1 怎样为随机所得(random payoff)排序？例1：Lecture 3R将肯定得到50RMB，或者接受以下的掷币游戏（赌博）：期望效用理论如果正面朝上，得100RMB本讲所含内容：如果反面朝上，得0R应选择哪一个？§随机所得(random payoff)的排序§概率论基本结论的应用或者换成以下的游戏：§风险溢价的定义如果正面朝上，得75RMB§随机占优(stochastic dominance)如果反面朝上，得25RMB§均值-方差理论(mean-variance theorem)Financial Economics-WCY1Financial Economics-WCY2思考以下两个选择:总体原则是：选择期望值最大的赌博。人们都是风险A -100％的概率赢1000元中立的，即人们只考虑期望值.B-50％的概率赢2100元，50％的概率一分钱也拿不到。从期望值来说，B大于A。但是如果要你来选择，会选择哪一个呢？大部分的人会选择A。200多年前，法国著名数学家贝努里为解释例2：如果是以下的游戏，怎办？这一现象，提出了期望效用理论。这个理论指出，财富的边际效n用是递减的，50％概率赢2100元的效用小于100％概率赢1000元重复掷币，如果第n次掷币正面朝上，得2RMB; 不然得0。的效用。22期望值=*2+()*2+…= 1+1+1…= + ∞Bernoulli指出增加1元所带来的边际福利必然下降。例如，你愿意出+福利= a +b*W unacceptable∞RMB去玩这一游戏吗？如何决策？_ St. 福利= a+b*ln(W) OKPetersberg parodox美国民主党非常推崇财富再分配的政策，也就是向富人多征税再分配给穷人，其理论依据就是边际效用递减。对富人来说增加1美元的效用要小于给穷人增加1美元带来的效用，所以应该把这1美元给穷人。Financial Economics-WCY3Financial Economics-WCY42 期望效用函数风险决策中的期望值准则隐含着，在确定最优行动方期望效用函数的目的是以一种科学的方法为随机所得排序；或者说，建立一方法描述对某种资产的需求。案时，需要在完全相同的自然状态下重复进行相同的以下是一简单的需求函数：决策。如果重复的次数不断增加，那么观察到的平均U = f(茶，衣服，面包，海尔股票，GM债券等)报偿(收益)就越来越接近理论中的平均报偿(收益)。因此，根据期望值准则确定的最优方案就是能得到最大的长期平均报偿（收益）的方案。假设投资者都是理性的财富的边际效用为正值然而,在许多重要的决策中都要求在唯一的一组自然状态下做出决策，并且进行多次重复决策是不现实的。投资者在不确定性状态下的决策就是使期望效用最大。对此，需要有一套处理一次性决策问题的方法，那么效用准则就是这样的一种工具。期望效用函数的建立Financial Economics-WCY5Financial Economics-WCY61
Ä ŽAj ƒ …9 L¿ EÄ È7Ô á Z ó*¥ Z ½ ÝEX,ÈK à Ã ß ü â ½ ÝEX,ÈK Þ Ã Ý ü À Ž È ' È Þ h 52Ê 㤰〰????????=UU㤰〰? Sy ü* Ö “Ä4 Ã Å È Ä Ã Å È È Æ ü* ¬4Å Ä Ã Å È Ä + H H 8 H 8 H Å Ä 8 Ö í ?È 例3：假如一投资者失去1000元相当于减少10U。如果他面对以下选择：收入(元)概率(%)1000a-10001-a如果概率为a=60%时，该投资者在选择参与以上游戏与否无所谓，那么他收到1000元的效用是多少？Financial Economics-WCY7(1² V 2风险回避(risk aversion) ɀ? 㸡W벢얀效用ª为?aU( )+?(a)U( ), 这样， ÈA©*.üB ,ÑnX D Ä È KÈ > ü ,ž @ È Ô û ,ž È Ô ã ,ž È ÅÖÚ 8ÿÈ 4 Ä 8 WÄ # *Å ü À Û9‹ 0 EKÂNl Ö Ô þ$ ã Ú ÿ ¹ ,X V)[9‹ ý ` 3 È º Ô Ý Ön 8 ² 1Ä ( Í h îÅ4 , , Ì8 åX È à í, Äž ø Ê þ È h 8 * ü h h G*,üž , X > < â 0 Ä9‹ 一投资者的风险偏好可以从以下试验判别：U() = aU()+(a)U()现在得10元，或接受以下游戏：若a=6时，该投资者无所谓ɀ行䮐上赌博，那么=7U重复以上试验，就可描述出一投资者的效用函数。
以数学的方法表述：例5：一log 效用函数代表的是风险回避型的偏好，为什么？U[E(W)] -期望财富的效用如U(W) = ln(W)。给定游戏是E[U(W)]-财富的期望效用如果U[E(W)] > E[U(W)] -风险回（规）避型结果(元)概率(%)如果U[E(W)] = E[U(W)] -风险中立型580如果U[E(W)] < E[U(W)] -风险爱好型3020用图形表示为：U[E(W)] = U(10) = ln(10) = [U(W)] = (5) +(30) = Economics-WCY13Financial Economics-WCY14风险溢价风险回避的数学表述上例中，投资者实际上愿意付出代价而去选择接受10W -投资者的财富元。代价是多少？U(W) -中立赌博，即零和游戏，E(Z) =对应的财富是：W = e= e=元。其与П-风险溢价10元的差额便是该投资者为选择得到10元(而不是赌博)所愿付出的最大代价。这就是风险溢价or Markowitz风险溢价必须满足以下等式：risk premium。E[U(W+Z)] = U[W+E(Z)-П]等式两边同时进行Taylor’s 系列分解U[W+E(Z)-П]=U[W-П] = U(W)-ПU‘(W)+其它2E[U(W+Z)] = E[U(W)+ZU’(W)+’’(W)+其它2= U(W)+σU’’(W)+其它ZFinancial Economics-WCY15Financial Economics-WCY164 随机占优(stochastic dominance)删除其它项，可得概念W -投资者财富。有两种游戏：f and g。选择不同的''1U(W)2Π=σ−游戏(资产), 投资者财富的概率分布不同。Z'2U(W)''U(W)−游戏W的概率分布函数期望函数其中被定义为绝对风险规避(ARA)。'U(W)∞U(W)f(W)dWfF(W)∫0∞U(W)g(W)dWg G(W)∫0只有在E[U(W)] 不小于E[U(W)]，f 占优g。随机占fg优理论的含义在于：我们不能仅凭PDF为游戏或方案排序。效用函数本身也有很大影响。因此，必须对效用函数的形态进行约束。Financial Economics-WCY17Financial Economics-WCY183
一次随机占优(first order stochastic dominance)对效用函数的约束是效用函数的一阶导为正值，即U’(W) >0。只要F(W)≤G(W)for all WxyF<(W)G(W)for some Wxiyii那么x 占优y.一次随机占优可适用于所有效用随财富增加而增加的效用函数。Financial Economics-WCY19Financial Economics-WCY20二次随机占优(second order stochastic dominance) 对效用函数的约束是效用函数的一阶导为正值, 且二阶导为负数，即投资者为风险回避型。只要wi[G(W)−F(W)]dW≥0yxfor all W∫−∞G(W)≠F(W)yxifor some Wi资产x 随机占优y.注意：资产x 随机占优y要求在财富小于某一数额时，资产Y的累积概率分布的面积比X的大，而且其累积概率分布可以交叉。Financial Economics-WCY21Financial Economics-WCY22随机占优的经济含义随机占优是经济模型中最有广泛应用的概念之一。他使期望效用最大化原则可用于任何概率分布。另外的一重要结论是如果一资产二次随机占优，它一定为所有风险厌恶型投资者所喜爱(不管是什么效用函数)。这一概念将成为证券组合理论的基石。Financial Economics-WCY23Financial Economics-WCY244
5 均值-方差方法由随机占优理论得知，风险资产的排序需要有完整的PDF。有时我们可以用PDF 的几个参数就可达到目的。其中，如果资产收益呈正态分布，其排序就只要两个参数：均值和方差。2设一风险资产X的收益分布为R~ N(u，σ)。正态分X布表示为2(z−u)−1222σ(R;µ,σ)=e∫2πσ∞2E[U(W)]=E[U(W(1+R)]=U(W(1+R))f(R;u,σ)dR0X0X∫0此效用函数符合条件： 如果U‘(W) >0， 那么∂E(U)/∂u>0 2 如果U’(W) >0并且U’’(W) <0。 那么∂E(U)/∂σ>0 Financial Economics-WCY25Financial Economics-WCY266 小结期望值最大化并不能为所有风险资产合理排序，因为人们对风险态度不同。阅读材料：期望效用函数是以一种科学的方法为随机所得排序。C&W，Chapters 4 and 6投资者的风险回避引至风险溢价的概念，这也是现代保险也得以发展的理论基础。随机占优为收益呈连续性概率分布的风险资产的排序提供了理论基础。如果资产收益呈证态分布，风险资产的排序只须考虑两个参数：均值和方差。现代资产定价理论的建立就是依赖这一重要成果。Financial Economics-WCY27Financial Economics-WCY285
