第32卷第5期技术经济Vol. 32. 2013年5月May. 2013 Technology Economics "分工"的数理经济学分析宋学义(清华大学社会科学学院经济学研究所，北京100084)摘要:将数学化的分工经济理论与现实经济相结合，在微观层面解释了分工的生产效率，在中观层面解释了产业集群的形成，在宏观层面解释了分工生产这种生产模式的优越性。结果表明分工经济对现实世界的强大解释力。关键词:分工;角点解g生产扩展线g产业集群;经济学分析中圄分类号:文献标识码:A文章编号:1002-980X{ 2013 )05-0092-05 分工和专业化的增进应是一条探讨近代经济发动量，则该人用于生产两种产品的总劳动量为1，即展原因的逻辑主线，抛开这一主线，对经济发展的解每个人有1个单位的劳动量。释将是空洞的、局部的。分工问题长期被边缘化的 个人边际劳动生产率水平一个重要原因是[叫，长期以来缺乏一个好的数学框对式(1a)和式(1b)分别求lx和ly的一阶导数架可表达其核心逻辑思想，也就没有一个标准的、可和二阶导数，可得z,1-,. ,.j2 操作的理论来解释AdamSmith描述的经济进步之1 ~p = al:-> 0，乓子=a(a一1)l:-2> 0; (3a) dιω二源。随着杨小凯、黄有光、博兰等经济学家的努力，2 dyp _ _1a-1 ___ ^ d分工和专业化的思想重新焕发出生机，显示了强大=dTI〉02>0。仰，昔一内一阿t 的解释力。本文将分工理论在数学化、形式化的基其中，dxp/dlx和dYp/dly分别为两种产品的边础上与现实经济进一步结合，在微观层面上解释生际劳动生产率水平。对两种产品产量求一阶导数大产效率问题，在宏观层面上解释生产模式问题。于0，意味着产量随着专业化水平的上升而增加，产1 两种产品情况下的分工角点解及量是个人专业化程度的增函数。对两种产品产量求效率分析二阶导数大于0，意味着产品Z和产品y的边际劳动生产率也随着专业化水平的上升而增大，个人的边际 专业化经济下的个人生产函数劳动生产率水平也是个人专业化程度的增函数。为了描述专业化的好处，我们使用生产函数概 两种产晶分工生产情况下的角点均衡固解念来定义专业化经济概念[吨。因为专业化是针对个假定人们的生产具有专业化效应，即人们将有人而言的，所以要定义专业化经济就必须首先设定限的时间和资源集中于生产一种产品时的生产效率个人生产函数。假定某个人可从事两种生产活动并要比将时间分散于生产两种产品时的生产效率高。生产两种产品Z和y。设该人生产产品Z的生产函设想一个只有衣服和食物两种物品的社会。图1中数为l~"生产产品y的生产函数为巧，则可将其生曲线AB表示一个具有专业化效应的人的生产可能产函数描述为:性边界。生产可能性边界曲线凸向原点表明，若一X= l:; (1a) p 个人同时生产衣服和食物，则两种专业化优势都得YP =巧。(1b)其中a是一个衡量专业化经济程度的参数，在不到发挥。图1中虚线CD表示两个自给自足的人的生产可能性边界，它是合成两个人各自的生产可正常情况下a>l。此人的时间约束函数如下:lx十ly能性边界合成(同步化生产)而得到的。假设甲乙两= 10 (2) 式(2)表明，个人的总劳动份额为1。假定某人人实现分工一一甲专门生产衣服、乙专门生产食物，同时生产两种产品，lx为该人用来生产产品Z所使那么生产出的物品可达到E点的位置。同样是两用的劳动量，ly为该人用来生产产品y所使用的劳个人，E点的食物和衣服的产量都增加了，这就是分收稿日期:2013一03-27作者简介:宋学义(1975一)，男，山东临沂人，清华大学社会科学学院经济学研究所博士研究生，研究方向2分工理论、经济增长理论和经济政策分析。92
宋学义分工"的数理经济学分析工带来的生产效率上的优势。在新兴古典经济学的生产函数，没有李嘉图式的外生比较或绝对优势。中，E点被称为"角点解，，[叫，表明最优解在可行域如果他们都选择自给自足生产，则他们的生产结构的边界与边界相交成的角上①，以此与主流经济学将完全相同一→每个人都生产产品z和Yo如果他中的"内点解"相区别[叫。们的天生偏好也相同，则他们进行自给自足生产时我们通过分析图1可得以下结论:的生产计划也会相同。我们将生产函数代人时间约第一，两种产品的生产转换成本越高、生产效率束，可得两人的转换函数z越低，则分工生产越有效率，在图1上显示为生产可X)ja+)ja=1(i=1,2). (6) y能性边界越凸向原点z如果分工生产与自给自足生图1中弯曲线AB的数学表达式为z产元差异，即不存在转换成本，则生产可能性曲线为z士+yt=1=〉y=(1-zt〉a。直线，即图1中的直线AB。图1中阴影部分面积即因分工而产生的经济福利提升，可称之为分工效率或分工经济。C 将其值在O~l之间的Xiþ和Yiþ代入式(6)，可在~Y坐标平面上确定该转换曲线上的许多点，将这些点连接起来并画出曲线，该曲线就是一条与式A (6)相对应的转换曲线，我们称之为弯曲线AB。可以看到，弯曲线AB是一条从左上向右下倾斜且凸向原点的曲线，即一个人的转换曲线(见图口。衣服 自给自足经济的效率损失分析O B D 从上文分析可以看出，分工经济之所以有效率，是因为生产可能性曲线是凸向原点的曲线而不是直回1两种产晶分工生产与不分工生产的生产可能性边界线因为如果不分工生产，生产者就需要重复学第二，只要存在生产转换成本，则分工生产就一习一种以上的产品生产劳动技能，该过程中存在学定比自给自足生产有效率，在图1上显示为生产可t习成本，生产过程的切换不可能元成本进行。此时能性曲线AB为凸向原点的曲线，曲线AB与直线(7)自给自足产生的效率损失可用式表示zAB之间的部分就是效率损失。生产转换成本越X)(1一-x~)aJdx= v自给损失。(7)高，生产可能性曲线AB越弯曲;生产转换成本越[(1-f: 低，生产可能性曲线越平援z随着生产转换成本降其中，v自给损失为自给自足生产的效率改进三低，生产可能性曲线AB越来越向直线AB靠拢，当角，也即不分工的效率损失三角;直线AB的数学表不存在生产转换成本时，生产可能性曲线为直线，此达式为X+Y=10 时分工生产与自给自足生产元差异。可以看出，自给自足生产存在效率损失v自给损失， 分工生产与自给自足生产的效率分析与比较其大小与生产可能性曲线凸向原点程度的高低有为便于分析，我们用下脚标1、2代表两个人。关一一该曲线越凸向原点，效率损失越大，而凸向原两种产品的生产函数和时间约束为"飞点的程度与α有关。我们在后文对a进行具体分析。izp=n (4) 两种产晶生产的生产可能性边界幽钱斜率Yl = l’jy 由于从事两种产品的生产需要学习两种专业生llz + lly = 1 产知识技能，生产者在从事第二种产品的生产时不(句l'2得不牺牲时间以学习生产知识技能，因此会出现效(5) Y2ρ= l’2y 率损失。根据式(的，可将Yiþ表示为Z梧的函数zl2:z: + l2y = 1 Ja中=[1一(X)ja)(8) Y。假定两个人在决策前有相同的时间约束和相同① 在不分工的情况下，曲线AB是生产两种产品的生产可能性曲线.在生产技术水平既定的情况下，向上等比例平移曲线AB，就是生产者甲的生产可能性曲线CE;向右方等比例平移曲线AB，就是生产者乙的生产可能性曲线DE，这两个生产可能性边界会有一个交点，如图1中的E点。E点是在现有技术水平条件下能取到产量最大的点，代表在E点甲方只生产衣服、乙方只生产食物，但此处产量远超出曲线CD线。而曲线CD代表不分工情况下将产量扩大一倍所形成的生产可能性边界。93
技术经济第32卷第5期其中，句'YiPE ()。对式(5)求句的一阶2 扩展分析导数，可得均与Xip的边际转换率，也即生产可能性曲线斜率。 两种产晶分工生产时的生产扩展线dYiP/dx哺=一(1-x;ja )a-1 x;ja-1一(xij，l/a_ 从上文分析可知，角点解E是分工生产时的均1)a-1 < 0(9) 衡解，其所对应的效率大于不分工生产时的生产可0 能性曲线CD上的任何一点。那么，从原点O出发，从式(问知，华主是关于α的递减函数。a越QX幢直线OA就是两种产品分工生产时的生产扩展线。大，斜率绝对值越大，生产可能性曲线越凸向原点，在两种产品的相对生产效率不变的情况下，两种产说明生产切换的难度越大。品分工生产的规模扩大就是沿着生产扩展线OA进对式(9)求句的二阶导数，可得边际转换率的行的。一阶导数。d(dνdx咱)业ι=CI「(zzJi11食物由单dx马a L a J 生产扩展线a一1(zaJi-l〉0。(10)a C 从式(7)可知，边际转换率的一阶导数大于O.说明该生产转换曲线①是一条凸向原点的曲线，或者说，在受到资源约束的条件下，增加工中所需减少的YiP越来越少，这说明当增加Xip时边际转换率是递增的。B D 。衣服 参数a与分工效率的性质分析从上文分析可以看出，两种产品分工的生产可固3分工模式下的生产扩展线能性曲线的弯曲方向②与弯曲程度取决于α，如图 多环节生产下不分工生产时的经济学分析所示。随着社会发展，产品生产环节越来越多。现假a> 1.表明生产切换难度大，同时生产两种产定产品生产环节由2个扩展为4个。根据前文分析品的效率低•a越大，则生产切换难度越大，生产可的2环节分工生产情况，在生产环节扩展为4个以能性曲线凸向原点的程度越深，则表明分工生产的效后，自给自足生产时又会出现2个新的"分工均衡率越高川=1.表明生产切换元难度，分工生产与自解吨。给自足生产一样有效率，此时生产可能性曲线是一条由图4可以看出，在4个生产环节的情况下，可直线;0<α<1.此时生产可能性曲线是一条凹向原从两个层面提高生产效率:如果不分工，需要重新学点的曲线，自给自足生产比分工生产有效率。习的专业知识技能变得更多，那么分工生产所节省C I食物的学习费用就会越来越多;如果只专注分工专业化生产，则生产技术水平会随着生产熟练程度的提高而提高，进而分工生产效率越来越高。wJ进一步合理推论:随着生产商品种类增多，自A 给自足生产或分工不足所带来的福利损失会越来越大.lim~ω=∞。而社会分工越发达，分工生产的生产效率会越来越高、社会福利会越来越大，与自给D O B 衣服自足的经济状态相比，分工生产的优势越来越大。相应的，国家或地区的竞争力就会越来越强、生活水图2两种产品不分工情况下生产可能性曲线平越来越高。形状与参数α的关系① 即两种产品生产的转化率曲线。② 这里是指生产可能性曲线是凸向原点还是凹向原点。③ 为便于分析，假定每2个环节形成一个新的分工均衡点。94
宋学义分工"的数理经济学分析用有所节省。既实现了分工效率、又节省了交易费环节2用，是高效率的生产模式，此时分工盒演变成产业集环节2-1C / 群盒，具体如图60YV川R环/(\气 气-豆、、、、环节2环节3节2O \ C \ \、环/节"E←’.E/ 分工形成产业集群，二---------~…使得交易费用降低A 、、、O D B 环节1\\| 环节4圈4四部门的分工效果O B D 环节 四环节分工生产下交易费用较高时的经济学分析固6分工下形成产业集群的分工盒示意图如果我们参照埃奇沃思盒的生产过程，将两个图6形象地显示了在只有4个分工环节的情况分工扩展生产的均衡组合在一起①(如图5所示), 下分工的产业集群盒，其经济学的含义非常清楚g一此时便出现了一个矩形盒子，称之为分工盒。在该个产业的许多分工环节集中于某一地理空间，从而盒内，点E1为生产环节1，可进一步细分为生产环形成产业集群，这样的好处是既充分利用了分工生节1-1和生产环节1-2所形成的均衡点;点Ez为生产的效率优势，又节约了交易费用。产环节二，可进一步细分为生产环节2-1和生产环节2-2所形成的均衡点。此时，不同厂商在不同环3 自给自足生产与分工生产的节分工生产，然后通过市场交易来形成最终产品。经济学比较在多环节分工生产的情况下，往往经过多次市我们将上文分析中的各种情况集成到一张图中场交易才能完成最终产品的生产，这使得包括运输(见图7)，通过比较分工生产与自给自足生产来集戚本在内的交易费用会变得很高。为了节省交易费中梳理分工的经济学含义，以清晰展示分工对经济用，一些相关产业开始在某一地理范围内集中，从而发展的主要作用。形成产业集群，如图5所示。环节2环节3环节2-1O、、2 0, \ C \ 4环节2-1环节1-2c ~ E，哨'\ A 交用高环节4环节1-10, D B 环节1D B 图7产业集群的分工均衡固5分工下没有集群的分工盒示意固(1)曲线CD是自给自足的生产模式下的生产 囚环节分工生产下产业集群形成时的经济分析可能性曲线。曲线CD的弯曲方向和弯曲程度取决分工提高了生产环节的效率，但会增加各生产于参数aoa > 1 ，表明生产!1J换难度大。G越大，则环节之间协调和交易的成本。随着分工环节的增生产切换难度越大，生产者重新学习的费用越高，生多，交易成本越来越高，产业集群的形成使得交易费① 具体过程为:以图4中的四部门分工为基础，将原生产环节2继续细分所形成的两个生产环节2-1、2-2的坐标旋转180度，图4中的B点就成为图5中新的01点，因4中的A点就成为图5中新的O2点，这样就形成了一个直观的分工示意图这是为了刻画有分工元集群和分工集群两种情况的区别所设计的示意图。95
技术经济第32卷第5期产可能性曲线凸向原点的程度越大，分工生产的效生产，既能实现分工生产的高效率，又能因地理上的率越高。a= 1 ，表明生产!1J换无难度，不存在重新集中而节省大量交易费用，是市场经济条件下分工学习的费用，分工生产与自给自足生产一样有效率，生产深化时的生产状态。此时生产可能性曲线是一条直线。O<a<l，则生4 结论产可能性曲线是一条凹向原点的曲线，此时自给自足生产比分工生产有效率。当然，这种情况只存在本文将数学化的分工经济理论与现实经济相结于理论分析中，不可能出现在实践中。合，在微观层面解释了分工的生产效率，在中观层面(2)直线CD是计划经济体制下分工不足的理解释了产业集群的形成，在宏观层面解释了分工生想目标线。在这条直线上，不存在生产转换成本和产这种生产模式的优越性。本文的研究结果表明了重复学习成本，企业或个人能有效率地生产任何需分工经济对现实世界的强大解释力。要生产的产品，自给自足生产与分工生产效率元差参考文献异。这应该是自给自足生产或"大而全、小而全"体[lJ 张日波.分工思想何以被忽视-一以马歇尔为中心的思制下的理想目标线。此外，在这条直线上，不存在组想史考察.[J]经济理论与经济管理.2012(1): 28-35. 织协调成本生产组织者是全能的，也不存在知[2J 胡斌.专业化分工的企业制度模型[JJ.技术经济.2000识协调成本一一生产组织者是全知的，没有市场和(9): 33-35. 交易成本。也可以将之理解为计划经济体制背景下[3J杨小凯.经济学新兴古典与新古典框架[M].北京:分工不足时组织生产所能达到的最理性目标。社会科学文献出版社.2003:35-46. [4J 杨小凯，张永生.新兴古典经济学和超边际分析[M].北(3)直线。102是分工生产情况下的生产扩展京z中国人民大学出版社.2003:28-30. 线。在存在新技能学习成本等切换成本的情况下，[5J 杨小凯，史鹤龄.经济学原理习题集[MJ.北京z中国社分工生产比自给自足生产有效率，生产者会选择最会科学出版社.2006:5-12. 有效率的生产环节进行生产。那么，最优解就是前[6J 孙洛平，孙海琳.产业聚集的交易费用理论[M].北京2文所论述的角点解Eo在相对分工生产效率不变的中国社会科学出版社.2006:59-66. [7J 杨小凯，发展经济学超边际与边际分析[MJ.北京z情况下，如果需要扩大生产规模，则分工的扩展会沿社会科学文献出版社.2003:64-71. 着原点与分工均衡点之间的直线进行，所以双直线[8J 杨小凯，黄有光.专业化与经济组织一种新兴古典微观。102即为市场经济分工深化情况下的生产扩展线。经济学框架[MJ.北京2经济科学出版社.1999:219-222. (4)E点是产业集群下的分工均衡点。随着分[9J 杨小凯.经济学原理[M].北京z中国社会科学出版社，工深化，生产者为了降低交易成本而开始在某个具1998: 33-36. 体的地理空间中集中，产业集群开始形成。在E点Mathematical Ecooomics Aoalysis 00 Divisioo of Labor Song Xueyi Onstitute of Economics. School of Social Sciences. Tsinghua University. Beijing 100084. China) Abstract: By combining mathematical division economic theory and economic reality. it explains the production efficiency of division of labor at micro-level. and the format on of industrial cluster at meso-level. and the superiority of d vis on production mode at macro-level. The result shows the explanatory power of division of labor to the economy in real world. Key words: division of labor; corner solution; production expansion line; industrial cluster; economics analysis 96
