切线长定理
如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条
切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A
重合的点为B。
是⊙O的一条半径吗？
是⊙O的切线吗？
、PB有何关系？
4.∠APO和∠BPO有何关系？
数学探究
P
A
O
B
问题：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线
段的长叫做切线长。
数学探究
O
B
P··
A·
切线长和切线的区别和联系:
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上
的一条线段的长，可以度量。
已知：
求证：
如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为
⊙ O的切线，A、B为切点，连结PO
切线长定理 从
圆外一点可以引
圆的两条切线，
它们的切线长相
等，这一点和圆
心的连线平分两
条切线的夹角。
O
B
P··
A·
一、判断
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
练习
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，
连结PO，则 度。
P B
O
A
二、填空
25
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C
，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切
线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ）A
A 16cm
D 8cmC 12cm
B 14cm
D
C
B
E
A
P
例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆
的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作⊙O
切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝10cm
， 求△PED的周长。
FO
E
D
P
B
A
数学探究
O
B
P··
A·
思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？
为什么？
你还能得出什么结论？
E
已知：如图PA、PB是⊙ O的两
条切线，A、B为切点。直线OP
交⊙ O于D、E，交AB于C。 O
P
A
B
C DE
（1）图中互相垂直的关系 有
对，分别是
（2）图中的直角三角形有 个，分别是
等腰三角形有 个，分别是
（3）图中全等三角形 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 cm，两切线的夹角等于 度
3
6
2
3
60
O
P
A
B
C DE
（5）如果PA=4cm，PD=2cm，
试求半径OA的长。 x
即：
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切
点，∠OAB＝30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA＝3时，求AP的长．
P
B
A
O
随堂训练
(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
(1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______.
P
A
BC
O
M
如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于
点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。
试一试：已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB
为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。∠C
＝50，
①求∠APB的度数
②求证：AC∥OP。 A
B
O
C
P
A
O
B
C
试一试：如图1，一个圆球放置在V形架中。图
2是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线，
切点分别是A、B。如果⊙O的半径为 cm，
且AB=6cm，求∠ACB。
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED
的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说
明理由。
FO
E
D
P
B
A
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，
AB切于D，E，F；如果
AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,
AC= AB=
11
6cm 9cm
B D
A
C
F E
2
7
4
例3、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA分别与⊙O相切于P、Q、M、N，
求证：AB+CD=AD+BC。
D
A B
C
O
M
N
P
Q
思考 如图如图,,一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮,,如何在它上面截下如何在它上面截下
一块圆形的用料一块圆形的用料,,并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢??
I
D
三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
三角形的内心：
三角形的内切圆的圆心叫
做三角形的内心
三角形的内心是三角形三
条角平分线的交点，它到
三角形三边的距离相等。
数学探究
D E
F
A
B
D
L
M
N
P O
结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O
分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边
的关系。
C
（1）找出图中所有相等的线段
（2）填空：AB+CD
AD+BC（>,<,=)
=
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习四 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点
为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝
13cm。求AF，BD，CE。
A
B
C
D
EF
x x
y
y
O
z
z
解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则
AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm
依题意得方程组
x+y=13
y+z=14
x+z=9
解得: Z=5
X+y+z=18
x+y=13
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C
是直角,三边长分别是a,b,c.
求⊙O的半径r.
A
B C
●
┗
┏┓
O
D
E
F┗
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为
a,b,c.
求内切圆⊙O的半径r.
●
A
B C
●
O
●
┗
┓
O
D
E
F
┗
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为——
3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于
10cm.求内切圆⊙O的半径r.
例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB
分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm
，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。
x
13﹣x
x
13﹣x 9﹣x
9﹣x
例题选讲
A
D
C
B
O
F
E
1、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=75 °,点
O 是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。
A
O
CB
随堂训练
变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内
心，求∠ BOC的度数。
∠ BOC= 90°+ ∠ A
知识拓展
拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆
1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，
半径为___________.
2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，
半径r=___________.
a
b c
斜边中点
斜边的一半
三角形内部
知识拓展
3.已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是
A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交
PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，∠P=70°,求：
△PEF的周长和∠EOF的大小。
E
A
Q
P F B
O
知识拓展
△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的
半径是
5.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为
1cm,则此三角形的周长是
知识小结
直角三角形的外接圆与内切圆
1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，
半径为___________.
2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，
半径r=___________.
a
b c
斜边中点
斜边的一半
三角形内部
课前训练
1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径
OA的长. A
O C D P
B
E
知识拓展
2.已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，
PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为
切点。求证：AC=BD
· P
A
B
O
C
D
试一试：如图△ABC中，∠C＝90，AC＝6
，BC＝8，三角形三边与⊙O均相切，切点分别
是D、E、F，求⊙O的半径。
C
F
O
E
D
B
A
1、如图，一圆内切于四边形ABCD，且
AB=16，CD=10，则四边形的周长为( )
（A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56
D
A B
C
巩固练习：
3、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有
一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别
交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周
长是否会因K点的变动而变化？为什么？
A
B
D
C
K
E
F
4、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，
AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E
．已知AB=8，边BC比AD大6，
求边AD、BC的长。
A
B
D
C
E
O
