o..2832 (0.药72， 0..30叫 qw(2)=o..259 (0..2427, 0..2764)
dur=3 I qw(3)= o..ρω囚. 0..00而.) qw(3)=队0947ρ0剧. 0..1064)
dm=4 I qw件。2719ρ2474， 0..2967) qw仲0..25 1 0. ρ23风0..2685)
dur=5 I qw(5)罩0.. (0..0266, 0..0282) qw阴=0..0242 (0..0230., 0..0252)
qw~伽0..0. 152 (0.., 0..) qw~的=0.. (0.., 0..)
从表3观察这一类终身险投保人群在六个保险年
度的退保率预测值，首先从中位数和均值的差异情况
看，退保率在某个年度的分布均表现出不同程度的偏
态，其中第三个年度的退保率分布偏度最大。 从预测值
看，第二个和第四个年度均表现出相对较高的退保水
平，基本保持在25%左右:其次是第三个年度，只有5% ，
最高达到 10%; 而第一年和第五年之后的退保率较低，
基本上小子5%。 可以说，这类终身险保单的大部分迫
保集中发生在第二和第四个年度，过了第四个年度后
退保的情况迅速好转。
四、结论
利用同样的思路，在假设国内的宏观经济环境基
本相当的情况下，可以预测出其它类型的终身险客户
在前几个保险年度的退保行为发生情况。 由于这个预
测模型是从保单特征的角度得到的，如果经济环境发
生大幅度的变化，可能会需姿利率、股市收益率等指
标，此时同样需要有充足的年返保率数据作为新模型
的保证。
〈作者单位: 北京工业大学经济与管理学院〉
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