工业机器人手臂的静态平衡
第一部分：平衡离散
Ion Simionescu*, Liviu Ciupitu
Mechanical Engineering Department, POLITEHNICA University of
Bucharest, Splaiul Independentei 313, RO-77206,
Bucharest 6, Romania
Received 2 October 1998; accepted 19 May 1999
摘要：本文介绍了一些在工业机器人手臂的重量平衡解决方案，运用
了螺旋弹簧的弹性力量。 垂直和水平手臂的重量力量的平衡显示很
多备选方案。 最后，举例子，解决一个数值示例。
关键词：工业机器人；静态平衡；离散平衡
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1. 介绍
机器人及工业机器人机制构成了一个特殊类别的机器系统，其特
点是大质量的元素在一个垂直平面移动速度相对缓慢。基于这个原因，
重量势力成了驱动系统必须要克服的一大份额的阻力。对于平衡重量
力量的问题，可编程序的机器人是非常重要的，在训练期间，人工操
作必须容易地驾驶机械系统。
一般来说，工业机器人手臂的重量平衡力量都将会削弱驱动力量。
在轴承发生的摩擦力没有被考虑到，因为摩擦时刻感觉取决于相对运
动感觉。
在这项工作中，对直圆柱螺旋弹簧弹力影响力量平衡问题的可能
性进行了分析。
这种平衡的可以被分离出来，可以是工作领域位置的有限数字，
或者在在工作领域中的所有位置的连续。 因此，离散系统只能实现
了机器人手臂的近似平衡。
增量的使用并没有被考虑在内，因为他们涉及到了移动的质量物
体的增加，整体大小，惯性和组分的压力。
2. 在一固定水平轴附近的重量力量的平衡
通过螺旋弹簧的弹力来平衡机器手和机器人的重量力量，有集中
可行的方案。
简单的解决方案并不总是适用的。有时候从建筑角度来首选一个
有效的近似解替代原先方案。
在一个水平固定轴附近的链接 1（例如：横向机械手臂）的重量
力量的维持平衡的最简单的方法在图 1 中该要的显示出来了。在链接
点 A 和固定点 B 之间，使用了一个螺旋弹簧 2.以下是对链接 1 适用
的表达力矩的平衡公式：(m1OG1cos i+m2A)g+Fsa=0,i=1,…,6
在那里，螺旋弹簧弹力是: FS=F+k(AB-l0),和
弹簧 2 的重心 G2 和双中心 A、B 两点在同一个直线上。
弹簧的弹性系数由 k 表示、 m1 是链接 1 的质量、 m2 是 螺旋弹
簧 2 的质量 ， g 表示重力加速度的大小。这样，通过六个非重复
值 Ψi 以及由其获得的力的平衡值，可以获得以下的未知值：
1A,y1A,XB,YB,F0 和 K 。
为了使得重心 G1 位于 OX1 上，对于手臂 1 我们选择活动协调轴系
统 X1 OY1 . X1A 和 Y1A 的调整确定了臂 1 上点 A 的位置。
在一些特殊的情况下，当 y1A=XB=l0=F0=0 时，这个问题可以有无
限的解答，通过下面的公式定义：
k= ,
角度 Ψ 取任意值。
因为在这种情况下， FS=k AB（见图 2 第一行），不使用螺旋弹
簧的系统在建筑上出现了一些困难。压缩弹簧，它对于计算的功能，
不能被对折。因此，在导航中出现的摩擦力使得培训工作更加困难。
甚至于在一般的情况下，当 y1A≠0 和 XB≠0 时，弹簧的初始长度 l0 的
减少，相当于力 F0=0。对于平衡所必须的弹簧的平直特征位置的径
向变位系数（图 2 直线 2），换言之，从建筑学的角度上看，为了获
得一个可以接受的原始长度 l0 ,可能可以用一个移动的弹簧取代固定
B 点的弹簧连接。换句话来说，弹簧的 B 端挂在可移动的链接 2 上，
Y
mOGm
BA
AA
g
1
1211
)(
位置随着手臂 1 的变化而变化。链接 2 可能有一个平面副的或者是直
线的绕着一个固定点的转动运动副，并且它通过中介动力学链子所驱
动。（图 3-5）在引用里展示了更多的可能性[2-7]。
图 3. 弹性系统的平衡与四杆机构
图 3 展示了一个运动学构架，其中连接 2 在 C 点帧加入，它通过连
接杆 3 和机器人手臂 1 的链接进行驱动。在手臂 1 运行的平衡力量系
统由一下方程表示：
fi=(m1OG1cos +m4AXA)g+Fs(YAcos － XAsin )+R31XYE －
R31YXE=0,
i=1,…，12， （2）
i i i
在连接杆 3 和机器人手臂 1 之间的反作用力组分，在固定坐标系轴上：
类似于前面的例子，连接杆 3 的角度是：
OG1 和 BG4 的距离，同 , , , 分别决定了链接 1、4、
的质量重心的位置。
未知数 , , , , , , , ,ED, BC, 和 k 通过
解决平衡方程（2）解得，其中需要工作区域 12 个机器人手臂的非重
复位置角 Ψi 。元素的质量 mj ( j=1,….,4)和物质中心假设是已知的。
根据那些角： i,i=1,…，12 机器人手臂的静态平衡在那些 12 个位置
保持平衡。由于连续性的原因，不平衡值在这些位置上是微不足道的。
实际上，问题是以一种反复的方式解决的，因为在设计之初，关
于螺旋弹簧和链接 2 和 3 的情况，很多都是未知的。
不平衡力矩的最大值和平衡系统的未知数成反比。通过在臂 1 和
链接 2 上两个平行圆柱螺旋弹簧的组装，平衡精度增加了，因为 18
个非重复值的 Ψi 可施加在相同的工作领域。
在 中，显示了围绕一个固定的横轴的链接的静态平衡的另
一种可能性。被固定在直线上滑行的滑道 2 上的 B 点通过机器人手
臂由杆 3 驱动。该系统根据以下的平衡方程形成：
fi=(m1OG1cos +m4AXA)g+Fs(YAcos － XAsin )+R13XYE －
R13YXE=0,
i=1,…，11， (3)
DE
CD XX ECi
i
)cos(
arccos
x G2 2 y G2 2 X G3 Y G3
x A1 y A1 x E1 y E1 x D2 y D2 X C Y C F 0
i
未知数： , , , ,CD,d,b,e,a, ,and k。
滑块的位移 Si 可以取以下的值：
图.5.弹性系统与曲柄滑块机构Ⅱ.
如果工作领域关于垂直轴 OY 对称，那么平衡机制就有一个特定的
模式，并由这些变量决定：y1A=y1D=b=e=0,和 [5]。
未知值减少到了六个 ，但是平衡精度提高了，因为考虑到了位
置角 Ψi 决定了以下的方程式：
，i=1…,6. (4)
同 样 ， 平 衡 螺 旋 弹 簧 4 可 以 在 B 点 加 入 到 连 杆 点 3. 。
().Eq.(3) 臂 1 和 链 接 3 之 间 的 反 应 力 的 构 成 为 ：
x A1 y A1 x D1 y D1 F 0
2/
ii
6
未知数为： , , , , , CD,e,a, ,and k。
图 6 显示了另一个平衡系统变体。螺旋弹簧 4B 端加入了能够
平面平行运动的连杆 3.以下的未知数 , , , , , , ,
,d, ,和 k.被作为由以下平衡方程构筑的系统的解决方案(3)：
和
图.6. 弹性系统的平衡与振荡滑块机构.
x A1 y A1 x D1 y D1 x B3 y B3 F 0
x A1 y A1 x E1 y E1 x B3 y B3 X C
Y C F 0
一样的方法，如果工作领域关于垂直轴Oy对
称.(y1A=y1E=y3B=d=XC=0)[5]的话，在图4显示的建设性的解决方案，
平衡精度性更高，因为位置角Ψi决定了方程式。
图.7. 纵向和横向平衡的机器人手臂弹性系统.
3、四连杆结构的重力的静态平衡
由于机器人垂直壁承载着水平臂的问题，机器人垂直臂的静态
平衡显示出了一些特殊情况。基于这个原因，大多数的机器人制造商
选择使用平行四边形模型作为一个垂直臂。(如图.7)因此，链接 3 有
一个圆形平移运动。在 K 点加入了弹性系统，是为了平衡水平机器
手臂重量。以上的任何一个方案都可以解决四连杆元素的重量力平衡
问题。例如，图 3 的弹性系统。弹性系统的未知尺寸同时解决了下面
的方程：
以上这个方程所写的 12 个垂直臂可变位置角 的值。
这些方程是虚功原理应用于链接系统的成果。当水平的手臂不
旋转绕轴 C，而因此由 3,8,9,10 和 11 几元素组成的重心的速度等
于点 C.的速度时，等式（5）是成立的。所有的链接和重心的位置都
应该是已知的。等式（5）可以被等式（6）替代，如果 d 2/dt=1 成
立：
以下是未知值：
FG 和 GH 的长度；
坐标：点 F,J,H 和 J 的坐标； , , , , , , ,
对应于原始长度 l0 和刚性弹簧系数 k 的 F0
4. 举例
机器人手臂质量 m1=10kg 和 图 3 的弹性系统处于静态平衡状
态，已知：
DE = m, BC = m, x1E =, y1E =－×
10－6 m, XC =×10－3 m, YC = m, x1A =,
y1A= ×10－3 m, x2D=－ m, y2D= － m。
x F2 y F2 x J2 y J2 X H Y H x I6 y I6
重心 G1 有 OG1= 。关于弹簧有 原始长度 l0 = 弹性系
数 k= ,弹簧重 m4 = kg 。
当 min=－ 和 max=－ 时，最大不平衡时刻有
最大值，最大值 UMmax= Nm。
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