第26卷第2期经济数学Vol. 26 ,No. 2 2 0 0 9年6月MATHEMATICS IN ECONOMICS Jun. 2 0 0 9 重尾索赔下带干扰风险模型破产概率的等价式*唐立龚日朝2(1中南大学数学科学与计算技术学院，湖南长沙410075, 2.湖南科技大学商学院，湖南湘潭411201)摘要Embrechts-Goldi号Veraverbeke公式给出了在重尾索赔Cramér-Lundberg风险模型下关于破产概率的等价式.本文将上述风险模型推广到带干扰的Cramér-Lundberg风险模型，研究了索赔分布时破产概率的等价关系式.关键词干扰;重尾分布;破产概率;风险模型中图分类号α， 文献标识码:A1.风险模型对于一个具有期望μ>0和分布F(x)= P(Xζx)的随机变量(.)X，其尾分布记为阳)=1-F(x)平衡分布记为Fe(x)=μlf:Þ(t)dt 本文所研究的风险模型具有如下结构:(i)索赔额lX;，i二三11构成一个独立同分布(. d. )的非负.序列，具有共同分布F和有限期望μ>o. (ii)在时间区间[0，t]中的索赔次数N(t)是一个与lX;，i注11独立的强度为À>0的齐次Poisson过程(iii)保险费率为常数c> o. (iv)lW(t)，t注01是一个标准的布朗运动，其分布为P(W(t)ζμ)=φ(τ圣=-)，其中DV’2Dt > 0，φ是标准正态分布.根据(i)~ (iv)，风险过程定义为N(t) J''飞，/’i 飞σ(t) = ~ X; -ct一αW(t)，t注o.* 收稿日期:2009-02-08 基金项目:湖南省普通高校青年骨干教师基金，湖南省科技计划重点项目(2008ZK2002)，教育部人文社科规划基金项目(07JA790084)，湖南省教育厅青年基金资助项目(06田的，湖南省2008年社科基金资助项目《湖南省综合减灾救灾模式研究)作者简介:唐立(1967-).，女，湖南长沙人，副教授，博士后EE-mail:ltang@.
-10一经济数学第26卷其中α注O为常数.如果α0，模型即为标准的Gramér-Lundberg风险模型.为讨论方便，不妨假设c1，而且假设相对安全负荷条件ρ±斗业>0(2) Aμ 成立，在此条件下，运用大数定理可以证明M = supσ(t) <∞，a. s. P. 。运t<∞从而，M的分布函数R(x)= P(Mζx)是一个以[0，∞)为支撑的正常的分布函数.设保险公司的初始资本金为Z二三0，于是破产概率可以通过风险过程|σ(t)，t二三of定义为’li’(x) = P(σ(t)>x，对某个t二三0)= P(M >工)= R(x). (3) 本文主要集中在索赔分布为重尾的情形.所谓非负随机变量X(或其分布F)是重尾的，就是说其矩母函数不存在，即Ee’x =∞，\fr>O (4) 成立.一般将满足这一定义的非负分布全体记作况，例如参见文献[1].在这一定义下，显然，如果非负随机变量X的期望不存在，那么自然其是重尾的.因此，一般都是考虑期望存在的情形.在这一条件下，定义积分风险函数(参见文献[2]): F(x) re(x) =可一一一.(5) I F(t)dt 注文献[1]中P55定义的积分风险函数(hazardfunction)为Q (x) = -ln F (x ) . 当分布F具有连续的密度函数j(x)(或者至少尾部具有连续的密度函数)时，文献[1J给出了风险率函数(hazardrate function) : (x) q(x) =ιi土~.(6) F(x) 此时，易证:当Z→∞时，若q(x)→0，一定有re(x)-0，反之也成立.因此在此条件下，q(x)与re(x)是等价的它们都反映了F(x)与Fe(x)的比值性质.另外，在文献[2J中还采用了记号d x) = xre ( x ) . 用其来刻画F(x)的尾部性状，尤其是矩的阶数.利用re(x)和dx)在工→∞时的极限性状，定义了X中一类重要的子族:定义1(M族[2]):若非负随机变量X满足:EX<∞，且limx→∞re(x)= 0，则称满足此条件的非负随机变量X(或者分布F)属于M族.记为FεM.下面给出M族中与本文有关的几个以[0，∞)为支撑的重尾分布子族[1-4]F普n(x)S族:分布F满足lim一:;:../’\. n对任啻n飞2(吱等价地对某个n二三2)成立.x-∞F ( x ) -fL., /’"J 1...1-ii5.. " -:::;-F(x -t) L族:分布F满足lim~ '--~一一一一1，对任意固定的t(或等价地对t= 1)成立.zfE F(z)一
第2期庸立，龚日朝:重尾索赔下带干扰风险模型破产概率的等价式一11一|F(x -t)F(t)dt S铃族:分布F具有有限期望μ>0，且满足lim:o一:::: 2μ. z→∞F(x) 上述重尾分布族之间，具有如下关系与性质[1-3](i)S最CSCLCM且F仨扩=:;>FeεS; ( ii)如果FεS，那么对任意r> 0，有erXF(x)→∞，x→∞; (7) ( iii)若FεS畴，则尸A F-ο-Fz Z二11A JA,nu mm一一)d ---F(8) 刊刊2.主要结果下面关于破产概率的等价式是风险理论中一个经典结果.命题1[1] 关于具有相对安全负荷条件(2)的Cramér-Lundberg风险模型，若FeεS，则1p’(x) ~ρ1 Fe(x). (9) 该结果就是著名的Embrechts-Goldie-Veraverbeke公式.4关于带干扰的Cramér-Lundberg风险模型，龚和邹(2007/]研究了破产概率的局部渐近解等价关系式，本文主要研究破产概率的渐近等价关系式，得到如下结果:定理1具有安全负荷条件(2)的模型(1)，若α>0，且FεS祷，则破产概率1JI(x)同样具有式(9)的渐进表示.注这一结果与命题1比较，说明当索赔分布F仨S怜时，如果初始资本很大，干扰对破产概率几乎没有影响.3.几个引理对于过程|σ(t)，t注01，设5二三0，给出几个分布函数的拉普拉什-斯蒂阶斯(L-S)变换的记号:「∞^r∞-r f \ ^ r∞1 -f( s) I(s) ~ Jo e-SXdF(x) ,r(s) ~ Je叮R(x)，le(s)~ Je 哑~(x):::: ~兰i二乙二o o ^ 11 -exp( _ ~x亏)，x注0，并记E(x)抖Ua-o x < 0, 则其拉普拉什变换为而)::::_1了，s二三O1 + Da飞定义2(谱正Lévy过程[5J)设!Y(t)，t注01是一个1元叩过程，若其特征函数
-12一经济数学第26卷EeisY(t) et+(s) , 其中2 itt isx~(s) = ias -bs+ I (e-1-isx)π( dx) + I (e 一1)1I(dx).JO<lxl~l Jlxl>l ~ ( s) , 1I (dx )分别称为该过程的特征指数和谱测度，若π(dx)的支集为[0，∞)，则该过程称为谱正Lé叩过程.引理1若jY(t)，t二三)1 ;是一个谱正I元可过程，则(i)Ee~sY(t) = e刷s)其中5二三o，<p(s)=一~(-is).( ii)记M=?EPY(t)，?(z)=P(M>z)，设。是方程ψ(s)= 0的最大非负根(至少。是一非负根，因此必存在非负根).若s> 8，则有不等式j飞1 旦出~SX'lP'(x)dx =一一一-o ~，~/~~ s-8ψ(s) . 该引理1可参阅文献[5].根据上述定义2，对于风险过程iσ(t)，t注01，得到引理2过程|σ(t)，t二三01是谱正Lévy过程，有EeisrJ(t) et+(s) 其中~(s)= -is 战2S2+λf~ (俨-1)dF(x) 证明显然，过程|σ(t)，t注01具有平稳独立增量，而且轨道是连续的，是一个Lévy过程.又因为过程|σ(t)，t~ol中，S(t)与W(t)独立，故其特征函数为:N(t} iSl1Ee(t) = E[exp(is( ~ X一t一αW(t)))]ii= 1 N(t) = exp( -ist) E[exp( -iasW(t)] . E[exp(is ~ X)] ii=1 =叫[t(一lS战2i+λf~ (产l)dF(x))] 2iSX 们(s)=一is-IJai +λf~ (e-l)dF(x)，即得引理证毕A 之亨伊(s)= ~(iS) = 什S+胁时2飞胁S2+叮心e俨易证其具有如下性质:当S二注兰O时，伊叭(s)二注兰0，是一个单调递增的下凸函数，且当且仅当s= 0时，伊(s)= o.于是，根据引理1，又有引理3对过程|σ(t)，t二三01，有(i)Ee~srJ(t) = e刷s)「∞1- l1 (ii)1 e~SXR(x)dx = ~坦J(s) . Oψ根据引理3，于是得到∞2推论-r -mh 唱且4EA 、、-ρb Acd --μ Aμ ed z 川
第2期磨立，龚自辍:重尾索赔下辛劳子找风险模骂击破产概率的等价式一13一证踊运黑分部若只分法，商旦注意重JR(O) = 0，并提据引理3，得到「∞f∞(1-Àμ)s 1(s) I e-SXdR(x) = sl e-SXR(x)dx = ~注丘J~ U"’-\..A-I -"J告伊(s)o 将伊抖忡μ州ω5〈ο)= s +函2S2十λf~俨阳b(1…Aμ)s F(s)=p∞ SX S + [)CiS2 +λI (e--l)dF(x) <1-Àμ)S 2s + IJas2十À(1 -}( s)) 了1…(s)1 =(1-Àp)'l+五三俨- p ~芦i二二4·U瓦ζJ= (1 - p)º(s)/[1 -À矿~(s)ë(s)]，根据伊(s)的性质，昂知0< P!e(s)º(s) < 1，故将上式展开成级数形式，立即得到结论.证毕.记A(x)铸B(x)表示函数A(x)和B(川的卷积，A传究表示A的n重卷积.根据推论1，运用拉普拉什逆变换，于是就得到定理2[6]具有安全负荷条件(2)的模型(1)，有，p，咱‘、AU、‘ ，，，iR(x)=(1-Àμ)~(Ã，μ)nE*(n+1)(x)快Fe*n(x)n=O 为了下部定理证萌的方便，记式(10)中H(x)主E(x)•丑〈川，W(x)主(1- p) ~ (Ãμ)nH* n(x). (11) 于是R(x) = E(x)铃W(x).(12) 4.定理1的证明sll里4[1)假设G，G是以忡，∞)为支撑的重尾分布，如果GS，而且1Z1ε口1(X) lim士L一一=b 仨(0，∞), z→∞G(x) 2那么ε由于F仨矿，则FeE S，根据引理4，有H εs∞RεS仲WεS，即有如下系列引理.引理5若F芒S\到HES，直H(x)-瓦(x)，H(x) " 1-E(x)美Fe(x)证明lim丁…~= lim 一x-∞Fe(x)→∞Fe(x) 1-f: Fe(x -ρd[ 1 创刊一副]气1mFe(x)
一14一经济数学第26卷x叫-击)+占rexp( -~ )Fe(x一y)dyh飞vaI ua-JO飞vaI =Z52Feb) -y) \Fe(x f _ r_1_~.._f _ _1 ~ rX~.._--L l’ -1..1 \-’-Ii町、l丁-一--exp I =---"十句IeXPI 、l一一一一一一一一-avI --, LJo---’" L! L! IJa:~'oaFe(x)---'" IJaIJaJ Fe(x) 根据S族的性质，因为Feε5，上式第一项的极限为0，且由于5CL，故FeεL，并根据勒贝格控制收敛原理，第二项的极限为1，故上式的极限为1，即H(川，l’ 1 11mξ= (X) 证毕. . ρ1引理6若H仨5，则wε5，且布(x)且(x). -饼。普证明注意到H(x)= 1，Hl(x)=H(x)，故)n-1一(1(À旷n(x) μf1) 一~ ，""-o W(x) l’ ZEE Eζ7=J!!21-H(z) 怪茫飞nHn(x)=(1-À.μ) lim~(Àμ) 气?一一卢国工ô. H(x) 椅茫飞nHn(x)= (1-Àμ)Àμ+ (1 - f1) (柏)气?一一.x-∞士iH(x) 根据Hε5，并运用勒贝格控制收敛原理，上式=(1 -Àμ)巾+(1-MPW)"=古元=ρ-1证毕.引理7若wε5，则R仨5，且R(x)-非(x). lim R(x) = lim 1-W(x)祷E(x)证明1mτ一一lim一x→∞W(x) x-∞W(x) p1-f: W(x川d[1-ex( -~)] =J!!E W(z) 叫X击|可(-~IW(x-y)dy21+-n.飞vaua-J Lλ1 I 0 I =J!:2wb) _ 1;~ _1_a~J _ ~ L. _1_ 1;~ r与~(_ --L四年二..Y2，1.. 一x-oo(x) ’-^-l-’ \ IJa2 J ’ IJa2工工J0 '-"1'飞IJa2 J W(x) uy 非根据wε5，并由S族的性质，上式第一项的极限为0，且由于5CL，故wεL，并根据勒贝格控制收敛原理，第二项的极限为1.故上式的极限为1.证毕.根据定理2，R(x)= E(x)祷W(x)，当FE5餐，由引理7，引理6和引理5，依次得到R(x) -W(X) -ρ-1且(x)-P- 1 Fe (x ) , 即为本文主要结果定理1.
第2期唐立，龚日朝:重尾索赔下带干扰风险模型破产概率的等价式一15一参考文献[1] EMBRECHTS P, KL PPELBERG C, MIKOSCH T. Modelling extr田国1events for insurance四dfinance[ M]. Berlin: Springer-Verlag, 1997 [2] 苏淳，胡治水，唐启鹤.关于非负分布重尾程度的刻画U].数学进展，2003，32(5):606 -614 [3] ROLSKI T, SCHMIDLI H, SCHMIDT V,et proc回回forinsurance and finance[ M]. New York: Wiley , 1999. [4] 龚日朝，邹捷中，重尾索赔下带干扰风险模型破产概率的局部解UJ.应用数学学报，2007，30(3):563 -572 [5]∞NEY R A. Hitti咆probabilityfor spectrally阳itiveLØvy processU]. J London Math Soc,1991 ,44 (2): 566 -576. [6] LIU T S. A laplace transformation method for evaluation of the ruin probability for risk model with diffusionU]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis N皿kaiensis，2000,33 (4) : 105 -108. EQUIVALENf FORMS OF RUIN PROBABILITY IN RISK MODELS WI1H PR似卫SSFSBY DIFFUSION UNDER HEAVY -TAILED CLAIMS TANG Li,GONG Ri-zhao ( 1 . School 01 Mathmatical Sciences and Com阳tingTechnology, Central South University, Changsha, Hunan 410075 j 2. Sch∞101 Business, Hunan Science and Technology University, Xiangtan, Hunan 411201) Abstract The equivalent fo口nsof ruin probability under the GramØr-Lundberg risk models were presented from the formula Embrechts-Goldie-Veraverbeke. In this paper, the risk models were generalized to those perturbed by diffusion, and the equivalent forms of ruin probability under the c1aim distribution FGS骨wereobtained. Keywords diffusion; heavy-tailed distribution; risk model; ruin probability
