第五章动态数列一、动态数列的编制二、动态数列水平分析指标三、动态数列速度分析指标四、长期趋势的测定与预测五、季节变动的测定与预测
一、动态数列的编制1、概念将某一个统计指标在不同时间上的各个数值，按时间先后顺序排列形成的数列，又叫时间数列构成要素现象所属的时间统计指标数值作用
表1：国内生产总值动态数列国内生产总年末总人人口自然增长居民消费水年份值(亿元)口(万人)率(‰)平(元)
一、动态数列的编制2、种类绝对数动态数列一系列绝对数按时间顺序排列而成动态数列中最基本的表现形式反映现象在不同时间上所达到的绝对水平分为时期数列和时点数列•时期数列：现象在一段时期内总量的排序•时点数列：现象在某一瞬间时点上总量的排序
时期数列和时点数列比较时期数列时点数列¾每个指标的数值可以相加¾各指标数值不能相加¾每个指标的数值大小与所属¾各指标的数值大小与时间的时间长短有直接关系间隔长短没有直接关系¾每个指标的数值通常是通过¾每个指标数值通常是通过连续不断登记得到的一定时期登记得到的
一、动态数列的编制相对数动态数列一系列相对数按时间顺序排列而成平均数动态数列一系列平均数按时间顺序排列而成
一、动态数列的编制3、编制原则时期长短应该统一总体范围应该一致指标的经济内容应该相同计算口径应该统一
二、动态数列水平分析指标发展水平平均发展水平增长量平均增长量
二、动态数列水平分析指标1、发展水平(动态数列水平)在动态数列中，各项具体的指标数值如某公司1993年～2002年的年销售(万元)顺次为：年份1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002销售额13 11 12 15 14 17 16 15 18 20最初水平(a) 中间各项水平0最末水平(a)n基期水平报告期水平(计算期水平)
二、动态数列水平分析指标2、平均发展水平(序时平均数、动态平均数)将不同时期的发展水平加以平均而得的平均数平均发展水平平均数动态数列变量数列发展水平的平均各单位标志值的平均对同一现象不同时间上对同一时间总体某一数的数值差异化的抽象化量标志值差异的抽象化
二、动态数列水平分析指标计算a、绝对数动态数列aa+a+L+a∑12na==时期数列nna∑a=连续变动n连续af∑a=非连续变动f∑a+aa+aa+aaa时点数列1223n−1n1n++L++a+a+L+a+23n−122222间隔相等a==n−1n−1间断首末折半法a+aa+aa+a1223n−1nf+f+L+f12n−1222间隔不等a=n−1f∑ii=1
二、动态数列水平分析指标根据每日资料编制成的动态数列称为连续时点数列；否则就称为间断时点数列。
二、动态数列水平分析指标•时期数列aa+a+L+a∑12na==nn根据表1中的国内生产总值序列，计算各年度的平均国内生产总值。
二、动态数列水平分析指标时点数列—连续变动某企业2002年6月上旬职工出勤人数情况日期12345678910出勤人数/人230234232236238235233236238234a230+234+232+236+238+235+233+236+238+234∑a==n102346=10=235人
二、动态数列水平分析指标时点数列—非连续变动某产品2002年10月份库存情况日期1～5日6～12日13～17日18～24日25～30日库存量/万件1830162520af18×5＋30×7＋16×5＋25×7＋20×6∑a==f5＋7＋5＋7＋6∑675＝30＝22.（5万件）
二、动态数列水平分析指标时点数列—间隔相等aaaaa123n-1na+aa+aa+aaa1223n−1n1n++L++a+a+L+a+23n−122222a==n−1n−1
二、动态数列水平分析指标根据表1中年末总人口数序列，计算1991～1998年间的年平均人口数
二、动态数列水平分析指标时点数列—间隔不相等aaaaaa1234n-1nffff123n-1
二、动态数列水平分析指标计算步骤1.计算出两个点值之间的平均数2. 用相隔的时期长度加权计算总的平均数a+aa+aa+a1223n−1nf+f+L+f12n−1222a=n−1f∑ii=1
二、动态数列水平分析指标设某种股票1999年各统计时点的收盘价如下表，计算该股票1999年的年平均价格.某种股票1999年各统计时点的收盘价统计时点1月1日3月1日7月1日10月1日12月31日收盘价(元)
二、动态数列水平分析指标b、相对数/平均数动态数列ac=bⅠ、由两个时期数列对比而成abcaa∑∑∑c==,c=,c=abbb∑∑∑c
二、动态数列水平分析指标已知1994~1998年我国的国内生产总值及构成数据如下表。计算1994~1998年间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重。我国国内生产总值及其构成数据年份19941995199619971998国内生产总值(亿元)其中∶第三产业(亿元)比重(%)
二、动态数列水平分析指标解：第三产业国内生产总值的平均数全部国内生产总值的平均数第三产业国内生产总值所占平均比重
二、动态数列水平分析指标Ⅱ、由两个时点数列对比而成a/2+a+L+a＋a/212n−1naa/2+a+L+a＋a/2n−112n−1nc===间隔相等b/2+b+L+b＋b/2bb/2+b+L+b＋b/212n−1n12n−1nn−1a+aa+a3a+a122n−1nf+f+L+f12n−1222间隔不等c=b+bb+b3b+b122n−1nf+f+L+f12n−1222
二、动态数列水平分析指标某企业2002年第三季度职工人数情况日期6月末7月末8月末8月末a 生产工人数325335343363b 全部职工数500500520550c 生产工人数占全部职工数%65676660
二、动态数列水平分析指标325363+335+343+22a==341(人）4−1500530+500+520+22b==515(人）4−1a341c===%b515
二、动态数列水平分析指标abc∑∑c==Ⅲ、由两个不同性质的数列对比而成bb∑∑某企业第二季度商品流转次数月份一月二月三月160300440a 商品流转额(万元)80100120b 平均商品存储额(万元) 商品流转次数
二、动态数列水平分析指标a160+300+400∑c===3次b80+100+120∑n×c=3×3=9次a全季商品流转额160+300+400∑＝==9次全季平均商品储存额b/n(80+100+120)÷3∑
二、动态数列水平分析指标3、增长量¾公式增长量=报告期水平-基期水平>0表示现象水平增长，产值增长<0 表示现象水平下降，产值下降
二、动态数列水平分析指标¾分类逐期增长量报告期水平与前一期水平之差计算形式为：Δa=a-a(i =1,2,…,n)ii-1累计增长量报告期水平与某一固定时期水平之差计算形式为：Δa=a-a(i=1,2,…,n)i0
二、动态数列水平分析指标关系各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量。（a–a）+（a–a）+……+（a–a）=a-a1021nn-1n0相邻两个累计增长量之差，等于相应的时期的逐期增长量。（a–a）-（a–a）=a-ai0i-10ii-1年距增长量＝报告期发展水平－上年同期发展水平
二、动态数列水平分析指标4、平均增长量各逐期增长量的平均数描述现象在观察期内平均增长的数量计算公式为逐期增长量之和累计增长量平均增长量＝＝逐期增长量个数动态数列项数－1(a−a)+(a−a)+L+(a−a)a−a1021nn−1n0平均增长量==n−1n−1
二、动态数列水平分析指标我国1995－1999年国内生产总值情况表年份19951996199719981999国内生产总值(亿元）增长量逐期—（亿元）累计—+6578++平均增长量=−=5−==5858.（2亿元）4
三、动态数列速度分析指标¾发展速度¾增长速度¾平均发展速度¾平均增长速度
三、动态数列速度分析指标1、发展速度¾公式发展速度＝报告期水平/基期水平¾分类定基发展速度定基发展速度aaa12n,,L,aaaaaaa10L000n−1n环比发展速度环比发展速度aaa12n,,L,aaa01n−1
三、动态数列速度分析指标¾关系aaaan12n=××L×a、aaaa001n−1aaann−1n÷=b、aaa00n−1¾年距发展速度＝报告期发展水平/上年同期发展水平
三、动态数列速度分析指标2、增长速度增长量与基期水平之比，又称增长率，说明现象的相对增长程度。¾公式增长量报告期水平－基期水平增长速度＝＝基期水平基期水平¾分类a−aaai0ii定基增长速度＝=−1=定基发展速度()−1(100%)aaa000a−aaaii−1ii环比增长速度＝=−1=环比发展速度()−1(100%)aaai−1i−1i−1
三、动态数列速度分析指标根据下表中第三产业国内生产总值序列，计算各年的环比发展速度和增长速度，及以1994年为基期的定基发展速度和增长速度。第三产业国内生产总值速度计算表年份19941995199619971998国内生产总值(亿元) . 3发展速度环比—(%) 定基增长速度环比—(%) 定基—
三、动态数列速度分析指标3、平均发展速度¾各环比发展速度的平均数¾说明现象在整个观察期内平均发展变化的程度¾通常采用几何法(水平法)和方程法计算
三、动态数列速度分析指标几何平均法(水平法)设a,x0第一期发展水平：a=ax102第二期发展水平：a=ax20Mn第n期发展水平：a=axn0an=nxa0nx=xxLx12n
三、动态数列速度分析指标几何平均法(水平法)已知各期环比速度nn=x⋅xLx=∏x12niaaaa12nnx=nn⋅L=已知最初水平aaaa01n−10n=R已知总速度
三、动态数列速度分析指标例：设1980年为基期a02000年为报告期a20a=4a2004a20020x==4=%a0
三、动态数列速度分析指标方程法(累计法)各期计算水平之和＝实际水平之和2nax+ax+L+ax=a+a+L+a00012na∑2nx+x+L+x=a0采用查表的方法求x
几何法和方程法的比较几何法方程法考察最末一期的水平考察整个时期中各期发展水平的总和适用情况当现象随着时间的发展比较稳定地逐年上升现象的发展经常表示为升或逐年下降时降交替如果最初水平和最末资料中间有几年环比速度水平受特殊因素的影响增长得特别快，而有几年又不适用情况出现过高或过低的情况。降低得较多，出现显著得悬殊和不同得发展方向。
三、动态数列速度分析指标4、平均增长速度平均增长速度＝平均发展速度－15、注意的问题应采取分段平均速度来补充说明总平均速度平均速度指标要与其它指标结合应用a、与发展速度、增长量、环比速度、定基速度结合b、与其它相关平均速度指标相结合
三、动态数列速度分析指标根据上表中的有关数据，计算1994～1998年间我国第三产业国内生产总值的年平均发展速度和年平均增长率。平均发展速度xi4x=n=%×%×%×%∏xi−==%平均增率=x−1=%−1=%
练习：计算表中所缺数字某厂“九五”期间销售资料年度销售量增长量/万件发展速度%增长速度%/万件累计逐期定基环比定基环比1995285——————
动态数列的构成要素与模型1、构成因素长期趋势(Seculartrend,T)由于某种根本性原因的影响，社会经济现象在相当长的时间内持续增加向上发展或持续减少向下发展的趋势。季节变动(SeasonalFluctuation,S)由于自然条件、社会条件的影响，社会经济现象在一年内随着季节的转变而引起的周期性变化。
四、长期趋势的测定与预测循环波动(CyclicalMovement,C)是社会经济现象以若干年为周期波浪式波动。不规则波动(IrregularVariations,I)是指意外的、偶然因素引起的突然发生的无周期的随机波动。
四、长期趋势的测定与预测2、基本模型乘法模型当四种因素呈现出相互影响关系时，动态数列总变动体现为各种因素的乘积。Y= T×S×C×I加法模型当四种因素呈现出相互独立的关系时，动态数列总变动体现为各种因素的总和。Y= T+ S+ C+ I
四、长期趋势的测定与预测1、长期趋势的测定与预测的意义概念现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态。目的把握现象的趋势变化从数量方面来研究现象发展的规律(定性－定量－定性)消除原有动态数列中长期趋势的影响，现实和测定季节变动
四、长期趋势的测定与预测基本形式线性趋势非线性趋势测定方法间距扩大法移动平均法最小平方法
四、长期趋势的测定与预测a、间距扩大法(时距扩大法)动态数列中各指标数值上下波动，可以扩大数列时间间隔某企业个月产值(万元)如下月份1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 产值 季度1 2 3 4总产值 月产值
四、长期趋势的测定与预测b、移动平均法(滑动平均法)采用逐项递推移动的方法，分别计算一系列移动的序时平均数，形成一个新的派生的序时平均数动态数列。这个新的动态数列可能消除数列中由于偶然因素所引起的不规则变动，以反映现象的总趋势。
四、长期趋势的测定与预测销售量滑动平均列表 序号 年份 销售量(台) 3项 4项 5项 1 1991 13 － － － 2 1992 11 12．00 － － 1993 12 134 1994 15 1995 14 1996 17 1997 16 1998 15 1999 18 － － 10 2000 20 － － －
四、长期趋势的测定与预测注意：(1)修匀程度的大小，与原数列移动平均的项数多少有关，项数越多，趋势线越平滑(2)项数应视资料的特点而定(3)趋势值项数＝原数列项数－移动平均项数＋1
四、长期趋势的测定与预测c、最小平方法原理：所有数列的实际数值与趋势线的估计值的离差平方和最小2(y−y)=min∑c(1)直线方法: 逐期增长量大体上相等y=a+btc
四、长期趋势的测定与预测2Q=(y−a−bt)=min∑∂Q=2(y−a−bt)(−1)=−2y+2an+2bt=0∑∑∑∂a∂Q2=2(y−a−bt)(−t)=−2ty+2at+2bt=0∑∑∑∑∂b
四、长期趋势的测定与预测⎧ntY−tY∑∑∑⎧Y=na+bt∑∑b=⎪⎪22nt−(t)⎨⎨∑∑2tY=at+bt⎪⎪∑∑∑⎩a=Y−bt⎩⎧a=Y⎧t=0Y=na∑∑⎪⎪⎨tY⎨∑2b=tY=bt⎪⎪2∑∑⎩t∑⎩
四、长期趋势的测定与预测例：已知某公司1993－2002年的年销售额顺次为8，11，13，16，18，22，25，26，29，33（万元），试用曲线拟合法测定其长期趋势。
长期趋势的计算表2年份tytty1993-9881-721994-71149-771995-51325-651996-3169-481997-1181-1819981221221999325975200052625130200172949203200293381297合计0201330447
四、长期趋势的测定与预测ty447∑b===∑y201∑a====+
四、长期趋势的测定与预测(2)抛物线方程二级增长量大体相等2y=a+bt+ctca、b、c 为未知常数根据最小二乘法求得
四、长期趋势的测定与预测2⎧Y=na+bt+ct∑∑∑⎪⎪23tY=at+bt+ct⎨∑∑⎪2234tY=at+bt+ct⎪∑∑∑∑⎩2⎧Y=na+ct∑∑⎪⎪2tY=bt⎨∑∑⎪224tY=at+ct⎪∑∑∑⎩
四、长期趋势的测定与预测已知我国1978～1992年针织内衣零售量数据如下表。试配合二次曲线，计算出1978～1992年零售量的趋势值，并预测1993年的零售量。1978～1992年针织内衣零售量年份零售量(亿件)年份零售量(亿件)
针织内衣零售量二次曲线计算表224年份时间标号t零售量(亿件) Yt×Yt t Y t趋势值合计
根据计算表得a、b、c的结果如下针织内衣零售量的二次曲线方程为2Y= + – tc1993年零售量的预测值为2Y= + ×8 – ×81993= ( 亿件)
四、长期趋势的测定与预测(3)指数曲线方程环比发展速度/环比增长速度大体相同ty=abclgy=lga+tlgbcY=A+tBABa=10,b=10
四、长期趋势的测定与预测某地区私营企业人员从业人数资料如下，试预测2004年该地区私营企业从业人数。某地区私营企业从业人员资料单位：万人年份1997199819992000200120022003从业人数
四、长期趋势的测定与预测最小平方法参数计算表2年份yY = lgytttY 合计
四、长期趋势的测定与预测∑B===∑∑A====10==10==ab=×=×=（1万人）2004
四、长期趋势的测定与预测¾注意问题：1、社会经济现象的发展复杂多变、类型多样，要根据现象本身发展的特点来选择适宜的数学方程式。2、测定动态数列长期趋势时，应将数学方法和深入细致的调查研究相结合，找出影响事物发展的主要因素，以期得出科学的结论。3、测定长期趋势，根据趋势线向外延伸，为预测未来可能达到的发展水平提供依据。
五、季节变动的测定与预测1.季节变动现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动各年变化强度大体相同、且每年重现指任何一种周期性的变化动态数列的又一个主要构成要素2.测定目的确定现象过去的季节变化规律消除动态数列中的季节因素
五、季节变动的测定与预测¾将季节变动规律归纳为一种典型的季节模型¾季节模型由季节比率所组成¾季节比率的平均数等于100%¾根据季节比率与其平均数(100%)的偏差程度测定季节变动的程度
五、季节变动的测定与预测如果现象没有季节变动，各期的季节比率等于100%。如果某一月份或季度有明显的季节变化，各期的季节比率应大于或小于100%。季节比率高，说明是旺季，反之，说明是淡季。
五、季节变动的测定与预测5、季节比率计算方法不考虑长期趋势的影响按月平均法(按季平均法)考虑长期趋势的影响移动平均趋势剔除法
五、季节变动的测定与预测按月平均法(按季平均法)步骤：1、列表2、加总，求月平均数3、求总的月平均数4、季节比率(季节指数)各月平均数.=×100%全期各月平均数1200％校正系数＝12个月季节比率∑优点：计算方便缺点：没有考虑时间数列中长期趋势的影响
四、长期趋势的测定与预测已知我国1978～1983年各季度的农业生产资料零售额数据如下表。试用按季平均法计算各季的季节指数。1978～1983年各季度农业生产资料零售额数据销售额(亿元)年份一季度二季度三季度四季度
农业生产资料零售额季节指数计算表销售额(亿元)年份全年合一季度二季度三季度四季度计合计同季平均季节指数(%)
五、季节变动的测定与预测移动平均趋势剔除法1、除法剔除求季节比率步骤：a、用移动平均法求长期趋势b、剔除长期趋势（y/T）c、求季节比率、调整季节比率
五、季节变动的测定与预测2、减法剔除趋势值求季节变差步骤：a、用移动平均法求长期趋势b、剔除长期趋势（y-T）c、计算同期平均数同期平均数∑=同期平均数－时期数d、分摊余数得季节变差
五、季节变动的测定与预测例子：某厂三年围巾销售量资料如下表所示第1季第2季第3季第4季第一年2166318255第二年2457522378第三年2889926399
五、季节变动的测定与预测某厂围巾销售量剔除长期趋势计算表季度销售量四项移二项移趋势值剔除Y动平均动平均除法Y/T减法Y-T第一年Ⅰ216－63 Ⅱ－ Ⅲ Ⅳ第二年Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ第三年Ⅰ Ⅱ20326－ Ⅲ399－ Ⅳ
五、季节变动的测定与预测除法剔除长期趋势后季节比率计算表第一季第二季第三季第四季合计第一年－－第二年－－第三年合计平均校正系数季节比率(%)
五、季节变动的测定与预测减法剔除长期趋势后季节变差计算表第一季第二季第三季第四季合计第一年－－第二年－－第三年合计平均+校正系数季节比率(%)
循环波动¾近乎规律性的从低至高再从高至低的周而复始的变动。¾不同于趋势变动，它不是朝着单一方向的持续运动，而是涨落相间的交替波动。¾不同于季节变动，其变化无固定规律，变动周期多在一年以上，且周期长短不一。¾目的是探索现象活动的规律性。
循环波动¾采用剩余法¾具体计算步骤为先剔除季节变动，求得无季节性资料。再剔除长期趋势，求得循环及不规则波动相对数。将结果进行移动平均，以消除不规则波动，即得循环波动值。
定性预测法Delphi法专家判断法直观法
案例Canton用品公司是一个服务性的公司，它有大约100名职工。Canton 公司的管理人员关心每个月应满足的现金款项，并想建立每个月现金需求量的预测。由于最近经营策略的改变，公司认为只有过去7个月的资料是合适的。根据下面的历史资料，预测公司下一个月的现金需求量。Canton公司过去7个月的现金需求量单位：万元月份1234567现金需求量205212218224230240246
案例最小平方法参数计算表2月份tytty1-32059－6152-22124－4243-12181－2184022400512301230622404480732469738合计0157528191
案例ty191∑b===∑y1575∑a===225n7y=225+=225+×4=
