运筹学
北京理工大学
管理与经济学院
吴祈宗教授
运 筹 学 ——目录
1、绪 论
2、线 性 规 划
3、运 输 问 题
4、动 态 规 划
5、图与网络分析
6、排 队 论
7、教学日历
说 明
本教学课件是与教材紧密配合使用的，教材为：
《运筹学》 杨民助编著
西安交通大学出版社，2000年6月
参考书：
《运筹学》 清华大学出版社
或其他的《运筹学》方面本科教材的相关内容
下面所标注的页号，均为本课程教材的页号。例如：
p123 表示第123页
p31-34 表示从第31页到第34页
绪 论
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”
运筹学是运用科学的方法（如分析、试验、量化等）来决定如何最佳地运营和设计各种系统的一门学科。运筹学对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
运筹学有广泛应用（可以自己找一些参考书看）
运筹学的产生和发展（可以自己找一些参考书看）
运筹学解决问题的过程
1）提出问题：认清问题
2）寻求可行方案：建模、求解
3）确定评估目标及方案的标准或方法、途径
4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等
5）选择最优方案：决策
6）方案实施：回到实践中
7）后评估：考察问题是否得到完满解决
1）2）3）：形成问题；4）5）分析问题：定性分析与定量分析。构成决策。
运筹学的分支
线性规划
非线性规划
整数规划
动态规划
多目标规划
随机规划
模糊规划等
图与网络理论
存储论
排队论
决策论
对策论
排序与统筹方法
可靠性理论等
运筹学在工商管理中的应用
生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下
料、配料问题、物料管理等
库存管理：多种物资库存量的管理，库存方式、库存
量等
运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、
运输工具的调度以及建厂地址的选择等
人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编
制、人员合理分配，建立人才评价体系等
市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与
销售计划制定等
财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管
理、现金管理等
*** 设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等
运筹学方法使用情况(美1983)（%）
运筹学方法在中国使用情况(随机抽样)（%）
运筹学的推广应用前景
据美劳工局1992年统计预测:
运筹学应用分析人员需求从1990年到2005年的增长百分比预测为73%,增长速度排到各项职业的前三位.
结论:
运筹学在国内或国外的推广前景是非常广阔的
工商企业对运筹学应用和需求是很大的
在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做
如何学习运筹学课程
学习运筹学要把重点放在分析、理解有关的概念、思路上。在自学过程中，应该多向自己提问，如一个方法的实质是什么，为什么这样做，怎么做等。
自学时要掌握三个重要环节：
1、认真阅读教材和参考资料，以指定教材为主，同时参考其他有关书籍。一般每一本运筹学教材都有自己的特点，但是基本原理、概念都是一致的。注意主从，参考资料会帮助你开阔思路，使学习深入。但是，把时间过多放在参考资料上，会导致思路分散，不利于学好。
2、要在理解了基本概念和理论的基础上研究例题，注意例题是为了帮助你理解概念、理论的。作业练习的主要作用也是这样，它同时还有让你自己检查自己学习的作用。因此，做题要有信心，要独立完成，不要怕出错。因为，整个课程是一个整体，各节内容有内在联系，只要学到一定程度，知识融会贯通起来，你做题的正确性自己就有判断。
3、要学会做学习小结。每一节或一章学完后，必须学会用精炼的语言来该书所学内容。这样，你才能够从较高的角度来看问题，更深刻的理解有关知识和内容。这就称作“把书读薄”，若能够结合自己参考大量文献后的深入理解，把相关知识从更深入、广泛的角度进行论述，则称之为“把书读厚”
在建数学模型时要结合实际应用，要学会用计算机软件解决问题。
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各章节的重点、难点
及注意事项
1、 线 性 规 划
线性规划模型：
目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2
约束条件：. x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
**看 p 7--9 例1-1，1-2
例1. 某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源的限制，如下表：
问题：工厂应分别生产多少单位甲、乙产品才能使工厂获利最多？
甲
乙
资源限制
设备
1
1
300台时
原料A
2
1
400千克
原料B
0
1
250千克
单位产品获利
50元
100元
1、 线 性 规 划 （续）
1. 1 线性规划的概念
线性规划的组成： 目标函数 Max f 或 Min f
约束条件 . (subject to) 满足于
决策变量 用符号来表示可控制的因素
一般形式 ( p10-- p 11)
目标函数： Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
约束条件： . a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
标准形式 ( p11-- p 15 ，例1-3)
目标函数： Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
约束条件： . a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
**练习：p 68--70 习题1 1-1，1-2
1、 线 性 规 划 （续）
1. 2 线性规划问题解的概念及性质
熟悉下列一些解的概念（p15--16）
可行解、可行解集（可行域），最优解、最优值，基、基变量、非基变量，基本解、基本可行解，可行基、最优基。
图解方法及各有关概念的意义（p16--20）
看：图解法步骤，例1-4，1-5，1-6，1-7，1-8，1-9
下一页是一个图解法解题的一个例子，右图中的阴影部分为可行域。
单纯形法的理论基础（p20--30）
段要求看懂，了解如何直接通过对约束矩阵的分析求出基本可行解
, 两段应注重结论的了解，如单纯形法思想和关于线性规划解的四个
定理，而对证明过程则可根据自己的数学基础来掌握：
基础很好，可要求掌握；否则，也可略去不看。
**习题：p70 习题1 1-3，1-4
1、 线 性 规 划 （续）
例1.
目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2
约束条件：
.
x1 + x2 ≤ 300 (A)
2 x1 + x2 ≤ 400 (B)
x2 ≤ 250 (C)
x1 ≥ 0 (D)
x2 ≥ 0 (E)
得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250
最优目标值 z = 27500
1、 线 性 规 划 （续）
1. 3 单纯形法
利用单纯形表的方法求解线性规划——重点 (p30--45 , , )
此项内容是本章的重点，学习中应注意掌握表格单纯形法求解线性规划问题的基本过程。要通过读懂教材内容以及大量练习来掌握。
1、 线 性 规 划 （续）
表格单纯形法 ( p40-- p 45)
考虑： bi > 0 i = 1 , … , m
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
加入松弛变量：
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn + xn+1 = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn + xn+2 = b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn+ xn+m = bm
x1 ，x2 ，… ，xn ，xn+1 ，… ，xn+m ≥ 0
1、 线 性 规 划 （续）
显然，xj = 0 j = 1, … , n ; xn+i = bi i = 1 , … , m 是基本可行解
对应的基是单位矩阵。
以下是初始单纯形表：
m m
其中：f = -∑ cn+i bi j = cj -∑ cn+i aij 为检验数 cn+i = 0 i= 1,…,m
i = 1 i = 1
an+i,i = 1 , an+i,j = 0 ( j≠i ) i , j = 1, … , m
CB
XB
c1
…
cn
cn+1
…
cn+m
θi
x1
…
xn
xn+1
…
xn+m
cn+1
xn+1
b1
a11
…
a1n
a1n+1
…
a1n+m
θ1
cn+2
xn+2
b2
a21
…
a2n
a2n+1
…
a2n+m
θ2
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
cn+m
xn+m
bm
am1
…
amn
amn+1
…
amn+m
θm
-z
f
σ1
…
σn
0
…
0
1、 线 性 规 划 （续单纯形法解题例）
例1。化标准形式： Max z = 50 x1 + 100 x2
. x1 + x2 + x3 = 300
2 x1 + x2 + x4 = 400
x2 + x5 = 250
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50（松弛标量，表示原料A有50个单位的剩余）
CB
XB
50
100
0
0
0
θi
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3
300
1
1
1
0
0
300
0
x4
400
2
1
0
1
0
400
0
x5
250
0
(1)
0
0
1
250
-z
0
50
100*
0
0
0
0
x3
50
(1)
0
1
0
-1
50
0
x4
150
2
0
0
1
-1
75
100
x2
250
0
1
0
0
1
-z
-25000
50*
0
0
0
-100
50
x1
50
1
0
1
0
-1
0
x4
50
0
0
-2
1
1
100
x2
250
0
1
0
0
1
-z
-27500
0
0
-50
0
-50
1、 线 性 规 划 （续）
注意：单纯形法中，
1、每一步运算只能用矩阵初等行变换；
2、表中第3列的数总应保持非负（≥ 0）；
3、当所有检验数均非正（≤ 0）时，得到最优单纯形表。
1、 线 性 规 划 （续）
一般情况的处理及注意事项的强调（p45--55）
段主要是讨论初始基本可行解不明显时，常用的方法。要弄清它的原理，并通过例1-14 ~ 例1-17掌握这些方法，同时进一步熟悉用单纯形法解题。
考虑一般问题： bi > 0 i = 1 , … , m
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
1、 线 性 规 划 （续）
大M法： 引入人工变量 xn+i ≥ 0 i = 1 , … , m ; 充分大正数 M 。 得到，
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn + M xn+1 + … + M xn+m
. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn + xn+1 = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn + xn+2 = b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn + xn+m = bm
x1 ，x2 ，… ，xn ，xn+1 ，… ，xn+m ≥ 0
显然，xj = 0 j=1, … , n ; xn+i = bi i =1 , … , m 是基本可行解
对应的基是单位矩阵。
结论：若得到的最优解满足 xn+i = 0 i = 1 , … , m 则是原问题的最优解；否则，原问题无可行解。
1、 线 性 规 划 （续）
两阶段法：引入人工变量 xn+i ≥ 0，i = 1 , … , m；构造，
Max z = - xn+1 - xn+2 - … - xn+m
. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn + xn+1 = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn + xn+2 = b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn + xn+m = bm
x1 ，x2 ，… ，xn ，xn+1 ，… ，xn+m ≥ 0
第一阶段求解上述问题：
显然，xj = 0 j=1, … , n ; xn+i = bi i =1 , … , m 是基本可行解
对应的基是单位矩阵。
结论：若得到的最优解满足 xn+i = 0 i = 1 , … , m 则是原问题的基本可行解；否则，原问题无可行解。
得到原问题的基本可行解后，第二阶段求解原问题。
1、 线 性 规 划 （续）例题
例：（LP） Max z = 5 x1 + 2 x2 + 3 x3 - x4
. x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15
2 x1 + x2 + 5 x3 = 20
x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
大M法问题（LP - M）
Max z = 5 x1 + 2 x2 + 3 x3 - x4 - M x5 - M x6
. x1 + 2 x2 + 3 x3 + x5 = 15
2 x1 + x2 + 5 x3 + x6 = 20
x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0
两阶段法 ：第一阶段问题（LP - 1）
Max z = - x5 - x6
. x1 + 2 x2 + 3 x3 + x5 = 15
2 x1 + x2 + 5 x3 + x6 = 20
x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0
1、 线 性 规 划 （续）大M法例
大M法 （LP - M）
得到最优解：(25/3，10/3，0，11)T 最优目标值：112/3
CB
XB
5
2
3
-1
-M
-M
θi
x1
x2
x3
x4
x5
x6
-M
x5
15
1
2
3
0
1
0
5
-M
x6
20
2
1
(5)
0
0
1
4
-1
x4
26
1
2
4
1
0
0
-z
35M+26
3M+6
3M+4
8M+7
0
0
0
-M
x5
3
-1/5
(7/5)
0
0
1
-3/5
15/7
3
x3
4
2/5
1/5
1
0
0
1/5
20
-1
x4
10
-3/5
6/5
0
1
0
-4/5
25/3
-z
3M-2
-M/5+16/5
7/5M+13/5
0
0
0
-8/5M-7/5
2
x2
15/7
-1/7
1
0
0
5/7
-3/7
3
x3
25/7
(3/7)
0
1
0
-1/7
2/7
25/3
-1
x4
52/7
-3/7
0
0
1
-6/7
-2/7
-z
-53/7
25/7
0
0
0
-M-13/7
-M-2/7
2
x2
10/3
0
1
1/3
0
2/3
-1/3
5
x1
25/3
1
0
7/3
0
-1/3
2/3
-1
x4
11
0
0
1
1
-1
0
-z
-112/3
0
0
-25/3
0
-M-2/3
-M+8/3
1、 线 性 规 划 （续）两阶段法例
第一阶段 （LP - 1）
得到原问题的基本可行解：(0，15/7，25/7，52/7)T
CB
XB
0
0
0
0
-1
-1
θi
x1
x2
x3
x4
x5
x6
-1
x5
15
1
2
3
0
1
0
5
-1
x6
20
2
1
(5)
0
0
1
4
0
x4
26
1
2
4
1
0
0
-z
35
3
3
8
0
0
0
-1
x5
3
-1/5
(7/5)
0
0
1
-3/5
15/7
0
x3
4
2/5
1/5
1
0
0
1/5
20
0
x4
10
-3/5
6/5
0
1
0
-4/5
25/3
-z
3
-1/5
7/5
0
0
0
-8/5
0
x2
15/7
-1/7
1
0
0
5/7
-3/7
0
x3
25/7
3/7
0
1
0
-1/7
2/7
25/3
0
x4
52/7
-3/7
0
0
1
-6/7
-2/7
-z
0
0
0
0
0
-1
-1
1、 线 性 规 划 （续）两阶段法例
第二阶段 把基本可行解填入表中
得到原问题的最优解：(25/3，10/3，0，11)T
最优目标值：112/3
CB
XB
5
2
3
-1
θi
x1
x2
x3
x4
2
x2
15/7
-1/7
1
0
0
3
x3
25/7
(3/7)
0
1
0
25/3
-1
x4
52/7
-3/7
0
0
1
-z
-53/7
25/7
0
0
0
2
x2
10/3
0
1
1/3
0
5
x1
25/3
1
0
7/3
0
-1
x4
11
0
0
1
1
-z
-112/3
0
0
-25/3
0
1、 线 性 规 划 （续）
矩阵描述—— 此段为选读，有困难者可不看。
段单纯形迭代过程中的几点注意事项是对有关内容的强调和补充，要认真学习、理解。
**习题：p70--71 习题1 1-5，1-6
1、 线 性 规 划 （续）
1. 4 线性规划应用—— 建模（p55--68）
本节介绍了些线性规划应用的例子，这些例子从多个方面介绍建模对未来是很有用的，应认真对待。
除了教材上的例子之外，还有许多其它应用：
* 合理利用线材问题：如何下料使用材最少
* 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润
* 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大
* 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大
* 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要
* 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
**下面是一些建模的例子，有兴趣者，可作为练习。这些例子有一定的难度，做起来会有一些困难。
**习题：p72--73 习题1 1-7，1-8，1-9，1-10
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例：人力资源分配的问题
例．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
班次
时间
所需人数
1
6：00 —— 10：00
60
2
10：00 —— 14：00
70
3
14：00 —— 18：00
60
4
18：00 —— 22：00
50
5
22： —— 2：00
20
6
2：00 —— 6：00
30
例：人力资源分配的问题（续）
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
约束条件：. x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70
x2 + x3 ≥ 60
x3 + x4 ≥ 50
x4 + x5 ≥ 20
x5 + x6 ≥ 30
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
例：生产计划的问题
例、 明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲
乙
丙
资源限制
铸造工时(小时/件)
5
10
7
8000
机加工工时(小时/件)
6
4
8
12000
装配工时(小时/件)
3
2
2
10000
自产铸件成本(元/件)
3
5
4
外协铸件成本(元/件)
5
6
--
机加工成本(元/件)
2
1
3
装配成本(元/件)
3
2
2
产品售价(元/件)
23
18
16
例：生产计划的问题（续）
解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数， x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。
求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和
可得到 xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。
这样我们建立如下的数学模型。
目标函数： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5
约束条件： . 5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000
6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000
3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
例：生产计划的问题（续）
例、 永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B 两道工序加工。假设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？
设备
产品单件工时
设备的
有效台时
满负荷时的设备费用
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
A1
5
10
6000
300
A2
7
9
12
10000
321
B1
6
8
4000
50
B2
4
11
7000
783
B3
7
4000
200
原料（元/件）
售价（元/件）
例：生产计划的问题（续）
解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。
利润 = [（销售单价 - 原料单价）* 产品件数]之和 - （每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。
这样我们建立如下的数学模型:
Max ++++
. 5x111 + 10x211 ≤ 6000 （ 设备 A1 ）
7x112 + 9x212 + 12x312 ≤ 10000 （ 设备 A2 ）
6x121 + 8x221 ≤ 4000 （ 设备 B1 ）
4x122 + 11x322 ≤ 7000 （ 设备 B2 ）
7x123 ≤ 4000 （ 设备 B3 ）
x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等）
x211+ x212- x221 = 0 （Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等）
x312 - x322 = 0 （Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等）
xijk ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3
例：套裁下料问题
例、某工厂要做100套钢架，每套用长为 m, m, m的圆钢各一根。已知原料每根长 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？
解： 设计下列 5 种下料方案
假设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。
目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5
约束条件： . x1 + 2x2 + x4 ≥ 100
2x3 + 2x4 + x5 ≥ 100
3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 ≥ 100
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
方案1
方案2
方案3
方案4
方案5
方案6
方案7
方案8
m
1
2
0
1
0
1
0
0
m
0
0
2
2
1
1
3
0
m
3
1
2
0
3
1
0
4
合计
剩余料头
0
例：配料问题
例6．某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？
产品名称
规格要求
单价（元/kg）
甲
原材料1不少于50%，原材料2不超过25%
50
乙
原材料1不少于25%，原材料2不超过50%
35
丙
不限
25
原材料名称
每天最多供应量
单价（元/kg）
1
100
65
2
100
25
3
60
35
例：配料问题（续）
解： 设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：
对于甲： x11，x12，x13；
对于乙： x21，x22，x23；
对于丙： x31，x32，x33；
对于原料1： x11，x21，x31；
对于原料2： x12，x22，x32；
对于原料3： x13，x23，x33；
目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出
约束条件： 规格要求 4 个；
供应量限制 3 个。
例：配料问题（续）
Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
. x12 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%）
+ ≤ 0 （原材料2不超过25%）
≥ 0 （原材料1不少于25%）
x21+ x22 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
x11+ x21 + x31 ≤ 100 (供应量限制）
x12+ x22 + x32 ≤ 100 (供应量限制）
x13+ x23 + x33 ≤ 60 (供应量限制）
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
例：投资问题
例8．某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项
目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第
一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额
不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规
定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本
利155%，但规定最大投资额不能超过100万元；
据测定每万元每次投资的风险指数如右表：
问：
a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？
b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？
解： 1）确定决策变量：连续投资问题
设 xij ( i = 1 - 5，j = 1、2、3、4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C x33
D x24
项目
风险指数（次/万元）
A
1
B
3
C
4
D
例：投资问题（续）
2）约束条件：
第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200；
第二年：B次当年末才可收回投资故第二年年初的资金为 x11，于是 x21 + x22+ x24 = ；
第三年：年初的资金为 x21+x12，于是 x31 + x32+ x33 = + ；
第四年：年初的资金为 x31+x22，于是 x41 + x42 = + ；
第五年：年初的资金为 x41+x32，于是 x51 = + ；
B、C、D的投资限制： xi2 ≤ 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 ≤ 80，x24 ≤ 100
3）目标函数及模型：
a) Max z = + + +
. x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = ；
x31 + x32+ x33 = + ；
x41 + x42 = + ；
x51 = + ；
xi2 ≤ 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 ≤ 80，x24 ≤ 100
xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）
b) Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+
. x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = ；
x31 + x32+ x33 = + ；
x41 + x42 = + ；
x51 = + ；
xi2 ≤ 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 ≤ 80，x24 ≤ 100
+ + + ≥ 330
xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）
2、线性规划问题的进一步研究（）
2. 1 对偶原理
1、对偶问题：考虑前文例 1
若设备和原料都用于外协加工，工厂收取加工费。试问：设备工时和原料A、B 各如何收费才最有竞争力？
设 y1 ，y2 ，y3 分别为每设备工时、
原料 A、B每单位的收取费用
Max z = 50 x1 + 100 x2 Min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
. x1 + x2 ≤ 300 . y1 + 2 y2 + ≥ 50
2 x1 + x2 ≤ 400 （不少于甲产品的利润）
x2 ≤ 250 y1 + y2 + y3 ≥ 100
x1 , x2 ≥ 0 y1, y2 , y3 ≥ 0
2、线性规划问题的进一步研究（）
2、对偶定义
对称形式： 互为对偶
(LP) Max z = cT x (DP) Min f = bT y
. Ax ≤ b . AT y ≥ c
x ≥ 0 y ≥ 0
“Max -- ≤ ” “Min-- ≥”
一般形式：
若一个问题的某约束为等式，那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制；反之， 若一个问题的某变量无非负限制，那么对应的对偶问题的相应约束为等式。
2、线性规划问题的进一步研究（）
3、对偶定理 （原问题与对偶问题解的关系）
考虑（LP）和（DP）
定理2-1 （弱对偶定理）若 x, y 分别为（LP）和（DP）的可行解，那么 cT x ≤ bT y 。
推论 若（LP）可行，那么（LP）无有限最优解的充分必要条件是（LD）无可行解。
定理2-2 （最优性准则定理）若 x, y 分别为（LP）和（DP）的可行解，且 cT x = bT y ，那么 x, y分别为（LP）和（DP）的最优解。
定理2-3 （主对偶定理）若（LP）和（DP）均可行，那么（LP）和（DP）均有最优解，且最优值相等。
以上定理、推论对任意形式的相应线性规划的对偶均有效
**习题：p 99 习题2 2-1
2、线性规划问题的进一步研究（）
4、影子价格 —— 是一个向量，它的分量表示最优目标值随相应资源数量变化的变化率。
若 x*, y* 分别为（LP）和（DP）的最优解，
那么， cT x* = bT y* 。
根据 f = bT y* = b1y1* + b2y2* + + bmym*
可知 f / bi = yi*
yi* 表示 bi 变化1个单位对目标 f 产生的影响，称 yi* 为 bi的影子价格。
注意：若 B 是最优基， y* = (BT)-1 cB 为影子价格向量。
2、线性规划问题的进一步研究（）
5、由最优单纯形表求对偶问题最优解
第1章例1。化标准形式： Max z = 50 x1 + 100 x2
. x1 + x2 + x3 = 300 ， 2 x1 + x2 + x4 = 400
x2 + x5 = 250 ， x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 I
O
B=(p1 , p4 , p2 )
(BT)-1 cB
B-1
最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50（松弛标量，表示原料A有50个单位的剩余）影子价格 y1 = 50 y2 = 0 y3 = 50 , B-1对应的检验数 (BT)-1 cB 。
CB
XB
50
100
0
0
0
θi
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3
300
1
1
1
0
0
300
0
x4
400
2
1
0
1
0
400
0
x5
250
0
(1)
0
0
1
250
-z
0
50
100*
0
0
0
0
x3
50
(1)
0
1
0
-1
50
0
x4
150
2
0
0
1
-1
75
100
x2
250
0
1
0
0
1
-z
-25000
50*
0
0
0
-100
50
x1
50
1
0
1
0
-1
0
x4
50
0
0
-2
1
1
100
x2
250
0
1
0
0
1
-z
-27500
0
0
-50
0
-50
2、线性规划问题的进一步研究（）
2. 2 对偶单纯形法
对偶单纯形法在什么情况下使用 ：
应用前提：有一个基，其对应的基本解满足
① 单纯形表的检验数行全部非正（对偶可行）；
② 变量取值可有负数（非可行解）。
**注：通过矩阵行变换运算，使所有相应变量取值均为非负数即得到最优单纯性表。
2、线性规划问题的进一步研究（）
对偶单纯形法求解线性规划问题过程：
1、建立初始对偶单纯形表，对应一个基本解，所有检验数均非正，转2；
2、若 b’≥ 0 ，则得到最优解，停止；否则，若有 bk < 0 则选 k 行的基变量为出基变量，转3；
3、若所有 akj’≥ 0 ( j = 1,2,…,n )，则原问题无可行解，停止；否则，若有 akj’ < 0 则选
= min {j’/ akj’ ┃ akj’ < 0 } = r’/ akr’那么 r 为进基变量，转4；
4、以 akr’为转轴元，作矩阵行变换使其变为 1，该列其他元变为 0，转2。
2、线性规划问题的进一步研究（）
例：求解线性规划问题：
Min f = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3
. x1 + 2x2 + x3 ≥ 3
2x1 - x2 + x3 ≥ 4
x1 , x2 , x3 ≥ 0
标准化：
Max Z = - 2x1 - 3x2 - 4x3
. - x1 - 2x2 - x3 + x4 = - 3
- 2x1 + x2 - 3x3 + x5 = - 4
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
2、线性规划问题的进一步研究（）
表格对偶单纯形法
**习题：p 100 习题2 2-2，2-3
CI
-2
-3
-4
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
0
X4
-3
-1
-2
-1
1
0
0
X5
-4
[-2]
1
-3
0
1
σj
-2
-3
-4
0
0
0
X4
-1
0
[-5/2]
1/2
1
-1/2
-2
X1
2
1
-1/2
3/2
0
-1/2
σj
0
-4
-1
0
-1
-3
X2
2/5
0
1
-1/5
-2/5
1/5
-2
X1
11/5
1
0
7/5
-1/5
-2/5
σj
0
0
-9/5
-8/5
-1/5
2、线性规划问题的进一步研究（）
灵敏度分析
进一步理解最优单纯形表中各元素的含义
考虑问题 Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
引入 m 个松弛变量后，通过计算得到最优单纯形表。应
-1 -1
能够找到最优基 B的逆矩阵 B ，以及 B N，检验数等。
2、线性规划问题的进一步研究（）
最优单纯形表
B-1
(BT)-1cB
I
O
CB
XB
c1
…
cn
0
…
0
θi
x1
…
xn
xn+1
…
xn+m
0
xn+1
b1
a11
…
a1n
1
…
0
θ1
0
xn+2
b2
a21
…
a2n
0
…
0
θ2
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
0
xn+m
bm
am1
…
amn
0
…
1
θm
-z
f
c1
…
cn
0
…
0
CB
XB
c1
…
cn
cn+1
…
cn+m
θi
x1
…
xn
xn+1
…
xn+m
ci1
xi1
b1
a11
…
a1n
a1n+1
…
a1n+m
θ1
ci2
xi2
b2
a21
…
a2n
a2n+1
…
a2n+m
θ2
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
Cim
xim
bm
am1
…
amn
amn+1
…
amn+m
θm
-z
f
σ1
…
σn
σn+1
…
σn+m
2、线性规划问题的进一步研究（）
价值系数C发生变化：
m
考虑检验数 j = cj -∑ cri arij j = 1,2,……,n
i = 1
1、若 ck 是非基变量的系数：
设 ck 变化为 ck + ck k’= ck + ck -∑ cri arik = k+ ck
只要 k’≤ 0 ，即 ck ≤ - k ，则最优解不变；否则，将最优单纯形表中的检验数 k 用 k’取代，继续单纯形法的表格计算。
例: Max Z = - 2x1 - 3x2 - 4x3
. - x1 - 2x2 - x3 + x4 = - 3
- 2x1 + x2 - 3x3 + x5 = - 4
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
2、线性规划问题的进一步研究（）
例：最优单纯形表
从表中看到 σ3 = C3 +ΔC3 - （C2 * a13 + C1* a23 ）
可得到 ΔC3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
CI
-2
-3
-4
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
-3
X2
2/5
0
1
-1/5
-2/5
1/5
-2
X1
11/5
1
0
7/5
-1/5
-2/5
σj
0
0
-9/5
-8/5
-1/5
CI
-2
-3
-4+Δc3
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
-3
X2
2/5
0
1
-1/5
-2/5
1/5
-2
X1
11/5
1
0
7/5
-1/5
-2/5
σj
0
0
-9/5+Δc3
-8/5
-1/5
2、线性规划问题的进一步研究（）
2、若 cs 是基变量的系数： 设 cs 变化为 cs + cs ，那么
j’= cj -∑ cri arij - ( cs + cs ) asj = j - cs asj ，对所有非基变量
i ≠ s
只要对所有非基变量 j’≤ 0 ，即 j ≤ cs asj ，则最优解不变；否则，将最优单纯形表中的检验数 j 用 j’取代，继续单纯形法的表格计算。
Max{j / asj asj > 0 } ≤ cs ≤ Min{j / asj asj < 0 }
例: Max Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5
. x1 + 2x2+ x3 = 8
4x1 + x4 =16
4x2 +x5 = 12
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
2、线性规划问题的进一步研究（）
例、下表为最优单纯形表，考虑基变量系数 c2 发生变化
从表中看到 σj = Cj - （C1 * a1j + C5 * a5j + （C2 +ΔC2 ）* a2j ） j = 3、4
可得到 -3 ≤ ΔC2 ≤ 1 时，原最优解不变。
C i
2
3
0
0
0
CB
XB
B
X1
X2
X3
X4
X5
2
X1
4
1
0
0
1/4
0
0
X5
4
0
0
-2
1/2
1
3
X2
2
0
1
1/2
-1/8
0
σj
0
0
-1/8
0
Ci
2
3+ΔC2
0
0
0
CB
XB
B
X1
X2
X3
X4
X5
2
X1
4
1
0
0
1/4
0
0
X5
4
0
0
-2
1/2
1
3+ΔC2
X2
2
0
1
1/2
-1/8
0
σj
0
0
-ΔC2/2
-1/8+ΔC2/8
0
2、线性规划问题的进一步研究（）
右端项 b 发生变化
设分量 br 变化为 br + br ，根据第1章的讨论，最优解的基变量 xB = B-1b，那么只要保持 B-1(b + b) ≥ 0 ，则最优基不变，即基变量保持，只有值的变化；否则，需要利用对偶单纯形法继续计算。
对于问题 (LP) Max z = cT x
. Ax ≤ b
x ≥ 0
最优单纯形表中含有
B-1 = （ aij ）i = 1, … , m ; j = n+1, … , n+m
那么，新的 xi = (B-1b)i + br air i = 1, … , m。由此可得，最优基不变的条件是
Max{-bi / air air > 0 } ≤ br ≤ Min{-bi / air air < 0 }
2、线性规划问题的进一步研究（）
例、上例最优单纯形表如下
0 0
这里 B-1 = -2 1 各列分别对应 b1、b2、b3 的单一
0
变化。因此，设 b1 增加 4，则 x1 , x5 , x2 分别变为：
4 + 0*4 = 4，4 + (-2)*4 = - 4 < 0，2 + *4 = 4
用对偶单纯形法进一步求解，可得：
x* = ( 4, 3, 2, 0, 0 )T f* = 17
C i
2
3
0
0
0
CB
XB
B
X1
X2
X3
X4
X5
2
X1
4
1
0
0
1/4
0
0
X5
4
0
0
-2
1/2
1
3
X2
2
0
1
1/2
-1/8
0
σj
0
0
-1/8
0
2、线性规划问题的进一步研究（）
增加一个变量
增加变量 xn+1 则有相应的 pn+1 ， cn+1 。那么，计算出
B-1pn+1 n+1 = cn+1 -∑ cri ari n+1
填入最优单纯形表，若 n+1 ≤ 0 则最优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。
例、前例增加 x6，p6 = ( 2, 6, 3 )T ，c6 = 5 。计算得到
用单纯形法进一步求解，可得：x* = ( 1,,0,0,0,2 )T f* =
Ci
2
3
0
0
0
5
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X1
4
1
0
0
1/4
0
0
X5
4
0
0
-2
1/2
1
[2]
3
X2
2
0
1
1/2
-1/8
0
σj
0
0
-1/8
0
2、线性规划问题的进一步研究（）
增加一个约束
增加约束一个之后，应把最优解带入新的约束，若满足则最优解不变，否则填入最优单纯形表作为新的一行，引入1个新的非负变量（原约束若是小于等于形式可引入非负松弛变量，否则引入非负人工变量），并通过矩阵行变换把对应基变量的元素变为0，进一步用单纯形法或对偶单纯形法求解。
例、前例增加3x1+ 2x2≤15，原最优解不满足这个约束。于是
Ci
2
3
0
0
0
5
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X1
4
1
0
0
1/4
0
0
0
X5
4
0
0
-2
1/2
1
0
3
X2
2
0
1
1/2
-1/8
0
0
0
X6
-1
0
0
-1
-1/2
0
1
σj
0
0
-1/8
0
0
2、线性规划问题的进一步研究（）
A中元素发生变化 （只讨论 N 中某一列变化情况）
与增加变量 xn+1 的情况类似，假设 pj 变化 。那么，重新计算出 B-1pj j = cj -∑ cri ari j
填入最优单纯形表，若 j ≤ 0 则最优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。
可得最优解：x* = ( ,,0,0, )T f* =
改变生产工艺： P1 = ( 2，5，2 )T，C1 = 4，
Ci
4
3
0
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
θ
2
X1
4
0
0
1/4
0
0
X5
4
0
-2
1/2
1
3
X2
2
1
1/2
-1/8
0
σj
0
-1/8
0
用初等行变换把 X1 对应的列向量变换为( 1，0，0 )T，……
2、线性规划问题的进一步研究（）
2. 3 灵敏度分析 (内容，为重点)
Ci 发生变化
Bj发生变化
增加一个变量
增加一个约束
A中元素发生变化
**习题：p 100 习题2 2-4
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3、运 输 问 题（）
3. 1 运输问题模型与性质
运输模型
例、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
销量
150
150
200
3、运 输 问 题（）
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量
设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23
. x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）
B1
B2
B3
产量
A1
x11
x12
x13
200
A2
x21
x22
x23
300
销量
150
150
200
3、运 输 问 题（）
系数矩阵
1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
特点：
1、共有m+n行，分别表示产地和销地；mn列分别表示各变量；
2、每列只有两个 1，其余为 0，分别表示只有一个产地和一个销地被使用；
3、运 输 问 题（续）
设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：
m n
Min f = cij xij
i=1 j=i
n
. xij = si i = 1,2,…,m
j=1
m
xij = dj j = 1,2,…,n
i=1
xij ≥ 0 (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
一般运输模型：产销平衡
A1、 A2、…、 Am 表示某物资的m个产地； B1、B2、…、Bn 表示某物质的n个销地；si 表示产地Ai的产量； dj 表示销地Bj 的销量； cij 表示把物资为从产地Ai运往销地Bj的单位运价。
3、运 输 问 题（续）
变化：
1）有时目标函数求最大，如求利润最大或营业额最大等；
2）当某些运输线路上的能力有限制时，模型中可直接加入（等式或不等式）约束；
3）产销不平衡时，可加入虚设的产地（产大于销时）或销地（销大于产时）。
3、运 输 问 题（续）
求解思路 是
基本可行解 最优否 结束
否
换基
运输问题基变量的特点
* 运输问题的基变量共有 m + n -1 个，A的秩为 m + n -1。
* 运输问题的 m + n -1 个变量构成基变量的充分必要条件是不含闭回路。
要弄清下列概念 ：闭回路、闭回路的顶点。
3、运 输 问 题（）
3. 2 运输问题的表上作业法 —— 本章重点
1、初始基本可行解的确定：
（1）西北角法：从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。然后按行（列）标下一格的数。若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此进行下去，直至得到一个基本可行解。
（2）最小元素法：从运价最小的格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。然后按运价从小到大顺序填数。若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此进行下去，直至得到一个基本可行解。
注：应用西北角法和最小元素法，每次填完数，都只划去一行或一列，只有最后一个元例外（同时划去一行和一列）。当填上一个数后行、列同时饱和时，也应任意划去一行（列）在保留的列（行）任意没被划去的格内标一个0。
3、运 输 问 题（）
*
例：某食品公司下属的A1、A2、A3 ，3个厂生产方便食品，要运输到B1、B2、B3、B4 ，4个销售点，数据如下：
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量bj
3
6
5
6
20（产销平衡）
求最优运输方案。
1、确定初始基本可行解： （1）西北角法
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
3
11
4
3
10
7
A2
1
9
2
2
2
8
4
A3
7
4
10
3
5
6
9
销量bj
3
6
5
6
20
3、运 输 问 题（）
*
（2）最小元素法
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3
4
10
3
7
A2
1
3
9
2
1
8
4
A3
7
4
6
10
5
3
9
销量bj
3
6
5
6
20
注：除最后一个元素（相当于同时删去一行一列）外，每填一个数都只删去一行或一列。若当前的行、列同时满足，可在当前的行（或列）的一个格子标0，同时删去当前的列（或行）。
3、运 输 问 题（）
2、最优性检验：
因为求最小，当所有检验数均大于等于0时为最优解
（1）位势法求检验数：
位势：设对应基变量 xij 的 m + n - 1 个 ij ，存在 ui , vj 满足 ui + vj = cij ，i = 1, … , m ; j = 1, … , n . 称这些 ui , vj 为该基本可行解对应的位势。
由于有 m + n 个变量（ ui , vj ），m + n - 1 个方程（基变量个数），故有一个自由变量，位势不唯一。
利用位势求检验数：
ij = cij - ui - vj i = 1, … , m ; j = 1, … , n
3、运 输 问 题（）
前例，位势法求检验数：
step 1 从任意基变量对应的 cij 开始，任取 ui 或 vj ，然后利用公式 cij = ui + vj 依次找出 m + n 个 ui , vj ；从 c14 = 10 开始
step 2 计算非基变量的检验数 ij = cij - ui - vj ；填入圆圈内
vj
-3
4
-2
5
ui
B1
B2
B3
B4
产量ai
5
A1
3
1
11
2
3
4
10
3
7
4
A2
1
3
9
1
2
*1
8
-1
4
0
A3
7
10
4
6
10
12
5
3
9
销量bj
3
6
5
6
20
3、运 输 问 题（）
3、主元变换：
（1）选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 为主元，作为进基变量；（上页图中 x24 ）
（2）以为 xrk 起点找一条闭回路，除 xrk 外其余顶点必须为基变量格；（上页图中 蓝色回路）
（3）为闭回路的每一个顶点标号， xrk 为 1，沿一个方向依次给各顶点标号；
（4）求=min{xijxij对应闭回路上的偶数标号格}= xpq那么确定xpq为出基变量，为调整量；
（5）对闭回路的各奇标号顶点 xij + ，对各偶标号顶点 xij - ，特别 xpq - = 0，变为非基变量；
重复2、3步，直到所有检验数均非负，得到最优解。
3、运 输 问 题（）
主元变换： 由前面得到 = 1，于是
ij ≥ 0，得到最优解 x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3,
x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3, 其余 xij = 0 ;
最优费用：f* = 3*5+10*2+1*3+8*1+4*6+5*3 = 85
**习题：p 123 习题3 3-1, 3-2
vj
-2
4
-2
5
ui
B1
B2
B3
B4
产量ai
5
A1
3
0
11
2
3
（4+1） 5
10
（3-1） 2
7
3
A2
1
3
9
2
2
(1-1) 1
8
（0+1） 1
4
0
A3
7
9
4
6
10
12
5
3
9
销量bj
3
6
5
6
20
3、运 输 问 题（）
3. 3 产销不平衡的运输问题
1、产量大于销量 例、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
300
A2
6
5
5
300
销量
150
150
200
B1
B2
B3
B4
产量
A1
6
4
6
0
300
A2
6
5
5
0
300
销量
150
150
200
100
3、运 输 问 题（）
2、销量大于产量
例、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
解：增加一个虚设的产地运输费用为0
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
销量
250
200
200
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
A3
0
0
0
150
销量
250
200
200
3、运 输 问 题（例题）
下面给出一些例题，可作为建模的练习：
例、石家庄北方研究院有一、二、三，三个区。每年分别需要用煤3000、1000、2000吨，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供应能力分别为1500、4000吨，运价如下表。由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0--200吨，二区必须满足需求量，三区供应量不少于1700吨，试求总费用为最低的调运方案。
一区
二区
三区
产量
山西盂县
4000
河北临城
1500
需要量
3000
1000
2000
3、运 输 问 题（例题）
解：
根据题意，作出产销平衡与运价表：
取 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31、 x33、 x34取值为0。
一区
一区
二区
三区
三区
产量
山西盂县
4000
河北临城
1500
假想生产点
M
0
M
M
0
500
需要量
2800
200
1000
1700
300
3、运 输 问 题（例题）
例、设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表。试求总费用为最低的化肥调拨方案。
1
2
3
4
产量
A
16
13
22
17
50
B
14
13
19
15
60
C
19
20
23
---
50
最低需要量
30
70
0
10
最高需要量
50
70
30
不限
3、运 输 问 题（例题）
解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
最低要求必须满足，因此把相应的虚设产地运费取为 M ，而最高要求与最低要求的差允许按需要安排，因此把相应的虚设产地运费取为 0 。对应 4”的销量 50 是考虑问题本身适当取的数据，根据产销平衡要求确定 D的产量为 50。
1’
1”
2
3
4’
4”
产量
A
16
16
13
22
17
17
50
B
14
14
13
19
15
15
60
C
19
19
20
23
M
M
50
D
M
0
M
0
M
0
50
销量
30
20
70
30
10
50
3、运 输 问 题（例题）
例、某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。
生产能力（台）
单位成本（万元）
一季度
25
二季度
35
三季度
30
四季度
10
3、运 输 问 题（例题）
解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那末应满足：
交货：x11 = 10 生产：x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25
x12 + x22 = 15 x22 + x23 + x24 ≤ 35
x13 + x23 + x33 = 25 x33 + x34 ≤ 30
x14 + x24 + x34 + x44 = 20 x44 ≤ 10
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作运费。可构造下列产销平衡问题：
目标函数：Min f = x11 + x12 + x13 + x14 + x22 + x23 + x24 + x33 + x34 + x44
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
D
产量
第一季度
0
25
第二季度
M
0
35
第三季度
M
M
0
30
第四季度
M
M
M
0
10
销量
10
15
25
20
30
3、运 输 问 题（例题）
例、光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表
已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运到分厂库房，每台增加运输成本万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为万元。在7--8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。加班生产机器每台增加成本1万元。问应如何安排1--6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、维护）最少？
正常生产能力（台）
加班生产能力（台）
销量（台）
单台费用（万元）
1月份
60
10
104
15
2月份
50
10
75
14
3月份
90
20
115
4月份
100
40
160
13
5月份
100
40
103
13
6月份
80
40
70
3、运 输 问 题（例题）
解： 这个生产存储问题可化为运输问题来做。考虑：各月生产与交货分别视为产地和销地
1）1--6月份合计生产能力（包括上年末储存量）为743台，销量为707台。设一假想销地销量为36；
2）上年末库存103台，只有仓储费和运输费，把它列为的0行；
3）6月份的需求除70台销量外，还要80台库存，其需求应为70+80=150台；
4）1--6表示1--6月份正常生产情况， 1’--6’表示1--6月份加班生产情况。
续下页 产销平衡与运价表：
3、运 输 问 题（例题）
**习题：p 124 习题3 3-3，3-4
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1月
2月
3月
4月
5月
6月
虚销地
正常产量
加班产量
0
0
103
1
15
0
60
1’
16
0
10
2
M
14
0
50
2’
M
15
0
10
3
M
M
0
90
3’
M
M
0
20
4
M
M
M
0
100
4’
M
M
M
0
40
5
M
M
M
M
0
100
5’
M
M
M
M
0
40
6
M
M
M
M
M
0
80
6’
M
M
M
M
M
0
40
销量
104
75
115
160
103
150
36
4、动 态 规 划()
4. 1 动态规划概念与模型
多阶段决策过程特点
要点：阶段，状态，决策，状态转移方程，k-后部子过程
4、动 态 规 划()
动态规划模型
n
opt R( u1, … , un ) = rk ( xk , uk )
k=1
. xk+1 = Tk ( xk , uk )
xk Xk ；uk Uk k = 1,…,n
：表示对n阶段效应进行综合（常用 或 ）；
opt ：最优化（ Max 或 Min）
R( u1, … , un )：目标函数（最优值函数）
xk+1 = Tk ( xk , uk ) ：状态转移方程
Xk ：状态可能集合
Uk：决策允许集合
4、动 态 规 划()
建模过程
① 确定阶段与阶段变量；
② 明确状态变量与状态可能集合；
③ 明确决策变量与决策允许集合；
④ 明确状态转移方程；
⑤ 确定阶段效应和目标。
4、动 态 规 划()
4. 2 动态规划求解
求解动态规划模型：
从起始状态 x1 开始，找最优策略、最优路线和最优目标值。
最优性原理
最优策略具有的基本性质是：无论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所确定的某一状态而言，余下的决策序列必构成最优策略。
最优策略的任何一子策略也是相应初始状态的最优策略；每个最优策略只能由最优子策略构成。
4、动 态 规 划()
贝尔曼函数：（ k - 子过程的最优目标函数 )
n
fk(xk) = opt ri ( xi , ui ) k=1,…,n
i=k
动态规划求解问题的一般过程：
① 逆序地求出条件最优目标函数值集合和条件最优决策集合：
fn+1(xn+1) = 0 (边界条件)
fk(xk) = opt {rk ( xk , uk ) + fk+1(xk+1) }
u
k = n,…,1
4、动 态 规 划()
② 顺序地求最优决策序列：
初始状态唯一：R* = f1(x1)，u1* (x1)=u1’(x1)
若不唯一：R* = opt{f1(x1) x1X1} = f1(x1*)，
u1* (x1*)=u1’(x1*)
xk+1 = Tk ( xk , uk )
uk+1* (xk+1*) = uk+1’(xk+1*) k=1,…,n
最优策略：{u1* (x1*), u2*(x2*),…, un* (xn*)}
最优路线：{x1* , x2*, … , xn*, xn+1*)
4、动 态 规 划()
1、动态规划的四大要素、一个方程 —— 重点
① 状态变量及其可能集合 xk Xk
② 决策变量及其允许集合 uk Uk
③ 状态转移方程 xk+1 = Tk ( xk , uk )
④ 阶段效应 rk ( xk , uk )
⑤ 动态规划基本方程
fn+1(xn+1) = 0 (边界条件)
fk(xk) = opt {rk ( xk , uk ) + fk+1(xk+1) }
u
k = n,…,1
4、动 态 规 划()
4. 3 动态规划应用举例
例：一个线路网络图，从A到E要修建一条石油管道，必须 在B、C、D处设立加压站。各边上的数为长度，现需要找一条路使总长度最短。
4、动 态 规 划(续)
解： 可分成4个阶段：A到B、B到C、C到D、D到E ；
每个阶段 k 的起点称为状态 S k ；
从 k 阶段的起点出发可以做一选择，即决定到下一阶段的哪个节点，称为决策 X k ；
可见， S k+1 是由 S k 和 X k 所决定的。
那麽，从A出发经过4个阶段：A到B、B到C、C到D、D到E，逐次作出决策，构成从A到E 的一条路线，记为 u 。即，
u = S1 X1 S2 X2 S3 X3 S4 X4 S5 其中 S1 = A ，S5 = E
记 d 为两个相邻节点之间的长度，如 d（A，B 3）= 3 。
① 记 f k（S k）为从 S k 到E 的最短长度，称为从 S k 到E的距离。
那么， f 1（A）是从A到E 的最短距离，即最优策略的值。
4、动 态 规 划(续)
② 最短路问题的特点：如果从 A 到E 的最优策略经过某节点，那么这个策略的从该节点到E的一段，必定是该节点到E的所有线路中 S k 最短的一条，即这一段的长度为 f k（S k）。
（1）逆序法：从E到A
（2）顺序法：对节点 S k ，从 A到 S k 所有线路中，最短的一条的长度记为 φ k（S k），例如φ 1（A）= 0 ，称为问题的边界条件。
动态规划文本
4、动 态 规 划(续)
学习方法建议：
第一步 先看问题，充分理解问题的条件、情况及求解目标；
第二步 结合前面讲到的理论和解题过程，考虑如何着手进行求解该问题的工作。分析针对该动态规划问题的“四大要素、一个方程”——这一步在开始时，会感到困难，但是一定要下决心去思考，在思考过程中深入理解前文讲到的概念和理论；
4、动 态 规 划(续)
第三步 动手把求解思路整理出来，或者说，把该问题作为习题独立的来做；
第四步 把自己的求解放到一边，看书中的求解方法，要充分理解教材中的论述；
第五步 对照自己的求解，分析成败。
**习题： p175--177 4 -1，4 -2，4 -3，4 -6；
**练习：4 -4，4 -5，4 -7
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5、图 与 网 络 分 析（）
5. 1 图的基本概念—— 本节主要是概念
图 G（V，E）：
V是顶点集合（vi , i=1…6）
E是边的集合（ej , j=1…9）
顶点数 p (G) = 6
边数 q (G) = 9
对于边 e3 =[ v1, v4 ]，v1, v4是
e3的端点e3 是v1, v4的关联边
图的其他概念 ：
相邻点，相邻边，
环，多重边（平行边），
多重图，简单图
5、图 与 网 络 分 析（续）
端点的次d(v)：点 v 作为边端点的次数；
奇点：d(v)=奇数； 偶点：d(v)=偶数；
悬挂点：d(v)=1；悬挂边：与悬挂点连接的边，
孤立点：d(v)=0；空图：E = ，无边图。
定理一：所有顶点次数之和等于所有边数的2倍。
定理二：在任一图中，奇点的个数必为偶数。
5、图 与 网 络 分 析（续）
图的连通性：
链：由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列；如：
v0 , e1 , v1 , e2 , v2 , e3 , v3 , … , vn-1 , en , vn ；
v0 , vn分别为链的起点和终点
简单链：链中所含的边均不相同；
初等链：链中所含的点均不相同，也称通路；
回路：若 v0 ≠ vn 分称该链为开链，否则称为闭链或回路；
圈：出起点和终点外链中所含的点均不相同的闭链；
连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称作不连通图。
5、图 与 网 络 分 析（续）
子图 设 G1 = [ V1 , E1 ] , G2 = [ V2 , E2 ]
子图定义：如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的子图；
真子图：如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的真子图；
部分图：如果 V2 = V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的部分图；
导出子图：如果 V2 V1 , E2 = {[ vi , vj ] ∣ vi , vj V2 }，称 G2 是 G1 中由V2 导出的导出子图。
5、图 与 网 络 分 析（续）
有向图：关联边有方向
弧：有向图的边 a = ( u , v )，起点 u，终点 v；
路：若有从 u 到 v 不考虑方向的链，且各方向一致，则称之为从 u 到 v 的路；
初等路：各顶点都不相同的路；
初等回路：u = v 的初等路
连通图：若不考虑方向
是无向连通图
强连通图：任两点有路
5、图 与 网 络 分 析（续）
树：无圈连通图；无圈图又称为树林，子连通图是树
定理：六种等价描述。 设：边数 q , 顶点数 p .
1、无圈连通图；
2、边数q = 顶点数p - 1；
3、连通，且 q = p - 1；
4、无圈，但加一边则得到唯一的圈；
5、连通，但若去一边则图不连通；
6、每对顶点之间有且仅有一条链。
部分树：若一个图 G 的部分图 T 是树，则称 T 为部分树，又称生成树
余树：G 中去掉 T 所有的边后得到的部分树称为 G 中 T 的余树，余树不一定是树。
5、图 与 网 络 分 析（）
5. 2 网络最短路问题
网络：规定起点、中间点和终点的赋权图；
有向网络：网络中每个边都是有向边；
无向网络：网络中每个边都是无向边；
混合网络：网络中既有有向边，又有无向边；
网络最短路线问题：寻找网络中从起点 v1 到终点 vn 的最短路线。
Min L() = lij 为从 v1 到 vn 的通路；
lij
其中， lij为从 vi 到 vj 的一步距离。
5、图 与 网 络 分 析（续）
结合例题学习、掌握求最短路的狄克斯拉、海斯和福德三个方法：
1、狄克斯拉方法：适用于满足所有权系数大于等于0（lij≥0）的网络最短路问题，能求出起点 v1 到所有其它点 vj 的最短距离；
2、海斯方法：基本思想是在最短路线上任意两点间路线也是最短路线。利用 vi 到 vj 的一步距离求出 vi 到 vj 的两步距离再求出 vi 到 vj 的四步距离……经有限次迭代可求出 vi 到 vj 的最短距离；
3、福德方法：适用于有负权系数，但无负回路的有向或无向网络的最短路问题，能求出起点 v1 到所有其它点 vj 的最短距离。
**习题： p218--219 习题5 5-2
5、图 与 网 络 分 析（）
5. 3 最短树问题（最小树问题）（ p198--201 ）
依据树的特点（即无圈和连通），按照最短的要求构造求最短树的方法。
结合例题学习、掌握求最小树的破圈法和生长法两个方法：
1、破圈法
① 在网络图中寻找一个圈。若不存在圈，则已经得到最短树或网络不存在最短树；
② 去掉该圈中权数最大的边；
反复重复 ① ② 两步，直到求出最短树。
2、生长法
从网络图中任意节点开始寻找与该节点关联的权数最小的边，得到另一节点后，再从这个新节点开始寻找与该节点关联的权数最小的另一边……。注意寻找过程中，节点不得重复，即在找最小权数边时不考虑已选过的边。反复进行，直到得到最短树或证明网络不存在最短树。
**习题： p218--219 习题5 5-1， 5-3
5、图 与 网 络 分 析（）
5. 4 最大流问题（ p201--212 ）
网络最大流问题
* 在一定条件下，要求流过网络的物流、能量流或信息流等流量为最大的问题。
* 规定： 一个起点和一个终点；有向网络；各弧上有权表示允许的最大流量；除起点和重点外，各节点流入量总和等于流出量总和。
最大流最小割定理（在理解割集和最小割集概念的基础上掌握此定理）
最大流最小割定理：流过网络的最大流量等于最小割集的容量。
结合例题学习、掌握求最大流的福德 — 富克逊方法
在理解算法原理的基础上，掌握算法思想及过程。通过例题掌握此方法。
**习题： p219 习题5 5-4
5、图 与 网 络 分 析（）
5. 5 最小费用—— 最大流问题（ p212--218 ）
最小费用—— 最大流问题
本节讨论的问题是在节问题的基础上增加关于使费用最小的目标。
对偶法原理
先用节讨论的方法求出网络的最大流量，然后在原始的网络中用的福德算法找出从起点 vs 到终点 vt 的最短路线——最短增广链，在该增广链上找出最大调整量，并调整流量得到一个可行流，则此可行流的费用最小。如果此时流量等于最大流量，那么它就是最小费用最大流；否则应继续调整。
结合例题学习、掌握求最小费用—— 最大流问题对偶法。
**习题： p 220 习题5 5-5
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6、排 队 论（）
6. 1 概述
排队系统的特征： 排队系统又称随机服务系统
①有请求服务的人或物；②有为顾客服务的人或物；③顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构：
排队的过程可表示为： 排队系统
顾客到达 排队 服务机构服务 顾客离去
6、排 队 论（续）
排队系统有三个组成部分
输入过程：
顾客总体数（来源无限或有限）
顾客到来方式（单个或成批）
顾客流的概率分布（泊松流、定长、爱尔朗分布等）
服务规则：
损失制（服务台满时顾客立即离去）
等待制（先到先服务，后到先服务，随机服务，优先权）
混合制（队长有限制，排队时间有限制）
服务机构：
服务台数量及布置形式（单/多服务台，串、并列或结合）
某一时刻接受服务的顾客数（每服务台每次服务顾客数）
服务时间分布（负指数、定长、爱尔朗分布等）
6、排 队 论（续）
排队论研究的内容和目的 —— 提出排队论关心的问题和需要计算的一些量
研究内容：
数量指标：队长、等待时间和逗留时间的分布、忙期和闲期的分布、服务设备利用率、顾客损失率等；
排队系统优化问题：系统最优设计问题和动态控制问题。
研究目的：通过对排队系统中概率规律的研究，使系统达到最优设计和最优控制，以最小费用实现系统的最大效益。
6、排 队 论 （续）
排队模型的分类及排队系统的常用符号
肯道尔（）分类：A / B / C / D / E
其中： A 顾客到达的分布；
B 服务时间的分布；
C 服务台数；
D 系统容量；
E 顾客源的个体数。
表示分布的符号：M----指数分布或泊松输入；D----定长分布；Ek----k阶爱尔朗分布；GI----一般独立随机分布；G----一般随机分布。
6、排 队 论 （续）
系统的运行指标 —— 提出一般常需要计算的一些量
最常用的量： 单位时间顾客平均到达数
单位时间平均服务顾客数
（1）、系统中无顾客的概率 P0
（2）、系统中平均排队的顾客数 Lq
（3）、系统中的平均顾客数 Ls
（4）、系统中顾客平均的排队等待时间 Wq
（5）、系统中顾客的平均逗留时间 Ws
（6）、系统中恰好有 n 个顾客的概率 Pn
（7）、有效到达率 e
（8）、有效离去率 e
此外还有：忙、空的概率等 6 个量
6、排 队 论（）
泊松输入 — 负指数服务的排队系统
对于泊松输入 - 负指数分布服务的排队系统的一般决策过程：
① 根据已知条件绘制状态转移速度图
② 依据状态转移速度图写出各稳态概率之间的关系
③ 求出 P0 及 Pn
④ 计算各项数量运行指标
⑤ 用系统运行指标构造目标函数，对系统进行优化
6、排 队 论（）
典型分布 —— 泊松分布及其性质，负指数分布
泊松分布 (平稳状态） > 0 为单位时间平均到达的顾客数：
P { I = n } = n e- / n! (n = 0,1,2,……)
负指数分布 为平均服务率，即单位时间服务的顾客数
P（服务时间≤ t ) = 1- e- t t ≥0
系统状态概率分布及状态转移速度图 —— 基本的概率分布推导
6、排 队 论（续）
系统的运行指标：
（1）、系统中顾客数的期望值 Ls
（2）、系统中排队等待顾客数的期望值 Lq
（3）、系统中顾客平均的排队等待时间 Wq
（4）、系统中顾客的平均逗留时间 Ws
（5）、有效到达率 e
6、排 队 论（续）
（6）、系统中 Ls，Lq，Wq，Ws，e 之间的关系
Ls = n pn， Lq = ( n - c ) pn，
Ws = Ls / e， Wq = Lq / e，
Ws = Wq + 1 / ，
e = n pn = n pn ，
Ls = Lq + e / 。
6、排 队 论 （）
*在、节的基础上，结合例题学习、掌握下列各系统有关问题的计算
6．3 M/M/1无限源系统（ p239--246 ）
M/M/1/N系统，M/M/1等待制系统，M/M/l损失制系统，无限源模型特点
6．4 M/M/C无限源系统（ p246--253 ）
M/M/C/N系统，M/M/C等待制系统，M/M/C损失制系统
6．5 客源有限的排队系统（ p253--258 ）
M/M/1/m/m系统，M/M/C/m/m系统
6．6 排队系统应用举例（ p258--264 ）
本段的各例题要在充分理解的基础上学习，然后独立去完成课后练习作业。
6．7 本章小结（ p264 ）
学习本节内容，要认真体会第6章的重点和难点。
小结也需要学习，自己应仿照此在总复习中作各章的小结。
**习题： p 265--266 习题6 6-1，6-2，6-3，6-4，6-5，6-6，6-7，6-8
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教 学 日 历
周次 学习内容 课内学时 自学学时 作业（教材）
1 绪论 2
1 线性规划
1 1．1 线性规划的概念 2 4 习题1 1-1,1-2
1．1．1线性规划问题的导出
1．1．2线性胡划问题的概念和模型
1．1．3线性规划问题的标准型
1．1．4线性规划问题的标准化
2 1．2线性规划问题解的概念及性质 4 8 习题1 1-3,1-4
1．2．1解的概念
1．2．2图解法(解的几何表示)
1．2．3基本可行解的几何意义
1．2．4线性规划求解思路(单纯形法思想)
1．2．5线性规划解的性质的证明
3 1．3单纯形法 6 12 习题1 1-5,1-6
1．3．1单纯形法引例
1．3．2单纯形法的一般描述
教 学 日 历（续）
周次 学习内容 课内学时 自学学时 作业（教材）
1．3．3表格单纯形法
1．3．4一般线性规划问题的处理
1．3．5单纯形法的矩阵描述
1．3．6单纯形迭代过程中的几点注意事项
4 1．4线性规划应用 6 12 习题1 1-7,1-8
1．4．1线性规划建模 1-9
1．4．2生产计划问题
1．4．3合理下料问题
1．4．4合理配料问题
1．4．5运输问题
1．4．6最大流量问题
2 线性规划问题的进一步研究
5 2．1对偶原理 2 4 习题2 2-1
2．1．1对偶线性规划问题的导出
2．1．2对偶问题的定义
2．1．3对偶定理
教 学 日 历（续）
周次 学习内容 课内学时 自学学时 作业（教材）
2．1．4对偶最优解的经济含义——影子价格
2．1．5由最优单纯形表求对偶问题最优解
5 2．2对偶单纯形法 2 4 习题2 2-2,2-3
6 2．3灵敏度分析 4 8 习题2 2-4
2．3．1价值系数C发生改变
2．3．2右端常数b发生改变
2．3．3增加一个变量
2．3．4增加一个约束
2．3．5 A中的元素发生改变
3 运输问题
7 3．1运输问题模型与性质 2 4 习题3 3-1,3-2
3．1．1约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构 （,两节
3．1．2运输问题的基变量共有m+n-1个 的习题）
3．1．3 m+n-1个变量构成基变量的充要条件是不含闭回路
7 3．2运输问题的求解(表上作业法) 2 4
3．2．1初始基本可行解的确定
教 学 日 历（续）
周次 学习内容 课内学时 自学学时 作业（教材）
3．2．2最优性检验
3．2．3主元变换
8 3．3产销不平衡的运输问题 2 4 习题3 3-3,3-4
3．3．1产量大于销量的情况
3．3．2销量大于产量的情况
4 动态规划
8 4．1动态规划概念与模型 2 4
4．1．1引言
4．1．2多段决策过程
4．1．3动态规划模型
4．1．4动态规划建模
9 4．2动态规划求解 2 4
4．2．1解的概念
4．2．2最优性原理
4．2．3贝尔曼函数
4．2．4动态规划的基本方程
教 学 日 历（续）
周次 学习内容 课内学时 自学学时 作业（教材）
4．2．5动态规划方法基本原理
4．2．6动态规划问题求解的一般步骤
4．2．7动态规划四大要素、一个方程
9 4．3动态规划应用举例 10 15 习题4 4-1,4-2
4．3．1工程路线问题 4-3,4-4
10 4．3．2资源分配问题 4-5,4-6
4．3．3串联系统可靠性问题 4-7
4．3．4生产—库存问题
4．3．5二维背包问题
4．3．6设备更新问题
5．图与网络分析
11 5．1图的基本概念 2 4
5．1．1引言
5．1．2图的概念
5．1．3图的连通
5．1．4子图
5．1．5有向图
教 学 日 历（续）
周次 学习内容 课内学时 自学学时 作业（教材）
5．1．6树
11 5．2网络最短路线问题 4 8 习题5 5-2,5-3
5．2．1引言
5．2．2最短路线问题的狄克斯拉法
5．2．3最短路线问题的海斯算法
5．2．4最短路线问题的福德算法
12 5．3最短树问题 2 4 习题5 5-1
5．3．1引言
5．3．2破圈法
5．3．3生长法
12 5．4最大流问题 2 4 习题5 5-4
5．4．1引言
5．4．2最大流最小割集定理
5．4．3福德—富克逊算法
12 5．5最小费用—最大流问题 2 4 习题5 5-5
5．5．1引言
5．5．2对偶法原理和步骤
教 学 日 历（续）
周次 学习内容 课内学时 自学学时 作业（教材）
5．5．3对偶法示例
6 排队论
13 6．1概述 2 4
6．1．1引言
6．1．2排队系统的特征
6．1．3排队系统的结构
6．1．4排队论研究的内容和目的
6．1．5排队模型的分类
6．1．6排队系统的常用符号
13 6．2泊松输入—负指数服务的系统 3 6
6．2．1典型分布
6．2．2系统状态概率分布
6．2．3状态转移速度图
6．2．4系统的运行指标
13 6．3 M/M/1无限源系统 2 4
6．3．1 M/M/1/N系统
教 学 日 历（续）
周次 学习内容 课内学时 自学学时 作业（教材）
6．3．2 M/M/1等待制系统
6．3．3 M/M/l损失制系统
6．3．4 M/M/1无限源模型特点
14 6．4 M/M/C无限源系统 2 4
6．4．1 M/M/C/N系统
6．4．2 M/M/C等待制系统
6．4．3 M/M/C损失制系统
14 6．5客源有限的排队系统 2 4
6．5．1 M/M/1/m/m系统
6．5．2 M/M/C/m/m系统
14 6．6排队系统应用举例 1 2 习题6 6-1~6-8
（第6章的习题可在充分理解概念的基础上集中练习）
6．7本章小结
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