第12带年1期管理科学学报 2ω9第4月JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA 仪)9期望未来损失约束下的最优投资问题①事~椅华邓飞其2(1.浙江师范大学工商管理学院，金华321ω4;2.华南理工大学系统工程研究所，广州51侃40)摘要:在林准的Blackδcholes型金融市场下，建立了期望未来损失(expected (uture loss; EFL) 约束下基于终端财富效用最大化的投资组合选择模型.边用革史和优化方法，得到了…般效用投资者在投资计划期内任意时刻的最优财富和最优投资组合选择策略.在对数效用函数下，得到了投资者在投资计划期内任意时刻的最优财富和最优投资组合选择策略的显式在这式.关键词:期望未来损失;效用函数;最优财富;最优投资中团分类号:阳文献标识问:A文章编号:1∞7叩9807(2ω9)02-ω54 -06 因为VaR方法的缺陷，Artzn町等问提出了"一o 51曹政风险度量"这一概念.认为风险是一个映射p:r →.R，如果一个风险计量方法在数理逻辑和经济近十多年来，国内外许多学者都致力于VaR逻辑上是合理的，则它应诙满足下面的儿条公理[5J: ( value-at -risk )的研究，VaR即投资组合在给定的n 1)转移不变性公理.设XE R，a是常敬，则置倍水平下及特定的投资计划期内町能遭受的最ρ(X +α=ρ(X) -α，其经济意义是如巢将常数大损失[1，2]一段时期以来，金融文献里似乎有个单位的参考金融t具加入到资产组合中去，则只共同的信，念，那就是VaR是管理和控制风附的有需要有相同数髓的风险补偿.其直接结果是通常效方法.正如文献[2]指出的那样，VaR方法已被所谓的无风险资产也j幸存在风险的.基金经理广泛运用.而且，巴赛尔银行监管委员会n2) iE齐次性公理.对任意的k注O，XE R，有要求银行运用VaR方法来决定服于市场风险暴ρ(kX) = kp(X) ，其经济意义是如果持有资产头露的资本充足性要求.然而，文献[3J出现之后，寸的规模直接影响到风阶测皮(例如由于持有资显然认识到VaR方法并非度量和控制风险的可产头寸太大以至于资产流功性严重依颇于资产规靠方法，因为VaR方法不是一致性风险度最方法.szego[4;指出，一般说来，VaR甚烹不是弱一致模)，则庇该考虑由于资产缺乏流动性带来的后果，因为此时风险已不仅仅依赖于未来财富净值.性风险度最方法，其严重缺陷是不满足段可加性，该公理也表明这里的风险是线性依顿于持布资产也就娃氓，分散投资反而会招撒克大的风险，这显然有悖于Markowitz的分散投资原理.当然，如果头寸，并且应该路免风险费加的规模效应.3)次可加性公理.对\fX，YE K，ρ(X +盯喝茶投资组合中所有风险资产回报率的联合分布是椭球的，VaR满足次可加性，即ρ(X) +ρ(Y) ，其经济意义是报资组合可以分散投VaRα(P1 +P) ~VaRa(P1) +VaR(P) 资风险，因为左边可以推广为投资组合的风险，而2a2这里'P和P2指两个投资细合的回报率，α指置右边表示单独投资的风险总和.1倍水平.4)单调性公理.如果X运Y，则ρ(X);all: ① 收梢门朔:2ω5 -08 16;修订阿朔:2∞?喃12-21. 作者简介:郭福华(1969…)..!ij，湖南i~阳人，博士，讲师.Email:配utg!h@ 췲랽쫽뻝뗚㈰䩏但䵁千䥎䍈웚맹⠱㊣햪晵汯풼쇋맘훐컄?틽퇔뷼⡶훃듳䪣릲킧믹튪슶쿔뾿램탔튲좻춶쟲噡헢탅틲훂춮싟ㄩ䗍瀨떥탨쯹㈩듧닺쒣맻룃춷㌩폒㐩ꋙퟷ噢맜乁䥅䥎乯啒쫕ㄲ〹瑵沣?꺻㘴獳쫸춶볼춼쿗헂쪮慬탅쯰껒춬랽뷰쟳뗄좻럧뻍폐务쮮캪벭꺣캽헽춷⦣ꎬ릫듧砩뇟떥튪헟샯ꆪ캻듎䝅乃?ꎮ灲샭뢣乁룥긱뻭뗚牥䵅䕓?ꎮ췻헣〩ꎻ쿂듊럖뇪뇠뛠略쮮쪧뮶뗄램뺭틸죏卺쿕쫇ퟩꎬꌨ욽噡짏틆걡⭡폐웫맦듧곔틲샭⭰뇭뗷뿆?ꎺ퓚뫻⤽뿉?乔㈰볲쓪㓔뮪붭쿀䕆믹헟ꎺ샠쪶뫅쓪ꆪ욽ꆾ컊탅ꎮ샭탐놾ꎬ敧뛈쮵폚뫏噡偉劷쫇늻⤽쿠컞듎쒣첫캪튲늢⠱쪾탔웚톧〹퓚춶傣뛈ꎬ닎펡볓㋆?ꎺ뷩톧캴쪦䰩폚퓚웚뫅싫ꎺ살慴쿂ㅦ뇆쓮헽맣퓋돤떽틲澡솿ꎬ䵡훐勂⭐붷뫏뇤뎣瀨춬럧탔횱듳ꚸ듋뇭쟒떥릫ㆣ?뇪겺솿죧뾼⡸탔틲㈰놨랶꒴훕춶췻ꎺꎬ彞벰??죧랺폃ퟣ噡캪븴랽럖牫쯹𧻓㈩ꢵ샭탔쫽砩쿕릫뷓틔쎿쪱쏷펦⦣뛀〵겵ힼ볆쵐ꆱ맻뷰⦣릫캪살듳뛋캴䘧?〷맺獫쳘퓀쓇컄퓋噡탔劷ꆣ램즢潷폐ꇜ쓈뗄릫ꎬ튻솿샭펰훁볂럧헢룃곆춶ꎮ맹뗄뮮ꎺ헢죚곆ퟳ〸쮷톧닆볆살㠳ꆪ쓚⦵뚨뒣뻍쿗폃劷튪붷횸ꎬ춶楴럧캿噡뇏샭퓲憣닺ꎮ쿬폚쟓쿕샯뇜죧튻뢣䉬웚횸튻룶璾뇟쯰릤뗍뢻뮮ィ㤸췢쓑뗄경ퟣ嬲ꎮ붷쟳ꢲ돶웤窵쿕즼务?퓲곆럧튲뛔떽짓틑쏢궼맻짆ㄶ뮪짌뎹慣킧쓚웚쪧긹〷탭킾춶噡巖뛸ꣀꎮꊷꢲꎬ퇏랴쒷폐ꌨ솽걁룅럧쯼짨?쿕쫇죎궼닺?늻噘쏒뿉墡ꎻ탞쪧맜꒳폃쓚ꎻ⠲뛠뾣?勊뢳쟒뒾좻잶믊튻훘뛸훉닺풣倱牴펦?궼늹듦틢쇷쪲뷶?⠱殡죎룶쓮쿕폈쏒ꎬ틔뚩샭쳑ퟮ죎킧〰톧걖볆쓏잹ꎬ뛸죁쟒냣좱믡ꋍ믘겼⤫穮룃쏒뎥퓚뗄닢뚯靖뷶쫇뗾ퟜ꩓틢춶죏ꆿ췆죕㤶풼톧킾듳틢폃㤩헟慒뮮ퟀ?쓄냍꣔ꎬ뾺믖쮵쿝헐뛗놨?噡敲싺ꎮ럧뫳뛈탔놷틀쿟볓쟍뫍퓲웚捨쪱캪솿뷗ꎬ맣㧒ꎺ풺뿋뮯쪱몯〲뚼벴웚쟑죻듓컄춿싐살쫇훂쫔싊务뗈ퟣ웤쿕ꇝ⣀퇏ꛁ삵탔뗄뛗ꎮ瀨潬뿌ퟩ럧랽쪲쟈ꇊ캪㈰묩쫸ꎬ念뗄뿌쫽ꆪ훂춶쓚욺춿뛻?쿗?풷늻룼귀ꌨ뿚쿂쟈횱ィ훘폚틀맦쫗堩〷敳뗄뫏쿕램𧻓춮춶뷰겹춶뗄ꎻ〰솦뿉?걖틸킳嬳욷噡싺듳솪倲ꆣ쏦뷓ꎮ걸틀꿐캴삵쒣ꇝ튻ꎬ탍ퟮ쫇퓚﮳ꎬㄲ쿂뮪㔴폚ퟩ쓜킸욷慒탐ꆷ嶳햶勉ퟣ뗄꺵뫏?쳡﮽뷡ꇊ짓삵풴살킧쾿쓐ꆪ뷰폅믘튻쫽쿖훓瀨㌲?ퟩꆪ噡뫏퓢?랽볠햵죁듎럧뇈럖돶벸ꮳ맻춮?폚닆돖펦짒㈱ꎬ뗄죚뫏닆〶?퓚쫜햵램맜햱훖쒿뾷솲뿉쿕뮣늼놨쇋룶샭쳵ꏊ탈쫇ꎬ탗훓뒵뢻폐ꎮ堫풷뫾〴톡룸뗄쓓틑캯?꺺믊볓ꎬ곈쫇ꆰ릫춨폐탗닺쒺뺻훉쫐뢻싊펳싟ꖣ쪲礩ퟮꎻ퓱뚨?놻풱쟈탔헢췖튻샭뎣맦횵닺ꋍ쓏뎡뫍ꎬ짤벭곔鬒ꇜ럧쒣ퟮ뗄믡?ꎮ쿔ꆱ틦쿂ퟮ滖炣뫍?쿕폅탍믖䪣ꎬ폅룖?뺭퇴ꎮ춶?붨춶?볃뛸죋춶퓋솢폃ퟩꎬ쇋ퟩ뫏늩웚뫍뫏톡쪿컊폅퓱췻톡ꎬ뮯닟캴퓱쳢랽싔붲살닟램뗄쪦쯰싔ꋙꎬ쿔쪧ꎮ뗃쪽⡥퓚䕭떽뇭硰뛔쇋듯慩散튻쫽쪽沣냣ꎮ瑥킧몡킧?폃?폃몯춶瑧쫽晉쿂䥀ꎬㄶ뗃떽㎣꺿?
第2期郭福华等:期理未来损失约束下的最优投资问题55一p( Y)，其经济意义是如果一个资产组合好于另一(中(t)窃Pi(t)I bidt + L O’ijdBj(t) I L I需切J'’J (2) 个资产组合，则其投资风险也应诙小→些，传统的均值…方提决策方法不满足该条件.稍作变形可Pi(O) = Pi 知当X< 0时，p(X)> 0，即此处是用正值表示这里，B(.) = ( B( ) , , Bn ( ) ) T是定义在带1 风险.流概率空间(n，只i坷|问时，P)上的n雄标准布然而，目前使用得最多的几种风险测度方法如朗运动，系数b窃(bl! , b) T及σan方菜、VaR都不是一致风险测度，主要是不满足次可i 叫1\刷刷是股票期望回报导豆向量和波动率矩加性.也就是说当Markowítz提出利用投资组合可以阵，它们满足如下假设:降低投资风险的原理时，他们使用的风阶栅度指标81 bí>r，i=l，…，叫T 却导致错误的投资组合结果.目前人们提出了一些H2 uu> O(非退化条件)一致风险测度指标，其中使用得最多的是条件风险注意，尽管b和σ是时变的，~日本文假定它们均为价值CvaR(conditional value-at-risk) l川]、WCE常数.(worst conditiona1 expectation) []、ES(expected 动态投资组合由LN( t)Pì(t)构成，这里 shortfalI)川等.Ni(t)是指投资在第i种股果Pi上的股她假设初最近，文献[12J运用"受限期增损失"风险始财富为w(O)器W> 0，任意时刻It e [0 ，TJ投测度法来控制投资组合的风险，建立了受限期搜o资者的总财富记为w(t).容易证明，w(t)满足随损失约束下的效用最大化投资组合选择模型.受机微分方程限期唱损失风险测度法满足次可加性、正齐次性及单调性公理(但不满足转移不变性公用).因仙(t)= w(t) I [r( 1何?‘(t)) + 此，受限期望损失方法克服了VaR方法不满足次可加性的缺陷.文献[12J的研究表明，与非风险L bj17’j(t) ]也+工艺叫(t)内战(t)I 管理者相比，VaR风险管理者总是最优地选择风(3) 险资产的更大暴露，其结果是~损失发牛时，会招式中，作j(t)表示时刻t投资在第i种股票上的财致更大的损失;VaR风险管理方法下的期堪损失富比例，即是受限期望损失风险管理方法下的2时10倍.然你j(t)w(t)= NJt) Sj(t), i = 1, ,n 而，本文考虑的是期唱未来损失(EFL)约束下的于是最优投资问题.与受限期望损失相比，期望未来损失不考虑损失的贴现.w(t)黑工作.(t)w(t)其中，作。(t)窍1-工作.(t)是时刻t投资在无风1 EFL约束下的投资组合选择模型险债券中的财富比例.称资产组合过程 金融市场描迷n-(t) = (17'\(t)，…，叽(t))TeRn考虑标准的型金融市场，假设为一个投资组合选择策略.市场上存在n+ 1种资产，所有的资产都在投资计当然，系统(3)能写成向量形式划期忡，TJ内连续交易.其中一种资产为无风险dw(t) =w (t) I [r + (b -,1) T.,,(t) Jdt + 债券，其价格过程Po(t)满足常微分方程."T (t)σdB(t) I (4) 户。(t)斗。(t)dt 式中，1是n维列向量，其每个元素为1.(1) 动态市场的完全性意昧着存在惟…的状态价Po (0) = 1 式中，r(格密度过程η(吟，满足随机微分方程> 0)是无风险债券的利率.其余n种资dη(t) =-η(t)[rdt + tidB(t) ] (5) 产为股票，其价格过程p‘(t)(i= 1，2，"'，n)满足式中，η(0)噩噩η0;8黯q-l(b-rl)是风险市场价随机微分方程췲랽쫽뻝뗚튻瀨룶뻹횪럧좻랽볓붵좴볛⡷捯數獨㎵닢쯰쿞벰듋뿉맜쿕훂쫇뛸ퟮ쪧?䕆ㆣ뷰뾼쫐뮮햮닺⠱쯦䱰쇷샊箶헳䡬㙦䧅쓍힢뎣뚯ꋴ쪼믺즽?⠳쪽뢻?폚웤캪떱撼뿳⠴룱搧⠵㉕맹ퟮ䲷쪽헢湤긱㋆㹲礩횵떱쿕뛸닮뗍떼훂潲灥좣뛈쪧웚떥ꎬ볓샭룼쫜폅늻죚싇뎡좯?캪믺昨퓋ꉤ틢쫽닆헟캢훐뇈椨쫇⡦튻좻패⡮첬쏜㔵탔햮㜨룅뢣䳔첬⡦楴뷼훐샯ꆯ⢡?ꎬ닺砼ꎮꆢ춶훂럧䍶獴捴瑦램풼췻뗷쫜탔헟듳쿞놾뾼쫐뇪짏嬰ꆮ막캢〩뚯綡쯼ꇪ뢻뗄럖샽昩⤽룶?뛈㙩뮪튻튲楯좯琩ꎬ伩싊椽볊춶⤽웤ퟩ랽ナ쒿噡듭쿕慒湡慴慬살쫸쯰탔쿞뗄쿠웚컄싇뎡ힼ듦ꎬ욱럖㵰ꎡ쏇㸰뺡⧊캪ퟜ랯볓⣘쾵킭맽뗈뻍훐㇊⤽컄㵬爨풻ㆣ✷?뿕ꎺ뺭뫏닮놣잰劶럧컳닢⡣楯氩뿘쿂쪧릫웚좱뇈룼쯰췻뾼컊쏨뗄퓚牝볛ꎬ랽쾵뙦싺맜쟖볘닆돌⡦벴⡴춳ꇞꇆ?뫰겡쫇쿗㹏⢡⢷뗄잷튻⠰㷉웚㶱볃ꎬ뻶거쪹벲쿕뗄뛈潮温ꆮ훆럧샭췻쿝듳쪧쯰싇쳢쫶䉬渫쓚룱웤돌볤쫽瓐ퟣ㚺룍⡏뢻⦱⤽⢡ퟩ⠳⡴⥽췪궣嬱습⧊ꐩퟩ㝲漨⧐쮵닆닎뗰췻틢퓲닟⡸폃믊뗄춶횸摩ꆮㄱ킧쿕⢵쯰ꎮ噡놩ꎻ쪧慣㇖솬맽ꆯ볛㘽닊죧쟍뛗⧀볇ꋴ뫏⧄⥻좫㜨겣⡮⡴㉝쟎㴨?캴떱뢻곁⡴쓍뫏ꎻ昩틥웤랽⤾뗃쟒풭뇪瑩㦡폃닢ꮲ쪧컄劷슶噡럧쫇폫쳹殣훗탸돌룱⠶잹쿂걬ꋊ쫔벱캪뻊椨ꎬ톡?孲탔뻗살퓋?䊣ꎬ쮻㞡䵡ꎻ뇈탏⥛쫇춶램ィퟮ믖샭ퟩꎬ潮ꐱ뛈믂랽쿗劷쿕웚쫜쿖깓쪲붻瀰㊼맽ㄧ짆볙쟊??놿ꆭ퓱뒳⬨틢琩뛗평⡴㵬쯰폃갨⥝ꎣ횻죧늻겼뛠슷牫쪱뫏웤慬〱듳램𧻓嬱햹맜췻쿞ꎮ捨画틗⢡돌뇆짨꿌놱?ꌾ⡦챦㕩샽ꎬ닟짏닎캶싺牤쪧ꆰ헕ꆤ뮿쫗ꇆ⧛튻筛맻럧싺뒴뗄ꎬ뷡훐癡ꆢ뮯뿋㉝?햹샭캴웚潬곋ꎮ긩힡炡篳?ꎺ훖ィ⦣춶⡦?싔튻ퟅퟣ풼濋뾣琫쫜껈⦣?즽쫸튻쿕ퟣ쮴벸햲쯻맻쪹汵䕓럧춶럾뗄?랽살췻敳陸웤싺ꌨꎮ﮻쒣䴨막곈껈⦣ꇆꆣ뿐爱듦쯦클챽돆곆뿚爨쿞꾵겡쿂?룶튲룃ꛊ훖쏇ꎮ폃攭⡥쿕듎욲쇋퇐?쫇램쯰탍킵훐ퟣꌨ琩ꎬ?︩겵욱컒?퓚걩⠱컊⦡믺竌쿑昩뫰ꆣ웚쓀궣ꋨꊡ뗄⮣펦쳵쟓럧좣쪹쒿뗃慴硰ꎬퟩ뿉뮱噡뺿?떱붷쿂쪧뷰쓗튻뎣⡩㚡ꣂꮱ炣ퟖ㇒뗚㴱⤩?ꎡ캩캢췻﯂걂닺뾸⣈긱ퟮꇔꆶ渨⡴닺룃볾쏕쿕곖폃잰ퟮꆪ散붨뫏볓劷뇭쟗쯰꣏뗄⡅쿠죚쪲훖캢ꆣ㵬ꌩ쫏뻎믉놿꓃槖ꎬㆡꏘ튻럖뚢폅쯰쪣ꆣ⣑뮡ퟩ?믜ퟩ킡ꎮ닢뗄죋뛠物瑥솢톡탔풹붷쏷쪧습㋒䙌뇈쫐襁럖ꎬㆼ쒼쾵챦횹ꆭ쩒랽琩⧊춶쪧껆⢡ﯓ琩뫏튻짔떱뛈럧쏇뗄獫?쇋퓱ꆢꯀꢲꎬ억랢쓆묱⧔뎡볔닺랽⥤㊣낡뾺?쒹ꇊ겼짆昩ힴ돌욷ꆱꏐꐩ릹쟊뭲ꆣ쏍맽??뫃킩ퟷ랽잲쿕쳡쫇⧒쫜쒣헽믂폫?짺?ケ볊웚ꎬ캪돌겡츽춲짊孏패뇉嵤첬컊럧⤷倩ㄩ돉꼨놿쳢폚ꎬ뇤?램믂뛗닢돶쳵뮽쿞탍웫ꎮ𧻓럇ꇔ쪱뚣췻볙컞ꆮ궣ꢶﳃﶣꇪ쾵돌琫ꨱ볛쿕룖쫇짏쇭뒫탎죧𧻓뛈쇋볾퀱웚ꎮ듎틲럧ꎬ껈습캴짨쪼겣펬꿂잾꺼牝⧂쒲쫗챴훗뚨稩럧튻춳뿉횸럧ꆢ췻쫜탔?쿕믡살갱뗄쪾硫?춶𧻓?틥쿕헢춶뗄캿뇪킩쿕坃헐쯰⧂?⤫滎琩쾿⡴퓚쫐?𧻓샯짒듸겱뎡?럔퓚볛?⦡컞벲뛟뼨럧?⡦㈩⥽
一何一管理科学学报2侃"年4月楠过程.一LEM(T)|I[λ1η(T)]φ(d) + η(t)叩l叩最后，假定规用函数u(x)是两次连续可微，l[oúnλlη(T) ,u’(wo -c) ] I [1 -φ(d)] I g;] 严格通增，严格凹函数，且满足límu'(x)百∞，lim u’(x) = 0 其中，λ1是非负常数，由式(14)确定;φ(d)是标问.0句争。@准正恋累计分布的数问时，严格递增，连续的边际敢用函数u’: (0，∞)叶(0，∞)有严格递减，连续的逆函数ln …组叫t(IT +且叫阳气l叩L\lT1: (0，∞)→(0，∞) . d叩η" EFL约束下的投资组合选择模型"θ11 ft 正如号|育中所指出的VaR方法的缺陷，本文证明设非负常数λ1、λ2为拉格朗日乘子，采用EFL方法来持制投资组合风险(与文献[12J记拉格朗日嗣数L(w( T) ;¯l Å2)为的受限期提损失相比，EFL不考虑损失的贴现), L( w( T) jλ1 .¯) = Eu( w( T)) -2其数学表达式为λ11 E[η(T)w( T)] -ηoWI申o E[ (wo皿w(T) ) 1...-"’(T)....1 ]延c(6) 1λ21E[(wo -w(T))ll.，._w(T)"~I] -cl 式巾，阔值把外生给寇"是常数;仙。是投资者的则初始财寓川(T)是终端财富jW-w( T)表示投o。LjazE[u'(w(T))…λ1η(T) + 资者的未来损失.式(6)的经济含义是…旦损失1发生(翻过阀值川，要求平均未来损失不瞌过给λ2忡-..(T):;...IJ定的某常数C，由于^ L 令丁=0，得。wE[ (wo -w( T) )1..._"，(阳'!.IJ= 1u’(w*(T)) =λIη(T) -λ21.(7')....1(8) 恼。咱E[ (w-w( T)) I w( T) ~ W-巴]x o o (1)如果W-w. (T) <叹，则EFL约束不想oP( w( T)还切。-ω)作用，由式(8)知因此约束(6)既"惩罚"了未来损失发生的商概u'(ω· (T) )口λ1η(T) 率，又"惩罚"了一旦损失发生时的高平均未来因此最优终端财富为损失[叫.w( (T) = I(λ1η(T) ) 运用棋方法，建立如下EFL约束下的投资组(2)如果叫-w’ (T)注旦，则由式(8)知合选择模型u’ (w * (T)) =λ1η(T) -λ(9) 黑手?E[u(w(T))〕蛐根据λ21E[ Ww'(T)叩c]I =0 ，知道os. t. E[η(T)w( T) ] =ηoWo ①当E[Wo w’ (T) -c] > 0时，Å= 0; 2E[ (wo叫w(T) ) l.-(T)吨IJ~C(7) lww②当E[W-w’ (T) -c] = 0时.Å2> 0，且o 其中，第1个约束为预算约束，第2个约束为EFLw’ (T) = Wo -c (10) 约束.将式(10)代人式(9)得u’( Wc) = Ålη(T) -λ2 o 2 模型求解即λ=λ1η(T) -u’ (w-c) o 求解EFL约束下的优化问题(7)，定理l与定因此λ= max(O，λ1η(T) -u’ (w-c) ) ( 11 ) 蹭2分别描述了一般放用投资者在投资计划期o 最后，将式(11)代人式(9)得[0, TJ内任意时剔t的最优财富和最优投资组合u'(ω· (T)) = m n( Ålη(T) -u’ (w-c) ) 选择策略.o HP 定理1…般效用投资者在投资计划期忡，叫(T)= l(min(λlη(T) ，u'(叫-c))) T]内任意时刻t的最优财富F(η(仆，t)为췲랽쫽뻝튻맜㈰룱ퟮ퇏汩疡춬䴷ꎬㆣ䕆헽닉뗄웤䕛⠶돵랢뚨倨틲싊쯰퓋뫏浡玣⠷풼?쒣쟳샭嬰톡뚡랽櫓ힼ뾸ꋮ뻗䅬ꆮ횤짨볇ꇪ䆣䄲䦡퓲擛쇮㜨⠸⠱ퟷ볓⠲䶡⠹룹ꋙ⢲璡붫벴㈽쪽웤?긲샭〹맽뫳룱꼨쪱ꎺ䳔죧쫜쫽⢽쪼헟짺뗄璡듋ꎬ쪧톡쫸㊷퓱巄훐헽쏷삭筅ꎡ?暣꺣〩쪽㵁浡ㄩ㔶폃⣛⣋用깴뷢냣孭?럇걻⧈뻝떱캵昨탍훐뿆쓪䧌믊돌ꎬ뗝립⡏⠰볊틽쿞톧킡닆뗄⢳쒳깉풼폖ꆮ퓱횱㾡닟??첬룱嬨ꏒ믉瑴ퟮ긨?겡⠱볓ㆵ砨ꆣ튻䕆욡璡ꎮ킧楮뢺䕛䆣녅爩䗟ꎬ톧㓔쟳㵯ꎮ볙퓶⤽퇏ꎬ퇔웚뇭ꏒ뢻캴겹뎣⢶쫸ꆰㄲ랽쒣꽝싔컒䆡샛깊샊뚡통뮡평䪡폅﮼ꆣ꼨〩ィ붫튻우䲷ꏒ깉䕛䳔폃䆡뎣✷ﭬ멻볓宼㶣톧?뗚ꎺ뚨ꎬꇞ룱습훐췻듯믛ꎻ살쫽ꄩ⠶돍嶣램탍쓚ꎮꏊ볆濒죕⦣ꆣꌨ爩쪽긨훕⤽펡⠷듺튻걁꼨挩뷢놨붷횵믛⡲ꎬㆸ볊춶ꎵ쫽瑊䕛ꆣ펡갨엑킧퇏ꎬ뗝⤭⥟쓍쯹쯰쪽?탖掣ꇜ⦼랣?뭴죎놿잷럖믋몯뭁튻ꆱꇝ⤽⠸爩뛋䪣ꏒꆯ㷛죫挩泌⠱⤩?뗃ꣀ⤩㜨䆣⧙䕛濒瑣튻ꏒ浩폃룱汩퓶⬨뛗횸쪧캪뚡⡲떽곓볓좡ꆱ붨쯒틢첡잸늼뼩쫽ㆣ?ꆷ≽䅬⧖⤽닆갨믑⤩쪽㵁窡ㄩ汊췢볊⮱뒿뚡?爩습헟겡ꐨ뭼?뭬渨몯낼涡ꎬ侣쫗돶쿠⤩⧊ꎮ퀩짓ꆣ낳쇋솢뮰쪱몳죽걁⡲뗰䆡뢻䆣떡㵁ꏒ⠹ㄧ꺡듺浩놣짺⡲疣ꆻ?⤩뷐쓓퓚ꉁ爩掣ꆣ⬨璣䆡쫽몯낡솬겡뗄뇈汻쟖쪽ꎬ?튻춷죧뿌쓗ꏊ⠱㈩ㅝ⡲ꏌ캪겵꼨뭣⦵㜨죋渨룸⤩ꋲ쫽꼨탸?쿑噡웍ꎬꆣ햶⠶튪ㅻ䧙?ꎡ떩쿂⡲얻ꟓꇪ춶ꆰﶣꎺꆮ㵅巒?튻⧒갫爩뗰겡쳰쪽䅬ꌧ갨뚨걛켩⣜ꎬ쏻뗄폐ꎮꇔ劷䕆ꆣ쮲⦵쟳?뇁쯰ㆡ쏍얲곓㜨ꆰ捽뭁爩뚡ꇝ⢶⠹뗰뛗ꐨ⥝꿎ꆯ캪뮵⡲没튻꼨ꎻ쟒⤽뇟퇏붷䲲튻울쒾욽쯎쪧䳔뛗ퟮ짊ꎬ㈱⤩뇲ꄩ䄲⣛⦵⡲쫗ꆣ뚡㶵쫌볆⡴삭통⤼꺣捝爩⢶揊볊䇖쫇싺?볊룱ꏐꢵ뮿ꎬ뮣궼뻹듀랢쫕폅뭆봨⦣ꆮ管튻挩⧒튻⦡뮮瑊룱ꏛ볓겡㹏ꄩ잳뮡솽ퟣ킧뗝?쓈볂⡲뮡쎺캴듋짺?닆⢵ㄴ뭁㜨놴䄲ꏒ뭵⠿쾷ꏊꆣ?ꏛ겵㜩웚샊ꎬ쪱捝ꌨ듎폃복뇏쟋⦣곒살쪱습?뢻⧈ꆣ爩ビ뭣ꆯ?ﶣ?⡲꺡ꎬ嬰튻죕ꍽ퓲爩㵯?솬몯ꎬ?뮡뮼쯰ꞷ뗄쓍溡뛗뫍琩랶⧒ㄩꐨ짊⤩⡴당뮼룶픨⦡ꏒ뚨ꎬ挩돋튻䕆䄲쪱탸쫽솬겱ꞵꍽ?쟒쪧ꋉ룟뛗쪼ퟮꢣ䆣?爩봨ꆮ?펡풼?폫?믛샭嵽ퟓ⧒䳔捝㵏ꎬ뿉탸뻎쓌嶡爩뮵늻蝹욽쫗욻폅琩믎먩ꇝ㠩ꏊꌱ쫸캢뗄?컄紐?뇭꧋뎬ꍉ쒸뻹泓껆춶캪嬱ꎬ볊횪紽ꎻ䄲澡쟍캪嶡뭁ꎬ쓦혩쪾맽?캴?搩ꩣ쿗嶣ꇁ튻ィ㸰뛗䕆몯ꎬ춶?룸살?ퟩ쫇⤩嬱컷믆곖쫕?ꎬ쫽뫏뇪㉝搩⡤?ꪵ쟒??⥝뗰뻗?⡲⤫?
叫一郭福华等:期理未来损失约束下的最优投资问题57 因此，最优终端财富为3-LEM(T)(I(λ1η(T) )φ(d) + η(t)-C'''-' ,-,",’, W华(T)= P 1W -w’ (T) <巴|饥It(T) + o I(min(λ1η(T)，u'(w-c))) x o [1 -P 1W -w’ (T) <甘Jw;(T) o (1-φ(d) )) I巧丁(15) (12) 证毕.下面计算Plw-旷(T)<钊.记咀zo定理2如果一般效用投资者在投资汁划期u’(w-也)o λ '于是刊，TJ内任露时刻t的最优财富F(η(t)，t)关于η(t)二伙连续时微，关于t一次可微，且在(η(t),t) Plw-w. (η< wf o 具有连结偏导数，那么最优投资组合选择策略为立Pl!(λ1η(T))> I(λ\!l.) f 需PUnη(T)< 1n! 付圳(州υ仆ω削)t←…w圳(μtt) -1由式(5)及ITÔ微分公式知证明由多j兀已I盯TÔ微分公式知，圳TB(B蚁町(刊r川川) dF(η(t) ,t) h问η州叩旷机(川r刊η川)= 问1n叫m附η响r川-o叫叫叶血川才(斗r+ 呜1l与咛甲甲叩旷叭l巳早;乌~引:咄引)斗尸俨引r川T[忏均ι印仰-_忖牛川θ内O川dT阳灿 F, F, 1 iF 2才η+…dt+守了丁d(η，η)(t) 。ηt. t 2 1] 町叩1l川叫nη叭]川时(蚓川aF l’ aF 1 1" 但[即为η(t)r+!jJ+沪(t) Z 11 9 11 ] dt叩因此Pjlnη(T) < 1n! 平η(t)OT dB( t) 。η黑p[!nη(T)-El川(T)〈ln咀-Elnη(T~1另外，由式(4)知财富过程为l ;Var( ln1]( T) ) ;Var( Inη(T) ) J dw (t) =w ( t) [ (r + (b -rl) T作(t))dt + (In !l. + ( _ -L M\r ".T ( t) UdB ( t) ] 但φ|η。γ2，I 因为这两个过程是等价的，比较其波动项得9l 1111 jT ) 如(t) OT = w ( t )".T ( t )σ 叶+(r +业均T四此令d窍,1, 即得9何(t)=- w(t)-\η(t)凹σV证毕.1111 jT 。ηP 1 W-w’ (T) <哩=φ(d)o 显然，只要知道任意时刻t的最优财富ω(t)，便锦上，由式(12)可以得到可由式(16)求得i夜时刻的最优投资组合选择策略.w. (T) = I(λIη(T) )φ(d) + I( min(λ1η(T) ,u’( Wo叩c)))X 3 对数效用函数下的最优财富和投(1-φ(d) ) (13) 资组合选择策略因为任意时刻t投资者的最优财富F(η(t)，t)为按最优增长过程η(t)投资达到旷(T)的投资成定理3皮定理4始出了对数效用函数下投资本[圳，故布者在投资计划期忡，T]内任意时刻t的最优财富ηOW=E [η(T)w. (T) I坏]o 和最优投资组合选择策略的显式表达式.=E lη(T)[/(À\η(T) )φ(d) + 定理3假设敢用E国数u(w)= In w，则投资l(min(Àη( T) ,u’ (w-c) )) x 1o 者在投资计划期[O，T]内任意时刻t的最优财富(1-φ(d) ) ] I再(14) F(η(t)，t)可以显式地表蔚为由此式便可确定λ\'另外，投资者在投资计F( 1](t) ,t) = ，…φ(1) + 叮λlη(t)划期忡，T]内任意时刻t的最优财富为|→l→φ(d) + exp[ -r(T响t)] x F(1](吵，t)=叫伊(T)I叫ÀIη(t) 뗚튻틲?嬱⠱쿂듔偻㵐평ꎬ펡ꎺ䲡纣㶿쇮쓀?ꆭ답ꋨꆱퟛ내놾뗰㵅뮮웶㶼횤뚨嬰뻟?뿳摆㷯彛潪쇭撽췲澡쿔뿉뛔헟뫍硟맹죧爷汬䥼ꍉ㋆?듋ꆮ튻㈩쏦볓筊筬쪽汮찭꼭搽?짏⡭㌩캪ퟮꆧ箵㐩㔩뇏샭⡴폐㘩쏷뛠⣟췢퀨좻퓚㔷웚ꎬ평ꆣ?뢣ꆭ쫽ퟩ튻맻⡴⢡?泌?ꎬ⡲偻볆ꆣꆺ渧⠵✷쎴楮뷭죎폅㍼쪽ꎮ⦶솬풪딨ꇪ⡦헢㎼춶뮪튻뛠孏뚡偦칅ⶳ킭꠫킧뫏ퟮ⤽没쯣튻⡁㜨⦼⡲ꋲꎬ평⡤틢퓶뚡뇣뷭ﺴ탸汔琩⧘솽⦣횻낶춶뗈?훝⬨⡦⡤ꎬꋩ巄⠱?냣뗰漽ꎺ폅쪬깉偻뎸瑴ꎬ㜧끉⤼爨⠱?쪽ㆵ⤩쪱뎤맊⥛沵뿉泌컁욫ノ룶튪ꣀ볆槍폃톡⤩뚡⡤킧?뫒㘩⇒?웚㷒⦿훕篛澡?䪡뗰⤼吰汮ㅮ渧ꆮ⠱⡁똨뿌맽폐䕛ꎬ좷곐떼ꊷꇪ⠴䨨?횪뮮ퟩ횿⡦폃몯퓱嵉巄컒쟳췻뛋ꩴꆣ긨⡲汮캢돳?㜨㈩爩ꇪ돌⡁뚨⤩쫽횹?⧖昩믛뗀룸웚뫏췲랽䘨볙뗰짨⡴⢵폃갱몯쫽짒ꆮ?훝ꎬ춶뭴ꆰ캴쿡?ꇗ뗃쫽닟닆ꏒ瑉튻爩⤩뮥럖?⡲⤼뿉뗰ꎬ춶쳯ㆵ䆡ꏎꯊꪲ⥛쫇⦿죎돶嬰톡퓏살⡲⥉⢼컒놿룃뢻믛ꆮ쎮ꎬ㳋㺣?릫⤩⥊틔⡲没⡴ꋲꎣ䢡ꊣ쓇뷖울뗈틢쇋퓱퓊⦣쫽쿂싔쯰헟팩⧑캪⢶⬨뽽갨쪽紽뗃⤩꺡헟⧍爩ꆯ껁꼨싑챦겹쎴?뮹볛琩쪱뛔牝닟붵쪧ꎬ튢淋퓚爫㵬폹⮳䨨琩꼨ꄩ爩䆡횪뛠떽뾧뗄뛗떡⦿⢼쯆?ퟮﶳ컷뿌쫽쓚싔?겡搩뻝풼놿㵅춶싖뫋ꆫ滛쫸爩㳋㲼ꎻ⡤?ퟮ쪴Ꜩ펡ꆣ?폅쳎튻ꎬ璵킧죎꼨첡뗄琩쿂?욹㳋뽽퍽폚ꔩ?⤫ꆣ폅搩ꏒ곍튻춶爱뇈뗰쓗폃틢쿔뻎ꌩ⭥온폅ퟮꇫ爩볆곔뗄뽽巛ꎮ?뿵룡튻닆봢뭣뛗挩듎ꆫ⥔뷏몯쪱쪽뼨쓗寅뮮닆⡴폅ퟮ䧏볓볇挩뢻ꆯ⤩쫕뿉ퟩ?웤ꇪ얲쫽뿌뇭㋑硰ﻄ퀹⯈폅웚뛗뢻ꆯ춶ㆣ⡲돳⤩䘨⢶諾⦡?ꇁ캢뫏⡴늨⧪울쿂暵듯뢻춶?튻얲䘨≭⧒긨?쫇ꇁꆯꄩ?ꎬ톡⤩뚯뭴춶쓗쪽직寒⢣㜨벡뫍ꬡ⡤울핖✷ퟩ爩㜨뗄뛗쟒퓱摴쿮璣ꎮ컊묨쳢?ꇪ춶쪼믎⢡퓚닟뗃갨뫏얲붴뭲ꎬ⢣췻⦣?⤫⠧싔울톡뗃琩갫⧃ꋒ걦돉㜨캪?뤨⡲⥬ꎬ퓱⧎ꇪ뿳뮣뇣ꊶ昩ꋬ닟갫?⦣ꆪ맘겿뾩뇏ꋒ건폚㳗쿉?⤫琩묱뇏?죕嶡맄튻?늷ꬡ탍훝틮爩?
-58 管理科学学报2(阴年4月E[η(T)] =ηoexpj -rTI (衍。明c)(1叩φ(d))1 (l -φ(d) ) Var(η(T)) = 11叫2T困此d= 11 () 11 P{ 17( T) <λI (w-止PXo 式中，λ1是非负常数，由式(14)确定.证明因为u(叫=In w，则|η(T) -E[ 1]( T)1 < u'(ω)注的)= 1-而日刊汀w x 由定理l得到mηoexp(咱rT)幽幽-F(η(t) ,t) = …LE|η( T) [I( ¯ 11]( T) )φ(d) + η(t)叩l吁.&. "’? l(min(λIη(T) ,u’ (w-c) ) ) (1-φ(d) )] 19."1 机厅o γd (1)如果min(λ1η( T) ,u’ (w-c)) =λlη( T) o 于是即η(T)〈lt叩7λI (wc)''''~ o=φ(d) λI (w-c) o R州(问η(川μο趴)ωλ)，ω吵t)衍士ιL川hη叭旷(仰Tσ仙叫η)川[[川υlI(ωλη飞(t6忖)综上可得/ φ(d) +1(Åη(T))( 1 -φ(d) ) ] 1 F(η(t) ,t) 1= F(η(仆，t)φ(d)+ F(η(t)，t)(1 -φ(d) ) 12ÅIη(t) = [一止一φ(d)+ exp j -r( T -t) I ] x (2)如果λ1η( t) ~ \ -I -’Or 明min(ÅIη(T) ，u'(wc))= u'(wo响c)o(1-φ(J))+-l一φ(d)(17) ÅIη(t) 即η(η注则吁λI(w-c) o 证毕.叽(η(t)，t)z-LE|η(T)[ 1( ¯ 11] (T)) x 定理4假设敢用函数u(w) = lnw，则投资吁η(t)-1"吁者在投资计划期忡，T]内任意时刻t的最优投资φ(d) +l(u'(叫-c))(1-φ(d))] 1月组合选择策略可以随式地表示为1 ~r 1 骂一~E[一φ(d)+ 作(t)= .φ(d) + η(t)λl λIη(t)w(t) η(T) (w-c) (卜φ(d))I坷]o φ(d) (1叩φ(d)) ]σ-1 (J 曲式(5)及ITÔ微分公式知证明由式(17)知。FE[η(T) 1巧J=η(t)exp←r( T -t) I δη.... -λlη2 (t) 因此[φ(d) +φ(d)( 1叩φ(d))] F(η( t)，。但…立一φ(d)+ 21.’.’\"’1’’’’’ "\1η(t) 依定理2得到expj-r(T呻t)I (叫-c)(1-φ(d)) 何(t)=-w(t)-I(t)zdW 17同样地，由式(5)及ITÔ微分公式知η(T) =叫= 则[φ(d) +φ(d) (l -φ(d)) ] 证华.튻맜㈰㊡⢻䕛榡ꎬ䅬ꆧꆫꋮ쪽횤틲汴ꆰ평䘨룟⠱㜨벴ꆮ뾧?刨짙櫕㶼ꆯ璡ꆣ?탖數춬쏇퓲췦㜧偻킶䄱?ꇗ폚ퟛ㵅㶡뚨헟ퟩ뷭뿚憣뛸寎틀췲뺯즪췲랽쫽뻝喡㉟ꆱ寖?浩䅬ꉵ볙ꆰꍉꆯ?샭〹당쎡뗰⢡훐쏷캪㞣뚨쳯⧈?⡤⠲瑴?㜨쪽듋灻퇹ꎺ⣛쫇짏?⠧㜩뇏퓚뫏뛾ꎬꇫ✷ꆪ⡲?퀨渨뗰浩爨䥉짨⡴뿆쓪ꆰ泌ꏒ⡲ꎬ곔샭⡴ꆣ⤫⧈䥯昩⠵뗘뷐뿉⢡㜨ꎮ?춶톡⠱⠧깸⤲㔸⣙䕻튻⤨⢶㝽칅䥬䅬⡴渨킧죓톧㓔뒨ꪡ뭣⥝䆣⣛?沵⦣튻ꎬꆪ疡⦼爨뗰ꏒꆢ쳼뗃琩퓱㇒㜩㊵⦻桯튻ꐩ挩?ꄩ⤫彉톧?뗰䅬⢵ⷖ폃楮⮿⤨㴧?곊쎵걺挩⡁⡵ꍁ끉犡평뭣ꎬ볆닟뮶횪쌨㜨徿뛸놨ꎺ떶⡲뗰⤨ꆣ泏몯뾧뫒ꆪ훅㇒㞡잷㵬?⤽⡁ꎬ吰ꩴ쪽ꇪ昩뮮싔琩Ꜩꨲ⦣?⡲쏇쫽짏㇒튻⡤뿚믉ꍥ㵢잸?䅉?⢡캢⥽⠵⤩뇒웚뿉뭬ꆱꎬ數搩ꆮ벰돠걍⦣ꆰꎬ⡲뮢挩똽⤨ꆮ?硰몳뗰⢶럖⣛⦼⣦퀨嬰틔⤩뇒?겡㷢⢡ꆮꎬ?⠱✷㇒㇃搩篒ꏊ⡲ꄩ릫끉?쿔嶶㎡⦣뀷ꗒ?넩뛸⡲⥽뭲튻ﶣ⢸⥛?⤨긩搩쪽⡴ꏒ呏⯱뻀ꉟ믊䨨灻⠱⡤㵬⠱牽곓⦣㇒횪뭣캢쓚뗘ㆿ뾧⥝컷⥥ꔨ?ꆮ?ꆭ滛琩건寉ꨲ튻짊⡲뮿⢶⤨럖⤼?죎뇭ꎺꎬ겡?⡤硰娩⣈ꇁ⤫뾧뗰봨Ꜩ㇒릫⢡틢쪾ꆫ짏⤩篒⥝낡澡弨곔팩⤲믟?⣦ㄴ搩뮿쪽寒쪱캪⡁ꩣ䧏뭲✷ꆪ꼨??⧈⥝⦣Ꜩ횪ꎬ⮳뿌⤩뛗⢶룟?潥랶ꇫ琩搩ꇪ暵⡦㵍爫ꆤ?ꇒꢣ⤨쓗튻ꆪ⤼ꄩ횾돠⦳뭴?䕻떡㇒⭥⤫挩겡硰뗰㋱⥽믎엍ꊡ⤩뎸뛗?硰㶡⠱?⡲篒긩⤩뤨튻⡲ꍥ늷ꪡ쓏ꇝ⤽紽⤩ꋙ뭴⥛⡤뭲뗰?㋄ꪡ컷⤩엁ꎬ硰⡲嵦牽⡤⡲뻋ꎬ쓏傡컷⡁ꆪ쿖⢡?⤫ꆤ⣒稩⥛㴽넩퀨ꎬ絝ꆪ퓲涣?⣄㜨뭲ꇁ搩㴽겵爩⦡爩㴽퓲??㴽爩㴽⦡㴽?ꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪ㶡㶣몣뫒묽ꎺꎺ튻ꎺ㶣뫒뮣몣몣몣몣뫳?
第2期郭褐华等:期塑未来损失约束下的最优投资问题59 特别是，在对数效用函数下，得到了投资者在投资计划期内任意时刻的最优财富和最4 结束语优投资组合选择策略的显式表达式.然而，本文没有考虑市场的本文建立了期唱未来损失约束下基于终端财靡擦闲素，比如交易成本或税收对投资者最优财富效用最大化的投资组合选择棋现运用棋和优富和投资组合选择策略的影响.因此，摩擦市场辑化方法，得到了一般效用投资者在投资计划期内于期望未来损失的最优投资问题值得进一步研究.任意时刻的最优财富和最优投资组合选择策略.参帮文献:[1 ] Jorion P. Value at Risk:切leNew Benchmark for Con协llingMarket阳sk[ MJ. New Yo rk: McGrow嗣Hill，1997. [2] Hull J C. Options, Futures and Other 胁时ati叫M].Up肝rSaddle River: Prenti仲剧，2删.[3]A巾nerP, De胁aenF, Eber J, et al. Coherent meωures of risk [ J]. Mathematic对Firuu脚，1俐，9(3):203-228. [4 ]S叩ωures of risk [ J]. Joumal of Banki鸣andFinance, 2002, 26( 7): 1253叫[5 ]高全胜.金融风险计盘理论前情与服用[J].罔际金融研究，2仪间，(9):71一， Q酬咄吨.N棚developmentof financ˛al risk me酬陀mentand application [ J ]. Stu阳ofInternational Firumce, 2∞4， (9): 71-78. (in Chinese) [ 6 ] Rockafellar川，Ury酣vS. Conwtio叫value咄咄k:For gen叫lωswstributi叫J].Journal of Banking and Firum吼2∞2，26(7): 1443 1471. [ 7 ] Anderson F, Mausser日，Rosen 0, et aJ. Credit risk optimivation明白CVaRcriterion川.Mathematical Programmi吨，2∞1，89(2): 273 291. [ 8 ] Kroknmal P, Palmqu st J, Uηaserv S. Portfolio optimization咐conditionalVaR objecti附andconstra nts[ J]. Jo旧nalof Risk，2∞2， (2): 124 129. [9] Inoue A.仙1the worstωnditional expectation [ J ]. Journal of Mathematical Analysis and Application圃，双附'3，286(1):237-247. [ 10 ] Benati S. Discre悦。ptimi刷ion:The computation of the worst conditional expectation[ J]. European Journal of Operational Research，2刷，155(2): 41 -425. [11 ] AcerI:地0，Tasche D.伽thecoherence of ex阳tedshortfall [ J J. J佣rnalof Banking and Finance, 2002, ’lfJ(7): 1487-1503. [12J Basak S, Shaporo A. VaR-based risk management: Optimal policies and跑回tprices [ J ]. The Review of Financial Stuwes, 2∞1， 14(2): 371 405. [ 13 J Merton. Continuo叫meFirumce [ M]. London: Blackwell, 1990. Optimal investment problem under constraint of expected future loss 1 GUO Fu-hua, DENG Fei. qi2 1. College of Business Administration, Zhejiang Nonnal University, Jinhua 321ω4， China; 2. lnstitute of Systems Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China Abstract: In the stan出rdBlack-Scholes type of financial markets, the portfolio selection mooel based on utili帽ty maximization from tenninal wealth under the constraint of expected future loss (EFL) is established.叽legeneral utility inve悦。r'S optimal wealth and optimal po时olioselection strategies创anytime over an invest›ment planning horizon are derived by using methods of martingale and optimizati侃.Especially, under loga唰rithmic utility. explicit expressions for the investor’ s optimal wealth and optimal portfolio selection strategies at any time over an investment planning horizon are obtained. Key words: EFL; utility function; optimal wealth; optimal investment 췲랽쫽뻝뗚튻?뷡놾뢻뮯죎닎쳘볆퓱쒦폚嬱傣慴剩乥景奯嬲掣潴䓃獡嬳䚣䪣浥潦物䙩嬴䞣て䉡嬵䝡兵摥晩却䥉㈰䍨嬶咣癡来歳摪嬷䢣潰捖捲偲嬸厣捯噡潢浳嬹䆣瑨數䷅䅮䅰㈳玣睯佰剥䒣獨慉灯灲滍獴楮晵汯䝕䙵䙥ㆣ䅤乯啮㌲㊣卹呥㔱䅢瑹浡浯扡潮畴훱暶瑥睥畮敳獥珪慮潖灬慲批畳䕳瑩桯䭥䉥䍯摳睯捯瑬て䉵䕮啮獴䉬潦數晵瑩桯畴瑨睥慮맹敲玣깖?䵡桥摤癥걄걅湡汴汵湥걍獫慒걐湤깯捯㞡깄ꋲ싪牬汤癩灥결깍牉畤瑩걕敭扣깃깉獴〶牴摥楬瑡湴物条灲潰浥慮㋆嵊牫嵈깯嵁㡫滴嵳湡嶸웉좵〴楮〲걒楴潧ぬ嵋橥殣嵉灥慬灵そ浰獥溼㉝楣졮楖滆浡瑨湩牤湣浲?湤汥桥컄킧틢뾼뇰뮮닟닁뫍獫嵒潮瑵獳닡捨牡㔹랽웚걵珅폄ㅝ걳㍝瑩癥獩杩楖慮慣湳灥쁴浥物楬灯獥慬牫?汥犣敬扥畲汯湣敲攭浬뾧慵깐楴䥬湤ꨭ椸浩没敷潢훠ꎮ璣뢣쫸쟺旦䦡榴汮特瑩捴榡槇潕〴敭?㐰整昭椭瑨扬牡浡癥浩捩ꆪ敳噥獴湩穯楮汬え楴牥湳깣?쮻孍䥬灴慴湺孊뙣穥湣?튻畲ꎬ湤〸敲쏩牯捴갲祳捡䉥畴慲ꅣ䋷捩쥣⦡潤湧玣略整멐扡敳炢楡淆斣㠸浱楯楴㈴捲穡빩湥摡殣瑲穯牤汥붨폃쪱컄쫇웚싔틲춶ꎺっ?ꆣ牥湩慬湯뻏⡅槂瑨킶瑥뮪䥉楮楯ꆪ램췻낣핵빩갰特䥬楶憡浡揍潮䅯敤桡뾧?ꚣ䵥浭獴敧ꎬ瑩?玣潬楳穡慕獩浥湧牥敮?ꆪ捥敲畩バ游㞣整䥬汥瑲緦깱潮嶣䵣汬楯楶湥斣杯ꯊ獨敭⠹攩㈶旧쏷榲㠹歮〰潵慴楳瑩浴쮺捨쑡孊慬獳獩牤깓楡빩慩敤禣扬捴멅ꎻ폯汩污?澴湡捥솢ퟮ뿌쿗ꎬ쓚뗄쯘湥깣牥䥬毐慴?慬孊湤ㄴ敤䍨瑵汯捴건楯䙌桥웉楮瑩禣潲杩ꎮꎻ뗈湴敮牬物獴?潮瑭ꎬ캴쑴柴瑩쵡斳烄뛫湯浥楮捨慬湴楥걥楯牫깎䝄湳攸?깍갱깊갲꒣敮敭⦣⠷䒣浩⠲牮쏩㊣榡돺濅潮ꎮ嶣瑹旆䙌楣潨?柲慬獫楯뉬淭慩楮瑥䥬췒撣潮걵ꆯ潰ꎺꅴ쇋듳뗄퓚죎쿔ꎬퟩꆢ嶣⠲牡朩⥩湶癥敳枣潬硰?敷ꎬ孍攭慴㤹潵〰꺽枣횺먷ꎺ⦣겴䩝䥬慬갨?ㄱ㈰껋뒬쥤ꎻ뗃살敲큤?楯뙤滋敡瑩쑁来獥溣湴憣汥깔ꎮ湤웚業걓敳汩뮯ퟮ뛔틢쪽뇈뫏䡡䙯汥깊⦣湴ꎬ瑩䥮獴楯튻䙵嶣敭桥㦣浡㊣깎擓没먱ꏒ클ꎮ枣먲?㈩䩝갲〴䩩捴敲畴떽쯰汬?湛潮ꎬꎮ浥깣潵捩췻뗄폅쫽쪱뇭죧톡佉먳潮楯瑯ꆪ䡩瑵깵浡갹?갲?敷ꅰ㐴푣䵡㜳ꎺꎮ〰湨楬䥬ꎬ?摥䑅瑨?獛캴쇋쪧䩝孊哅噡涣潮?㈰캴춶닆킧뿌듯붻퓱ꋲ牥灰瑩⠳㘨汩㢣㏒犣瑨ꆪㄲ䩯㎣ㄵ汭㝬ꎬ畡䝵犡楴慬살〰瑩?乇튻ꎬ玳敲捡⦣㜩햼긨묱뭥敭㈹㒡畈갲嶣㔨刭멏瑩?살뢻폃뗄쪽틗닟慬ꆪ婨웉꽳ꎮ䩝쯰ㄹ賓?먲ꎺ웁瑩楮㐷摩ꆰㆣ浩ꨱ污㠶㈩쯰ퟩ냣뫍몯ퟮꎮ돉싔䩯깅汥拈灴볓湵敪杺?쪧㤷〳ㄲ뿀潮ㆣ?捡㈹⠱ꎺ泂ꎮ쪧뫏ퟮ쫽폅좻놾뗄窡㖣楡桯瑩풼킧얾땥業潵ꎮꆪ㔳孊?⦣㐱섷쫸풼톡폅쿂닆뛸믲펰?湧浡폃춶돳낡灥慬珒㈲튻?嶣䫄?㒡쿂쫸퓱춶ꎬ뢻쮰쿬㢣ㄲ냑?ꨴㄵ춶돺믊?뗄쿂쒣뗃뫍놾쫕ꎮ쑡?㜲?㈵〳컊䩯꿭ퟮ楴믹탍ퟩ떽ퟮ컄뛔틲ꎮ폅헟쳢?畮ꛓ폚ꎮ뫏쇋폅쎻듋汬춶퓚횵썛污楉훕퓋톡춶폐ꎬ䩝춶뗃?얾뛋폃퓱뾼헟쒦컊ꎮ쳢닆닟헟ퟩ싇ퟮ닁뷸捥맺뫍싔퓚뫏쫐폅볆튻孍볊폅ꎮ춶톡뎡닆뷰뮮늽嶣뗄믹죚웚퇐까퇐쓚뺿潮ꎬ摯㈰溣〴멂ꎬ正⠹⦣歷먷敵没ꎬ㢣ㄹ?㤰ꎮ
