1
AFS模糊逻辑理论及其应用*
宋明丽 1，刘晓东 1, 2
1．大连理工大学电子与信息工程学院自动化系，大连（116024）；
2. 大连理工大学信息与控制中心，大连（116024）
摘 要：自 1995 年 AFS 理论（公理模糊集理论）被提出以来，国内外许多学者对 AFS 理
论及其应用进行了深入的研究,并发表了一系列的论文.本文对 AFS 理论的思想方法及其应
用进行综述，通过理论介绍和应用实例解释其抽象的概念和理论意义，从而引出其潜在的应
用和未来研究的课题.一些著名数据的实验表明 AFS模糊逻辑理论为知识表示和实际应用中
大规模智能系统的研究提供了一个更加灵活、实用的理论框架.
关键词：AFS结构 AFS代数 AFS模糊逻辑 模糊决策树 模糊分类器设计
中图分类号：TP18
1 引言
为了形式化地量化概念，1965 年美国控制论专家 Zadeh 提出了模糊集思想[26]，自
此模糊集与系统被广泛地应用和发展.面对广泛地同时存在于现实世界自然语言描述的人
类的主观模糊性和经典数学描述的随机信息的客观不确定性，1995年AFS（Axiomatic Fuzzy
Set）理论[11，13]（公理模糊集理论）被首次提出.作为模糊集理论的一种新的研究方法，
AFS 理论应用 AFS 代数和 AFS 结构来描述自然语言语义的不确定性和原始数据随机分布
的不确定性，为模糊概念的隶属函数及其逻辑运算提供了客观统一的确定方法，克服了传
统研究方法中隶属函数确定的主观性和模糊逻辑算子选择的随意性.10 年来，AFS 理论不
断发展和完善，逐步形成了一套完整的理论体系.针对实际问题，一些新的方法在 AFS 理
论的框架内被提出，如故障诊断[1]、模糊聚类分析[2，3，24]、模糊分类器设计[4]、模糊
认知图 [1,5] 、模糊决策树 [6] 、信用分析 [7] 、模糊信息处理 [25] 等 . 著名数据
）和实际问题都验证了这些算法的有效性和
准确性，这进一步说明 AFS 理论为智能系统提供了新的理论框架和应用方法.近来，AFS
理论与概率理论相结合[8]，将人类主观的模糊性和客观的不确定性统一起来.
2 AFS 理论
AFS 理论由 AFS 代数⎯一族完全分配格和 AFS 结构⎯一种特殊的组合数学对象构
成.AFS代数、AFS结构及其上的一个逆序对合映射构成了AFS模糊逻辑系统 ( ), , ,EM ′∧ ∨ .
模糊概念的隶属函数及其模糊逻辑运算则是完全由 AFS 结构 ( ), ,M Xτ 和M 中简单概念
的语义按 AFS 模糊逻辑确定的.
AFS 代数
[10]-[13]定义了一族完全分配格⎯—AFS 代数.其中 EI 代数用于表示所有由M 中的
简单概念按 AFS 模糊逻辑系统 ( ), , ,EM ′∧ ∨ 合成的复杂概念. 1nEI + 代数用于表示 EM 中
的模糊概念的隶属度及模糊逻辑运算.下面介绍这些 AFS 代数.
*本课题得到：国家自然科学基金资助项目（60575039）；国家自然科学基金重点项目（60534010）的资
助。
2
定义 1[10] 设 1 2, , , ,nX X X MK 是 1n + 个非空集合.集合 *1 nEX X MK 定义为：
( )*1 1 2 , 2 , 1, 2, , , ,rXMn i ni i i ri
i I
EX X M u u A A u r n i I I
∈
⎧ ⎫= ∈ ∈ = ∈⎨ ⎬⎩ ⎭∑K K K 是一非空指标集
当 0n = 时， * 2 , ,Mi i
i I
EM A A i I I
∈
⎧ ⎫= ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭∑ 是一非空指标集 (1)
其中，符号
i I∈
∑ 表示元素 ( )1i ni i
i I
u u A
∈
∑ K 是由“+”号隔开的不计顺序的诸 1i ni iu u AK 组成的.
即 ( )1i ni i
i I
u u A
∈
∑ K 和 ( ) ( ) ( )( )1p i np i p i
i I
u u A
∈
∑ K 表示 *1 nEX X MK 中的同一元素，如果 p：I→I
是一一映射.
定义 2[10] 设 1 2, , , ,nX X X MK 是 1n + 个非空集合.在 *1 nEX X MK 上的一个二元关
系 R 定义如下： ( )1i ni i
i I
u u A
∈
∀∑ K ， ( ) *1 1j nj j n
j J
v v B EX X M
∈
∈∑ K K
( ) ( )1 1i ni i j nj j
i I j J
u u A R v v B
∈ ∈
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⇔⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑K K
( ) ( ) ( )1i ni ii u u A i I∀ ∈K ， ( ) ( )1h nh hv v B h J∃ ∈K 使得 i hA B⊇ ， ri rhu v⊆ ，
1 r n≤ ≤ ；
( ) ( ) ( )1 j nj jii v v B i J∀ ∈K ， ( ) ( )1k nk ku u A k I∃ ∈K 使得 ,j kB A⊇ rj rkv u⊆ ，
1 r n≤ ≤ .
显 然 ， R 是 *1 nEX X MK 上 的 一 个 等 价 关 系 . 商 集 *1 nEX X M RK 记 为
1 nEX X MK . ( ) ( )1 1i ni i j nj j
i I j J
u u A v v B
∈ ∈
=∑ ∑K K 表示 ( )1i ni i
i I
u u A
∈
∑ K 和 ( )1 j nj j
j J
v v B
∈
∑ K
在关系 R 下等价.
定理 1[10] 设 1 2, , , ,nX X X MK 是 1n + 个非空集合. ( )1 , ,nEX X M ∧ ∨K 在如下定义
的二元运算∧，∨下形成一个完全分配格：
( )1i ni i
i I
u u A
∈
∀∑ K ， ( )1 1j nj j n
j J
v v B EX X M
∈
∈∑ K K ，
( ) ( ) ( )1 1 1i ni i j nj j k nk k
i I j J k I J
u u A v v B Cω ω
∈ ∈ ∈ ∪
∨ =∑ ∑ ∑K K K (2)
( ) ( ) ( )( )1 1 1 1
,
i ni i j nj j i j ni ni i j
i I j J i I j J
u u A v v B u v u v A B
∈ ∈ ∈ ∈
⎡ ⎤∧ = ⎣ ⎦∑ ∑ ∑K K I K I U (3)
k I J∀ ∈ ∪ ，其中 I J∪ 是 I 与 J 的不交并. 如果 k I∈ 则 k kC A= ， rk rkuω = ；如果 k J∈
则 k kC B= ， rk rkvω = ， 1 r n≤ ≤ . 为 了 方 便 ， 定 义
( ) ( ) ( )1 1 1i ni i j nj j k nk k
i I j J k I J
u u A v v B Cω ω
∈ ∈ ∈ ∪
+ =∑ ∑ ∑K K K . ( )1 , ,nEX X M ∧ ∨K 被 称 为
1, , nX XK 和 M 上的 1nEI + 代数 . 1 nX X ∅K 是 1 nEX X MK 的最大元， M∅ ∅K 是
1 nEX X MK 的最小元.
3
0n = 时的 1nEI + 代数为 EI 代数 ( ), ,EM ∧ ∨ .值得注意的是用少数几个模糊概念和分
明概念生成的 EM 可以表示非常多的概念，∧，∨是这些模糊概念的交，并运算，并且 EM
中的每个元素都有其确切的语义.
下面我们先来说明如何由M 中有限的概念生成新概念.
例 1 设 { }1 2 10, , ,X x x x= K 是 10 个人的集合, { }1 2 10, , ,M m m m= K 是他们的 10 个
属性.其中 m1=年老，m2=身高高，m3=体重重，m4=工资高，m5=财富多，m6=男性，m7=女
性，m8=头发颜色黑，m9=头发颜色白，m10=头发颜色黄.关于论域 X 和属性集M ，有下表
1 和关于头发颜色黑、白、黄的 X 上的强度链.
头发黑的程度由强到弱依次为： 7 10 4 8 2 9 5 6 3 1x x x x x x x x x x> > = > = > > = = ；
头发白的程度由强到弱依次为： 6 3 1 5 2 9 4 8 10 7x x x x x x x x x x= = > > = > = > > ；
头发黄的程度由强到弱依次为： 2 9 4 8 5 10 6 3 1 7x x x x x x x x x x= > = = > > = = = .
表 1 属性描述
年龄 身高 体重 工资 财产 男性 女性
x1 20 90 1 0 是 否
x2 13 32 0 0 否 是
x 3 50 67 140 34 否 是
x 4 80 73 20 80 是 否
x 5 34 54 15 2 是 否
x 6 37 80 80 28 否 是
x 7 45 78 268 90 是 否
x 8 70 70 30 45 是 否
x 9 60 83 25 98 否 是
x 10 3 21 0 0 否 是
M 中的 10 个概念可以生成许多新的概念，如： ( ) ( )1 4 2 5 6m m m m mα = ∧ ∨ ∧ ∧ 其语
义 为 ： “ 年 长 且 财 富 多 的 人 ” 或 者 “ 身 高 高 且 财 产 多 的 男
性”. ( ) ( ) ( )1 4 2 5 6 1 4 8m m m m m m m mβ = ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∧ 含有语义：“年长且财富多的人”或
者“身高高且财产多的男性”或者“年长、财富多且头发黑的人” . ( ) ( )5 6 5 7m m m mγ = ∧ ∨ ∧
含有语义：“财产多的男性”或者“财产多的女性”. * /EM EM R= ，其中 R 是定义 2 中所定
义 的 *EM 上 的 等 价 关 系 . α ， β ， γ 可 以 由 EM 中 的 元 素 表 示 为
{ } { }1 4 2 5 6, , ,m m m m mα = + ， { } { } { }1 4 2 5 6 1 4 8, , , , ,m m m m m m m mβ = + + ，
{ } { }5 6 5 7, ,m m m mγ = + .
由定义 2 可以证明：
{ } { } { } { } { }1 4 2 5 6 1 4 2 5 6 1 4 8, , , , , ,m m m m m m m m m m m m mα β= + + + = + + = .
模糊概念“α 或者γ ”简记为α γ∨ .由（2）及定义 2 有：
{ } { } { } { } { } { } { }1 4 2 5 6 5 6 5 7 1 4 5 6 5 7, , , , , , , ,m m m m m m m m m m m m m m mα γ∨ = + + + = + +
4
模糊概念“α 并且γ ”简记为α γ∧ .由（3）及定义 2 有：
{ } { } { } { }
{ } { } { }
1 4 5 6 1 4 5 7 2 5 6 2 5 6 7
1 4 5 6 1 4 5 7 2 5 6
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , .
m m m m m m m m m m m m m m m
m m m m m m m m m m m
α γ∧ = + + +
= + +
AFS 结构及 AFS 模糊逻辑系统
定义 3[2] 设ζ 是论域 X 上的一个属性或概念，ζ 与 X 上的一个二元关系 Rζ （即
R X Xζ ⊆ × ）相对应，其中 ( ),x y Rζ∈ ⇔ x 以某种程度属于ζ 且 x 属于ζ 的程度强于
或等于 y 属于ζ 的程度.
定义 4[2] 设 X 为集合， R 是集合 X 上的二元关系，如果对于 ,x y X∈ ， x y≠ ， R
满足：
1． 如果 ( ),x y R∈ ，则 ( ),x x R∈ ；
2． 如果 ( ),x x R∈ 且 ( ),y y R∉ ，则 ( ),x y R∈ ；
3． 如果 ( ),x y R∈ ， ( ),y z R∈ ，则 ( ),x z R∈ ；
4． 如果 ( ),x x R∈ 且 ( ),y y R∈ ，则或者 ( ),x y R∈ ，或者 ( ),y x R∈ .
则称 R 为弱偏好关系（sub-preference relation）.与弱偏好关系对应的概念称为简单概念，反
之称为复杂概念.
定义 5[10,12] 设 X ，M 为两个集合. 2M 是M 的幂集. : 2MX Xτ × → .如果对于任意的
1 2 3, ,x x x X∈ ，τ 满足下面公理，则 ( ), ,M Xτ 被称为一个 AFS 结构：
AX1： ( ) ( )1 2 1 1, ,x x x xτ τ⊆ ；
AX2： ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 3, , ,x x x x x xτ τ τ∩ ⊆ .
X 被称为论域，M 被称为属性集，τ 被称为结构.
在 实 际 应 用 中 ， 如 果 M 是 X 上 的 简 单 概 念 的 集 合 ， 我 们 定 义
( ) ( ){ }, , , mx y m m M x y Rτ = ∈ ∈ (4)
可以验证在例 1 中，M 中的元素都是简单概念，因此可以按(4)构造 AFS 结构：
如 ( ) { }1 1 1 2 3 4 6 8 10, , , , , , ,x x m m m m m m mτ = 表 示 1x 在 某 种 程 度 上 具 有 属 性
1 2 3 4 6 8 10, , , , , ,m m m m m m m ； ( ) { }4 7 1 2 6 9 10, , , , ,x x m m m m mτ = 表示 4x 在某种程度上属于
1 2 6 9 10, , , ,m m m m m 并且属于属性 1 2 6 9 10, , , ,m m m m m 的程度大于或等于 7x 属于它们的程度.
[15，16]给出了逻辑运算“ ' ”（非）的定义： i
i I
A EM
∈
∀ ∈∑ ，
{ }( )' 'ii i I a A
i I
A a∈ ∈
∈
⎛ ⎞ = ∧ ∨⎜ ⎟⎝ ⎠∑ (5)
这里，对任意的 a M∈ ， 'a 是简单概念 a 的非，[15，16]给出了获得 'a 的方法.
代数系统 ( ), , ,EM ′∧ ∨ 称为 AFS 模糊逻辑系统.
基于 AFS 理论的 Zadeh 模糊集隶属函数的新算法
5
定理 2[12] 设 X ，M 为集合， ( ), ,M Xτ 是一个 AFS 结构. B X⊆ , A M⊆ ，定义符
号
( ) ( ){ }, , ,A B y y X x y A x Bτ= ∈ ⊇ ∀ ∈ (6)
对于给定的 x X∈ ，如果定义映射 xφ ： EM EXM→ ， i
i I
A EM
∈
∀ ∈∑ ，
{ }( )x i i i
i I i I
A A x A EXMφ
∈ ∈
⎛ ⎞ = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ (7)
则 xφ 是从 ( ), ,EM ∧ ∨ 到 ( ), ,EXM ∧ ∨ 上的代数同态.
定义 6[2] （连续情况）设 X 为一个集合， nX R⊆ . ρ : [ )0,X R+→ = ∞ . ρ 是 X 上在
Lebesgue 测度μ 下可积函数并且0
X
dρ μ< < ∞∫ . S ( 2XS ⊆ )是 Borel 集.对任意 A S∈ ，称
m 为 S 上的由 ρ 导出的测度，如果
( ) A
X
d
m A
d
ρ μ
ρ μ=
∫
∫ (8)
（离散情况）设 X 为一个集合， S 是 X 上的 σ 代数 . ρ : [ )0,X R+→ = ∞ ，
( )0
x X
xρ
∈
< < ∞∑ .对任意的 A S∈ ，称m 为 S 上的由 ρ 导出的测度，如果
( )
( )( ) x A
x X
x
m A
x
ρ
ρ
∈
∈
=
∑
∑ (9)
定义 7[2] 设ζ 是 X 上的简单概念， ζρ : [ )0,X R+→ = ∞ ，如果 ζρ 满足下列条件，则
ζρ 称为简单概念ζ 的隶属密度函数.
1． ( ) ( )0 , ,x x x R x Xζ ζρ = ⇔ ∉ ∈ ；
2． ( ) ( ) ( ), , ,x y R x y x y Xζ ζ ζρ ρ∈ ⇒ ≥ ∈ .
定义 8[2] 设 X 为论域，M 是 X 上的一些简单概念构成的一个集合，S 是 X 上的σ 代
数 . 对 于 任 意 的 Mα ∈ ， mα 是 由 α 的 隶 属 密 度 函 数 αρ 导 出 的 S 上 的 测
度 . i ii I a A EXM∈ ∈∑ ，如果满足 ia S∈ ， i I∀ ∈ ，则如下定义 i ii I a A∈∑ 的范数
( ) ( ) [ ]sup 0,1
i
i i ii I Ai I
M a A m aαα∈ ∈∈
⎛ ⎞= ∏ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠∑
对于在半认知空间 ( ), , ,M X Sτ 可测的模糊概念 ii I A EM∈ ∈∑ ，定义其表示模糊概念
ii I
A∈∑ 的 Zadeh 模糊集的隶属函数如下： x X∀ ∈ ，
( ) ( )( )( ) ( )( ) [ ]0,1
ii I
i i iA i I i I
x M A x M A x Aμ
∈ ∈ ∈
= = ∈∑ ∑ ∑ (10)
3 AFS 理论的应用
6
模糊聚类分析
[2]应用 AFS 理论，模仿人对给定对象的聚类、分类过程，提出了基于一个新的聚类
有效性指标的模糊聚类算法.与当前流行的聚类方法相比，[2]提出的算法有如下优点：
1.描述数据集的属性可以是多种类型或者有弱偏好关系的数据，甚至可以是人类直觉
描述.
2.不需要距离函数和目标函数，并且聚类的数目不需要事先给定.
3.每类均可以由 EM 中的模糊集描述出来，即可由一些属性上的带有特定语义的简单
概念通过 AFS 模糊逻辑运算表示出来.
目 前 ， AFS 模 糊 聚 类 方 法 已 应 用 到 Iris(ftp:// /pub
/machine-learning-databases/) 数据中.算法仅根据数据在属性上所产生的序关系进行聚类而
不涉及到它们具体的数值，得到聚类的准确率为%[14]，而利用MATLAB工具箱中的
K均值聚类算法，聚类的准确率为%[14].用著名的模糊C均值算法得到的聚类准确率也
为%[14].而且，K均值聚类算法和模糊C均值算法只能处理数值型的数据集.实验结果
也进一步说明了[2]所提出的模糊有效性指标对于描述聚类结果的清晰程度是非常准确的.
模糊分类器设计
利用由[2]提出的聚类算法所得到的类的模糊描述，对Iris数据设计一个新的分类器[14].
通过做10次试验，每次试验随机选取60%的训练样本（90个样本）和40%的测试样本（60
个样本），可以得到如下的结果：
表2 10次试验中分错的测试样本的数量
第 i 次试验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
分错的数目 1 2 0 0 0 1 2 1 1 3
[4] 提 出 了 模 糊 分 类 器 设 计 的 算 法 . 这 一 方 法 已 应 用 到 酒 分 类 识 别
(
验随机选取60%的样本（106个样本）作为训练样本，剩下的40%（72个样本）作为测试样
本，可以得到如下结果：
表3 10次试验中分错的样本数
第 i 次试验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
分错的数目 2 4 2 4 3 5 2 5 1 1
模糊分类 器设计的 算法也应 用到了信 用分析上 .[7] 中，作 者对信用 数据
(
60%的样本作训练，剩下的40%样本作为测试样本，得到每次试验的准确率如下：
表4 10次试验的准确率
第 i 次试验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
准确率（%） 66 72 54 72 60 70 62 60 66 50
模糊决策树
当今信息时代，知识获取和表示构成制约知识工程发展的主要瓶颈．由此出现了决策
7
树、归纳树等一些旨在缓解这一问题的研究方法.而决策树因其概念的透明性而倍受欢迎.
模糊决策树作为一种数据挖掘方法，集成了模糊理论和决策树的优点.在模糊决策树中，除
了根结点外的每个结点都与一个由几个模糊概念的交表示的模糊集对应，其中的交运算是
模糊逻辑中规定的某种算子.为了有效地生成决策树，需要事先定义模糊概念的隶属函数和
它们的模糊逻辑运算.[6]在AFS理论的框架下提出了一套基于数据的模糊决策树建立、分析
和模糊规则的上下界估计的方法，改进了过去依靠专家直觉和经验确定相关的模糊概念隶
属函数来生成决策树的方法.这种新方法充分利用了实验数据，为模糊决策树提供了一个全
面的解释，提高了其分类的准确性并增强了其实用性.
模糊认知图和模糊识别系统
[1，5，9]应用AFS理论，给出了新的模糊认知图构造和分析方法.与其他模糊认知图比
较，基于AFS理论的模糊认知图的设计完全由原始数据确定，避免了依靠专家直觉和经验构
造模糊认知图的主观性和不确定性，进而能更加准确地应用模糊认知图描述系统的动态特征.
应用AFS理论和组合数学方法，把专家关于系统故障诊断的经验用AFS结构描述，不但可以
更准确地确定相关模糊概念的隶属函数及其逻辑运算，而且可使专家的经验运用AFS模糊逻
辑校验和完备，进而提出了一种新的模式识别和故障诊断方法.
与概率理论的结合
随着机器智能和自动决策时代的到来，我们需要处理同时存在于现实世界中的人类自然
语言描述所产生的模糊性和经典数学描述的随机信息所产生的随机性.于是人们开始尝试将
概率理论与模糊集理论相结合来更好的描述客观世界.最早试图将概率理论和模糊集理论相
结合是在1966年由Loginnov 提出的.他将隶属函数解释为一个条件概率，但Zadeh 指出了
Loginnov 提出的方法的不合理之处并提出了“模糊事件的可能性测度”的方法来研究这一问
题，而这种方法也没有成功地将模糊性和随机性统一处理.[8]中作者对AFS理论确定的模糊
集的隶属函数给出了新的解释，其中的隶属函数由简单模糊概念的密度函数所表示出的模
糊性和与模糊概念相关的数据的比率所表示出的随机性共同决定.这意味着人类主观的模糊
性和客观世界的不确定性可以在AFS的理论和概率理论框架内统一考虑.这种定义隶属函数
的方法更接近人类对客观事物的认识，为深入研究模糊集理论提供了一种更有效的分析方
法.
4 展望
AFS 理论是一种新的模糊数学研究方法，是一个崭新的理论，它能应用到很多领域中.
本文所列举的对 AFS 模糊逻辑的应用仅仅是初步的，有待进一步深入研究和认识，特别是
AFS 理论结合其他方法（如遗传算法、神经网络、案例分析等）在数据挖掘中的应用.
8
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9
AFS Fuzzy Logic and Its Applications
Song Mingli 1, Liu Xiaodong 1, 2
（1. Department of Automation, School of Electronic and Information Engineering, Dalian
University of Technology, Dalian（116024）;
2. Research Center of Information and Control, Dalian University of Technology, Dalian
（116024）
Abstract
Many research results of AFS (Axiomatic Fuzzy Set) theory and its applications have been published
and studied by many experts since it was proposed in 1995. In this paper, an over review of AFS
theory is done by both theory introduction and examples to explain the abstract notations and
theorems in order to elicit the potential applications and the further research topics. Some
well-known datasets are applied to test the application algorithms and the results show that AFS
fuzzy logic systems offer a far more flexible and powerful framework for representing human
knowledge and studying the large scale intelligence systems in real world applications.
Keywords: AFS structures, AFS algebras, AFS fuzzy logic, fuzzy decision trees, fuzzy classifier
designs.
作者简介：
宋明丽（1983-），女，辽宁大连，大连理工大学电子与信息工程学院自动化系研究生，研究
方向：控制理论与控制工程；
刘晓东（1963-），男，辽宁沈阳，大连理工大学信息与控制中心教授，博士生导师，研究方
向：模糊系统及其应用，控制理论及其应用。
