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第八章 假设检验
例1：某车间用一台自动包装机包装葡萄糖，额定标准重量是每袋净重。设包装积机包装的糖每袋重量（单位：kg）X～N(μ,б2)。且知б=。若μ=μ0=，则认为包装机正常。某天开工后，为检查包装机是否正常，从当天包装的糖中随机抽取9袋，称得其重量为x1,x2,…,x9，经计算得
=。试判断包装机是否正常？
例2：某厂有一大批产品，按规定次品率不得超过3%才能出厂，今从中随机抽取50件发现有40件次品。问这批产品能否出厂？
例3：在一实验中，每隔一定时间观察一次记数器上记录的某种铀放射出的
粒子的个数X，独立观察100次得数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1
其中
是观察到有
个
粒子的次数。试问
X 是否服从泊松分布。
§8-1假设检验的基本思想和基本概念
一.基本思想
1．“实际统计推断原理”（小概率原理）—小概率事件在一次试验中几乎（一般）是不会发生的。
2．具有概率性质的反证法
（1） 用了反证法的思想
（2） 不同于确定性数学中的反证法
例：设有一大批产品，要检验这批产品的次品率p是否是。为此，从这批产品中随机抽取五件产品进行检验，发现五产品中有四件次品和一件正品，依此样本，如何判断p是否为?
3.假设检验
把需要检验的假设称为原假设或零假设记为
H0（…），与H0对立的假设，称为对立假设或备样假设, 记作H1（…）
本书H1是H0对立面的全体。
假设是否正确有待用样本作检验。
二.具体步骤
如例1.
1. 根据实际问题，提出检验假设
H0:μ=μ0=， H1:μ=
2.选取检验统计量
选取合适统计量
，
当H0为真时知μ分布服从N（0，1）。
3.给定α，查临界值。写出H0的拒绝域
W0 =
，
简写为 W0 ：
，
H0 的接受域为 W1 ：
.
4.计算。
由样本值作出判断。当样本值属于W0时拒绝H0。这是有根据、有说服力的。当样本值不属于W0，而属于W1，则H0相容。
如例1
因为
EMBED ，所以拒绝H0。
三.两类错误
真实情况
H
判断结论
性质
犯错误的概率
EMBED
H
相容，
认为
正确
否定H
，
认为
第一类错误
（以真为假）
H
相容，
认为
第二类错误
（以假为真）
拒绝H
，
认为
正确
§8-2 参数的假设检验
1. 一个正态总体的均值，方差的假设检验
（1） 一个正态总体均值的假设检验
1． 已知б2=б02检验H0:μ=μ0， H1:μ≠μ0
2． 未知б2，检验H0: μ=μ0 ，H1:μ≠μ0
例：在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）X～
。一日测得5炉铁水含碳量如下：
，，，，
在显著水平
下，试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化。
解：（1）H0 ：
H1 ：
（2）选取检验统计量
（3） 给定
，查知
。
H0 的拒绝域为：W0 ：
。
（4） 计算。| T0|=，又| T0|=
，
所以显著水平
下，拒绝H0 .
3.单边检验
例4：根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm。该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：
。经计算得知
。
试判断该厂是否符合环保法的规定。（该有毒化学物质含量X服从正态分布）
解：（1）H0 ：
H1 ：
（2）H0 的拒绝域为：
（3）计算
，
，
EMBED =
EMBED .
所以在显著水平
下，拒绝H0 .
例5：某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不应低于65。已知该指标服从正态分布
，
一直稳定于值。从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值
，试问在
水平上能否接受这批玻璃纸？
解：（1）H0 ：
H1 ：
（2）H0 的拒绝域为：
，
（3）计算
，
查表，知
。
（4）因为
，所以在显著水平
下，拒绝H0 ，不能接受这批玻璃纸。
(二)一个正态总体方差的假设检验
设总体X～
,样本
1.
未知，检验
EMBED
例6：某自动机床加工套筒的直径X服从正态分布。现从加工的这批套筒中任取5个，测得直径分别为
，经计算得到
。试问这批套筒直径的方差与规定的
有无显著差别？（
）
解：
（1）H0 ：
， H1 ：
（2）选取检验统计量
（3）H0 的拒绝域W0 ：
，或
。
（4）计算
，
查表
，
，
（5）判断。因为
EMBED 。 所以在显著水平
下，H0 相容。
2.单侧检验
例7：某种导线的电阻服从
，
未知。该种导线其中一个质量指标是电阻标准差不得大于
。现从中抽取了九根导线测其电阻，测得样本标准差S=。试问在
水平上能否认为这批导线的电阻波动合格？
解：（1）H0 ：
， H1 ：
H0 ：
， H1 ：
（2）H0 的拒绝域W0 ：
，
（3）计算
，
查表
，
（4）因为
，所以在
水平下认为这批导线的电阻波动合格。
例8：一工厂生产的某种电缆的抗断强度的标准差为240 kg，这种电缆的制造方法改变以后取8根电缆，测得样本抗断强度的标准差为205kg，假设电缆抗断强度服从正态分布
，给定显著水平
。试问改变制造方法后，电缆抗断强度是否显著变小。
解：（1）H0：
，
H1：
（2）H0 的拒绝域W0 ：
，
（3）计算
，
查表
。
（4）
，所以在显著水平
水平下H0相容，认为标准差没有显著变小。
2. 两个正态总体均值差、方差比的检验
设：总体 样本 样本均值 样本方差
X～
Y～
（1） 两个总体方差比的假设检验
例9：甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布
、
。今从甲机床加工的轴中随机地任取6根，测量它们的直径为
，从乙机床加工的轴中随机地任取9根，测量它们的直径为
，经计算得知：
问在显著水平
下，两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异？（未知
）
解：
（1）H0 ：
， H1 ：
（2）选取检验统计量：
（3）H0 的拒绝域W0 ：
，或
（4）计算（注意公式），
，
查表，
，
（5）因为
EMBED ，所以在水平
下，认为
。
上例如问甲机床加工轴的精度是否比乙机床加工轴的精度高？（
）就是单边检验。
简解：（1）H0 ：
， H1 ：
（2）H0 的拒绝域W0 ：
（3）计算
，查表。
（5） 因为
，所以在
下认为
比
小。
（二）两个总体均值差的假设检验
1. 已知方差
，检验
①
②选取检验统计量
～
③
EMBED 的拒绝域
④计算，查表，判断。
2．方差未知，有方差齐性
例：P-199，例。
3． 成对数据的假设检验
例：为了比较甲乙两种飞机轮胎的耐磨性，从两种轮胎中各随机抽取8只，然后配成“甲一只、乙一只”的8对轮胎，随机地配给8架飞机作耐磨性实验。经过一定次数起落后，测得轮胎的磨损量（单位：mg）数据如下：
甲种 4900，5220，5500，6020，6340，7660，8650，4870，
乙种 4930，4900，5140，5700，6110，6880，7930，5010，
假定甲乙两种轮胎磨损量分别为X，Y且均服从正态分布，又X，Y相互独立。在显著水平
下，试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异。
（1）什麽叫成对数据？
（2）检验方法
令Z=X-Y，得Z的样本值为
，将其看作一个正态总体的均值检验
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§8-2
检验法
1. 皮尔逊定理：设
是完备事件组，
（
是已知的）
，
是n次独立重复试验中
发生的次数。当
时，
EMBED 的极限分布是
，即当
很大时
近似服从
。（证略）
说明：
设总体X 分布是：
X 1 2…. i …… k
P
且
，
已知。
样本值是
，
是子样中取值为
的个数。
要验证
试验模型：
①看作
次独立重复试验。
②事件
记为
，每次试验只能出现
中之一。
③
EMBED 是
次独立试验中
出现的频数。
，
是
个随机变量，且
。
第一次实验 0 1 … 0 … 0
二 1 0 … 0 … 0
：
0 0 … 1 … 0
:
n 0 0 … 0 … 1
看关系：
事件
实际频数
理论频数
实际频率
概率
例1：盒中有白球和黑球，用有放回地抽样方式取球，直到取到白球为止，记下抽取次数。试验进行100次，其结果如下：
抽取次数 1 2 3 4
频数 43 31 15 6 5
问该盒中的白球与黑球的个数之比是否是1：3。
解：设X表示首次取出的是白球所需要抽取的次数。
（1）H0 ：
，
（2）找
，由条件，知
，
，
，
，
。
当H0 为真时，计算出
，
，
，
，
。
（3）H0 的拒绝域
W0 ：
（4）
，计算
。
（5）因为样本值落入W0:
EMBED ,所以在
水平上拒绝H0，即认为
。
2. 皮尔逊推广定理（由费歇证明）
不论总体X服从什么分布，只要
为真且其参数是用最大似然估计计算并求出的
，则当
时，
的极限分布为
。
其中
是小区间（事件
）的个数，
是完备事件组，
是
中未知参数的个数。
3. 检验步骤
1. 提出假设
，在
为真的条件下，用最大似然估计计算出未知参数为
。
2. 写出
完备事件组，将
分为
个小组：
①
EMBED 是样本
落入第
个小区间的个数。
②
EMBED 为真，计算X落入各小区间的概率为
。
3.
的拒绝域
。
4.列表，计算，检查
是否合要求，查表，判断。
见P-206 例，
P-207 例。
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