第四章简单利率衍生工具的金融工程
引言外币和商品远期是最简单的衍生工具。本章将涉及简单的利率衍生工具，这将为下面两章讨论互换为基础 的金融工程奠定基础。本章的金融工程方法要用到： 远期贷款、欧洲货币期货和远期利率协议。 利率策略、对冲和风险管理较之于外汇、股票或与商品有关的衍生工具更复杂。两点原因： 首先，利率衍生产品的支付依赖于某些利率。为了给它定价，就要用贴现因子将未来支付的现金流贴现来算出它的现 值。但贴现因子本身是一个取决于利率的变量，如果利率是 随机的，那么依赖于利率的现金流的现值就是一个非线性的 随机变量，结果就会难以计算。 其次，每个利率都与一个到期日有关。这意味着应用利率衍生产品时，处理的不是单个的随机变量，而是取向量值的随 机过程。
Libor和其它基准利率Libor即伦敦同业银行间贷款利率（London Interbank Offered Rate）。它是衡量伦敦一组预先选定的银行间贷款成本的算数平均利率，是只有 银行才能提供和获得资金的价格，且是借款银行无 需提供任何抵押品的无担保利率。 Euribor是一个在布鲁塞尔确定的类似概念。它是通过对一些欧洲大陆银行的测验确定的。 比较重要的Libor期限有隔夜，1周，1个月，2个月，6个月，9个月和12个月。我们把Libor作为到 期日函数的图形称为Libor曲线。 Libor是一种货币市场收益，在大多数货币中它采用实际/360的方式报价。以Libor为标的的衍生产品称 为Libor工具。银行利用这些衍生工具和标的欧洲市 场贷款构造了Libor敞口。
远期贷款远期贷款与其他远期合约不同之处仅在 于：买卖的是一笔贷款而不是货币或商 品。在t时签订未来时间t结算的合约，0 1 交易者t时收到（或交割）一笔到期日为1 t的贷款，t<t。2 1 2 合约中会明确标明贷款采用的利率。这 个利率是在t时确定的，我们称之为远期0 利率，用F(t,t,t)来表示。t是这笔未来0 1 2 1 贷款的起始时间，t是到期时间。2
远期贷款下面几种情况都要用到远期贷款一个企业想锁定“现行”较低的货币市场借款利率一家银行想锁定“现行”较高的贷款利率一个企业可能面临t时的浮动利率债务。它打算通1 过锁定未来贷款成本来对冲该债务。关键的一点是远期贷款中的利率在t时就确定0 了。远期利率F(t,t,t)在t时锁定了一个未知0 1 2 0 变量，因而消除了由未知利率带来的风险。Lt1 是[t,t]时期贷款的Libor利率，它只有在未来1 2 时间t时才能知道。固定的远期利率F(t,t,t) 10 1 2 能够消除由不确定的L带来的风险。t1
远期贷款的复制首先，把图4-1远期贷款的现金流拆分成 独立的图表。然后在仔细选择的日期加减新的现金 流，以使被分解的现金流转变成投资者 愿意买卖的实际金融合约。最后，在上述过程中要确保当图形垂直 叠加时，新添加的现金流相互抵消掉， 而原始现金流被恢复。
远期贷款的复制①从图4-2a中远期贷款的现金流开始， 把它的两次现金流拆成两个独立的图表。②在图4-2b中，在t时加一个负的现金0 流，如图4-2d中所示，现金流大小为 C，记为-Ct0 t0。③在图4-2c中，在t时加一个正的现金0 流C，得到图4-2e。t0 ④图4-2d和图4-2e竖直相加（时间对齐） 后可以恰好复制图4-2a中的现金流。
1、债券市场的复制需将图4-2d和图4-2e的现金流解释为具 体的金融合约：一种是债券市场解释， 另一种是货币市场解释。解释1：债券市场解释以{B(t,t),i=1,…,n}表示某种交易活跃的0 i 无风险折价债券，它们有各自具体的到 期日，面值都是100.单纯的折价债券市场上，我们可以把图 4-2d中的现金流理解为t到期的折价债券1 的多头头寸。
1、债券市场的复制卖空一单位t到期的债券不足以产生图4- 2 2d中t时所需要的资金。需卖空λ个单位0 t到期的债券，λ满足下式：2 λBt,t=C()02t0因此我们就获得了远期贷款的第一个合 成工具：Bt,t()01{买一单位t到期的贴现债券，卖空1 Bt,t()02单位t到期的贴现债券}2
2、债券市场复制-定价图4-2a和图4-2e中t时的现金流大小应2 该相等，这意味着Bt,t()01⎡1+Ft,t,tδ⎤100=*100()012⎣⎦Bt,t()02Bt,t()01⇒⎡1+Ft,tt⎤δ=()012⎣⎦Bt,t()02
2、债券市场复制-定价Bt,t,Bt,t()(){}如果给定了债券价格，0102 我们就可以用方程（7）代替债券市场给 远期贷款定价。更重要的是，公式（7）表明了不同到期 日的远期利率和折价债券之间的一种非 常重要的关系。
3、债券市场复制-套利若公式（7）不成立，则存在套利。假定 不存在询价差。首先假设t时的市场报价满足：0 Bt,t()01（9）1+Fδ>()t0Bt,t()02在这种情况下，市场参与者能在债券市 场上以低于远期收益（通过在远期贷款 市场中贷款给别人获得）的成本获得一 个合成远期贷款，从而保证了他会获得 正的收益。
3、债券市场复制-套利这些套利收益可以通过以下几个步骤获得：Bt,t()01t时卖空单位t到期的债券，由此获02Bt,t()02 得B(t,t)美元的现金；0 1 用获得的现金买一单位t到期的债券；1t时把t时到期债券得到的100美元以远期利率F01t0 借出。Bt,t()01100这些操作的结果是，在t时交易商欠款2Bt,t()021+Fδ10并且将收到()，而在（9）的条件下后者t0 大于前者，所以就产生了套利。
3、债券市场复制-套利Bt,t()011+Fδ<()假设t时的市场报价满足（10）t00 Bt,t()02 则可以建立反向头寸实现套利。Bt,t()01即t时买入单位t到期的债券，需资金02Bt,t()02 B(t,t)。0 1 为获得所需的资金，卖空一单位B(t,t)债券。0 1 为了抵消t时100美元到期债务，t时借入100美10 元t到期的远期贷款。1Bt,t()B01t,t()01100t时，单位t到期债券会收到，Bt,t()22B02t,t()02 然后支付远期贷款。在（10）的条1+Fδ10()t0 件下前者大于后者，产生了套利。
4、货币市场复制解释1：货币市场解释图4-3c表示的是一个欧洲市场贷款，在t时以02银行间利率L借入C，图4-3c中t时的现金流 t0t02要用这个利率来贴现，即 1然后立即以利率L把C存入银行（图4-3b所t0t0示），得到等式 把图4-3b和图4-3c竖直相加就复制了远期贷款的现金流。
5、货币市场复制-定价在图4-3中，如果信用风险是相同的，那么图4- 3a和图4-3c在t时的现金流应该相等，由方程2 （12），再用公式（13）来代换可得最终的定价公式这个公式给出了远期贷款的定价，也说明了 Libor利率在确定远期利率中的重要作用。
合约方程用债券市场复制时得到用货币市场复制时得到
应用——构造一个合成债券假设交易者在t时想买一个t到期的债券，并且01 他希望这个债券是流动的。遗憾的是他发现唯 一的流动性债券是一种有较长到期日t的on-the- 2run国库券。一个t到期的债券可以通过下述步骤合成：持有1Bt,t()01 一个从t开始到t结束的远期贷款，买入12Bt,t()02 单位t到期的债券。2如果远期贷款和长期贷款都是流动的，那么这 个复制策略比其他任何t到期的off-the-run债券1 的流动性都要好。它的构造过程如图4-4所示。
应用——解决不匹配问题假定一银行在t时存在到期日不匹配问题。0 它从欧洲市场借入t到期的资金，并以t1 2 为到期日把这笔资金贷出。显然，银行必须有一笔[t,t]时期的新贷1 2 款来延续t到期的短期贷款，而[t,t]时1 1 2 期新贷款的利率L是未知的，因而产生t1 了不匹配风险。合约方程可用来对冲这种不匹配风险， 即通过构造一个合成远期贷款来锁定t时1 的融资成本（利率）。
应用——解决不匹配问题变换符号得远期贷款把短期贷款转化成了长期贷款，并消 除了不匹配风险。
应用—收益率曲线策略短期利率和长期利率的差将变小（大）=>预期收益率曲线将会趋于平稳（陡峭）。问题：若收益率曲线将趋于平稳，我们可采用何策略来获益？ 建立头寸来获得现在的长期利率，并支付现在的短期利率。即市场参与者应借入短期贷款而贷出长期贷款。 考虑债券市场合约方程变换符号合约方程左右两边所代表的策略都可从收益率曲线平稳化中获益。但是采取远期存款的方式可避免方程左边有债券或存 款所引发的不可预料的情况。
远期利率协议一个远期贷款合约意味着两次责任。首先必须 在t时接收100单位货币，其次，必须支付利息1 F。这种合约有以下几个缺点：t0 远期借款者可能不想在t时收到现金。在大多数对1 冲和套利活动中，人们只想锁定一个未知利率，而 不一定需要一笔现金。远期贷款合约存在信用风险，如果想锁定一个利 率，那么把信用风险放进财务报表不是个好主意。缺乏流动性。一个好的工具应该能把并存于远期贷款中的信 用风险和利率承诺分离开来。
消除信用风险交易商以远期贷款为工具来锁定未来利 率L，在t时必须立即把收到的100美元t1 1 以市场利率L重新贷出。t1 图4-5a所示的是一个t时签订的远期贷款。0 图4-5b所示的是相应的即期存款。通过这种方式，市场参与者就可以避免 接受100美元的责任，并仅需兑现支付固 定利率F的承诺。t0
消除信用风险把远期贷款和未来即期存款结合起来就 能达到我们的目的—消除与未知Libor利 率相关的风险。这些步骤将会锁定 把远期贷款4-5a和即期贷款4-5b相加，t1 时刻现金流会互相抵消，t时收到和支付2 的本金也会抵消，剩下的只有各自的利 息支付。由图4-5c知下面的组合：{一个t时签订的t开始的远期贷款，一个t0 1 1 时的即期存款}
FRA定义如果一个客户想用组合（24）来达到锁 定未来借入或贷出成本，可以把这个策 略作为一个单一的合约提供给他。相当于确定了一个名义本金为N，开始时 期t结束日期t,“价格”为F，支付为1 2 t0 N(L-F)δ的合约，这就是一个后行付t1 t0 款的远期利率协议或一个FRA。FRA合约的买方将支付固定利率，收到浮 动利率。
FRA定义FRA合约的结算是在t而不是t时才进行。如果12t时L>F，合约的买方t时收到： 1t1 t0 1如果t时L<F，合约的买方t时支付：1t1 t0 1FRA合约可看成是两个利息支付的交换。它的买方将支付已知利息FδN，并收到（未知数 t0量的）利息LδN。FδN可看成是t时一个市 t1t00场参与者为获得随机的未知利息LδN而愿意 t1付出的公平代价。
FRA合约方程图4-5所示的是一笔本金为N的固定利率 贷款和一笔同样本金的浮动利率贷款的 交换，因此合约方程可表示如下从图4-5的构造过程来看，FRA合约没有 本金的信用风险，而只有利率风险的交 换。把公式（18）中得到的固定利率远 期贷款的合约方程代入（30）
FRA合约方程-FRA剥离假定一个市场参与者想复制一笔9个月的 固定利率贷款，那么前面的合约方程意 味着参与者应该在t时以L进行现金借0 t0 款，并买一个由两个相继的FRA（一个 3*6FRA和一个6*9FRA）组成的FRA剥离。 这里的3*6表示t是6个月后，t是3个月2 1 后。如何构造？
期货：欧洲货币合约FRA合约包含了一个浮动利率贷款利息和一个固 定利率贷款利息的交换。欧洲货币期货合约交易远期存款和贷款，是如图 4-1所示的同质化合约。欧洲货币期货合约交割的不是存款本身，在到期 日t，合约以现金结算（且只包含利息的交换）。1 假设以Q记市场上期货合约的报价，则3个月期t0 1⎛⎞ 欧洲美元期货合约的买方“允诺”在t时存款1001−F⎜t⎟1 04⎝⎠ 美元，3个月后接受100美元。100−Qt0 此贷款的隐含年利率：F=t0100
期货：欧洲货币合约计算t时的支付在t的现值时，远期贷款的计算惯例和10 期货合约不同。远期贷款的利率计算惯例和货币市场收益率相同：期货合约采用贴现率的方式：若公式（34）和（35）表示的现值相等，则两个方程右 边的远期利率就不能相等。由于市场惯例的不同，公式 （34）和（35）表示的现值一般是不相等的。
例：
例：
期货：其它相关欧洲期货合约的优点：用Q代替远期利率报价，使合约类似于买卖一to 个短期国库券的期货合约，简化了相关对冲和套利 策略。合约用现金结算，可以把获得贷款和锁定利率的功 能分离开来。Q和之间是服从线性关系的。to TED利差：中长期国债和欧洲美元期货利率之 间的差。包含了信用风险因素。一旦计算出TED利差，交易商就会进行交易以 从收益率曲线斜率和私有部门的信用风险变化 中收益。
期货：FRA和欧洲货币期货的比较FRA和欧洲货币期货的比较：FRA为OTC合约，更灵活；欧洲货币期货为标准化 合约。FRA不对外公开，具有保密方面优势。FRA没有保证金要求，且盯市要求宽松。FRA有对手风险，欧洲货币期货信用风险很小。FRA按利率报价，欧洲货币期货以价格报价。欧洲货币期货具有可替换性（即有相同到期日的合 约可以相互抵扣，即使它们是在不同的时间为不同的目的而签订的），FRA无此性质。 欧洲货币期货定价方程关于是线性的，而FRA的 定价方程关于相应的Libor是非线性的。
期货：用欧洲货币期货对冲FRA忽略凸性差异（短期合约差异很小）， 欧洲货币期货可否对冲FRA或相反？见课本例子（P83）。一些技术问题：若要对冲（或定价）FRA的某个剥离，必须 处理本金不断增加的问题。期货市场和FRA合约的天数计算惯例是不同 的。由于凸性差异，两种合约的隐含利率会不同。两种合约使用的Libor利率或许会有一两天的 差别。
现实中的复杂性前面的讨论做了如下简化：忽略询价差、不考 虑信用风险、忽略FRA中固定日期与结算日的 不同。询价差（见课本）：高买低卖！实践中，FRA利率的价差报价以下 面的方式进行：首先从相应的Libor利率得到一个利率，然后在它的两方都加上一个利差。非对称性：来自利率头寸的净收益和净成本是 不对称的。这是因为：不管是买（支付固定利 息）还是卖（接受固定利息），FRA总是以 Libor结算，但是Libor是卖方利率，对于买卖双 方都是固定的。
现实中的复杂性-非对称性考虑浮动利率贷款成本的对冲：考虑公司对冲3个月浮动收入：
远期利率和期限结构{B(t,t),i=1,…,n}代表债券价格族，其中每个B(t,t)表0 i 0 i 示在时支付1美元的无违约风险零息债券的价格。这些 {B(t,t}可看成用来计算无违约风险现金流现值的贴现 0 i 向量。 根据无套利公式（7）：债券价格族可用远期利率族来表示：给定了所有的远期利率，我们可以确定债券价格。
惯例FRA以询价差形式双向报价。举例如下：FRA的买方和卖方都以Libor作为参考利率。对于买卖双方，参考利率不变。
