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第节 正态总体均值与方差的
假设检验
一、 t 检验
二、 检验
三、F 检验
四、单边检验
一、t 检验
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的
平均长度为, 标准差是, 今从一批产
品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:
假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变
化, 试问该机工作是否正常?
解
查表得
定理根据第二章§定理知,
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法.此检验
的势函数为:
如果在例1中只假定切割的长度
服从正态分布, 问该机切割的金属棒的平均长度
有无显著变化?
解
查表得
t分布表
例2(p157例)
利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体
均值差的假设.
定理根据第二章§定理知,
其拒绝域的形式为
第一类错误的概率为：
例3 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台
机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直
径(单位:mm)为
机床甲: , , , , , , ,
机床乙: , , , , , , ,
试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著
差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态
分布, 且总体方差相等.
解
即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异.
有时为了比较两种产品, 或两种仪器, 两种
方法等的差异, 我们常在相同的条件下作对比试
验, 得到一批成对的观察值. 然后分析观察数据
作出推断. 这种方法常称为逐对比较法.
例4 有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种
金属的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差
异, 制备了9件试块(它们的成分、金属含量、均
匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对每
一试块测量一次, 得到9对观察值如下:
问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异
?
解 本题中的数据是成对的, 即对同一试块测
出一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差
异是由各种因素, 如材料成分、金属含量、均
匀性等因素引起的. [这也表明不能将光谱仪Ix
对9个试块的测量结果(即表中第一行)看成是一
个样本, 同样也不能将表中第二行看成一个样
本, 因此不能用表中第4栏的检验法作检验].
而同一对中两个数据的差异则可看成是仅
由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样, 局限
于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因
素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.
表中第三行表示各对数据的差
若两台机器的性能一样,
随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零.
按关于单个正态分布均值的t检验, 知拒绝域为
认为这两台仪器的测量结果无显著的差异.
二、 检验
(1) 要求检验假设:
根据第二章§,
指它们的和集
为了计算方便, 习惯上取
拒绝域为:
解
例5 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以
来服从方差 =5000 (小时2) 的正态分布, 现有
一批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动
性有所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命
的样本方差s2=9200(小时2). 问根据这一数据能
否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著
的变化?
拒绝域为:
认为这批电池的寿命的波动性较以往的有
显著的变化.
例6(p160例)美国民政部门对某住宅区住户的
消费情况进行的调查报告中，抽出9户为样本，
每年开支除去税款和住宅等费用外, 依次为: ,
, , , , , , , （单位k元）. 假
定住户消费数据服从正态分布，当给定=,
问所有住户消费数据的总体方差为是否可信?
解
查表得
所有住户消费数据的总体方差为不可信
三、F 检验
需要检验假设:
定理
根据第二章§定理
知
检验问题的拒绝域为
上述检验法称为F检验法.
例7(p104例) 为了考察温度对某物体断裂强
力的影响，在70度和80度分别重复做了8次试验，
测得的断裂强力的数据如下(单位Pa):
70度：, , , , , ,
80度： , , , , , , ,
解
所以两总体方差无显著差异.
例8 分别用两个不同的计算机系统检索10个资料,
测得平均检索时间及方差(单位:秒)如下:
解
假定检索时间服从正态分布, 问这两系统检索资
料有无明显差别?
根据题中条件, 首先应检验方差的齐性.
认为两系统检索资料时间无明显差别.
四、单边检验
1. 右边检验与左边检验
右边检验与左边检验统称为单边检验.
首先通过一个实例来说明双边检验与单边检验的
区别与联系.
某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态
分布, 均为未知. 现测得16只元件的寿命
如下:
问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小
时)?
例9
解 依题意需检验假设
查表得
由上述例子可以看到：两种检验使用的统计量
一致，区别在于拒绝域. 双边检验与单边检验的拒绝
域分别为：
因为与双边检验有密切关系，因而仅举一
例说明。
2. 单边检验拒绝域的计算
利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均
值差的单边假设.
定理
根据第二章§定理知,
其拒绝域的形式为
又由于
例10 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方
法的建议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只
平炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其
它条件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一
炉, 然后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行,
各炼了10炉, 其得率分别为(1)标准方法: ,
, , , , , , , , ;
(2)新方法:, , , , , , , , ,
; 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总
体
问建议的新操作方法能否提高得率?
解
分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本
方差:
即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.
查表知其拒绝域为
作 业
P181 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14,
15, 16, 17, 18, 19
1
2
3
4
表
5
6
7
