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求解交通出行预测的反馈四阶段法研究1
屈云超，徐猛
北京交通大学交通运输学院系统科学所，北京（100044）
摘 要：四阶段法为经典的交通出行预测方法，并广泛应用于实际工程中。传统四阶段法将
各个阶段独立建模求解，由于其没有考虑各阶段间的相互影响，所以得到的数据缺乏一致性。
在传统四阶段法中引入反馈可以将不同阶段紧密结合，保持各阶段数据的一致性，同时可以
避免组合模型的复杂建模与求解。本文介绍了反馈四阶段法的计算过程，并将其运用到不同
规模网络进行求解，着重研究权重系数、交通分布参数、出行总量对计算效率和计算结果的
影响。最后本文为反馈四阶段法的实际应用提出建议。
关键词：城市规划；反馈；组合模型；四阶段法
中图分类号：U491
四阶段法是经典的交通规划方法，并广泛应用于实际工程。传统的四阶段法将出行预测
分为交通发生与吸引、交通分布、交通方式划分和交通分配四个相对独立的阶段[1]，并分别
建立模型按照从需求到供给的顺序逐步进行规划。传统四阶段法中数据单向流动，并不断细
化。但是由于其没有考虑各个阶段之间的相互关系，所以各个阶段间的数据缺乏一致性。实
际运用时需考虑其相互影响，将不同的阶段组合分析，保持数据的一致性。
区域之间的出行时间为交通规划的重要参数之一，一般假设它是路段交通量的函数。在
传统的四阶段法进行预测时，交通分配得出的出行时间和交通分布假定的出行时间偏差较
大。交通分布与分配组合模型以出行时间为纽带，将交通分布和交通分配两个阶段联系起来
统一建模。Evans[2]运用凸规划理论完整地论述了等价于组合问题的最优化模型的存在性和
解的唯一性，并发展了著名的两阶段算法，Huang 和 Lam[3]提出了多模式出行的组合模型以
及求解算法，Bar-gera 和 Boyce [4]将 Origin-Based 算法运用到组合模型的求解，大大提高了
求解效率。
由于组合模型求解较复杂，而且不易与现有的软件进行整合，所以对四阶段法进行反馈
是有必要的[5]。反馈四阶段法是一种启发式方法，Boyce 等[6]介绍了 4 种简单的反馈方法，
并将结果与组合模型结果进行了比较；最近 Boyce 等[7]研究了将两次出行矩阵进行加权平均
的反馈四阶段法，得到初步的结果。本文延续其思想，并将其运用到不同规模网络求解，探
讨反馈四阶段法中不同参数对算法执行效率和结果的影响，不同反馈方法的计算效率以及网
络拥挤程度对结果的影响。
1. 反馈四阶段法
计算过程
传统的四阶段法主要分为 4 个步骤。首先，根据现有人口、经济水平、土地利用状况
等数据产生研究区域的交通总量；根据按一定方式将交通总量分配给各个小区，得到
Origin-Destination（OD）交通量；根据各个区域的交通特性将 OD 交通量按比例分配给不同
的交通方式；最后，将确定好的 OD 交通量分配到网络中的各条路段上得到路段交通量[8]。
传统四阶段法中的数据是单向流动的，没有考虑各个阶段的相互影响。在实际工程中，
规划者常常将 4 个阶段的 2 个或 2 个以上的阶段进行组合，考虑其相互影响。反馈四阶段法
1本课题得到教育部博士点新教师基金（20070004045）和国家自然科学基金（70771005）的资助。
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考虑了交通分配中区域之间的最短路径费用对出行分布的影响，计算流程如图 1。
图 1 反馈四阶段法计算流程
Fig. 1 Feedback Procedure
反馈四阶段法的计算过程可分为如下 6 个步骤[9]。
第 1 步 初始化。给定交通网络的拓扑结构，网络中各条路段参数（通行能力、零流阻抗等）
以及各个小区的交通发生和吸引量。
第 2 步 给定初始解。设置迭代次数 0n = ，利用初始化部分输入的数据，采用重力模型进
行计算并得到初始解 0rsq 。根据各个小区的交通量 0rsq ，运用 FW 算法进行交通分配
得到路段流量 0af 。
第 3 步 交通分布。令 1n n= + ，由上一次交通分配的结果 1naf − 对交通小区间的最小费用
1n
rsu
− 进行计算，并且根据交通小区间的最小费用以及交通发生、吸引量，由重力模
型重新计算交通分布结果 nrse 。
第 4 步 反馈过程。反馈的主要目的是将 1nrsq − 和 nrse 按照一定比例进行加权平均。反馈方法
主要有 2 种，一种为固定权重反馈，另一种为连续平均反馈，下文将详细叙述。
第 5 步 收敛判断。判断两次 OD 矩阵 1nrsq − 和 nrse 的相似程度。如果满足收敛条件，则停止；
否则转到第 6 步。判断的方法有主要 2 种，一种是总偏差流量法（Total Misplaced
Flow，以下简称 TMF），还可用另一种方法总方差根法（Root Squared Error，以下
简称 RSE）。计算公式如下，其中ε 为用户设置的反馈收敛精度目标。
ε≤−= ∑ −
rs
n
rs
n
rs eq
1TMF (1)
( ) ε≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −= ∑ −
21RSE
rs
n
rs
n
rs eq (2)
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第 6 步 交通分配。根据交通分布结果 nrsq ，运用 FW 算法进行交通分配并得到路段流量 naf 。
然后转到第 3 步，由最短路径费用确定下一步的出行分布。
计算如果满足收敛精度，那么得到的 *rsq 和 *af 分别为交通分布、交通分配反馈过程的
最终结果。
反馈方法
交通分布
交通分布的目的是将各个小区的出行量转化为小区之间的 OD 量，即根据一定规则获得
OD 矩阵。重力模型是出行分布的重要方式之一，该模型认为区域之间的交通分布受到地区
间距离、运行时间、费用等所有交通阻抗的影响。假定 OD 矩阵只与各个小区之间的最小路
径费用有关，则重力模型表达式为式(3)，其形式等价于熵模型(4) [10]。
rsc
rs r r s sq A O B D e
γ− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (3)
( )1min lnrs rs rs rs rs
rs rs
Z q c q q qλ= ⋅ + ⋅ −∑ ∑ (4a)
. .s t rs r
s
q O=∑ (4b)
rs s
r
q D=∑ (4c)
求解时可以直接求解约束优化问题，也可运用 Furness 迭代方法确定系数 rA 和 sB 。以
下为 Furness 方法的计算过程[12]。一般情况下，迭代 5~10 步即可以达到收敛要求。
第 1 步 初始化。设置迭代次数 0n = ，给定参数γ 的值，并令 0 1( 1, 2, , )rA r R= = L 。
第 2 步 令 1n n= + 。根据 1nrA − 计算 nsB ，其中 11 rsns cn
r r
r
B
O A e γ− ⋅−
= ⋅ ⋅∑ 。
第 3 步 令 1n n= + ，根据 1nsB − 计算 nrA ，其中 11 rsnr cn
s s
s
A
D B e γ− ⋅−
= ⋅ ⋅∑ 。
第 4 步 收敛性判断。如果 1n n nr r r
r r
A A A ε−− ≤∑ ∑ ，则停止；否则继续返回第 2 步进行
迭代，直至收敛。
交通分配
交通分配是交通规划四阶段法的最后一个阶段，对交通规划有很大的辅助作用。交通分
配的目的是由给定小区之间的OD量来确定各路段上的交通量，实质是对道路使用者交通出
行路径选择过程的模拟，从而了解各起讫点间的交通量在道路网内的流动情况。Beckmann
等[11]根据Wardrop第一均衡准则建立了静态固定需求模型来求解交通分配问题，其结构严谨、
思路明确，是研究其他模型的基础。模型(5)即为Beckmann模型，其求解方法主要有基于路
段、基于路径和基于起点的算法。本文采用的求解方法为经典的基于路段的FW算法[12]。
min
0
( )a
x
a
a A
t dω ω
∈
∑∫ (5a)
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. .s t , ,krs rs
k
f q r s= ∀∑ (5b)
, ,
k rs
a rs k a
r s k
x f a Lδ= ∀ ∈∑∑∑
(5c)
0, , ,
k
rsf r s k≥ ∀ (5d)
第 1 步 初始化。将所有路段流量设为零流量，即 0 0,ax a A= ∀ ∈ 。并计算在此流量下各个
路段的费用 0 (0),a ac c a A= ∀ ∈ 。
第 2 步 寻找初始可行解。依据上步算出的路段费用求解出各个 OD 对之间的最短路径 rsk ，
并依次通过全有全无的方法加载各个路段的流量 1 , rs
rs
a rs a k
r s
x q δ= ⋅∑∑ 。
第 3 步 更新路段费用。令 1n n= + ，根据上一步计算出来的流量计算各个路段的费用
( )n na a ac c x= 。
第 4 步 寻找下降方向。即转化为寻找最短路径过程。根据计算出的路段费用求解各个 OD
对之间的最短路径，并依次通过全有全无的方法加载辅助的路段流量 , rs
n rs
a rs a k
r s
y q δ= ⋅∑∑ 。
第 5 步 一维搜索。寻找迭代步长α ，即求式(6)的解，并计算此次迭代后的各个路段的流
量 1 ( ),n n n na a n a ax x y x a Aα+ = + − ∀ ∈ 。
( )
0
min ( )
n n n
a a ax y x
a
a
Z c x dx
α+ −=∑∫ ( 0 1α≤ ≤ ) (6)
第 6 步 收敛性检验。如果符合收敛条件则停止计算，得出近似平衡解；否则转向第 3 步继
续迭代直到满足收敛精度。
反馈方法以及参数取值
本文采用的反馈方法主要有 3 种：直接反馈、固定权重反馈和连续平均反馈[7]，反馈的
实质是将 2 次 OD 出行矩阵进行加权平均。
1）直接反馈（Naïve Feedback）。交通分配得到的数据直接决定下一步出行分布。
n n
rs rsq e= (7)
2）固定权重反馈（Constant Weights，以下简称 CW）。将 2 次出行分布的结果进行加权
平均，权重为固定值。其中ω的取值为 ~ 之间，直接反馈相当于ω取 的情况。
( )1 1n n nrs rs rsq q eω ω−= ⋅ + − ⋅ (8)
3）连续平均反馈（Method of Successive Averages，以下简称 MSA）。将 2 次出行分布
的结果进行加权平均，但是权重并不是固定的值，而是随迭代次数的增加而减小。
( ) 11 1 1n n nrs rs rsq n q n e−= − ⋅ + ⋅ (9)
在反馈四阶段法中，参数的取值将影响算法的计算速度、计算结果以及计算的收敛性。
本文主要考虑 3 个参数交通分布参数γ 、固定权重ω和 OD 量倍数θ 对算法的影响。下文将
γ 取值为 1，10-1，10-2，10-3，主要研究γ 的取值对求解速度和收敛性的影响；固定权重ω取
值为 ~，主要研究权重值对收敛速度以及最终结果的影响；OD 量倍数θ 取 1，，2，
，主要研究网络拥挤对分配的影响。
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2. 数值计算结果
网络数据及运行环境
本文算例采用的网络为 Sioux Falls 网络（网络由 24 个节点、76 条路段和 576 个 OD 对
组成）和 Anaheim 网络（网络由 416 个节点、914 条路段和 1 406 个 OD 对组成），具体信
息可参见 C 语言编写，程序运行的环
境如下：CPU Intel Core DUO ，内存为 ，操作系统为 Windows XP Service Pack
2。所有计算均采用相同的网络数据、数据存储结构和相同的最短路径算法。
参数影响分析
反馈过程分析
本节主要分析单纯反馈法、CW 法以及 MSA 法 3 种反馈方法对求解的执行效率，以及
CW 反馈方法中不同权重取值对收敛速度的影响以及各种方法得到最终的 OD 矩阵的比较。
图 2 为基于现状 OD， 1γ = 时应用反馈四阶段法对 Sioux Falls 网络进行求解得到迭代过程
的总偏差流量值。
+00
+04
+05
+05
+05
+05
+05
+05
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46
迭代次数(N)
总
流
量
偏
差
(T
M
F)
MSA
图 2 1γ = 时三种反馈方法得到 TMF 值
Fig. 2 Total Misplaced Flow under Three Feedback Methods with 1γ =
由图 2 可以看出，CW 方法当权重选在 ~ 时前 5 步迭代下降速度较快，而后 TMF
值趋于稳定，并且稳定的值随权重值的增加呈递减状态。虽然迭代过程已经达到较稳定的状
态，但是 TMF 值并没有收敛到 附近。此时交通分配对交通分布的相互制约，OD 矩阵并
没有达到一个平衡的状态。当权重值为 时，TMF 值单调缓慢下降，并且最后稳定到较小
的值。MSA 法以较快的速度收敛到较小的值，其迭代 10 步时就达到 CW 法权重取 时迭
代 40 步的值。虽然运用以上反馈方法得到的 TMF 稳定在不同的值，但是最终得到的 OD 矩
阵差别不大。
通过以上分析可以得出，各种反馈过程最终得到的 OD 矩阵相差不大，MSA 方法下 TMF
值下降速度较快而且最终能保持在 附近，所以 MSA 法是求解此问题的较优方法。下文
将具体讨论当交通分布参数γ 变化对计算效率和计算结果的影响。
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交通分布参数分析
上一节主要分析了 2 种反馈方法的执行效率，这一节主要研究交通分布参数γ 对反馈过
程的影响。图 3~图 5 为参数γ 取定 1，10-1，10-2和 10-3 时其迭代结果。通过下图可以看出，
γ 取 1 和 10-1 时，不同权重下 CW 方法得到 TMF 的值稳定在不同的值，并且随着权重的增
加而减小；γ 取 10-2 和 10-3时，不同权重下 CW 方法得到 TMF 的值均稳定在 附近，反
馈过程达到平衡。由此可见，交通分布参数γ 的值对反馈过程的影响较大，当γ 取值适当时，
反馈过程可以达到平衡；反之，反馈过程可能出现发散的情况。MSA 方法由于迭代到后期
时权重接近 ，所以 MSA 方法得到的 TMF 值可以收敛在 附近。达到稳定时所需要的
次数来看，CW 法当权重取 ~ 时可以使反馈较快达到稳定状态。
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+04
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+05
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迭代次数(N)
总
偏
差
流
量
(T
M
F)
MSA
图 3 γ = 时三种反馈方法得到 TMF 值
Fig. 3 Total Misplaced Flow under Three Feedback Methods with γ =
+00
+04
+04
+04
+04
+05
+05
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46
迭代次数(N)
总
偏
差
流
量
(T
M
F)
MSA
图 4 γ = 时三种反馈方法得到 TMF 值
Fig. 4 Total Misplaced Flow under Three Feedback Methods with γ =
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+04
+04
+04
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+05
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迭代次数(N)
总
偏
差
流
量
(T
M
F)
MSA
图 5 γ = 时三种反馈方法得到 TMF 值
Fig. 5 Total Misplaced Flow under Three Feedback Methods with γ =
网络拥挤程度分析
以上的结果是基于现有 OD 数据进行的分析。如果当规划年的 OD 量发生变化时，反馈
过程的参数选取也是一个重要的问题。假设各个 O、D 的发生与吸引总量均以某一倍数增长，
下面将分析参数对反馈过程的收敛情况以及 OD 数据的分布情况。本文考虑了θ 取 ，2，
的情况。由于篇幅有限，下面只对具有代表性的现象进行说明。
+00
+05
+05
+05
+05
+06
+06
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46
迭代次数(N)
总
偏
差
流
量
(T
MF
)
MSA
图 6 , γ θ= = 时计算得到的 TMF 值
Fig. 6 Total Misplaced Flow with γ = and θ =
由图 6 看出，随着 OD 需求量的增大，网络变得拥挤。反馈四阶段法求解时，虽然能够
使 TMF 值下降，但是仍会发生振荡情况，不能得到稳定的结果。
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+05
+05
+05
+06
+06
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迭代次数(N)
总
偏
差
流
量
(T
M
F)
MSA
图 7 , γ θ= = 时计算得到的 TMF 值
Fig. 7 Total Misplaced Flow with γ = and θ =
由图 7 可以得出，当权重值较小时，虽然 TMF 也达到稳定状态，但是其值并不是单调
递减的。所以此时反馈过程没有达到预先的目的。
由于 OD 量的增大，道路变得更加拥挤、路段流量增大，OD 对间的最小费用也随之增
加。当γ 的取值较大时，反馈过程将发生不收敛的情况。CW 方法当权重取 时发生发散
现象，权重取 时发生震荡现象。所以当网络的拥挤程度增加时，CW 方法只适用于γ 值
较小的情况。MSA 方法根据迭代步骤不断调整反馈权重，所以其能使 TMF 值持续下降。所
以在求解拥挤网络的时候必须注意其适用求解条件。另外在研究未来年 OD 分布的时候仍应
考虑路段费用函数对交通分配的影响。
大网络数据分析
本节主要对实际中的较大型网络 Anaheim 网络进行求解，参数取值同上。通过数值结
果可以看出，网络不拥挤时 CW 方法和 MSA 方法能够使得反馈过程达到稳定状态；当网络
拥挤时，γ 取小值的情况也能使得迭代收敛，结果与前面得到的结论基本一致。从两个网络
的数据可以看出，反馈四阶段法适用于不拥挤的网络；CW 方法参数选取过程中，权重较小
的时候算法收敛较快；可以运用 MSA 方法和 CW 方法对传统四阶段法得到的数据进行进一
步加工，得到相对稳定的数据。
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+04
+04
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+05
+05
+05
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迭代次数(N)
总
流
量
偏
差
(T
M
F)
MSA
图 8 Anaheim 网络数据结果
Fig. 8 Result of Solving Anaheim Network
3. 结论
本文主要讨论了反馈四阶段法应用于出行预测时参数对反馈方法的影响以及适用性等
问题。通过数据结果可以得出，CW 法中权重ω取值为 ~ 时，通过 5 次迭代可以使得
TMF 值达到稳定。随着权重的增大，反馈过程达到稳定的次数逐渐增多。CW 法虽然能通
过较少的迭代次数达到稳定，但是其 TMF 值不一定稳定在 0 附近（即选用 CW 法进行计算
时不一定能满足 TMF 收敛条件），而运用 MSA 方法能够避免此问题。另外，不同权重下的
CW 方法与 MSA 方法得到的出行分布结果相差不大。
交通分布参数γ 以及网络拥挤程度对反馈过程以及最终结果影响较大。在小区的发生
与吸引交通量固定时，如果γ 较大，CW 法的不同权重下，TMF 值可能稳定到不同的值，
也可能发生振荡甚至发散；如果γ 较小，两种反馈方法均能够得出收敛的解。当发生与吸引
交通量以固定比例增加时，网络将变得拥挤，此时各条路段的费用也会相应增大，同时 OD
对间的最短路径的费用也会增大，也将影响反馈过程的收敛情况。
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参考文献
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Study on four step procedure with feedback solving travel
forecasting problems
Qu Yunchao，Xu Meng
Department of Traffic and Transportation, Beijing Jiaotong University, Beijing (100044)
Abstract
Four step procedure is a classic method in traffic engineering and has been widely used for travel
demand forecasting. It takes at each step as a relatively independent process. Because of not
considering the interactive effect of the steps, the whole data is lack of consistency. The four processes
can be closely connected by the method of introducing feedback into four step procedure. It can keep
the consistency of the data and avoid solving a complicated combined model. The paper presents the
calculation process of the four step procedure with feedback, and solves different scale networks by
using the method. It focuses on the effect of three parameters, which are weight, travel parameters and
total travel demand, to the efficiency of algorithm. At last, this paper proposes several suggestions to
practical application of the four step procedure.
Keywords：urban planning; feedback; combined model; four step procedure
