相关与回归分析
相关关系 基本概念
简单线性回归分析
非线性回归分析
相关与回归分析是一种常用的统计分析方法。
变量间的关系
（函数关系）
是一一对应的确定关系
设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量 x取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y =f(x)，其中x称为自变量，y 称为因变量
各观测点落在一条线上
x
y
变量相关的概念
变量间的关系
（函数关系）
函数关系的例子
某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价)
圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S= R2
企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3
变量间的关系
（相关关系）
变量间关系不能用函数关系精确表达
一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定
当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个
各观测点分布在直线周围
x
y
变量间的关系
（相关关系）
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系
收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
相关关系的类型
相关关系
非线性相关
线性相关
正相关
正相关
负相关
负相关
完全相关
不相关
相关关系的图示
不相关
负线性相关
正线性相关
非线性相关
完全负线性相关
完全正线性相关
相关系数及其计算
相关关系的测度
（相关系数）
对变量之间关系密切程度的度量
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数
若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为
若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r
相关关系的测度
（相关系数）
样本相关系数的计算公式
或化简为
相关关系的测度
（相关系数计算例）
643
690
713
803
947
1148
人均
消费金额
人均
国民收入
1988
1989
1990
1991
1992
1993
年份
249
267
289
329
406
451
513
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
人均
消费金额
人均
国民收入
年份
表10-1 我国人均国民收入与人均消费金额数据 单位:元
【例】在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额记为y，把人均国民收入记为x。我们收集到1981～1993年的样本数据(xi ，yi)，i =1,2,…，13，数据见表10-1，计算相关系数。
估计(经验)方程
人均消费金额对人均国民收入的回归方程为
y = + x
^
简单线性回归分析
什么是回归分析？
从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式。
对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著。
利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度。
回归分析与相关分析的区别
相关分析中，变量x变量y处于平等的地位；回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的地位，x称为自变量，用于预测因变量的变化。
相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量；回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量。
相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x对变量y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
回归模型的类型
一个自变量
两个及两个以上自变量
回归模型
多元回归
一元回归
线性回归
非线性回归
线性回归
非线性回归
回归模型与回归方程
回归模型
回答“变量之间是什么样的关系？”
方程中运用
1 个数字的因变量(响应变量)
被预测的变量
1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量)
用于预测的变量
3.主要用于预测和估计
一元线性回归模型
（概念要点）
当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线性回归
对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线性方程来表示它们之间的关系
描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型
一元线性回归模型
（概念要点）
对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为
y = b0 + b1 x + e
模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项
线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化
误差项 是随机变量
反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响
是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
0 和 1 称为模型的参数
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This teleology is based on the number of explanatory variables & nature of relationship between X & Y.
