博弈论与信息经济学
Game Theory and Information
Economics
第二局部
非合作博弈理论
第二章 策略型博弈
第三章 扩展型博弈
第四章 贝叶斯博弈
第五章 动态贝叶斯博弈
主要内容
第一节 策略型博弈的表示
第二节 重复剔除严格劣策略均衡
第三节 纳什均衡
第四节 混合策略纳什均衡
第五节 纳什均衡的存在性
第二章 策略型博弈
——同时行动，如何决
策
策略型(标准型〕表述
——适合表示静态博弈
扩展型表述
——适合表示动态博弈
博弈有两种表述方法
一、策略型博弈的含义
完全信息静态博弈又称为策略型博弈。完全
信息是指局中人对自己与其他局中人的所有与博弈
有关的事前信息〔策略空间、支付函数等〕有充分
的了解(局中人的支付函数是共同知识)。静态博弈
是指在博弈中，局中人同时采取行动，或者局中人
的行动有先有后，但后行动者不能知道先行动者的
行动选择。
第一节 策略型博弈的表示
二、策略型博弈的三个要素：
1、局中人〔Players): 1, 2, …, n；
2、策略〔Strategies):
;
3、支付函数 〔Payoff functions)
表示为：
第一节 策略型博弈的表示
1、有限博弈：
(1) 博弈中局中人人数有限;
(2) 每个局中人只有有限个策略。
2、零和博弈：
博弈中局中人所获支付之和为零，即一
方所得为另一方所失。
三、两种特殊博弈类型、两种特殊博弈类型
1、局中人：甲，乙
2、策 略： {坦白,不坦白}
3、支付函数——支付矩阵〔双人有限博弈〕
每个位置上第一个数字表示局中人1在对应的策略组
合中得到的支付，第二个数字表示局中人2的相应所
获支付。
例 囚徒困境及其策略型表示囚徒困境及其策略型表示
(Tucker,1950)(Tucker,1950)
乙
甲
坦白 不坦白
坦白 -6，-6 -1，-8
不坦白 -8，-1 -2，-2
囚徒困境的支付矩阵
乙
甲
石头 剪刀 布
石头 0，0 1，-1 -1，1
剪刀 -1，1 0，0 1，-1
布 1，-1 -1，1 0，1
例例 石头、剪刀、布的支付矩阵石头、剪刀、布的支付矩阵
田忌
齐王
上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
上中下 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1
上下中 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1
中上下 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1
中下上 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1
下上中 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1
下中上 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3
例例 田忌赛马的支付矩阵田忌赛马的支付矩阵
局中人：男，女
策 略：男：看足球，看芭蕾
女：看足球，看芭蕾
支付矩阵：见下一页
例 性别大战〔battle
of the sexes)
女
男
足球 芭蕾
足球 3，2 1，1
芭蕾 -1，-1 2，3
性别大战的支付矩阵
一、根本思想：
如果一个局中人在任何情况下从某种策略
中得到的支付均小于从另一种策略中得到的支付，
那么显然对他而言，前一种策略劣于后一种策略。
从个人利益出发，被剔除的策略不会被局
中人采用。从而可以利用剔除严格劣策略的概念来
简化博弈局势，可能会得到博弈的解。
第二节 重复剔除严格劣策略均衡
,如果存在 ，对于所
有的
都有
且其中至少有一个为严格不等式 ，那么称 是
第i个
局中人的一个严格劣策略。
二、严格劣策略的定义
1、根据理性的局中人不会选择严格劣策略这一原那么，
可以通过重复剔除严格劣策略的方法对博弈进行求解。
2、其方法是：对每个局中人寻找严格劣策略，由于它不
会被局中人选择实施，所以找到一种后就可以将其从博弈
局势中剔除，从而得到一种新的缩减后的博弈局势，对这
种新局势重复上述过程，直到无法找到新的严格劣策略为
止。
三、重复剔除严格劣策略
对局中人甲而言，无论局中人乙采取何种策略，采
用“不坦白〞策略得到的支付都小于采用“坦白〞策略。
局中人甲的“不坦白〞策略严格劣于“坦白〞策略.
“不坦白〞策略都是一种严格劣策略，从而可以剔
除。博弈中局中人各自从自身利益出发的理性选择〔博
弈均衡解〕就是〔坦白，坦白〕。
四、囚徒困境的解、囚徒困境的解
乙
甲
坦白 不坦白
坦白 -6，-6 -1，-8
不坦白 -8，-1 -2，-2
例 囚徒困境的支付矩阵
甲：“不坦白〞相对于“坦白〞是严格劣策略
乙
甲
坦白 不坦白
坦白 -6，-6 -1，-8
乙：“不坦白〞相对于“坦白〞是严格劣策略
乙
甲
坦白
坦白 -6，-6
·
例 利用重复剔除严格劣策略求解
乙
甲
左 中 右
上 1，0 1，2 0，1
下 0，3 0，1 2，0
·
乙：“右〞相对于“中〞是严格劣策略
乙
甲
左 中 右
上 1，0 1，2 0，1
下 0，3 0，1 2，0
·
甲：“下〞相对于“上〞是严格劣策略
乙
甲
左 中
上 1，0 1，2
下 0，3 0，1
·
乙：“左〞相对于“中〞是严格劣策略
乙
甲
左 中
上 1，0 1，2
·
重复剔除严格劣策略均衡是(上,中
)
乙
甲
中
上 1，2
1、每一步剔除需要局中人间相互了解的更进一步假定，
如果我们把这一过程应用到任意多步，需要假定“局中人
是理性的〞是共同知识。
2、这一方法对博弈结果的预测经常是不准确的.
五、重复剔除严格劣策略有两个缺陷
乙
甲
石头 剪刀 布
石头 0，0 1，-1 -1，1
剪刀 -1，1 0，0 1，-1
布 1，-1 -1，1 0，0
例例 石头、剪刀、布的支付矩阵石头、剪刀、布的支付矩阵
利用重复剔除严格劣策略无法求解
例 利用重复剔除严格劣策略无法求解
乙
甲
左 中 右
上 0，4 4，0 5，3
中 4，0 0，4 5，3
下 3，5 3，5 6，6
大多数的博弈局势中使用剔除严格劣策略的
方法能够对博弈局势进行简化，但可能得不
到博弈的均衡解。
需要引入非合作博弈理论中的核心概念
——纳什均衡 (Nash Equilibrium)。
六、注意
一、纳什均衡的思想
“双赢〞 或 “多赢〞
第三节 纳什均衡
它是关于博弈结局的一致性预测
如果所有局中人预测一个特定的纳什均衡
会出现，那么这种均衡就会出现。
只有纳什均衡才能使每个局中人均认可这
种结局，而且他们均知道其他局中人也认可这种结
局。
二、纳什均衡的意义
1、博弈的纳什均衡是这样一种最优策
略组合，是一种你好、我好大家都好的理性结局，
其中每一个局中人均不能也不想单方面改变自己的
策略而增加收益，每个局中人选择的策略是对其他
局中人所选策略的最正确反响。
三、纳什均衡的定义
2、数学定义：
在策略型博弈
中，如果对于每个局中人i，存在 ，都有
或
那么称策略组合 是此博弈G的一个纳
什均衡。
三、纳什均衡的定义
1、双人有限博弈：双划线法
首先对局中人2的每一个策略，局中人1寻找支
付最大的策略，在其对应支付下划线；
然后对局中人1进行相应的步骤；
最后，但凡两个局中人支付下均被划线的结局
就是纳什均衡。
四、纳什均衡的求法
用双划线法可以求出纳什均衡：
〔坦白，坦白〕，〔-6，-6〕
意义：揭示个人理性与集体理性之间的矛盾。
例 囚徒困境的纳什均衡
乙
甲
坦白 不坦白
坦白 -6，-6 -1，-8
不坦白 -8，-1 -2，-2
乙
甲
坦白 不坦白
坦白 -6，-6 -1，-8
不坦白 -8，-1 -2，-2
乙
甲
坦白 不坦白
坦白 -6，-6 -1，-8
不坦白 -8，-1 -2，-2
局中人：大猪，小猪
策 略：大猪：按，等待
小猪：按，等待
支付矩阵：见下一页
纳什均衡：〔按，等待〕
例 智猪博弈〔boxed pigs)
小猪
大猪
按 等待
按 5，1 4，4
等待 9，-1 0，0
例 智猪博弈的支付矩阵
小猪
大猪
按 等待
按 5，1 4，4
等待 9，-1 0，0
小猪
大猪
按 等待
按 5，1 4，4
等待 9，-1 0，0
女
男
足球 芭蕾
足球 3，2 1，1
芭蕾 -1，-1 2，3
例 性别大战博弈的支付矩阵
女
男
足球 芭蕾
足球 3，2 1，1
芭蕾 -1，-1 2，3
女
男
足球 芭蕾
足球 3，2 1，1
芭蕾 -1，-1 2，3
局中人：甲，乙
策 略：甲：放左手，放右手
乙：猜左手，猜
右手
支付矩阵：见下一页
没有纳什均衡
例 猜左右手游戏
乙
甲
猜左手 猜右手
放左手 -1，1 1，-1
放右手 1，-1 -1，1
乙
甲
猜左手 猜右手
放左手 -1，1 1，-1
放右手 1，-1 -1，1
乙
甲
猜左手 猜右手
放左手 -1，1 1，-1
放右手 1，-1 -1，1
2、连续性博弈纳什均衡的求法
首先求出每个局中人对其他局中人策略组
合的反响函数——即在其他局中人策略组合给定
时极大化自己的支付，得到的最正确反响策略表
现为其他局中人策略组合的函数；
然后将这些反响函数联立求解即得到博弈
的纳什均衡解。
四、纳什均衡的求法
局中人：厂商1，厂商2
策 略：厂商1：选择产量
厂商2：选择产量
假 设：价格
支付函数 (利润函数) ：
例 两寡头产量竞争Cournot〔1838〕模型
Cournot 模型求解
反响函数:
纳什均衡：
Cournot 模型求解
假设两寡头可以串谋，共同确定产量Q使总利润最大化，
利润函数为：(Q)=Q(a-Q-c)
总利润最大的产量为：
——称为契约曲线
总利润为：
比较及含义：
两寡头产量串谋模型
Q1
厂商2的反响曲线
纳什均衡
契约曲线
厂商1的反响曲线
O
Q2
图1 反响曲线、纳什均衡与契约曲线
局中人：厂商1，厂商2
策 略：厂商1选择价格 ；厂商2选择价格
假 设: 两寡头固定本钱都为0，边际本钱为常数c,
消费者对厂商1和2生产产品的需求量分别为：
;
例 两寡头价格竞争Bertrand〔1883〕模型
支付〔利润〕函数：
最优化的一阶条件是:
Bertrand〔1883〕模型及求解
反响函数：
纳什均衡价格：
Bertrand〔1883〕模型及求解
在n个局中人的策略型博弈中，
1、如果重复剔除严格劣策略剔除掉除策略组合s以
外的所有策略，那么这一策略组合s为该博弈的唯一的纳什均
衡。
2、如果策略组合s是一个纳什均衡，那么它就不会
被重复剔除严格劣策略所剔除。
纳什均衡是比重复剔除严格劣策略更强的解概念。
五、纳什均衡与重复剔除严格劣策略均衡
一、举例说明混合策略纳什均衡
例 猜左右手游戏
第四节 混合策略纳什均衡
乙
甲
（q）
猜左手
（1-q）
猜右手
（p）
放左手 -1, 1 1, -1
（1-p）
放右手 1, -1 -1, 1
在甲选 ，乙选
这种策略时，
他们的期望效用分别为：
混合策略与期望效用
甲和乙的目标是:
最优化的一阶条件是:
混合策略纳什均衡
混合策略纳什均衡为：
混合策略纳什均衡
1、混合策略〔mixed Strategy)
局中人 i 的一个混合策略
是在其纯策略空间
上的一个概率分布，其中
是 i 选择策略
的概率。局中人 i的混合策略空间 是他
的所有混合策略构成的集合。
纯策略可以理解为混合策略的特例。如
等价于
二、混合策略纳什均衡
在混合策略组合 下，局中人 i的
期望效用函数为：
其中
2、期望效用函数
在策略型博弈 中，如果对于
每个局中人 i，存在 ，都有
或
那么称 是博弈G的一个混合策略纳什均衡。
3、混合策略纳什均衡
奇数定理 (Wilson 1971) ：几乎所有的有限
博弈都有奇数个纳什均衡。
4、奇数定理
例 社会保障博弈
局中人：政府和下岗工人
策 略：政 府：救济，不救
济
下岗工人：找工作，
不找工作
支付矩阵为：
三、应用举例
工人
政府
找工作 不找
救济 3，2 -1，3
不救济 -1，1 0，0
女
男
足球 芭蕾
足球 3，2 1，1
芭蕾 -1，-1 2，3
求出性别大战博弈的混合策略纳什均衡
定理1：〔Nash, 1950〕每个有限策略型博弈至少存在一
个纳什均衡〔纯策略的或混合策略的〕。
第五节 纳什均衡的存在性
Brouwer不动点定理：如果X是非空的有界闭凸集，
f(x)是X到自身的连续映射，那么至少存在一个xX，使得
f(x)=x，x称为不动点。
Kakutani不动点定理：设f(X)是点集X上的一个集值
映射，如果X是非空的有界闭凸集，并且对于所有的xX，
f(x)是非空的、凸的且上半连续的，那么至少存在一个xX
，使得 xf(x)，x称为不动点。
纳什均衡的存在性证明
1、集值映射：对于集合X上的任何一个点x，如果f(x)给
出唯一的一个点yY，那么f(x)称为从X到Y的映射；如果f(x)
给出一个集合f(x)Y，那么f(x)称为从X到Y的集值映射。
映射是集值映射的特例。
2、上半连续：设f(x)是X到自身的一个集值映射，
如果对于所有的xX和包含f(x)的开集V，都存在x的一个
邻域U，使得对于所有的xU，有f(x)V，那么称f(x)是上半
连续的。
注：集值映射和上半连续
定理2：(Debreu, 1952 ; Glicksberg,1952 ; Fan, 1952)
在n人策略型博弈中，如果每个局中人的纯策略空间Si是欧氏空
间中的一个非空的有界闭凸集，支付函数ui(s)是连续的且对si
是拟凹的，那么该博弈存在一个纯策略纳什均衡。
定理3：(Glicksberg,1952) 在n人策略型博弈中，如果每
个局中人的纯策略空间Si是欧氏空间中的一个非空的有界闭凸
集，支付函数ui(s)是连续的，那么该博弈存在一个混合策略纳
什均衡。
定理1的推广：从有限到无限
