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布莱克--斯克尔斯期权定价模型
在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。随着计算机、先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。在过去的２０年中，投资者通过运用布莱克———斯克尔斯期权定价模型，将这一抽象的数字公式转变成了大量的财富。
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿(ＲｏｂｅｒｔＭｅｒｔｏｎ)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(ＭｙｒｏｎＳｃｈｏｌｅｓ)。他们创立和发展的布莱克———斯克尔斯期权定价模型(Ｂｌａｃｋ-ＳｃｈｏｌｅｓＯｐｔｉｏｎＰｒｉｃｉｎｇＭｏｄｅｌ)
为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(ＦｉｓｃｈｅｒＢｌａｃｋ)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果,两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(ＴｈｅＲｏｙａｌＳｗｅｄｉｓｈＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
一、布莱克—斯克尔斯定价模型(以下简称Ｂ-Ｓ模型)及其假设条件
(一)Ｂ-Ｓ模型有5个重要的假设 1金融资产收益率服从对数正态分布; 2在期权有效期内,无风险利率和金融资产收益变量是恒定的;
3 市场无摩擦,即不存在税收和交易成本;
4 金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃);
5 该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的Ｂ-Ｓ定价公式 Ｃ=Ｓ·Ｎ(ｄ1)-K·ｅ-rＴ·Ｎ(ｄ2)
Ｃ—期权初始合理价格 K—期权交割价格 Ｓ—所交易金融资产现价 Ｔ—期权有效期 ｒ—连续复利计无风险利率 σ2—年度化方差
Ｎ(x)—正态分布变量的累积概率分布函数，
在此应当说明两点： 第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为ｒ0)一般是一年复利一次,而ｒ要求利率连续复利。
ｒ0必须转化为ｒ方能代入上式计算。两者换算关系为:ｒ=ｌｎ(1+ｒ0)或ｒ0=ｅｒ-1。例如ｒ0=,则ｒ=ｌｎ(1+)=,即100以%的连续复利投资,第二年将获106,该结果与直接用ｒ0=计算的答案一致。
第二,期权有效期Ｔ的相对数表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天,则Ｔ=100/365=。
二、Ｂ-Ｓ定价模型的推导与运用
(一)Ｂ-Ｓ模型的推导
Ｂ-Ｓ模型的推导是由看涨期权入手的,对于一项看涨期权,其到期的期值是:
Ｅ[CT]=Ｅ[ｍａｘ(ＳＴ-K,Ｏ)] 其中,Ｅ[CT]—看涨期权到期期望值
ＳＴ—到期所交易金融资产的市场价值 K —期权交割(实施)价 到期有两种可能情况: 1、如果ＳＴ>K,则期权实施以实值(ｉｎ-ｔｈｅ-ｍｏｎｅｙ)生效,且ｍａｘ(ＳＴ-K,Ｏ)=ＳＴ-K
2、如果ＳＴ<K,则期权所有人放弃购买权力,期权以虚值(Ｏｕｔ-ｏｆ-ｔｈｅ-ｍｏｎｅｙ)失效,且有: ｍａｘ(ＳＴ-K,0)=0 从而: Ｅ[ＣＴ]=Ｐ×[Ｅ(ＳＴ|ＳＴ>K)-K]+(1-Ｐ)×Ｏ=Ｐ×[Ｅ(ＳＴ|ＳＴ>K)-K)]
其中:
Ｐ—(ＳＴ>K)的概率
Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>K]—既定(ＳＴ>K)下ＳＴ的期望值将Ｅ[CT]按有效期无风险连续复利ｒＴ贴现,得期权初始合理价格: Ｃ=ｐ×ｅ-ｒＴ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>K]-K)(*)
这样期权定价转化为确定Ｐ和Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>K]。
通过数学推导可以求出(过程略):
将P和Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>K]代入公式(*)得:
(二)Ｂ-Ｓ模型应用实例 假设市场上某股票现价Ｓ为164,无风险连续复利利率 r是,市场方差σ2为,那么实施价格K是165,有效期Ｔ为的期权初始合理价格计算步骤如下:
①求ｄ1:
②求ｄ2:
③查标准正态分布函数表
④求Ｃ:
因此理论上该期权的合理价格为。如果该期权市场实际价格是,那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下,购买该看涨期权有利可图。
(三)看跌期权定价公式的推导 Ｂ-Ｓ模型是看涨期权的定价公式,根据售出—购进平价理论(ｐｕｔ-ｃａｌｌｐａｒｉｔｙ)可以推导出看跌期权的定价模型:
P=-S×N(-d1)+K×N(-d2) ×e(-rT)
三、Ｂ-Ｓ模型的发展
1.股票分红
Ｂ-Ｓ模型只解决了不分红股票的期权定价问题,默顿发展了Ｂ-Ｓ模型,使其亦运用于支付红利的股票期权。以g代表不间断复利形式派发的股息率。则： Ｃ=Ｓe-gT·Ｎ(ｄ1)-K·ｅ-rＴ·Ｎ(ｄ2)
2 外币期权
rf代表国外利率。则：
Ｃ=Ｓe- rf T·Ｎ(ｄ1)-K·ｅ-rＴ·Ｎ(ｄ2)
外币期权案例
有效期为4个月的欧式英镑看涨期权的执行价格为$
作业
1.假设某公司股票的现行市场价格为20元，在一个3期（每期为3个月）模型中，有一次固定数额的股息（1元）支付，发生在第二期期末，股价波动按u=，d=计。市场上的连续复利利率为12%。一种执行价格为20元的欧式看跌期权的期初价值为多少？
2.假定目前的标准普尔100指数为400点，该指数的年股息率为3%，基础资产收益率的波动性为15%，美国金融市场上无风险资产的年利率为国为7%，股指期权的期限为2个月，请计算执行价格为410点的看涨期权价值。
