第四章
几类重要的概率分布
正态分布
二项分布
泊松分布
离散型
两点分布
均匀分布
指数分布
连续型
第四章
第一节
二项分布
二、二项分布
三、二项分布的数学期望
与方差
一、伯努利概型
一、伯努利概型（Bernoulli）
在确定条件下进行 n 次独立重复试验,
每次试验只有两个相互独立的结果 A 与
则称这 n 次独立重复试验为 n 重伯努利试验
（概型）。
伯努利概型是应用十分广泛的一种概率模型，
如在相同条件下重复投掷一枚硬币 n 次,
在有一定
数量次品的产品中进行 n 次有放回抽取，
，且
定理:
在 n 重伯努利试验中，事件 A 恰好发生 k 次
的概率
为:
证明:
由于试验是相互独立的,
则事件 A 在指定 k 次
试验中发生而在其余 n-k 次试验中不发生的概率为:
由组合公式，事件 A 在 n 次试验中恰好发生 k 次的
数目应为
种,
而这 个事件是互不相容的，
所以
证毕.
二、二项分布
在 n 重伯努利试验中,
用 X 表示事件 A 发生的次数,
则 X 是一离散型随机变量,
可能取值为:
其分布律为：
或写为：
则称 X 服从参数为n，p的二项分布,
记为
显然满足：
（1）非负性:
（2）规范性:
特别地,
当 时，X 的分布律为：
称 X 服从参数为 p 的(0－1)分布，或两点分布.
例1 若在 M 件产品中有 N 件废品，现进行有放回的 n
次抽样检查，问共取得 k 件废品的概率。
解:
由于是有放回的抽样，因此这是 n 重伯努利试验。
记 A 为“各次试验中出现废品”，
则
设 X 为 n 次抽样检查中抽到的废品数，
则
因此，所求概率为
例2 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能
答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜
测至少能答对4道题的概率是多少？
每答一道题相当于做一次伯努利试验，
解：
记 A＝{答对一道题} ,
则
则答5道题相当于做5重伯努利试验．
设 X ：该学生靠猜测能答对的题数,
则
例3 假设一厂家生产的每台仪器以概率可以直接
出厂；以概率需进一步调试，经调试后以概率
可以出厂，以概率定为不合格品不能出厂。现该
（1）全部能出厂的概率 ；
解:
记 A＝{仪器需进一步调试}， B＝{仪器能出厂}，
则 ＝{仪器能直接出厂}， ＝{仪器经调试后能出厂}
程相互独立），求：
厂新生产了 台仪器（假设每台仪器的生产过
（2）其中恰好有2台不能出厂的概率 ;
（3）其中至少有2台不能出厂的概率 ；
由题意知
设 X 为所生产的 n 台仪器中能出厂的台数,
则
所以
A＝{仪器需进一步调试}， B＝{仪器能出厂}，
＝{仪器能直接出厂}， ＝{仪器经调试后能出厂}
三、二项分布的数学期望与方差
设
其分布律为：
因 X 可看成 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数，
用 表示事件 A 在第 i 次试验中发生的
次数，
则 相互独立，
同时服从参数为 p
的(0－1)分布，且
而
由数学期望与方差的性质有
