时间序列平滑预测法
第一节 移动平均法
又称滑动平均法
一．一次移动平均法
假定 yt 随时间顺序t =1,2, ……,N发生变化的已知
数据.
设为N=20， 则为y1，y2，…… ,y20
将其分为若干段，以5个数据作为一段，进行滑动。
第一段： y1，y2 ，y3 ，y4 ，y5: ， = (1/5) ∑ yt
=M5
由于在此段， y5为数据平均值，所有数据应在它的
上下波动。因此推出，可以用于预测t = 6时的值y6 = y5。
y6 的实际值还按前一组值的变化规律在 的上下波动。
第二段：滑动舍去初始的y1,新一组为 y2 ,y3 ,y4 ,y5 ,y6
:
y6 = (1/5) ∑ yt = M6
有 y7 = y6 = M6
:
:
第十六段： y16 ,y17 ,y18 ,y19 ,y20 :
y20 = (1/5) ∑ yt = M20
可预测 y21 = y20 = M20
平均值
一般地：
Mt
⑴ =[yt + yt-1+…… + yt-n+1]/N =(1/N) ∑ yi =
这个公式就称为一次移动平均公式。
2004/10/18
递推式 Mt(1} =[yt + yt-1+…… + yt-n+1]/N
= [ yt-1+…… + yt-n ]/N + [yt－yt-N ]/N
= Mt-1(1) + [yt－yt-N ]/N =
移动平均法基本上是在平均值的基础上进
行预测。一般来讲，若经济变量在某一值上下
波动情况及升降缓慢预测效果比较好，反之误
差比较大.
另外，N的选取也起着较大的作用，N小
一些,预测跟踪效果好一些。反映较灵敏。特
别地当N=1，则与实际状况相同。
N大一些，平滑特性就好一些，但跟踪能力
差。
二、二次移动平均法
1 、 二次移动平均数公式.
二次移动平均是在一次平均移动的基础
上再做一次移动平均。
Mt(2) =[Mt(1} + Mt-1(1)…. Mt-n+1(1)]/N
递推公式 Mt(2) = Mt-1(2)+[Mt(1)－Mt-N
(1)]/N
Mt
(2) 为二次移动平均数
N 分段数据个数
Mt
(1) 一次移动平均数
2、线形趋势条件下的一次移动平均数
Mt(1) 与二次移动平均数 Mt(2)的关系
一次移动平均预测对于数据变化小，近似
于水平变化的数据平滑作用较好。
如果是线形趋势变化，则分析线落后于真
实数据变化，形成滞后偏差 yt－ Mt(1}
线形变化如下： bt = yt－yt-1
有： yt-1 = yt－bt
yt-2 = yt-1－bt= yt-2bt
yt-N+1 = yt－(N－1)bt
:
tt-1
yt-1
yt bt
yt = at+btt
考虑到： Mt(1} = (yt + yt-1 +…… + yt-N+1)/N
={Nyt－[1+2+……(N－1)]bt}/N
1+2+……(N－1) = [N(N－1)]/2
∴ Mt(1} = [Nyt－(N/2)(N－1)bt]/N
=yt－(N－1)bt/2…①
Mt-1(1) = yt-1－(N－1)bt/2
= yt－(N+1)bt/2 ……②
①－② :
Mt(1} - Mt-1(1) = yt － yt-1 = bt
即； Mt-1(1) = Mt(1} -bt
类推： Mt-2(1) = Mt-1(1) －bt = Mt(1} －2bt
: : :
Mt-n+1(1) = Mt(1} －(N－1)bt
∴ Mt(2) = [Mt(1} +Mt-1(1)+…… +Mt-n+1(1)]/N
= Mt(1} －(N－1)bt/2
移项 Mt(1} -Mt(2) = (N－1)bt/2 ………③
有公式 (N－1)bt/2 = yt － Mt(1}
即得 Mt(1} -Mt(2) = yt － Mt(1} = (N－1)bt/2….. ④
公式④说明：
直接用一次移动平均值模拟：真值与一次平均值存
在N－1)bt/2 的滞后偏差。即公式1
在线性趋势条件下: Mt(1} -Mt(2) = (N－1)bt/2
此式表明.若直接用Mt(2)作预测值,滞后偏差将拉大
为
（N-1）bt
三、二次移动平均法预测公式
在线性趋势条件下，回到思维基础，用线性函数
拟合假定： = at + btT……. ⑤
其中 t为目前周期数
T为从目前周期 t到需要预测的周期的周期个数。
yt+T 为第 t+T周期的预测值
bt为斜率， at为截距
若：令T=0，得yt = at 为初始值
由于当前数据为yt ，有yt ≈ yt
故选取at ≈ yt
由公式④ Mt(1} -Mt(2) = yt － Mt(1}
= (N－1)bt/2
代入 at= yt
得 at= 2 Mt(1} － Mt(2)
………….⑥
bt =2[Mt(1} -Mt(2) ]/(N-1)……
⑦
公式 ⑤,⑥,（7)构成二次移动平均法预
测公式。
注：1)预测公式是以t时刻为基准的，这个
时刻可以随意选取，当选择靠近当前时刻，准
确度较高 ;
2．∵yt+T－ Mt(1} = at + btT － Mt(1}
=2 Mt(1} -Mt(2) － Mt(1} + btT
= Mt(1} -Mt(2) + btT
= (N-1)bt /2 + btT
即与一次移动平均法相比较，滞后偏差(N－1)/2
已补偿。
3． Mt(1} .Mt(2)对应的N 应一致，且二次移动值Mt(2)
不是预测值
4．二次移动平均法预测公式仅适合于线性趋势预
测。
5．不断的丢失信息，且N的大小一般由经验及前
期趋势确定。
简例：已知某产品销量统计数据以线形趋
势变动，当处在第20期时， Mt(1} = 74,Mt
(2) =
68,N= 5,预测在5个周期之后的销量
解：由已知：
Mt(1} = 74, Mt(2} = 68, N= 5
xt+T = at+ bt T
at= 2 Mt(1} －Mt
(2)= 80 = xt
bt =2/(N－1)[Mt
(1)－Mt(2)] = 3
预测模型： xt+T= 80 + 3T
当T = 5时
x20+5 = 80 + 15 = 95
移动平均法应用举例------期，股市
中的移动平均 线
一、道。琼斯的理论: 美华尔街日报创办人
股价运动的三种趋势
1、原始波动(Primary Trends) Bull Market and
Bear Market股价波动的长期上升（多头市场）和长期
下降（空头市场）是大市波动的基本趋势，基本趋势
一旦形成，通常要延续1~4年；
2、 次级波动
股价在长期的上升通道中快速下跌，或在长期下
降通道中急速上升，次及波动方向与原始波动方向相
反，是对原始波动的修正，一般的原始波动均有二至
三个次及波动；次及波动时间为3周数目可不等；
3 、短期波动(Minor Trends)
股价在分时或数日内进行快速波动
4、次级波动的振幅约为原始波动幅度的
1/3；
次级波动一般由3个或3个以上短期波动
组成；
5、次级波动下跌，若谷底上次波动谷底，
确定为长期上升通道；若谷底低于上次波动谷
底，确定为长期下降通道
一、移动平均线种类
1、M(3),M(5),M(10) 短期移动平均线
以5,10日移动平均线较合理
2、M(20),M(30),M(60) 中期移动平均线、
3、 M(120) 以上为长期移动平均线，对
中国股市当前实用意义不大。西方重M(200)
。
二． 移动平均线的转点
指移动平均线由下行转为上升的最低点或由上升
转为下行的最高点
因为移动平均数的取得是要扣减 xt-N,即第t-N日的
股价或指数，在一个上升通道中，上升的速度应保持，
不能转缓甚至下降它的转点为扣减的若是最低价，就是
上升趋势的转点，随时可能由升转跌；反之，在下降过
程中，扣减的是最高值，则随时可能反转由跌转升。
短期移动平均转点较多，适合于短线抄手
中,长期线转点较为重要，这是中期转势甚至长期
转势的信号
三、葛兰维八大买卖法则
买进四大法则
由↘转平并开始抬头向上,且股价突破MA;
2.股价在MA上方运行,回档未破MA股价再次↗;
呈上升状态,股价急速下跌破MA线时;
下降状态股价在MA下方运行,突然下跌远离
MA线时;
卖出法则
由↗ 转平并开始向下,且股价突破MA线之下;
6.股价在MA下方运行,上升时遇MA所阻,再次回落
;
呈下降状态,股价上升突破MA又回落至MA线
下方;
呈上升状态,股价在MA上方突然暴涨远离MA
线;
四:黄金交叉与死亡交叉
由移动平均线原理,对股价趋势变动反应
最快的是短期线,其次是中期线,然后是长期线
死叉
金叉
30日MA与60日MA是判别中期市场的主
要线,若股价跌破此二线为中期调整开始,应出
脱持股.
深:MA(5) = 5630↓ MA(10) =5689↓
MA(30) =5090↑ MA(60) =4561↑
沪: MA(5) = 1415↓MA(10) =1437↓
MA(30) = 1362↑ MA(60) =1239↑
第二节 指数平滑法
一、一次指数平滑法
1、一次指数平滑公式,由一次平滑公式的递推
公式
Mt(1} = Mt-1
(1) + [yt－yt-1 ]/N
其中Mt(1} = yt =[yt + yt-1 +…… + yt-N+1]/N
假定 yt-N≈ Mt-1即用前一期的移动平均值代替前
期的初始值.有
Mt(1} = Mt-1
(1) + [yt－Mt-1 ]/N
= (1/N) yt + (1－1/N) Mt-1
= yt+1
令 α= 1/N, α∈(0,1) 及St(1) = Mt(1}
则St(1)= αyt+(1－α) St-1(1) = yt+1
其中α称为平滑系数
这个公式称为一次指数平滑公式.
2、举例
某日用电器销售额如表.预测12月份的销售量:
月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
200 135 195 310 175 155130 220 277 235 -
- - 销售额函数图
200
100
300
130
0
α =
α =
α =
t
台
选取不同的α值:设S0(1)= xt=1
(1)
= 200,
当α=
有: S1(1) =αx1 +(1－α)S0(1)
= ×200 + ×200 = 200
S2(1) =αx2 +(1－α)S0(1) =
: :
S11(1) = = x12
填于表中α= 时
200 194
191 193
α= 时
200
233 234
α= 时
200
可见当 α= 时, x12= S11(1) = 平
滑效果好前期数 据影响大。
α= 时， x12= S11(1) = 234
当 α= 时, x12= S11(1) = 平滑
效果差，后期数据影响大。
可以看到：对于波动变化很大的情形，由
一次的指数平滑曲线来模拟误差很大而对振动
较小的情形，则比较合适。
1）平滑系数 α∈(0,1)
当α→ 0 St(1) → St-1(1)
预测值接近原来估计值 即前期预测数据起主导
作用。
当α→ 1 St(1) → yt
预测值接近上一时刻的估计值。后期实际数据起
主导作用，前期预测值作用很小。
(2004/10/25)
2）指数平滑
由St(1) =αyt + (1－a)St-1(1)
递推St-1(1) =αyt-1 + (1－α)St-2(1)
将St-1(1) 代入St(1) 公式中,且不断代入
St(1) =αyt + (1－α)[αyt-1 + (1－α) St-2(1)]
= αyt + α(1－α) yt-1 + (1－α) St-2(1)
= αyt + α(1－α) yt-1 +……+ (1－α) S0(1)
= α∑ [(1－α) yt-k ] + (1－α) S0(1)
其中 S0(1) 为初始估计值
t
t
2
k
讨论：a）考虑右边第二项， (1－α) S0(1)
∵ 0<α<1 即有0<1－α<1
初始数据加权值为(1－α) S0(1)。这是初始值对预
测值的影响大小.
若 t >> 0，实际数据若 t > 50，则 (1－α) → 0
则(1-a)tS0→ 0可略去,也就是初始数据的影响可
不考虑。
若 t < 50，一般的可选择最初几个原始数据的平
均值代S0(1)
t
t
t
b）考虑公式右边第一项
α∑ [(1－α)k xt-k ]
为除S0(1)外其他所有已知的数据的平滑值，
即影响大小
权数为： α(1－α)
α(1－α)
α(1－α)
:
α(1－α)
0
1
2
t-1
这是一个公比为 1－α(< 1)的递减指数级数（或
几何级数）
加权系数变化
规律曲线
即原始数据平滑按照指数平滑规律加权构成，数
据越原始，被平滑的部分也越多。即对预测值影响越
小，反之影响越大。
t-2 tt-1
c）由公式可知所有原始数据均参与预测
值的构成。即预测结果包含所有的已知信息量.
这些量的大小取决于平滑系数α的大小。
d）指数平滑的平滑能力（修匀能力）
设数据序列为常数趋势序列：
yt = a +ηt
其中 a 为常数,ηt可视做实际值与 a 的偏差，此
为随机项，应有
E[ηt] = 0 且D[ηt] = σ
对数据指数平滑
St(1) = α∑(1－α) yt-k + (1－α) S0(1)
2
k
t
当 t → ∞ , (1-a)t S0 → 0
则 St(1) = α∑(1－α) yt-k
= α∑(1－α) (a + ηt-k )
= αa∑(1－α) + α∑(1－α) ηt-k
= aα/[1－(1－α) ] + α∑(1－α)ηt-k
取数学期望
E[St(1)] =a + α∑(1－α) E[ηt-k] = a
即 E[St(1)] = E[yt] = a
k
k
kk
k
k
考虑均方误差：
D[St(1)] = D[α∑(1－α) ηt-k ]
= α∑(1－α) D[ηt-k ]
= α∑(1－α) σ
= α[1/α(2－α)]·σ
= [α/(2-α)]·σ2 < σ2
即是说：指数平滑使原始数据集中程度提
高，滤除了一些随机误差，使预测值向均值方向
集中，对原始数据产生了平滑效果
k
2k
2
2
2k2
2
2
e)平滑能力体现取决于
i) α↘ D[St(1)] ↘ 平滑能力增强
这种情况适用于不规则起伏，但在某个值
上下波动的时间序列，经验选取—
ii)α↗,D[St(1)]↗ 平滑能力减弱
这种情况适用于趋势变化明显的时间序列
使跟踪灵敏度提高。经验
iii）对于变化不太大的时间序列，α取
— 以便于使早期信息充分反映到预测值中。
3).指数平滑预测不断修正误差:
yt = St(1) = αyt+(1－α) St-1(1)
= St-1(1)+ α[yt －St-1(1) ]
即 下期预测值=本期预测值+α·本期预测误差
× 系统
为负反馈自动控制系统,有一定的自适应能力。
2、二次指数平滑
二次,三次乃至高次指数平滑是多项式模
型中利用指数平滑进行模拟而得出的。利用台
劳公式和卷积公式定理以求出多项式参数.
证明即定理详见《预测与决策方法》
1)预测公式:假定数据趋向为线性趋势`
yt+T = at +btT
2)预测参数公式
第一次平滑 St(1) =αyt + (1－α) St-1(1)
第二次平滑 St(2) =αSt(1) + (1－α)St-1(2)
且 at = 2 St (1) － St(2)
bt = [α/ (1－α)][ St
(1) － St(2)]
预测公式即为
yt+1 = at +btT
=2 St(1) －St(2)+ [α/ (1－α)][ St(1)
－ St(2) ] T
注:公式推导参考(日)春日井博<实用预测入门>
郭明哲<预测方法>
二次指数平滑仅适用与线性趋势型.
3.三次指数平滑:假定已知数据呈二次曲
线趋势
1)预测公式
yt+T = at +btT +ctT2
2)平滑公式
S(1)t=αyt + (1－α) St-1
(1)
S(2)t =αSt(1) + (1－α)St-1(2)
再进行一次平滑
St(3) =αSt(2) + (1－α)St-1(3)
3)参数公式
at =3 St
(1)－3 St(2)+ St(3)
bt =[α/2(1－α)2][(6－5α) St(1) －2(5－
4α) St(2) + (4－3α)St(3)]
ct = [α/2(1－α)2][3 St(1) －3St(2) + St(3)]
4)初始值计算
二次,三次指数平滑预测均涉及初始值的
问题,书上介绍的为
i)数据少时,取最初几个数据的均值为初
始值
ii)数据多时,以第一期原始数据为初始值.
指数平滑应用----指数平滑异
同移动平均线MACD
(Moving Average Convergence and Divergence)
美 Gerald Apple和W· Fredrick Hitsckler与
1979年提出.
作用:运用快,慢速移动平均线,加以双重平滑
运算,研判买入和卖出时机,克服移动平均线易出
现假信号的缺陷,是研判中期走势和盘整转势的重
要指标.
1.平滑系数
α(N) = 2/(N + 1)
若N =12日,即 α(12) = 2/13 =
N = 26日,即 α(26) = 2/27 =
2. 指数平滑值:(EMA)
St(12)=α(12)· 今日收盘价xt +[1－α(12)]· St-
1(12)
即 EMA(12) = α(12)·xt +[1－α(12)]· EMAt-
1(12)
同理 : EMA(26) = α(26)·xt +[1－α(26)]·
EMAt-1(26)
3. 快,慢连线的离差DIF:
DIF = EMA(12) － EMA(26)
当DIF >0为多头市场,DIF < 0 为空头市场
4. 再取DIF的9日移动平均值,即指数平滑异同移动
平均值MACDt = [DIFt +…… +DIFt-N+1]/N
= MACDt-1 + [DIFt－ DIFt-N]/N
这实际上是以离差及离差的平均值来进行预测.
5.柱状值BAR
BAR = DIF – MACD
由图可见,在一段股价的真正涨势中,快慢速
之间的差距将愈来愈大,(乖离值越大);若涨势趋缓,
则将缩小,甚至死叉;反之,在持续跌势中,快速线在
慢速线之下,亦会愈去愈远.当距离大到一定程度时,
回归将会产生.
两次平滑的结果,平滑了意外波动,透出股价
的真正走势.
股价xt
St(12)
St(26)
DIFDIF
二.使用原则
1、DIF与MACD在0轴以上,大势属多头市场;否
则为空头市场;
2、 DIF从下向上突破MACD形成金叉(柱状值
BAR由负变正),或DIF及MACD从下向上突破0轴,为买
入信号;
3、DIF从上向下突破MACD形成死叉 (柱状值
BAR由正变负),或DIF及MACD从上向下突破0轴,为卖
出信号;
4、 顶背离:当股价不断创新高,DIF和MACD钝化
;
底背离:当股价不断创新低,DIF和MACD钝化;
5、高位两次死叉股价将大跌; 低位两次金叉股价
将大涨.
注1:一般地,MACD指标还结合其他中线指标进
行综合考虑.如乖离率BIAS,强弱指标RSI,随机指标
KDJ及威廉指标WR%
注2:收盘价 xt 可取
xt = (2 · 收盘价 +最底价 + 最高价)/4 更合理.
