平均信息熵及其应用
丁 勇
南京医科大学数学教研室
信息能否度量 ？
物质、能量和信息是构成客观世界的三大要素。
信息（information）是什么?
至今信息还没有一个公认的定义
一般定义：常常把消息中有意义的内容称为信息。
认识问题的过程：
当我们对一问题毫无了解时，对它的认识是不确定的，在对问题的了解过程中，通过各种途径获得信息，逐渐消除了不确定性，获得的信息越多，消除的不确定性也越多。我们可以用消除不确定性的多少来度量信息量的大小。
例：会堂有20排、每排20个座位。找一个人。
甲告诉消息：此人在第10排；
乙告诉消息：此人在第10排、第10座。
是否存在信息量的度量公式 ？
1948年，美国数学家、信息论的创始人Shannon在题为“通讯的数学理论”的论文中指出：“信息是用来消除随机不定性的东西”。并应用概率论知识和逻辑方法推导出了信息量的计算公式
Claude Elwood Shannon (April 30, 1916 - February 24, 2001) has been called "the father of information theory".
公理1：信息量是事件发生概率的连续函数；
公理2：信息量是有限值；
公理3：如果事件A和事件B的发生是相互独立的，则获知事件A和事件B将同时发生的信息量是单独获知两事件发生的信息量之和。
设事件发生的概率为P，
则满足上述公理的信息量函数为
为应用方便，可取c=1，a=e，单位为奈特（nat）
信息量函数 I= -lnp 如何体现不确定性的消除？
例：会堂有20排、每排20个座位。找一个人。
甲告诉消息(A)：此人在第10排；
乙告诉消息(B)：此人在第10排、第10座。
由信息量公式 I= -lnp 可知 I 是 p 的单调下降函数
信息熵(entropy )的概念
设离散型随机变量X的概率分布为
X的信息熵定义为“加权平均信息量”
信息熵的直观意义
变量的不确定性越大，熵也就越大，把它搞清楚所需要的信息量也就越大。 一个系统越是有序，信息熵就越低；反之，一个系统越是混乱，信息熵就越高。所以，信息熵也可以说是系统有序化程度的一个度量。
X 甲赢 乙赢
P
H
X 甲赢 乙赢
P
H
熵的性质
连续非负性
对称性
扩展性
可加性
极值性：
1948年，Shannon提出了熵的概念，并以此作为信息的度量，宣告了信息论作为一门科学学科的诞生。
近年来，随着计算机应用的发展和信息时代的来临，信息论理论和应用的研究更显示出其重要意义。
应用1：识别假币
有12枚外形相同的硬币，其中一枚是假币（重量略有不同），如何用没有砝码的天平用最少次数找出假币？
每个硬币可能是真，也可能是假，
且假币可能重一些，也可能轻一些，故共有24种可能，不确定性为ln24。
将硬币分成3份，其中2部分在天平的两边。实验结果有3种可能性：假币在天平左边、右边、不在天平上。
当3种可能性概率相同时，熵最大，因此每次实验提供的最大信息熵为ln3。设至少秤k次， k次实验提供的信息熵最多为kln3,
有ln24=kln3可得k至少为3。
应用2：熵与参数估计的似然函数
应用3：群体遗传学
A
a
A
a
由此可见，无论第一代基因型概率分布为何值，第二代基因型熵即达到最大
多对等位基因
也有相同的结论
A
a
B
b
A
a
B
b
Hardy–Weinberg 平衡
(H–W平衡)定律
一个随机交配的群体中，等位基因频率保持不变，基因型频率至多经过一个世代也将保持不变。
问题的提出
在信息论中，如何评价信源提供信息量的多少，是一个值得探讨的问题。
现在用的是相对率的概念，是以信息熵与最大信息熵之比 作为依据的。
问题：该值多大才算提供较多的信息量？
问题的设想
提出平均信息熵作为评价依据。
在信息论中也是如此，当信源提供的信息量达到或超过平均信息熵时，可认为已提供了较多的信息。
以学习成绩比较为例，众所周知，成绩好坏，除了与最高分比较，更多的是与平均成绩比较，当某个学生的成绩超过平均成绩时，说明该生的成绩较好，否则说明应该发奋努力了。
问题的解决
提出了平均信息熵的概念
推导了计算公式、性质
给出了应用：作为信源提供信息量多少的评价依据。
平均值概念的推广
平均信息熵的定义
平均信息熵公式
公式：
与调和级数有关
10
9
8
7
6
5
4
3
2
n
平均信息熵的性质
平均信息量至少
占最大值72%
平均信息熵的性质
C为欧拉常数，近似值约，已计算到了108,000,000位，目前还不知道它是有理数还是无理数。
平均信息熵的性质
平均信息熵的性质
随机变量X的函数f(X)的平均信息熵：
当f为单调函数时，
平均信息熵的性质
等值面
等值面位于如下的多面体中：
其中p*为下式的解
平均信息熵的性质
等值面外的点组成一个凸集
应用1：食物营养价值的评价
食物中蛋白质的氨基酸种类多、组成复杂，营养丰富，对机体的生长发育有利，我们可根据蛋白质的氨基酸组成比率计算信息熵，并与平均信息熵比较，作为评价营养价值的一个依据
稻米中8种氨基酸营养当量X分布表
苏氨酸 缬氨酸 蛋氨酸
异亮氨酸 亮氨酸 苯丙氨酸
赖氨酸 色氨酸
稻米中 大部分氨基酸可在人体内合成，但这8种氨基酸需从食物中摄取，可知稻米的营养价值是非常丰富的 。
王德仁，等．施氮对稻米蛋白质、氨基酸含量的影响[J]．植物营养与肥料学报．2001，7（3）：353-6
应用：基因信息熵
根据四个碱基出现的概率，7个物种细胞色素C基因的信息熵如下表，由表可知，无论是高等生物还是低等生物，其信息熵都远大于平均信息熵
Human Chicken
Yeast Rat
Mouse Bovine
LIMBACH,. & WU, R. Isolation and characterization of two alleles of the chicken cytochrome c gene [J]. Nucl. Acid Res. 1983(11):8931-8941
NISHIKIMI,M.,SUZUKI,H.,SHGOOHTA,Y.,SAKURAI,T.,SHMOONNURA,Y.,TANAKA,M. et al. Isolation of a cDNA clonefor human cytochrome c:from a gt11 expression library [J]. Biochemical and Biophysical Research communications,
1987(145):34-44
应用：英文字母信息熵
计算机键盘设计参考了英文字母在文章中出现的频率，根据英文26个字母及空格出现的频率，可求出其信息熵（bit）为
由此可知，大自然基因的“天书”信息量更丰富，比人类用英文字母写的文章更复杂，读懂它任重而道远。
抛砖引玉
如何将本问题推广到连续性随机变量？
谢谢！
