Lecture 4
市场风险测度：VaR方法
在险价值的界定
VaR是度量一项投资或投资组合可能产生的下跌风险的方法。
VaR，描述的是在给定的概率水平下（即所谓的“置信水平”），在一定的时间内，持有一种证券或资产组合可能遭受的最大损失。
VaR值是下述问题的答案：
在较低的概率下，比如1%的可能性，既定时间内实际损失可能超过的最大损失是多少？
在险价值的定义
在险价值的计算，如在99%的置信水平下，市场价值在1天内可能遭受的最大损失
f（x）
P
期望利润
VaR=σ
1％
在险价值的计算
计算VaR值，首先需要得出资产组合价值在既定期间内的远期分布，或者说是资产组合价值变动的分布。
只有完成第一步之后，才能计算分布的均值以及分割点。
推导分布的基本方法3种：
历史模拟方法
分析性的方差-协方差方法
蒙特卡洛方法
以上方法都包含两个基本步骤：
VaR计算的基本步骤
（1）风险因子的选择
资产组合价值的变动是一些能够影响每项工具价格的市场因素的变动所造成的。
风险因子的具体组成取决于资产组合的构成情况，需要作出一定的判断。
（2）选择将市场风险因子变化纳入模型的方法
非参数VaR
参数VaR
风险因子的选择
美元/人民币远期汇率
美元/人民币期权
美元/人民币远期合约
美元/人民币汇率的波动率
人民币利率
美元/人民币远期汇率
美元利率
将市场风险因子变化纳入模型的方法:
方差-协方差方法
方差-协方差方法是一种参数VaR方法。
参数VaR方法简化了VaR的推导，直接假定收益分布为某种可分析的密度函数f（R）；然后利用历史数据来估计假定的分布函数的参数。
分析性的方差-协方差方法假定风险因子服从对数正态分布，即风险因子收益的对数服从正态分布。
正态分布可以用两个参数来完全刻画，因此必须从如下条件中推导出正态分布的均值和方差：
风险因子的多变量分布
资产组合的构成
方差-协方差方法
如果假定R服从均值为μ、标准差为σ的正态分布，则：
如果c代表置信水平，如99%，则可以把R*界定为下述形式：
是一个服从标准正态分布N（0，1）的变量。因此，R*的推导非常简单，查标准累积正态函数表即可。
R*可以表示为：
根据VaR的定义：
常见的置信水平函数的临界值
c
95
%
99%
%
例：股票资产组合
一个由两种股票（微软和埃克森）构成的资产组合，微软公司股票为n1股，股价为s1，埃克森公司股票为n2股，股价为s2。则资产组合的价值为：
是第i种股票的收益率； 是资产组合中投资于第i种股票的比重。
（1）风险因子的选择：风险因子为两种股票各自的价格s1、s2，因此资产组合的收益率 为：
（2）风险因子的分布：假定价格服从对数正态分布，即时期（t-1，t）的收益服从正态分布：
同时，假定两种股票的收益率服从正态分布，均值、标准差分别为μi、σi，两种股票收益率间的相关系数为ρ。
单个资产的VaR—1日VaR
每种股票收益的边际变化服从单变量正态分布：
在置信度99%的水平下，1日的VaR值为：
从1日VaR值到10日VaR值
1日VaR值的推导以资产组合价值的日分布为基础。从理论上，可以根据资产组合价值的10日分布来计算10日VaR值。
一般，如果假定市场是有效的，资产在10天内的每日收益Rt独立同分布，则可以从1日VaR直接推导出10日或其他任何期间的VaR值。
10日收益R(10)=∑Rt服从正态分布，均值和方差分别为：
则可以得到：
单资产VaR的一般计算公式
如果持有期为∆t、置信度为c，则：
其中，a（·）表示标准正态累积分布函数的逆函数。
如果持有期较长，收益率的均值发生漂移，则VaR的计算就应当使用收益率的漂移来进行修正，则：
收益率漂移的修正
f（x）
P
收益率漂移μ∆t
VaR
1％
投资组合的VaR
收益正态分布资产的线性组合，也服从正态分布：
其中：
则投资组合的99%置信水平下的1日和10日VaR值分别为：
投资组合VaR的一般计算公式
如果持有期为∆t、置信度为c，则：
如果持有期较长，则VaR使用收益率的漂移修正，则：
衍生产品的VaR
投资组合包括衍生产品的VaR估计的关键问题是，即使标的资产的价格变化是正态分布的，衍生产品本质上的非线性意味着衍生产品价格变化不可能满足正态分布假定。
如果考虑标的资产的变化非常小时，例如一个非常短的时间间隔，则可以用期权的Delta值近似估计期权价值变化的敏感性。
对于较大的价格变动，则需要更高阶的近似。
∆：Delta值
根据期权定价公式：
则期权的Delta值为：
若标的资产价格变化的标准差为σ，则期权头寸价值变化分布的标准差为：
衍生产品VaR计算：Delta逼近
考虑一个含有单个衍生产品的投资组合S。
一项期权或是期权的投资组合的敏感性，就是Delta值。
如果标的资产的分布的标准差是 。
那么，期权头寸价值变化分布的标准差为：
“∆”必须为整个投资组合头寸的Delta值，即对于特定标的资产所有相关期权的敏感性，等于标的资产所有期权头寸的Delta值的总和。
包含期权的投资组合的VaR计算公式
一个包含期权的投资组合的VaR为：
∆i为第i项资产价格变动一个单位时，导致投资组合价值的变动。
注：标的资产的∆i为1。
Delta－Gamma逼近
当标的资产的价格变动非常微小时，可以使用Delta逼近，但更精确的逼近要引入高阶项，加入Gamma或者凸性影响。
假设投资组合包括一只股票期权，则标的资产的价值变化∆S和期权价值变化∆V之间的关系为：
由于假设： ，则：
一阶展开表明期权价值的变化与标的资产的变化成固定比例。
二阶展开，由于存在确定性的漂移项S及期权的θ值，二阶展开含有确定性的偏移项∆V。
更重要的是，Gamma（Г/γ）的作用是引入∆S的随机项构成中的非线性项。
衍生品VaR估计的实际困难
估计非线性产品的VaR的显而易见的途径是对于标的资产的非线性行为使用模拟，然后运用估值公式和数值算法推断整个投资组合价格变化的分布。
这种方法最终可以估计出非线性产品的VaR，但存在一个缺点，就是运算非常耗时。
如果要进行成千上万此的模拟，每一次都必须要解一个多因子偏微分方程，那么求解VaR的时间花费将过长。
将市场风险因子变化纳入模型的方法:
历史模拟法
历史模拟法是一种非参数VaR。
历史模拟法不要求使用者做出风险因子分布的分析性假定和理论分布的估计。
VaR的计算是以按照风险因子在特定时期内的实际数据构造的历史分布为基础。
历史模拟法要得出比较合理的历史分布，至少需要2~3年的数据。
历史模拟法是根据敞口的每日收益数据的历史分布来计算VaR，没有对敞口收益的分布函数做出任何假定。
历史模拟方法—简单处理
历史模拟方法的原理很简单。
首先，对特定历史期间（比如1~4年）内观察到的相关市场价格和（风险因子）收益率的变化进行分析。
然后，从历史数据中推导出风险因子来构造资产组合收益的分布。
根据这个分布，可以计算资产组合的VaR值。可以把模拟出的每个日变化值看成分布的一个观测值。
历史模拟方法的步骤
该方法涉及三个步骤：
选择特定时期内（比如250天）风险因子实际日变化的样本；
将这些变化数据用于风险因子的现行价格，然后重新估计现行资产组合的价值；
做出资产组合价值分布的图像，确认在99%的置信水平下，第一个抽样分位数对应的VaR值。
例：历史模拟
假定一个3月期的美元/马克买入期权，首先判断该敞口的市场风险因子为：
美元/马克汇率
美元3月期利率
马克3月期利率
3月期美元/马克汇率的波动性
简单起见，忽略利率风险因子的影响，只考虑汇率及其波动性的影响。我们使用过去100天内汇率及其波动性的日观测值，如表所示。
然后，利用风险因子的历史分布来为敞口重新定价。
过去100天的历史汇率
-1
-2
…
…
…
-98
-99
-100
汇率波动性（σt）
美元/马克汇率（FXt）
天（t）
利用布莱克-斯科尔斯期权定价模型，计算资产的模拟价值序列
+美元
模拟价格C（FX1；σ1）=
+美元
模拟价格C（FX2；σ2）=
……
……
美元
模拟价格C（FX97；σ97）=
美元
模拟价格C（FX98；σ98）=
美元
模拟价格C（FX99；σ99）=
从资产现价（美元）的变化
模拟价格C
最后一步是，通过描绘出资产组合收益在过去100天的历史数据，或直接甄别资产组合价值变化情况，来确认历史分布的第一个百分位数。
下表是对资产组合价值变化的排序，根据这种方法，可以得出第一个百分位数对应的数值是。
+美元
1
+美元
2
……
……
美元
98
美元
99
美元
100
从资产现价（美元）的变化
模拟价格序列
当然，最直观的是描绘出资产价值模拟序列的（频率）分布图。
历史模拟法可以很容易地推广到任何证券资产组合。
损失大于的情况出现的可能性不超过1%
历史模拟方法—Bootstrapping
自举法（Bootstrapping），是利用历史数据得到一系列资产的随机运动的另一种方法。
假设有N项资产的真实时间序列数据（假设是资产的日收益率数据），自举法的实现过程：
为每日的数据（向量）编制一项索引，该索引可以是随机分配；
建立某种抽样规则，随机抽取一个索引，该索引指向的数据就是第一个未来可能情况的模拟。
重复这个过程，得到更多未来可能情况的模拟，直到满意的模拟次数。
自举法的优点在于可以捕捉资产间的任意相关性、允许资产价格变化呈现非正态性，缺点是无法获得数据中的自相关性。
将市场风险因子变化纳入模型的方法:
蒙特卡洛模拟方法
蒙特卡洛模拟方法是一种综合的方法。
蒙特卡洛模拟方法可以通过选择任何形式的多变量分布来进行，该方法比较灵活，能够允许对具有厚尾和偏斜形状的分布进行分析，还能模拟比较复杂的分布和均值反转的过程。
蒙特卡洛方法的唯一的限制在于估计分布参数（如均值、方差和协方差等）的能力。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法是要重复地模拟哪些决定市场价格和收益率的随机过程。每一个模拟值（情景）都会得出资产组合价值在目标区间内的一个可能值。如果我们得出的情景足够多，资产组合价值的模拟分布将趋近于真实分布。
蒙特卡洛模拟包括以下3个步骤：
首先，确认所有的相关风险因子；
第二，构造价格路径；
第三，估计资产组合在每个路径（情景）下的价值。
作为业绩度量的VaR的应用
VaR的一个重要应用是度量银行、部门或单个交易员的业绩表现。
过去，“交易能力”只是单纯用盈利衡量；交易员的红利与盈利相联系，这使得交易员愿意冒风险。
考虑风险的衡量交易能力的方法是比较单位风险，即夏普比率：
当使用VaR度量风险时，收益/损失作为收益的度量：
