社会统计学
(Social Statistics)
科学只有当它利用了数学的时候，它
才达到了完善的程度。
——马克思
对于追求效率的公民而言，统计思
维总有一天会和读写能力一样必要。
——
教材及参考书目
社会统计学，张彦，高等教育出版社，2005
社会统计学，张彦，南京大学出版社，1997
社会统计学（第八版），布莱洛克，社会科学文献出版社
社会统计学（重排本），卢淑华，北京大学出版社，2002
社会研究的统计分析，李沛良，社会科学文献出版社
主要内容
第一章 导论
社会统计学是教育部规定的社会学专业10门主干课程之一。为了规范社会学专业主干课程的教学，教育部社会学专业教学指导委员会先后组织编写了主干课程的教学大纲，并由高等教育出版社出版。本书作为与之相配套的教材，是按照社会统计学教学大纲所确定的内容和框架编写的。
社会统计学的几个基本概念
什么是社会统计学
社会统计的产生与发展
统计学的产生
第一节 什么是社会统计学
政治算术学派
国势学派
数理统计学派
社会统计在中国
社会统计的出现
社会指标运动
社会统计学派
17世纪以前，社会统计主要局限于对事物
进行原始的调查登记和简单的计算汇总。
如大禹时的九州表，明初的黄册和鱼鳞册；
古埃及、古希腊、古罗马在公元前400年就建立
的出生、死亡登记制度。
17世纪后，产生了以工业、农业、贸易、
交通等方面统计为主的社会经济统计。
国势学派
政治算术学派
数理统计学派
1.国势学派
代表人物是康令（1606~1681）和阿亨瓦
尔（1719~1772）。1749年，阿亨瓦尔根据
拉丁文“Status”、意大利文Stato和Statista及
德文Statisti等字根创造出 “Statistik”这个新
词，原意指“国家显著事项的比较和记述”。
国势学派可谓“有名无实”的学派：只用文字
记述，不用数字计量。它又称记述学派和历史学
派。
2. 政治算术学派
格朗特1662年在其《自然和社会观察》一书
中，从宗教管理、商业、气候、疾病等方面，对
当时伦敦人口的出生率、死亡率和性比例等方面
进行了综合的统计分析。
威廉 · 配第1667年在其《政治算术》一书
中，运用有关人口、土地税收和国家收入等方面
的数字资料，对英国、荷兰的经济实力进行比
较，首创了一种数字对比分析的方法。“即用数
字、重量、尺度来表达自己想说的问题。”
与国势学派相对应，政治算
术学派可谓“有实无名”的学派。
3.数理统计学派
凯特勒（1796~1896） 首先将概率论原理引入到社
会现象的研究，在《社会物理学》，《道德统计》、
《论人类》等书中，他认识到人类的社会活动服从于一
定规律，并发现这种规律只有通过大量观察才能被人们
所认识。
凯特勒被称为现代统计学之父。1867年，一门兼
有数学和统计学双重性质的学科被命名为“数理统计学”。
1886年，高尔顿：相关指数
1900年，皮尔逊：卡方检验，复相关计算
1928年，戈塞特t；费舍F
1950 S，拉扎斯菲尔德：自动化处理
1966年，斯坦福：SPSS
4.社会统计学派
凯特勒的另一个重要贡献，是他把政治经济学、
数学和当时政府统计工作的方法结合在一起，建立了一
个专门研究社会现象的统计学派。后来这个学派传到德
国，就出现了以克尼斯(1821—1898)、梅尔(1841—l 923)
和恩格尔(1821—1896)为代表的德国社会统计学派。
第一次世界大战前后，随着社会统计学派的中心逐
步向英、美等国转移，社会统计学与社会学的关系日益
明确。
1900年，马约 · 史密斯《统计学和社会学》。
1920年，史特威 · 恰平《实地调查与社会研究》。
恰平还著有《社会学中的科学方法》等书。
二次大战后，社会统计学在广义和狭义两方面的实
践意义逐步得到了人们的公认。
20世纪60年代以来，西方发达资本主义国家先后都
制定了社会发展计划。 20世纪60年代首先在美国掀起了
一个颇有声势的“社会指标运动”。
1966年，雷蒙 · 布埃尔提出用社会指标的方法解决社
会分析和社会规划的基本理论，出版了《社会指标》一
书。
1976年，经互会《社会统计基本指标体系》
1976年，OECD《社会生活质量的计量》
1982年，国家统计局成立社会统计司
1983年,《中国社会统计资料》首次公开出版
社会统计学的对象与特点
社会统计学是运用统计的一般原理，对社会各种静态结构与动态趋势进行定量描述或推断的一种专门方法与技术。
广义的社会统计学
狭义的社会统计学
狭义的社会统计学同经济统计学是怎样一种关系呢?
社会统计的方法
1.大量观察法
所谓大量观察，即是就总
体中足够多的单位进行调查和
综合分析，用以反映社会总体
的数量特征。
2. 大数规律
随机现象出现的基本规律，
其一般意义是：观察过程中每次
取得的结果可能不同(因为具有
偶然性)，但大量重复观察结果
的平均值却几乎接近某个确定的
数值。
所谓描述统计就是讨论范围仅以搜集资料本身为限，而不予以扩大。
所谓推论统计，主要是依据概率论，研究如何依据有限资料对总体性质作推断，从而使统计的功能大为扩充。
假设检验
参数估计
社会统计工作的程序
制
定
计
划
统计调查
统计整理
统计分析
统计报告
应该指出，统计工作的程序，从宏观上讲离不开统计立法，而且统计活动的首要前提是统计立法。按国际惯例，统计立法应明确、具体地规定出统计活动涉及的各方面的法律责任，以保证统计资料的准确性和客观性。
总体与单位
第二节 社会统计的几个基本概念
所谓总体，就是作为统计研究对象的、由许多具有共性的单位构成的整体。总体也有人称之为母体。 构成总体的每一个个体称为总体单位，简称单位，也称为个体。
有限总体与无限总体
想象总体与现实总体
总体在抽样调查及推论统计中，还引出了它与样本总体这个概念的联系与区别。推论统计有“部分推断总体”的特征。通过抽样得到的用以推断总体特征的那个“部分”，在统计学上称为样本或样本总体。样本中所含的单位数，在统计学上称为样本大小，也叫做样本容量。从总体抽选出样本的过程叫抽样，也有叫取样的。
标志与变量
总体的每个单位都具有许多属性和特性，说明总体单位属性或数量特征的名称在统计上称为标志。
数量标志
品质标志
变量 X
连续变量 (精确值)
离散变量(近似值)
自变量和因变量
确定性变量和随机变量
虚拟变量
指标与指标体系
统计指标是反映总体(或样本总体)的数量特征的概念或范畴。如人口数、湿地面积、就业率、性比例等等，这些概念用于反映一定总体的数量方面时，就是统计指标。
数量指标和质量指标
总量指标、相对指标和平均指标
在社会统计中，如要全面把握对象总体情况，就不能单凭一个指标，而要靠一组相互联系的并与之相适应的指标来完整地反映对象总体。指标体系就是一系列有内在联系的统计指标的集合体。
主要内容
第二章 社会统计资料的搜集
统计作为认识社会的有力工具，首先要对社会实际情况作周密的调查。统计调查是根据统计目的和任务，取得相应统计资料的活动。就每项具体的调查而言，就是对总体各个单位的有关标志的具体表现进行登记，搜集关于总体单位个别特征的大量资料。
统计调查的组织形式
概念的操作化与测量
统计误差
调查的方法及种类
统计资料的分类
第一节 统计调查的方法及种类
所谓原始资料，是指由调查者直接搜集的、未经加工整理而保持其原本状态的资料。原始资料又称第一手资料或初级资料。所谓次级资料，是指经他人加工整理，可以在一定程度上被引用来说明总体特征的资料。
如果考虑到资料的时间过程，凡某一特定时刻的资料称为静态资料；凡某时期内变动累计的资料称为动态资料。
普遍主义
公有性
无私利性
有条理的怀疑主义
特殊情况下的禁止性功能
诚实性
第一类规范
普适的禁止性功能
科学的规范结构
第二类规范
普适的倡导性功能
控制
越轨行为
普查、重点调查、典型调查
第二节 统计调查的组织形式
1．普查
普查即全面调查，顾名思义，就是对研究对象的全体作无一遗漏的逐个调查。
2．重点调查
重点调查就是在研究现象的总体中．选取其中的重点单位进行调查。
3．典型调查
典型调查就是根据调查的目的和要求，在对所研究对象进行初步全面分析的基础上，从中选择有代表性的单位，做周密细致的调查。
抽样调查
随机抽样
非随机抽样
抽样调查是在社会学研究中最常用的调查组织方式，它属于非全面调查的范畴。抽样调查是按照科学的原理和计算，从若干单位组成的事物总体中，抽取部分样本单位来进行调查、观察，然后用所得到的调查结果来推断总体。
定额抽样
偶遇抽样
等距抽样
分层抽样
随机抽样简单
整群抽样
“滚雪球”抽样
概念的操作化
第三节 概念的操作化与测量
要展开社会研究，一个必要的步骤就是要把理论层次上的抽象定义，变为经验层次上的可操作定义。概念的操作化就是指这一过程。
出身、地位、关系等(A’)
理论层次 贡献（A） 承认（B）
…………………………………………………………
经验层次 成果（X） 奖励（Y）
测量的水平
在任何一门科学中，最基本和最简单的操作是分类（或组）。只要类别是可穷尽的，且总体单位对分类而言是互斥的，那么便可以使用定类尺度来进行测量。
如果我们不仅可以测量被研究对象的类别和顺序，而且还可以获得有关它们之间差值的信息，那么测量便提高到了定距尺度。
在社会调查和社会统计中，测量被分为四个水平：①定类尺度；②定序尺度；②定距尺度；①定比尺度。
如果我们不仅可以区分出类，而且可以排列出各类的顺序，那么测量便提高到定序尺度。
如果我们在定距尺度上可以确定一个绝对的或非任意性的零点，那么测量便提高到了定比尺度。
所谓统计误差，是指在调查和统计过程中所得数据（或指标）与实际值之间存在的差别。
登记性误差
代表性误差
抽样误差是在遵守随机原则的条件下，用样本指标代表总体指标不可避免存在的误差，它表示抽样估计的精度。一般抽样误差越小，抽样估计的精度就越高，反之就越低。由于抽样误差是概率抽样固有的、不可避免的误差，它本身又是随机变量，所以可以按数理统计的方法计算，确定其数量界限(如用抽样平均误差表示)并加以一定控制。
第四节 统计误差
抽样误差
主要内容
第三章 社会统计资料的整理
原始资料杂乱无章，需加整理，才能为人所用。统计资料的整理，其基础是统计分组。所谓统计分组．就是按统计研究的目的和要求，将总体单位或全部调查数据按一定的标志划分成若干组，使组内差异尽量小，而组与组之间则有明显差异，从而使原本杂乱无章的资料有序化，以便为在统计分析中提炼各种有用信息打下基础。
统计表
变量数列的编制
统计图
统计分组的原则与标准
统计分组的原则
第一节 统计分组的原则与标准
1．分组应使各类别构成之和等于总体
“穷举”
“互斥”
2．分组设计应能反映统计总体的分布规律性
统计分组主要是为了能很好地反映统计总体的构成状况，即反映总体中各单位的分布特征。分组设计要适应这一要求，必须在分组后使总体单位总数在各组的分配情况能够反映总体的分布规律性。
某社团成员的构成
性别
人数
男 女
28 22
人数
年龄
3 7 12 18 10
55--65
35--45
45--55
25--35
15--25
频数分布数列
在统计资料搜集的基础上，按分组原则，将总体中所有单位依一定顺序归类整理，即可得到能够表明总体单位总数在各组分配情况的频数(或次数)分布数列，简称数列。频数分布数列是统计分组工作的产物。
品质数列
变量数列
100名男性青年的身高表 单位：厘米
第二节 统计表
166 181 173 171 168 164 178 167 156 194
169 175 183 168 165 180 170 172 167 175
173 169 174 172 171 169 173 184 173 169
170 181 185 168 174 187 167 174 169 165
167 172 174 173 155 179 164 158 165 162
157 175 182 168 176 161 171 163 176 159
171 178 172 169 158 163 166 168 160 178
170 164 160 170 166 178 171 167 162 169
165 171 165 168 176 174 163 177 164 170
161 179 177 162 149 169 166 153 177 164
统计调查搜集来的资料往往是没有次序的原始资料(参见右表)，使原始资料有序化，列表和作图是两种基本方法，得到的分别就是统计表和统计图。
2002年我国城乡人口情况
按城乡分
比重（%）
人口数（万人）
128453
78241
50212
统计表
1. 格式
统计表是表示统计资料的表格，在由横行、纵栏交叉结合而成的表格上，它能系统地组织和合理地安排大量数字资料。
总标题
乡村
城镇
合计
纵栏标题
统计数值
横行标题
表3．4 离婚案件构成
623
100
59
9
14
2
46
7
188
31
44
7
44
7
64
10
79
13
85
14
离婚案件（件）
比重（%）
合计
其他型
分居型
生理型
家务型
再婚型
虐待型
猜疑型
外遇型
草率型
2. 内容
主词——统计表所要说明的对象。
宾词——用来说明主词的标志和标志值。
如需要，主宾词可互换。
●简单表 我国城市居民家庭基本情况（2002年）
3．04
1．58
1．92
8177．40
7702．80
6029．88
人
人
人
元
元
元
平均每户家庭人口
平均每户就业人口
平均每个就业者负担数
平均每人全部年收入
平均每人可支配收入
平均每人消费性支出
数值
单位
主要指标
3. 统计表按主词是否分组以及分组的程度可分为
简单分组表
复合分组表
简单表
简单设计
复合设计
中国人口年龄结构状况 单位：%
22．9
70．1
7．0
27．7
66．7
5．6
33．6
61．5
4．9
40．7
55．7
3．6
36．3
59．3
4．4
0―14岁
15―64岁
65岁以上
2000年
1990年
1982年
1964年
1953年
年龄组
资料来源|：《2003中国统计年鉴》第99页。
● 简单分组表
● 复合分组表
我国社会福利主要费用情况 单位：亿元
178．1
168．0
143．0
118．0
合计
108．1
69．5
38．6
29．5
12．1
17．4
40．5
26．4
14．1
107．6
60．7
46．9
31．7
8．3
23．4
28．7
19．0
9．7
91．4
51．1
40．3
28．5
7．9
20．6
23．1
13．7
9．4
68．0
32．4
35．6
29．8
7．0
22．8
20．2
10．3
9．9
（一）优抚对象补助金额
国家支出
集体供给
（二）农村传统救济金额
国家支出
集体供给
（三）城乡各种福利院支出
国家支出
集体供给
2001
2000
1999
1998
项目
资料来源|：《2003中国统计年鉴》第838页。
标题部分
1、标题置于表格正上方
2、总标题所示要点与表中项目一致，在需要时还应表明资料所属的时间和地区
3、表次：左 ；单位：右
4、对分页的同一表格，在每页上端都要写标题，加（续一）、（续二）
栏目部分
1、先局部后整体
2、若栏目较多，可加以编号；统计数字间有计算关系的，可用计算式表达。
统计表的制作规则
线格部分
1、统计表上下两端线应以粗线或双细线标划，表的
左右两侧开口。
2、各栏间用直线标划，大项目间线条较粗，小栏目
线条较细；各行间不必划线条。
数字部分
1、表中数字要对准位数。
2、不存在某数字时，用“——”表示；缺少某项数字
时，用“……”表示。
3、数字较大时，加分位点。
其他规则
1、资料来源写在表格下方。
2、有说明解释需要时，在表下方注释。
3、单位有数种时而不能在表右上角划一标注时，分
两种情况处理。
变量数列的构成要素
第三节 变量数列的编制
在社会统计学中，总体中各单位的分布特征首先是用统计表来表示的。能够表示变量分布及其特征的统计表，即变量数列。它有两个构成要素：
变量值 Xi
频数 fi
相对频数 Pi
离散变量数列
离散变量所描述的对象的数量特征，可以按一定次序列出它的整数值，相邻两变量值不会出现小数，因而能编制出单项式和组距式两种变量数列。
单项数列
组距数列
组距(hi) =上限(ui) ―下限(li)
组中值( mi) = 或 组中值( mi) =
1.单项式变量数列——数列中每一组的变量值只有一
个。单项数列用于离散变量整数值变动幅度较小时。
某社区各户人口数统计表
50
合计
5
8
16
10
6
4
1
2
3
4
5
6
7
8
频率(P)
户数(f)
人口数（X）
● 离散变量单项数列
组中值（
29
——
合计
2
5
10
8
4
11
18
25
32
39
8―14
15―21
22―28
29―35
36―42
学校数（ ）
组中值（ ）
间距
● 离散变量组距数列
某地区小学班级数
2.组距式变量数列——离散变量的整数值如果变动幅
度较大，而且总体单位数N又很大，则要编制组距数列。
连续变量数列
连续变量因其数学特征，在一个区间可以有无限多数值，无法按顺序一一列举，所以只能编制组距数列。与离散变量组距数列不同之处在于，根据连续变量的特征，此时组距数列中相邻两组的上限和下限共有一个组限，即相邻两组交界处的组限重合。至于恰等于某一组限的数据(如下表中身高164厘米)归于哪一组，应该按照“上限不包括在内”的原则处理。这就是说，164应归于“164—168”这一组，而不应归于“160—l64”这一组。有了这一规定，就不会在编制连续变量的数列时，发生违背“穷举”与“互斥”这两个基本原则的情况了。
男青年身高按4厘米的间距分组时的频数分布
——
100
——
合计
1
2
5
10
19
25
17
12
5
3
0
1
150
154
158
162
166
170
174
178
182
186
190
194
148―152
152―156
156―160
160―164
164―168
168―172
172―176
176―180
180―184
184―188
188―192
192―196
频率(Pi)
频数(fi)
组中值 (Xi)
身高间距（厘米）
● 连续变量数列
对于等距分组且为闭口组的情况，确定组距
已有某些数学公式可供参考
但最佳决定还是依据常识和数列使用的目的而
定。一般地说，组距应不小于可以忽略的数值之差。
注意，在资料被整理成数列时，全距可适当放大
(但不能缩小)，以便组数(或组距)取整数值。
确定组距和组数
异距分组
异距分组主要在变量变动并不是均匀的、有急剧上
升或突然下降之类情况发生时考虑。
标准组距频数的换算方法：
（1）选定某一合适的组距为标准组距；
（2）用标准组距除以各组组距，得到折合系数；
（3）将各组的折合系数乘以各组的频数。
频数密度和标准组距频数计算表
——
——
——
——
100
合计
1/2
1/2
1
1
1
1
1/2
1/2
3/8
15/8
19/4
25/4
17/4
12/4
8/8
1/8
8
8
4
4
4
4
8
8
3
15
19
25
17
12
8
1
148―156
156―164
164―168
168―172
172―176
176―180
180―188
188―196
标准组距频数
折合系数
（取标准组距4）
频数密度
组距
频数
男青年按身高分组（厘米）
累计频数（F）
向上累计——以变量数
列首组的频数为始点，逐
个累计各组的频数，展示
小于该组上限的频数和。
向下累计——以变量数
列末组的频数为始点，逐
个累计各组的频数，展示
大于该组下限的频数和。
频数分布不但可以用统计表的形式表现，也可以用
统计图的形式表现。用统计图表示频数分布，较之用统
计表，要直观便捷得多。但缺点是不及统计表精确。统
计图的种类很多，本节仅就与频数分布数列相衔接的统
计图加以介绍。
根据编制好的频数分布数列，可以绘制出相应的统
计图，最常用的有频数分布直方图、折线图、曲线图以
及累计频数分布曲线。具体方法是：先画直角坐标系，
横轴代表分组或各组组限，纵轴代表各组频数或频率，
然后再根据相应的分配数列作图。
第四节 统计图
条件下，很显然各矩形的面积与其高度成正比。因此，各矩形的面积同样可以用来表示各组的频数或频率，而且看起来更形象直观。如果取各矩形的总面积为1，各矩形的面积必定等于各组的相对频数。
直方图(Histograms)
直方图是用矩形(或长条)的高度来表示数列各组的
频数或频率。对于定类变量和定序变量的分组，矩形(或
长条)的宽度是没有意义的，各矩形之间要留出一定的空
隙；对于定距变量(和定比变量)的分组，矩形的宽度表
示各组组距，各矩形之间一般不留空隙。在等距分组的
其实，在频数分布图中，用面积来理解频数分布状况更合适。
比如直方图，当处理异距分组时应该用矩形面积而不是用矩形高度
来显示频数分布。
下面是根据表3．15绘制出的两个直方图。左图用矩形高度来
表示各组频数就会产生错觉。右图是按照标准组距频数作出来的，
用矩形面积来表示各组频数就避免了不必要的错觉。以后当我们接
触正态曲线等曲线后，将进一步体会到用面积来表示频数分布的好
处。
折线图（Polygon）
表示频数分布的另一种图形是频数多边形图，简
称折线图。直接把直方图各矩形顶部的中点用直线连接
起来，并把原来的矩形抹掉，就得到频数多边形图。
当变量数列中的组数愈加增多，变量值也非常多
时，折线图会逐步过渡到平滑曲线。频数分布曲线图实
质上是对应于连续变量的频数分布的函数关系图。
曲线图
下表是诺贝尔获奖者的年龄分布表。(1)请根据数据
制作直方图和折线图；（2）将折线图修匀为一条曲线
图，并描述该曲线的特点。
305
合计
15
34
70
68
53
37
28
25岁以下
25~30
30~35
35~40
40~45
45~50
50岁以上
获奖人数
年龄
常见曲线图类型
● 钟形曲线：
“中间大，两头小”
对称分布：正态分布
非对称分布：
偏态分布——右偏、左偏
以横轴为渐近线，与横轴所围的面积为1，代表变量
X全部可能取值的概率
婚龄、学生身高——近似正态分布
收入分配、资源配置——偏态分布
● U形曲线：中间
小，两头大
● J形曲线：正J分布，反J分布
●逻辑斯蒂曲线：变量值分布的次数随变
量值增大 而增多或相反，但有上限。
●累计频数分布曲线
显然，累计频数分布
曲线只有两种形状：或持
续增长的或持续减少的。
这分别取决于向上累计或
向下累计。累计频数分布
曲线一般都呈逻辑斯谛曲
线形，其斜率最大的地方
对应于频数最大的组，其
水平的地方对应于空组。
洛仑兹曲线和基尼系数
● 洛仑兹（Lorenz)曲线乃反映社会收入分配平均程
度的一种累计百分数曲线，其特点是在纵轴和横轴上都进行累计。（下凹程度愈大，收入分配愈不平均）
基尼系数的计算公式，可以根据定义，用求三角形
和梯形面积的方法，很简单地推导出来，即
● 基尼系数 意大利经济学家基尼(Gini)根据洛仑兹曲线提出了
判断收入分配平均程度的指标。
合理界限~；警戒线；红线。 （中国，
2003，）
1984年我国农民家庭人口及收入构成累计 单位：%
0
0
0
0
100
20
40
60
80
100
20
40
60
80
100
最低的20％
第二个20％
第三个20％
第四个20％
第五个20％
实际情况
绝对不平均
绝对平均
累积的收入百分比
累积的人口百分比
在全部收入中所占百分比
农民家庭收入按收入多少的人口序列
资料来源：《统计研究》1986年第1期。
中国居民收入GINI系数 (1979-2007)
第四章 集中趋势测量法
主
要
内
容
算术平均数
中位数
众数
几何平均数和调和平均数
统计分析首先要解决的问题，就是寻求一个简单数值以代表搜集所得的资料。
平均指标就是表明同质总体在一定条件下某一数量标志所达到的一般水平。
平均指标把总体各单位之间的差异加以抽象概括，其中个别标志值的偶然性被相互抵消，从而反映出总体分布的集中趋势。
下面是一个小故事：
一个人到某公司求职，经过调查，得出关于该公司工资的一些数据，如果是你，应该如何选择？
挠头的数值
公司员工的月薪如下：
500
1100
1100
1100
1200
1300
1700
4000
6000
月薪（元）
职员G
职员F
职员E
职员D
职员C
职员B
职员A
副经理
经理
员工
我们有三种方法选择集中趋势：
（1）根据频数：哪个变量值出现次数越
多，就选择哪个变量值，比如民主决策的表决
机制。
（2）根据居中：比如一个城镇居民的生活
水平，居中的是小康家庭，那么就用小康家庭
来代表该城镇的生活水平。
（3）根据平均：用平均数来代表变量的
平均水平。
关于集中趋势的一个故事
吉斯莫先生有一个小工厂，生产超级小玩意儿。
管理人员由吉斯莫先生、他的弟弟、六个亲戚组成。工作人员由5个领工和10个工人组成。工厂经营得很顺利，现在需要一个新工人。
现在吉斯莫先生正在接见萨姆，谈工作问题。
吉斯莫：我们这里报酬不错。平均薪金是每周300美元。你在学徒期间每周得75美元，不过很快就可以加工资。
萨姆工作了几天之后，要求见厂长。
萨姆；你欺骗我！我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元。平均工资怎么可能是一周300元呢？
吉斯莫：啊，萨姆，不要激动。平均工资是300元。我要向你证明这一点。
吉斯莫：这是我每周付出的酬金。我得2400元，我弟弟得1000元，我的六个亲戚每人得250元，五个领工每人得200元，10个工人每人100元。总共是每周6900元，付给23个人，对吧？
萨姆：对，对，对！你是对的，平均工资是每周300元。可你还是蒙骗了我。
吉斯莫；我不同意！你实在是不明白。我已经把工资列了个表，并告诉了你，工资的中位数是200元，可这不是平均工资，而是中等工资。
萨姆：每周100元又是怎么回事呢？
吉斯莫：那称为众数，是大多数人挣的工资。
吉斯莫：老弟，你的问题是出在你不懂平均数、中位数和众数之间的区别。
萨姆：好，现在我可懂了。我……我辞职！
第一节 算术平均数(MEAN)
用总体标志总量除以总体单位数即得
算术平均数（Arithematic mean）。
算术平均数是反映集中趋
势最常用、最基本的平均指标，
也被称为均值。它只适用于定
距以上的变量。
例：某小区350户家庭共有居民1190人。在
这个例子中，家庭总数350户是总体单位数，居
民总数1190人是该总体的标志总量。根据算术
平均数的定义
户均人口＝ ＝ （人）
1. 对于未分组资料
注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围是1, 2, 3, … ,N ，
N是总体单位数。
[例] 求74、85、69、9l、87、74、69这些数字的
算术平均数。
[解]
＝ ＝
2. 对于分组资料
注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围是1,2,3 … ,n，
n是组数，而不是总体单位数。
很显然，算术平均数不仅受各变量值(X)大小的影
响，而且受各组单位数(频数)的影响。由于对于总体的影
响要由频数( f )大小所决定，所以 f 也被称为权数。值得
注意的是，在统计计算中，权数不仅用来衡量总体中各标
志值在总体中作用，同时反映了指标的结构，所以它有两
种表现形式：绝对数（频数）和相对数（频率）。这样一
来，在统计学中，凡对应于分组资料的计算式，都被称为
加权式。
[例] 求下表(单项数列)所示数据的算术平均数 。
50
合计
5
8
16
10
6
4
1
2
3
4
5
6
7
8
频率(P)
户数(f)
人口数（X）
对于组距数列，要用每一组的组中值权充该
组统一的变量值。
[例] 求下表所示数据的的算术平均数
——
100
合计
150
154
158
162
166
170
174
178
182
186
190
194
1
2
5
10
19
25
17
12
5
3
0
1
148―152
152―156
156―160
160―164
164―168
168―172
172―176
176―180
180―184
184―188
188―192
192―196
组中值（X)
频数（f）
间距
3. 算术平均数的性质
各变量值与算术平均数的离差之和等于0。
各变量值对算术平均数的平方和，小于它们对任
何他数偏差的平方和
算术平均数受抽样变动影响较小。
分组资料如遇有开放组距时，不经特殊处理
不能进行算术平均数的计算。
受极端值影响较大。
第二节 中位数（Median)
把总体单位某一数量标志的各个数值按大小顺序排列，位于正中处的变量值，即为中位数，用Md表示。 Md可用于定序、定距、定比资料。
1. 对未分组资料
(1)、先把所有数据按大小顺序排列，如果总体单位数为奇数，则取第（N+1）/2 位上的变量值为中位数;
（2）、如果总体单位数为偶数。因为居中的数值不存在，按惯例，取第 N/2位和第（N+1）/2 位上的两个变量值的平均作为中位数。
例 求54，65，78，66，43这些数字的中位数。
例、求54，65，78，66，43，38 这些数字的中位数。
你会吗？
2. 对于分组资料
（1）单项数列
根据N/2在累计频数分布中找到中位数所在组，
该组变量值就是Md 。
中
位
数
（2）组距数列
按中位数所在组的下限：
按中位数所在组的上限：
当根据组距数列求中位数时，要采用所谓的比例插值法：先根据N／2在累计频数分布中找到中位数所在组，然后假定该组中各变量值是均匀分布的，再用以下任何一种方法求出中位数(注意：此处用的是向上累计)。
[例]某年级学生身高如下，求中位数
[解] 第一种方法
＝168＋ ×6
＝171．12(厘米)
请你用第二种方法来做一下
3. 中位数的性质
(1)各变量值对中位数之差的绝对值总和，
小于它们对任何其他数的绝对值总和。
(2)中位数不受极端值的影响。
(3)分组资料有不确定组距时，仍可求得
中位数。
(4)中位数受抽样变动的影响较算术平均
数略大。
4. 四分位数
中位数所有单位被等分为两部分，因而被称为二分
位数。类似于求中位数，我们还可求出四分位数、十分
位数、百分位数。
将总体中的各单位分割成相等的四部分，则这三个
分割的变量值就是四分位数。若以Q1、Q2、Q3分别代表
第一、第二、第三四分位数。Q2 即中位数，Q1、Q3的算
法分别是
请从下表中指出第一四分位数和第三四分位数
求出下表中的第一四分位数和第三四分数
第三节 众数(Mode)
众数是在一组资料中，出现次数(或频
数)呈现出“峰”值的那些变量值，用Mo表示。
众数只与次数有关，可以用于定类、定序、定距、定比资料。
1. 对于未分组资料
直接观察
首先，将所有数据顺序排列；然后，只要
观察到某些变量值(与相邻变量值相比较)出现
的次数(或频数)呈现“峰”值，这些变量值就是
众数。
2. 对于分组资料
单项式：观察频数分布 (或频率分布 )
组距式：
Lo为众数组下限；
Δ１为众数组频数与前一组频数之差；
Δ２为众数组频数与后一组频数之差；
ho为众数组组距。
50
合计
5
8
16
10
6
4
1
2
3
4
5
6
7
8
频率(P)
户数(f)
人口数（X）
求下表中的众数
众数
求下表中的众数
(1) 众数仅受上下相邻两组频数大小的影响，不受极
端值影响，对开口组仍可计算众数；
(2) 受抽样变动影响大；
(3) 众数不唯一确定。
(4) 众数标示为其峰值所对应的变量值，能很容易区
分出单峰、多峰。因而具有明显偏态集中趋势的频数分
布，用众数最合适。
3. 众数的性质
第四节 几何平均数、调和平均数（了解）
1. 几何平均数Mg (geometric mean ）
N个变量值连乘积的N次方根。(不能有变量值为
0）。适用于：(1) 计算某种比率的平均数；(2) 计算大
致具有几何级数关系的一组数字的平均数，如经济指标
的平均发展速度。
（1）简单几何平均数
对数式：
(2) 加权几何平均数
对数式：
应该指出，用以计算几何平均数的各项数值必须
大于0，否则就不能计算几何平均数或计算结果无实
际意义。
[例] 求3，9，27，81，243这些数字的几何平均
数。
[解]
（1）
（2）
2. 调和平均数Mh ( harmonic mean)
N个变量值倒数算术平均数的倒数，也称倒数平均
数。适用于：掌握的情况是总体标志总量而缺少总体
单位数的资料时。
简单调和平均数
加权调和平均数
3. 各种平均数的关系
(1) 当总体呈正态分布时：
(2)当总体呈偏态分布时：中位数总在均数和众数之间
正偏： 负偏：
（注： 和 合称位置平均数）
(3) 皮尔逊发现 ，在钟形分布的偏态不大显著时， 、 、
三者大致构成一个比较固定的关系：
(4) 、 和 合称数值平均数
第五章 离中趋势测量法
主要内容：（1）变异指标； （2）全距和四分位差； （3）平均差、标准差和标准分； （4）绝对离势和相对离势；（5）偏度（及峰度）。
例如有A、B、C、D四组学生各5人的成绩如下：
A组：60 ，60，60，60，60
B组：58，59，60，61，62
C组：40，50，60，70，80
D组：80，80，80，80，80
数据显示，平均数相同，离势可能不同；平均数不同，离势可能相同。
所谓离中趋势，是指数列中各变量值
之间的差距和离散程度。离势小，平均数
的代表性高；离势大，平均数代表性低。
变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范围或参差程度，与平均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的特征。
变异指标如按数量关系来分有以下两类；
凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势;
凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势;
主要有极差、平均差、四分位差、标准差等。
主要有异众比率、标准差系数、平均差系数和一些常用的偏态系数。
第一节 全距与四分位差
1.全距(Range)
R =Xmax– Xmin
[例] 求74，84，69，91，87，74，69这些数字
的全距。
[解] 把数字按顺序重新排列：69，69，74，
74，84，87，91，显然有
R =Xmax– Xmin ＝91—69＝22
全距（R）：最大值和最小值之差。也叫极差。全距越大，表示变动越大。
运用上述方法计算左边数列的全距
对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距：
（1）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值
（2）用组值最大组的上限减去最小组的下限
（3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限；
或最大组的上限减去最小组的组中值
优点：
缺点：
计算简单、
直观。
（1）受极端值影响大；
（2） 没有量度中间各个单位间的差异性，数据利用率 低，信息丧失严重；
（3）受抽样变动影响大，大样本全距比小样本全距大。
2.四分位差(Quartile deviation)
第三四分位数和第一四分位数的半距。
避免全距受极端值影响大的缺点。
求下列两组成绩的四分位差：
A: 78 80 82 85 89 87 90 86 79 88 84 81
B: 55 68 78 88 99 100 98 90 85 83 84 81
请大家计算一下，看能否算对
第二节 平均差(Mean absolute deviation)
要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各变量值
相对于平均数的差异情况，一个很自然的想法就是计算
各变量值与算术平均数的离差。平均差是离差绝对值的
算术平均数。
1.对于未分组资料
2.对于分组资料
3.平均差的性质
在受抽样变动、极端值影响，处理不确定组距方面均同于算术平均数；不适于代数运算，其理论意义不易阐述。
[例1] 试分别以算术平均数为基准，求85，69，
69，74，87，91，74这些数字的平均差。
[例2] 试以算术平均数为基准，求下表所示数据
的平均差。
计算左边数列的平均差
第三节 标准差（standard deviation)
各变量值对其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，均方差，又称用S表示。
即克服平均差带有绝对值的缺点，又保留其综合平均的优点。
1. 对于未分组资科
求72、81、86、69、57这些数字的标准差。
2. 对于分组资料
计算左边数列的标准差
[例] 调查大一男生60人的身高情况如下表所示，求
他们身高的标准差。
计算左边数列的标准差
[解] 因为是分组资料，计算标准差运用加权式，并
参见下表
标准差是反映总体各单位标志值的离散状况和差异
程度的最佳测度。
（1）以算术平均数为基准计算的标准差比以其他任
何数值为基准计算的标准差要小。“最小二乘方”性质——
各变量值对算术平均数的离差的平方和，必定小于他们
对任何其他数偏差的平方和。
（2）它将总体中各单位标志值的差异全包括在内，受
抽样变动影响小。但在受极端值影响以及处理不确定组
距方面，缺点同算术平均数。
值得注意的是，在推论统计中我们将发现，方差是
比标准差更有理论价值的概念。所谓方差，即标准差的
平方，它直接写成 。 也常被称为变异数。
3. 标准差的性质
4.标准分(standard score)
以离差和标准差的比值来测定变量 与 的相
对位置。使原来不能直接比较的离差标准化，可以相
互比较，加、减、平均。
（1）Z是和X一一对应的变量值；
（2）Z分数没有单位，是一个不受原资料单位影响的相对数，所以可以用于不同单位资料的比较；
（3）Z分数实际表达了变量值距总体均值有几个标准差。
Z分数也有标准正态变量之称。按Z值大小编制
出的正态分布表，其用途十分广泛。
Z分数的性质：
Z分数之和等于0
Z分数的算术平均数等于0
Z分数的标准差等于1，方差也等于1
第四节 相对离势
上述各种反映离中趋势的变异指标，都具有和原
资料相同的计算单位，称绝对离势。但欲比较具有不
同单位的资料的参差程度，或比较单位虽相同而均值
不相同的资料的参差程度，离势的绝对指标则很可能
导致某些错误结论。所以，我们还得了解和学习相对
离势。
1. 变异系数
绝对离势统计量与其算术平均数的比率，用V
表示。变异系数是最具有代表性的相对离势。
全距系数
全距系数是众数据的全
距与其算术平均数之比，其计
算公式是
平均差系数
平均差系数是众数据的平
均差与其算术平均数之比，其
计算公式是
标准差系数
标准差系数是众数据的标
准差与其算术平均数之比，其
计算公式是
异众比率能表明众数所不能代表的那一部分变量值在总体中的比重。
2. 异众比率
所谓异众比率，是指非众数的频数与总体单位数
的比值，用V· R来表示
其中： 为众数的频数； 是总体单位数
例1：某项调查发现，现今三口之家的家庭最多
（32%），求异众比率。某开发商根据这一报导，将房
屋的户型大部分都设计为适合三口之家居住的样式和面
积，你认为如何呢？
例2：设为测体重，得到成人组和婴儿组各100人的
两个抽样总体。成人组平均体重为65千克，全距为10千
克；婴儿组平均体重为4千克，全距为千克。能否认
为成人组体重的离势比婴儿组体重的离势大？
例3：对一个群体测量身高和体重，平均身高为
厘米，身高标准差为厘米；平均体重为70千克，
体重标准差为千克。比较身高和体重的离散程度。
3. 偏态系数
我们在前面讨论统计图时已经对频数分布的正态和
偏态有所认识。我们又看到了算术平均数与中位数、众
数之间存在的关系：当总体呈对称分布时， 、 、
三者完全相等；当总体呈不对称的偏态分布时，它们之
间存在着数量(位置)的差异。因此，偏态可由 与
的差来表示，即
为了使不同数列的偏态值可比，同样可计算偏态的相
对数，即偏态系数，用α来表示
偏斜系数是以标准差为单位的算术平均数与众
数的离差，其取值一般在0与土3间。偏斜系数为0表
示对称分布，偏斜系数为或则表示极右或极左偏态。
3
7
12
18
10
15－25
25－35
35－45
45－55
55－65
人数
年龄
讨论左边数列关于年龄的偏态和偏态系数．
第六章 概率与概率分布
本章是推断统计的基础
主
要
内
容
基础概率
概率的数学性质
概率分布、期望值与变异数
参数估计和假设检验
推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
随机原则
总体参数
统计量
推断估计
参数估计
检验
假设检验
抽样分布
第一节 基础概率
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保险
等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需
要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数之和为
9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？
例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰子
连掷四次，出现一个6 点的机会比较多，而同时将两枚
掷24次，出现一次双6 的机会却很少。
概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费
尔马(1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率
问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667—
1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一
1705)提出了二项分布理论。1814年，法国的拉普拉斯
(1749—1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概
率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研
究。此后，法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德
国的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。
随机现象和随机事件
随机现象具有一定条件呈现多种可能结果的特性。
人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件。
概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随
机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即
将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是
朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的
特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止
一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规
律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生
后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的
可能性几乎一样大，都是，这就是概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
1.样本点
2.样本空间
[例] 掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）
所有样本点的全体称作样本空间(Sample space)，记作Ω
简单事件：仅含样本空间中一个样本点的事件。
复合事件：含样本空间中一个样本点以上的的事件。
必然事件：从样本空间来看 ，该事件事件是由其全部基本事件所组成，记作S 。
随机事件
不可能事件：从样本空间来看 ，不含任何基本事件，记作Φ 。
极端的
随机事件
[例 ] 对掷一颗骰子的试验，我们研究如下
事件：①A为“点数是3”；②B为“出现奇数点”；
③C为“出现点数不超过6”；④D为“点数是7”。
[解] 因为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，所以
①A＝{3} ，为简单事件；
②B＝{1，3，5}，为复合事件；
③C＝{1，2，3，4，5，6}，为必然事件；
④D＝{7}，为不可能事件。
2. 事件之间的关系
（1）事件和（Or conjunction)——事件A与
事件B至少有一个事件发生所构成的事件C称为A
与B的事件和，记作
（2）事件积(As-well-as conjunction)——事
件A与事件B同时发生所构成的事件C称为A与B
的事件积，记作
（3）事件的包含与相等——事件A发生必然
导致事件B发生，则称为B包含A记作
如果 则
（4）互斥事件——事件A和事件B不能同时
发生，则称B和A是互斥事件，或互不相容事
件，记作
（5）对立事件——事件A与事件B是互斥事
件，且在一次试验中必有其一发生，称A与B为
对立事件（逆事件），记作
（6）相互独立事件——事件A的发生与事
件B是否发生毫无关系，称A与B为相互独立事
件，记作
两之
随间
机的
事关
件系
3. 先验概率
在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古
典法和频率法。
由普拉斯1814年提出。以想象总体为对象，利用模型本身所具有的对称性来事先求得概率，故被称为先验概率 。
条件：
（1）在一样本空间中，各样本点出现的机会均等；
（2）该样本空间只有有限（n)个样本点。
用古典
法求出
的概率
[例] 掷两枚均匀的硬币， ①求“两枚都朝上”的概率； ②求“一枚朝上，一枚朝下”的概率。
这样对于含有m个样本点的事件A，其出现
的概率为
用古典法求算概率，在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设机会均等，但这些条件实际上往往不能得到满足。
4. 经验概率
求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联
系的事件A，把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件A
是否发生了。假如做了 n 次试验，而记录到事件A发生了 m 次
（即成功 m 次），则频数与试验次数的比值，称作次试验中事件A
发生的频率
显然，频率具有双重性质：随机性和规律性.
当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定，这个极
限值就是用频率法所定义的概率，即
频率稳定到概率这个事实，给了“机会大小”即概率一个浅显而
说得通的解释，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的
统计学派也就被称为频率学派。
比如：
法国统计学家蒲丰（Buffon）把铜板抛了4040次，正面的次数是2048，比例是 。
1900年，英国统计学家皮尔逊把硬币抛了24000次，正面的次数是12012，比例是
南非数学家柯屈瑞在监狱时，把硬币抛了10000次，正面的次数是5067，比例是 。
再如：
保险公司会利用概率进行人寿保险经营，比如研究表明20－24岁的男性中明年死亡的概率是，同龄的女性是，保险公司对男性的保费就多收一些。
2.加法规则
如果事件A和事件B互斥，那么
如果A和B是任何事件(不一定互斥)，
加法规则更普通地表示为如下形式
第二节 概率的数学性质
1.非负性
特别对必然事件
和不可能事件有
[例]从一副普通扑克牌中抽一张牌，求抽到一张红
桃或者方块的概率。
[例] 在一副52张扑克牌中，求单独抽取一次抽到一
张红桃或爱司的概率。
加法规则可推广到对两个以上的事件，若事件A，B，C…K都互斥，那么有
P (A或B或C…或K)＝P(A)+P(B)+P(C)… +P(K)
[例] 根据上海市职业代际流动的统计，向下流动
的概率是，静止不动的概率是，求向上流动的
概率是多少？
[例] 为了研究父代文化程度对子代文化程度的影
响，某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占
30％，母亲具有大学文化程度的占20％，而双方都具
有文化程度的占有10％，问从学生中任抽一名，父代
至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？
3.乘法规则
式中符号 和 代表条件概率。 应理
解为，“在B已经发生条件下A发生的概率”。条件概率的意思是，
A发生的概率可能与B是否发生有关系。换言之，B已经发生时A发生
的概率可能有别于B没有发生时A发生的概率。
理解统计独立的概念，对于灵活运用概率的乘法规则
很重要。现在用条件概率来加以表达，统计独立是指
若A和B在统计上相互独立(无关) ，这时乘法规则可以简化为
[例]假定有下列3000个社区的数据，如果随机地从这
个总体中抽取一个社区，得到一个中等的而且犯罪率
低的社区的概率是多少?
[例]假定数据变动如下，随机地从这个总体中抽取一个社区，得
到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率又是多少?
3000
600
1200
1200
总和
2000
500
900
600
低犯罪率
1000
100
300
600
高犯罪率
总和
小
中
大
属性
3000
1200
1200
600
总和
2000
600
900
500
低犯罪率
1000
600
300
100
高犯罪率
总和
小
中
大
属性
[例] 根据统计结果，男婴出生的概率是
22/43，女婴出生的概率是21/43，某单位有两名
孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率是多少？都
生女婴的概率是多少？其中一男一女的概率是
多少？
[例] 某居民楼共20户，其中核心家庭为2
户，问访问两户都是核心家庭的概率是多少？
问访问第二户才是核心家庭的概率是多少？
[例 ] 为了研究父代文化程度对子代文
化程度的影响，某大学统计出学生中父亲
具有大学文化程度的占30％，母亲具有大
学文化程度的占20％，而双方都具有文化
程度的占有10％，问从学生中任抽一名，
父代至少有一名具有大学文化程度的概率
是多少？
在抽样方法中还经常涉及到回置抽样和不回置抽样。如前所
述，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然
后再进行下一次抽取。使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立
的。因为每一次抽取后抽取到的单位都得返还，总体保持不变，前
一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽
取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用
条件概率的概念。
用不回置法从一幅普
通扑克牌抽取两次，计算
得到两张爱司的概率。
用回置法从一幅普通
扑克牌抽取两次，计算
得到两张爱司的概率。
4. 排列和样本点的计数
要正确解决概率问题，往往光考虑乘法规则还不够，还要同时
考虑使用加法规则。一般最简单的做法是：首先确定一种符合要求
的排列方式并计算它们发生的概率，然后再考虑还有没有其他同样
符合要求的排列方式。如果存在着其他实现方式，并且都具有相同
的概率，就可以简单地把排列方式数与以某一给定的排列方式计算
的概率相乘。注意，后一步相当于使用了加法规则。
所有N个元
素都不相同的
情况下，排列
方式数为
N个元素中，若其中第一组中有r1个不能
区分的元素，第2组中有r2个不能区分的元
素，…，第k组中有rk个不能区分的元素，
且各组彼此是可以区分的，则总的排列数为
[例] 从一幅洗得很好的扑克牌中做了3次抽取，假定使用回置
法，求至少得到1张A和一张K的概率是多少?
[解]按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：抽到1
张A和1张K，另l张非A非K，用符号(AKO)表示(其中“O”表示其
他)；抽到1张A和2张K，用符号(4KK)表示；抽到2张A和1张K，用
符号（AAK)表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不
同，必须对它们加以区别。
次序为AKO的样本点实现的概率是
次序为AKK的样本点实现的概率是
次序为AAK的样本点实现的概率是
再考虑每个复合事件各含有多少种可能的排列方式
(AKK)含有3！／2!＝3种排列方式
(AAK)含有3！／2!＝3种排列方式
（AKO)含有3！＝6种排列方式
所以，在三次抽取中，至少得到1张A和1张K的概率是
[例] 假如对1000个大学生进行歌曲欣赏调查，发现
其中有500个学生喜欢民族歌曲，400个学生喜欢流行歌
曲，而这些学生中有100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流
行歌曲的，剩下来的学生两种歌曲都不喜欢。如果我们
随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件A为该学生喜
欢民族歌曲，事件B为该学生喜欢流行歌曲。
①用数字证明P(A且B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)
②得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是
多少？
③随机地选取一个由3个学生组成的样本，要求这三
个学生全都有相同的欣赏方式，得到这种样本的概率是
多少？
5. 运用概率方法进行统计推断的前提
随机抽样
样本容量相对于总体来说，是较小的
总体中个体的组合具有被同等抽中的概率
注意独立性问题
简单随机抽样要求每一个个体拥有相同的被
选入样本的机会。
严格来讲，由于我们实际上总是做不回置抽
样，因此独立性的假定，是难以完全满足的。 只
有在样本非常大，可以忽略。
一个随机样本具有以下的性质：不仅要给每
一个个体以相等的被抽中的机会，而且要给每一
种个体的组合以相等的被抽中的机会。
在要概括社区或其他空间上限定区域的单位
的情况时，也必须注意到缺乏独立性的问题。
第三节 概率分布、期望值与变异数
随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部
结果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率
分布则要在满足完备性(穷举)和互不相容性(互斥)的
前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果，以
及每种结果所伴随的概率是多少。 应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象
呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以
在宏观层次加以识别的而与特定排列次序无关的样
本空间的子集。
P(X)
合计
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
例如掷两颗骰子的试验，点数就是随机现象，它一共有11种宏观结果。我们用古典法对每种宏观结果计算P，便得到了如下表所示的概率分布。
频率分布与概率分布的区别
经验分布：
频率分布是经资料整理而来;
频率分布随样本不同而不同;
频率分布有对应的频数分布。
理论分布：
概率分布是先验的；
概率分布是唯一的；
概率分布无频率分布
所对应的频数分布。
1. 离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的取值是可数的，如果对X的每个可能取值xi计
算其实现的概率Pi ，我们便得到了离散型随机变量的概率分布，即
离散型随机变量
的概率分布也可以用
表格和图形两种形式
来表示。由于离散型
随机变量的特点，表
示离散型随机变量概
率分布多为折线图。
2. 连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量的取值充满某一区间，因而取某一数值讨论其概率
是无意义的。为此，我们引进概率密度 的概念来表达连续型随机
变量的概率分布。
本书第三章第三节曾出
现过频率密度的概念，频率
密度等于频率除以组距。以
频率密度为纵坐标，可以作
出频率分布直方图。类似地
，以概率密度 为纵坐
标，可以作出概率密度曲
线。所不同的是，概率密度
由于对组距求了Δx→0的极
限，其图形乃平滑曲线。
这样一来，随机变量X取值在区间{x1 ，x2}上的概率等于概率密度曲线 下面x1与x2两点之间面积，即
所以
有概率密
度的性质
因为概率不可能是负的，且
3. 分布函数
为了从数学上能够统一对随机变量的概率进行研究引入分布函
数 的概念，它被定义为
有了分布函数，就可以很容易得到随机变量X取值在任意区间
{x1 ，x2}上的概率，即
连续型随机变量
离散型随机变量
和 (离散变量)或 (连续变量)的关系，就像向上累计频率和频率的关系一样。不同之处在于， 累计的是概率。但使用分布函数的好处是很明显的，它不仅在数学上统一了对离散型随机变量和连续型随机变量概率的研究，而且由于它计算概率的起点都固定为―∞，因而可以把概率值换算成表，以易于求得任何区间的概率，从而达到计算快捷和应用广泛之目的。
[例] 求两颗骰子点数的分布函数。
P(X)
——
F(X)
合计
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
4. 数学期望
在前面统计分组的讨论中，我们在得到频数(或频率)分布
后，为了对变量有系统概括的认识，分别研究了集中趋势和离中
趋势。而对集中趋势和离中趋势量度，我们分别得到了平均指标
和变异指标，其中最有代表性的是算术平均数和标准差。很显
然，现在当我们面对随机变量的理论分布时，也要对随机变量的
集中趋势和离中趋势作概括性的描述，这就引出数学期望和变异
数这两个概念。
所谓数学期望，是反映随机变量X取值的集中趋势的理论均
值(算术平均)，记作E(X)。
离散型随机变量
连续型随机变量
例 谁的技术比较好?
乙射手
甲射手
解
故甲射手的技术比较好
[例] 一家保险公司在投保的50万元人寿保险的保单中，估计每
1000 保单每年有15个理赔，若每一保单每年的营运成本及利润的期
望值为200元，试求每一保单的保费。
[解] 依题意知，利润的期望值
E(X)＝200(元)
设x1表示保费，x2为理赔费[x2＝-(500000- x1)]，则可得
所以，x1＝7700(元)。即每一保单每年的保费应定在7700元。
数学期望也常常记为μ，在推论统计中同总体均值的记号，而 则
在推论统计中被作为样本均值的记号。数学期望和总体均值一样，都是唯
一的，不过它是一个先验的理论值。由于它是用随机变量各取值分别乘以
取值的概率来计算的，因此数学期望又可称为随机变量的加权算术平均
数。样本均值依据统计数据计算而来，但它具有随机性。在统计推论中，
E(X) ， 是“估计”。
(2)常数c与随机变量X之积的期望等于X的期望与c的积，
即 E(cX)＝cE(X)
(3)两个随机变量之和的期望等于它们的期望之和，
即 E (X+Y)＝E(X)+ E(Y)
(4)两个独立随机变量乘积的期望等于它们的期望之积，
即E(XY)＝E(X)·E(Y)
(1)常数c的期望等于该常数，即 E(c)＝c
数学期望的几个基本性质：
和 都是为μ服务的，E(X)是“期望”
5. 变异数
数学期望反映了随机变量的集中趋势，但仅知道集中趋势还不
够，还应该知道随机变量在均值周围的离散程度，即离中趋势。变异
数是综合反映随机变量取值分散程度的指标，其功能相当于描述统计
中已讨论过的方差及标准差，记用D(X)。
离散型随机变量
连续型随机变量
由于变异数的单位是随机变量单位的平
方。为了使随机变量变异指标的单位与其本身
的单位相同，将D(X)开方(取正值)称作随机变
量X的标准差σ；同时为了更明确的表示D(X)
与标准差之间只是开方关系，索性把D(X)写
成σ2，并直接称D(X)为随机变量X的方差。
于是有
很显然随机变量X的变异数也可以写成
简化公式
当然不难理解，在推论统计中随机变量变异数的记号常
常同总体方差的记号，即用σ2表示之。而S2 则被作为样本方
差的记号。变异数和总体方差一样，都是唯一的，不过它是
一个先验的理论值。样本方差S2 依据统计数据计算而来，但
它具有随机性。
试求两颗骰子点数的变异数D(X)
变异数的几个基本性质：
(1)常数c的方差等于0，即D(c)＝0
(2)常数c与随机变量X之积的方差，等于随机变量X
的方差c2倍，即D(cX)＝c2D(X)
(3)随机变量与常数之和的方差等于随机变量的方差，
即D(X+c)＝D(X)
(4)两个独立随机变量之和的方差等于它们的方差和，
即D(X+Y)＝D(X) +D(Y)
第七章 假设检验
我们在第一章就已经知道，推论统计有两个基本
内容：①假设检验；②参数估计。有了概率和概率分
布的知识，接下来我们要逐步掌握统计检验的一般步
骤。既然按照数学规则得到的概率都不能用经验方法
准确求得，于是，理论概率和经验得到的频率之间肯
定存在某种差别，这就引出了实践检验理论的问题。
随机变量的取值状态不同，其概率分布的形式也就不
同。本章我们不仅要引出二项分布和正态分布这两个
著名的概率分布，并且要将它们与抽样调查联系起
来，以领会统计检验，并逐步拓宽其应用面。
第一节 二项分布
二项分布是从著名的贝努里试验中推导而来。所谓
贝努里试验，是指只有两种可能结果的随机试验。在实际
问题中，有许多随机现象只包含两个结果，如男与女，是
与非，生与死，同意与不同意，赞成与反对等等。通常，
我们把其中比较关注那个结果称为“成功”，另一个结果则
称为“失败”。每当情况如同贝努里试验，是在相同的条件
下重复n次，考虑的是“成功”的概率，且各次试验相互独
立，就可利用与二项分布有关的统计检验。虽然许多分布
较之二项分布更实用，但二项分布简单明了，况且其他概
率分布的使用和计算逻辑与之相同。所以要理解统计检验
以及它所涉及的许多新概念，人们几乎都乐意从二项分布
的讨论入手。
1. 二项分布的数学形式
从掷硬币的试验入手。假定二项试验由重复抛掷n次
硬币组成，已知硬币面朝上(成功)的概率是p，面朝下(失
败)的概率是q (显然有 q＝1―p)。这样，对试验结果而
言，成功的次数（即硬币面朝上的次数）X是一个离散型
随机变量，它的可能取值是0，1，2，3，…，n。而对X的
一个具体取值x而言，根据乘法规则，我们立刻可以就试
验结果计算出一种特定排列方式(先x次面朝上，而后n―x
次面朝下)实现的概率，即
ppp…pqqq…q＝pxqn-x
由于正确解决概率问题，光考虑乘法规则是
不够的，还要考虑加法规则，于是就x次成功和
（n―x）次失败这个宏观结果而言所包含的所有
排列的方式数，用符号表示
这样，我们就得到了二项试验中随机变量X的
概率分布，即
譬如，二项试验是将一枚硬币重复做8次抛掷，假设这枚硬币是无偏的，即p＝q＝，那么恰好得到5次面朝上的概率是
1/256= .004
8/256= .031
28/256= .109
56/256= .219
70/256= .274
56/256= .219
28/256= .109
8/256= .031
1/256= .004
0
1
2
3
4
5
6
7
8
合 计
概率P(X=x)
硬币面朝上数x
同理，我们也可以求出
这个二项试验中硬币刚好为
0，1，2，…，8次面朝上的
各种宏观结果的概率，全部
写出来就是右表。
2. 二项分布讨论
…
P(X)
合计
0 1 2 … n
X
① 二项分布为离散型随机变量的分布。每当试验做的是在相同的条件下n次重复的贝努利试验时，随机变量X共有n+1个取值。二项分布可以用分布律(见上表)和折线图(见右图)来表示。
②当P=时二项分
布的图形是对称的。
③ E(X)=μ=np， D(X)= σ2= npq
④ 二项分布受 p 和 n 变化的影响，只要确定了 p和 n，成功次数 X 的分布也随之确定。因此，二项分布还可简写作 B(x;n,p)。
⑤二项分布的概率值除了根据公式直接进行计算外，还可查表求得。二项分布表的编制方法有两种：一种依据概率分布律 P(x) 编制(见附表2)；另一种依据分布函数 F(x) 编制(见附表3)。 其中
[例] 某特定社区人口的10%是少数民族，现随机
抽取6人，问其中恰好2人是少数民族的概率是多少？
[解] 解法一：根据()式直接计算
解法二：根据附表2中纵列n＝6和横行p＝所
对应x值，可直接查得B(x；6，)的概率值
B (2；6，)＝0．0984 解法三：根据附表3求得
B (2；6，)＝F(2) ―F(3 )
＝ ―＝
第二节 统计检验的基本步骤
二项分布是用数学或演绎推理的方法求得的一种理论分布。认识到
概率分布是先验的理论分布这一点很重要，因为我们不禁要问，既然试
验或抽样调查的结果仅与随机变量可能取值中的一个相联系，那么实际
试验或样本调查对结果的概率分布及前提假设有没有一个检验的问题？
具体来讲，对于一枚硬币被重复抛掷8次的二项试验，经验告诉我们，一
共有9种可能的结果，而且实现这些结果的机会是大不相同的。研究者实
际上从来不用经验的方法求得概率分布，因为通常我们只对一项试验进
行一次或几次，抽取样本也是一个或至多不过几个。既然二项分布是按
照数学规则得到的，那么对这9种结果的可能性我们应该作出何种评价呢?
如果实际试验（或抽样）得到的结果偏巧就是先验概率预示的最不可能
出现的结果，那么我们是认定纯属巧合，还是开始对用数学或演绎推理
方法求得的概率以及理想试验的种种前提假设产生怀疑?更准确地说，在
一枚硬币被重复抛掷8次的这个二项试验中，究竟出现什么结果时，我们
应该对二项分布及其前提假设产生怀疑呢?是不是只要不是得到4次成功4
次失败这个最大可能性结果就开始怀疑，还是仅当出现8次成功或一次也
不成功这两个极端情况时才产生怀疑呢?这就是统计检验的核心问题。
统计检验是指先建立一个关于总体情况的假设，
继而抽取一个随机样本，然后以样本的统计量或者统计性质来检定假设。
大数定理表明：就大量观察而言，事件的发生具有一定的规律性。
根据概率的大小，人们处理的态度和方式很不一样。
在日常生活中，人们往往习惯于把概率很小的事件，当作一次观察中是极不可能看到的事件。例如，人们出门做事就有可能遇到不测事故，但却很少人因此而不敢出门。原因是：小概率事件极不可能发生。
统计检验的依据是
小概率原理：一是认为
小概率事件在一次观察
中是极少出现的；二是
如果在一次观察中出现
了小概率事件，那么应
该否定原有事件具有小
概率的说法或者假设。
(1)建立假设
(2)求抽样分布
(4)计算检验统计量
(3)选择显著性水平和否定域
(5)判定
所所
包有 含统
的计
步检
骤验
根据以往多年的统计表明，上海财大英语的平均成绩为90分，随机抽取100个学生，其平均成绩为80分，问今年财大学生的英语成绩是否下降？
1．建立假设
统计检验是将抽样结果和抽样分布相对照而作出判
断的工作。取得抽样结果，依据描述性统计的方法就足
够了。抽样分布则不然，它无法从资料中得到，非利用
概率论不可。而不对待概括的总体和使用的抽样程序做
某种必要的假设，这项工作将无法进行。比如通过掷硬
币的实验得到二项分布，必须假设：①样本是随机的，
试验中各次抛掷相互独立；②硬币是无偏的(或称是诚
实的)，即p＝q＝0．5。概括地说，必须首先就研究总
体和抽样方案都做出假设，再加上概率论，我们就可以
对各种可能结果做具体的概率陈述了。
2．求抽样分布
在做了必要的假设之后，我们就能用数学推理
过程来求抽样分布了。比如在这一章开头，在硬币重
复抛掷n次的理想实验中，我们计算了成功次数为x的
宏观结果所具有的概率，得到二项分布。如果前提假
设变动了，还可以求出其他形式的概率分布，如正态
分布、泊松分布、卡方分布等等，它们都有特定的方
程式。由于数学上已经取得的成果，实际上统计工作
者要做的这项工作往往并不是真的去求抽样分布的数
学形式，而是根据具体需要，确定特定问题的统计检
验应该采用哪种分布的现成的数学用表。
3．选择显著性水平和否定域
在统计检验中，那些不大可能的结果称为否定域。
如果这类结果真的发生了，我们将否定假设；反之就不
否定假设。
在统计检验中，通常把被检验的那个假设称为零假
设（用符号H0表示），并用它和其他备择假设(用符号
H1表示)相对比。
零假设与备择假设
否定域
在统计检验中，无论是拒绝或者接受原假设，都不
可能做到百分之百的正确，都有一定的错误。第一类错
误是，零假设H0实际上是正确的，却被否定了。第二类
错误则是，H0实际上是错的，却没有被否定。
遗憾的是，不管我们如何选择否定域，都不可能完
全避免第一类错误和第二类错误，也不可能同时把犯两
类错误的危险压缩到最小。对任何一个给定的检验而
言，第一类错误的危险越小，第二类错误的概率就越
大；反之亦然。一般来讲，不可能具体估计出第二类错
误的概率值。第一类错误则不然，犯第一类错误的概率
是否定域内各种结果的概率之和。
两类错误及其关系
被我们事先选定的可以犯第一类错误的概率，
叫做检验的显著性水平(用α表示)，它决定了否定
域的大小。因此，有人也把第一类错误称之α错
误 。相应地第二类错误被人称为 错误。
在原假设成立的条件下，统计检验中所规定的
小概率标准一般取为α=或α=。
由α所决定的否定域与接受域之间的分界值被
称为临界值， 如Z α 。
如果抽样分布是连续的，否定域可以建立在想
要建立的任何水平上，否定域的大小可以和显著性
水平的要求一致起来（后面的正态检验就如此）。
如果抽样分布是非连续的，就要用累计概率的方法
找出一组构成否定域的结果。
显著性水平α
根据否定域位置
的不同，可以将假设
检验分为双侧检验和
单侧检验。
在统计中，必须把否定域分配到抽样分布的两端的检验，被称为双侧检验。
在统计中，可以事先能预测偏差方向，因而可以把否定域集中到抽样分布更合适的一端的检验，被称为单侧检验。
双侧检验和单侧检验
奈曼—皮尔逊 (Neyman—Pearson)提出了一个
原则 “在控制犯第一类错误的概率不超过指定值的
条件下, 尽量使犯第二类错误 小”按这种法则做出的
检验称为“显著性检验”, 称为显著性水平或检验
水平。
在同样显著性水平的条件下，单侧检验比双侧检
验更合适。因为否定域被集中到抽样分布更合适的一
侧，这样在犯第一类错误的危险不变的情况下，减少
了犯第二类错误的危险。
4．计算检验统计量
在完成了上述工作之后，接下来就是做一次与理想试验
尽量相同的实际抽样(比如实际做一次重复抛掷硬币的试验)，
并从获取的样本资料算出检验统计量。检验统计量是关于样本
的一个综合指标，但与我们后面参数估计中将要讨论的统计量
有所不同，它不用作估测，而只用作检验。
5．判定
假设检验系指拒绝或保留零假设的判断，又称显著性检
定。在选择否定域并计算检验统计量之后，我们完成最后一道
手续，即根据试验或样本结果决定假设的取与舍。如果结果落
在否定域内，我们将在已知犯第一类错误概率的条件下，否定
零假设。反之，如果结果落在否定域外，则不否定零假设，与
此同时，我们就有了犯第二类错误的危险。
[例] 若想通过抛掷10次硬币的实验来检验这个硬
币无偏的零假设，通过双侧检验显著性水平，请
指出否定域。如果单侧检验（p<)，又将如何？
[例] 某选区有选民10000人，其中属于工贸系统
的有4000人，要产生代表6名。假定各系统选民都有
同等机会当选代表，（1）代表是工贸系统人员的概
率分布；（2）在6名代表中最可能是工贸系统人员占
几名；（3）如果6名代表中有4名是工贸系统的人
员，可以否定随机性的零假设吗？（α=，单侧
检验，p>)
第三节 正态分布
如果说二项分布是离散型随机变量最具典型意义
的概率分布，那么连续型随机变量最具典型意义的概率
分布就是正态分布了。一般地讲，若影响某一变量的随
机因素很多，而每个因素所起的作用不太大且相互独
立，则这个变量服从正态分布。更为重要的是，不论总
体是否服从正态分布，只要样本容量n足够大，样本平
均数的抽样分布就趋于正态分布。
正态分布是最重要的概率分布：（1）许多自然现
象和社会现象，都可用正态分布加以叙述；（2）当样
本足够大时，都可用正态近似法解决变量的概率分布问
题；（3）许多统计量的抽样分布呈正态分布。
1. 正态分布的数学形式
正态分布性质：
（1）正态曲线以x=μ呈钟型对称
均值=中位数=众数
（2）在x=μ处，概率密度最大；当区间离
μ越远，x落在这个区间的概率越小。
（3）正态曲线的外形由σ值确定。对于固定的
σ值，不同均值μ的正态曲线的外形完全相同，差别
只在于曲线在横轴方向上整体平移了一个位置 。
（5）E(X)= μ
D(X)= σ2
（4）对于固定的
μ值，改变σ值，σ
值越小，正态曲线越
陡峭；σ值越大，正
态曲线越低平。
（总之，正态分布曲线
的位置是由μ决定的，而正态
分布曲线的“高、矮、胖、瘦”
由σ决定的。）
2. 标准正态分布
Z分数（标准正态变量）
用Z分数表达的标准正态分布，其概率密度为
一般正态分布的表示
标准正态分布的表示
3. 正态曲线下的面积
但积分毕竟太麻烦了，更何况许多人对积分运算不熟悉，为
此须计算出现成的数值表供使用者查找。由于正态曲线的优良性
质，这项工作可以卓有成效地完成：①经过X的标准分
，可以将任何正态分布N(μ，σ2)转换成标准正态分布
N(0，1)；②运用分布函数的定义，并利用正态曲线的对称性，通
过下式（分布函数）可以计算编制出正态分布表(见附4)。
采用标准正态变量表达正态分布，使标准差得到了进一步阐明。我们看到，标准差是计算总体单位分布及其标志值变异范围的主要依据，下图说明了这一点。
（1）变量值在【 μ-σ, μ+σ 】之间的概率为。
（2）变量值在【 μ-2σ, μ+2σ 】之间的概率为。
（3）变量值在【 μ-3σ, μ+3σ 】之间的概率为。
[例] 设随机变
量X服从正态分布
N(168，122)，试求
P(X≤143)。
总之，决定任意两点间的面积都完全是可能的。比如向均值两侧移个标准差，曲线下方便包含了大约95％的面积；如移动个标准差，则面积几乎是99％。附录4已编制了关于Z和标准正态曲线所含面积之间关系的精确数值表，即Z从0到+∞变化，相应区间含的面积从0变至。
[解] 已知μ＝168，σ＝12
z 是负值，表示X的取值处于均值左边。由于曲线
完全对称，所以使用正态分布表时可以忽略 z 的正负号。
查表可知，正态曲线在均值与z＝之间所含面积是
。由于总面积的一半是，因P(X≤143)可以由
下面计算求得
P(X≤143)＝―P(0≤Z≤)
＝― ＝％
这说明，X的取值小于或等于143的概率大约是2％。
由于即将讨论的正态检验几乎都要涉及概率分布的尾端，
所以此例说明的是一个非常普遍的问题。
4. 二项分布的正态近似法
通过前面的讨论，我们已经知道二项分布受成功事件概率p和重复次数n两个参数的影响，只要确定了p和n，二项分布也随之确定了。 但是，二项分布的应用价值实际上受到了n的很大限制。也就是说，只有当n较小时，我们才能比较方便地计算二项分布。所幸的是，二项分布是以正态分布为极限的。所以当n很大时，只要p或q不近于零，我们就可以用正态近似来解决二项分布的计算问题。即以n p＝μ、n p q＝σ2，将B(x；n，p)视为N(n p，n p q)进行计算。在社会统计
中，当n ≥30，n p、n q均不小于5时，对二项分布作正态近似是可靠的。
第四节 中心极限定理
一旦统计的学习进入到推论统计，我们就必须同时与三
种不同的分布概念打交道，即总体分布、样本分布、抽样分
布。为了不产生混淆，视分布不同，将统计指标的符号加以区
别是完全必要的。对那些反映标志值集中趋势和离中趋势的综
合指标，尤其对均值和标准差(或方差)。
总体分布
样本分布
抽样分布
标准差
均值
抽样分布特指样本统计量作为随机变量的概率分布。用数学语言来说，抽样分布是运用数理统计的方法，把具体概率赋予样本的所有可能结果的一种理论分布。
在一个总体中可以产生无数个样本，所以样本统计量（比如均值 ）必定是随机变量。 这样就提出一个问题：如果样本统计量作为随机变量，它的概率分布是什么样呢？
1．中心极限定理
我们知道，概率论中用来阐明大量随机现象平均
结果的稳定性的定理，是著名的大数定理。其具体内
容是：频率稳定于概率，平均值稳定于期望值。但
是，大量随机现象的稳定性不仅表现在平均结果上，
同时也表现在分布上，这就是中心极限定理所要阐明
的内容。显然，推论统计需要有一座能够架通抽样调
查和抽样分布的桥梁。中心极限定理告诉我们：如果
从任何一个具有均值μ和方差σ2的总体(可以具有任
何分布形式)中重复抽取容量为n的随机样本，那么当
n变得很大时，样本均值的抽样分布接近正态，并具
有均值μ和方差 。
无疑，中心极限定理大大拓展了正态分布的适用面，同时我们得到了以下重要信息：
(1)虽然样本的均值可能和总体均值有差别，但我们可期望这些将聚集在μ的周围。因此均值抽样分布的算术平均数能和总体的均值很好地重合，这就是为什么总体均值和抽样分布的均值用同一个μ来表示的缘故。
(2)由于抽样分布的标准
差要比总体标准差小，并且
，所以如右图所
示，样本容量越大，抽样分
布的峰态愈陡峭，由样本结
果来推断总体参数的可靠性
也随之提高。
统计检验应用正态分布和二项分布有两点区别：①抽样分布
在这里是连续的而非离散的，否定域的大小可以和显著性水平的
要求精确地一致起来。②计算检验统计量不再像在应用二项分布
时那样，可以不劳而获了。很显然，为了能使用现成的正态分布
表，关键是要从样本资料中计算出在N(0，1)形式下的统计量Z，
再根据Z是否落在否定城内而对被检验假设的取舍作出决定。
在上一节我们曾引出 。Z 的这种形式适用于
N(μ，σ2)的总体，但并不适用于取正态的抽样分布。正如我们
反复强调的那样，统计检验单纯依靠样本自身是得不出结果的，
必须首先在一系列假设的基础上求出抽样分布。如果这些假设实
际上正确，那么抽样分布将告诉我们得到一个给定的的可能性是
多少。在抽样分布中，随机变量的取值是每个 ，均值是μ，
标准差是 。因此 Z 如果作为检验统计量，应该用
替换X，用 替换σ，μ不动，因而有 。
一个完整的假设应该包括零假设和备
择假设。在Z检验中，假设有三种写法：
第一种：H0: μ =90
H1: μ≠ 90
第二种：H0: μ =90
H1: μ<90
第三中：H0: μ =90
H1: μ >90
双侧检验
单侧检验（右）
单侧检验（左）
思考题
1、如何理解两类错误及其关系？
2、如何理解小概率原理在假设检验中的重要性？
3、假设检验的基本原理和步骤是什么？
4、什么是原假设域备择假设？
5、如何理解双侧检验与单侧检验？
第五节 总体均值和成数的单样本检验
[例] 一位研究者试图检验某一社会调查所运用
的抽样程序，该项调查是由一些缺乏经验的访问员进
行的。研究者怀疑属于干部和知识分子的家庭抽得过
多。过去的统计资料表明，该街区的家庭收入是7500
元，标准差是1500元；此次调查共抽取100个家庭，样
本平均收入是7900元。问：该研究人员是否有理由怀
疑该样本有偏估？（选用α=）
1．σ已知，对总体均值的检验
实际上是要检验“随机抽样”这个零假设
[解] 根据题意，可做如下假设，并做单侧检验
因α=，查表得Z =，故否定域为
根据中心极限定理，检验统计量
计算得
检验统计量Z的计算表明，样本均值比总体均值大2．67个
标准差（ ），超过了显著性水平规定的临界值，调查者应该
否定“随机抽样”的零假设。也就是说，由于抽样在程序上不合要
求，这项社会调查有必要重新组织。
中心极限定理实际解决了大样本均值的检验问
题。假定样本比较大(n＞50，这在社会调查中一般
都能得到满足)，样本均值的抽样分布就与总体分布
无关，而服从正态分布。当H0成立时，样本均值的
观察值比较集中地分布在总体均值μ周围；当H0不
成立时， 将对μ有明显偏离的趋势。因而，我们
可以在选定的显著性水平上，通过计算检验统计量
Z，对零假设进行检定。
注：当σ未知时，只要样本量很大，就可用S
来代替σ 。但对于小样本，Z检验就要用 t 检验来
替代了，而且还必须严格限于正态总体。
[解] 根据题意，可作如下的假设，并做双侧检验
H0：μ＝2330元 H1：μ≠2330元
因α＝，查正态分布表得Zα/2＝，故否定域|Z|≥
计算检验统计量
Z＝ ≈
＝ ＝＜1．96
所以，不能认为该单位人均月收入不是2330元，即不能
认为该统计报表有误。
[例] 某单位统计报表显示，人均月收入为2330元，为了验证
该统计报表的正确性，作了共81人的抽样调查，样本人均月收入
为2350元，标准差为150元，问能否说明该统计报表显示的人均
收入的数字有误(取显著性水平α＝)。
此乃“总体均值”零假设的检验
提醒：
双侧 Zα /2
单侧 Zα
α
这个统计量最初是由戈塞特(1876一1937)用笔名“学生”发表，所以这个统计量的抽样分布称为学生t分布。比较t和Z，我们注意到它们的分子相同，而分母却稍有不同：①σ为S所代替(这一点无须解释)；②根号下是n―1。
2.小样本总体均值的检验（学生t分布）
中心极限定理解决了大样本均值的检验问题。但是
当n较小时，用这种方法求出的概率可能是错误的，有
必要做某种修正。于是有人设计了另一种检验统计量
当Z为t替代时，虽用因子n—I所导致的修正看起
来不大，但在样本容量较小时，这种修正就会起很大
作用了。所以当不知道σ值、且样本容量较小时，我
们应该考虑应用t分布而不是Z分布。
采用n―1的原因：样本数据的离散程度小于总体数据的离散程度。 n―1实际为自由度数k 。
通过下式可以编制出t 分布表(见附录5)
注意tα（k）写法的含义，它表示自由度数为k的t分
布当分布函数 时随机变量t的临界值。
当n变大，t 分布将越来越接近正态分布，应用t分布还是
Z分布就无所谓了。事实上随着n变大，S逐渐变成σ的
精确估计量，因而分母项无论使用S还是σ，差别都非
常小。但特别要留意，使用t 分布的条件比使用Z分布的
条件苛刻，即必须假定总体为正态。
[例] 已知初婚年龄服从正态分布。根据10人的调
查有 = 岁，S=3岁，问是否可以认为该地区的平
均初婚年龄已超过20岁？（α=）
[解] H0：=20；H1：>20
因为n小，又不知σ值，因此用t检验
对自由度9来讲，单侧检验和显著性水平，查
表知否定域为t值等于或大于 。再计算检验统计量
因此拒绝H0，即可以认为在显著性水平为的条件下，该地区的初婚年龄已超过20岁。
3.大样本成数的检验
有时，需要对总体中具有某种特征的单位在总体中
所占的的比例 p（即总体成数）作显著性检验，如人口
中的失业率、学龄儿童中的失学率等等。成数检验与二
项检验的联系是不言而愈的。因为在二项检验中，随机
变量是样本的“成功”次数x。而在成数检验中，随机变
量是样本的“成功”比例 （即样本成数），这样在 n
一定的情况下，显然有
既然 是一个随机变量，那么把具体概率赋予样本成数的每一个取值，我们就得到了样本成数的抽样分布。根据中心极限定理，我们不难想见，当n足够大时，样本成数的抽样分布也服从正态分布。由于数学
上很容易证明 ， ，这样一来，对于大样本(n≥30，np≥5)，成数的检验统计量 Z 可表示为
[例] 某地区成年男性中吸烟者占64%，经过戒烟宣传后进行抽样调查，发现100名被调查者中，有55人是吸烟者，试问戒烟宣传是否有成效（α=）
[解] 已知n＝100＞30，np＝l00×＝64＞5，故可使用
正态检验。又知 ＝，p＝，q＝，则
H0： p=
H1： p<
据题意，选择单侧检验，因α＝，查正态分布表得否定域为
|Z|≥1．65 。再计算检验统计量
因此，否定零假设，即认为戒烟宣传收到了显著成效。
练习：
1. 为了检验统计报表的正确性，作了共50人的抽
样调查，人均收入为871元，标准差为21元，问能否证
明统计报表中人均收入880元是正确的？ （α=）
2. 许多人在周末睡懒觉以弥补工作日的睡眠不
足。最佳睡眠协会的报告说，我们之中有61%的人在周
末每夜睡眠多于7小时。从350个成年人的一组随机样本
发现235人在上周末有多于7小时的睡眠。以的显著
水平，这证据证明有61%以上该周末每夜多于7小时的
睡眠吗？
3. 原有的研究表明，上海家庭中不和的占30％。从
上海随机抽取20名户家庭，调查得出20％的家庭不和。
问能否得出上海家庭关系改善的结论？ （α=）
4.一家保险公司说，客户索赔的90%在30天以内
办好。为检验公司的这种说法，消协选取了75次公司
索赔的一组随机样本，发现55次索赔在30天内办好，
他们有充分理由支持“在30天内办好索赔小于90%”的
论点吗？（ α=）
5. 通过试管受精（IVF)怀孕的第一个婴儿1978年
在英格兰出生。在此后的20年间，1000万妇女因为不
育接受了这种护理，这种方法的平均成功率为%，
但是随着技术的不断进步，其成功率还在不断上升。
假定使用IVF方法企图克服不育的200个妇女的一项最
新研究证明，61个是成功怀孕的。此结果证明样本的
成功率比基于历史成功率所期望的更大吗（ α=）
6. 某研究员为证实知识分子家庭的平均子
女数低于工人家庭的平均子女数（人），
随机抽取了100户知识分子家庭进行调查，发
现，平均子女数为人，标准差为人，上
述看法能否得以证实？（α=）
7. 据原有资料，某城市居民彩电的拥有率
为60％，现根据最新100户的抽样调查，彩电
的拥有率为62％。问能否认为彩电拥有率有所
增长？（α=）
第八章 常用统计分布
第一节 超几何分布
适用：小群体的两分变量。假定总体为
K个成功类、（N-K）个为失败类
1.超几何分布为离散型随机变量的概率
分布，它的数学形式是
2.超几何分布的数学期望值和方差
如果用 ，则有
[例] 以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与变异数。
[解] 由题意可知：N＝8．K＝3，N―K＝5．n＝5，代入(8．1)式，故概率分布如下：
由 ， ，代入(8．4)式、(8．5)式得
（1）
（2）
56/56
1/56 15/56 30/56 10/56
P=(X=x)
合计
0 1 2 3
X
3.关于超几何分布的近似
设某校有l000名大学生，其中有外国留学生10、名，现从该校学生中任抽2人，求抽到外国留学生的概率分布。
[解] 抽到外国留学生人数X服从N＝1000、K＝10、n＝2的超几何分布，根据(8．1)式得
由于 ＝0．002＜0．1，用二项分布近似
计算有 ，由(8．6)式得
两种方法计算结果比较一下，仅在小数点后第5位上才出现误差。当然在＞0．1时，如此计算误差会比较大。另外，二项分布的计算量仍不算小，有时还可以将二项分布近似为泊松分布，这一点我们将在下一节讨论。
第二节泊松分布
适用：稀有事件的研究。一个事件的平均发生次数
是大量实验的结果，在这些试验中，此事件可能发生，但
是发生的概率非常小。
泊松分布亦为离散型随机变量的概率分布，随机变量
X为样本内成功事件的次数。若λ为成功次数的期望值，
假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少，超过
5次的成功概率可忽不计，那么X的某一具体取值x（即稀
有事件出现的次数）的概率分布为
泊松分布的性质：x的取值为零和一切正整数；图
形是非对称的，但随着的λ增加，图形变得对称；泊松
分布的数学期望和方差均为λ。
[例] 某城市50天交通事故的频数分布如 表所示，试求泊松
理论分布。
3
合计
4
2
1
0
X
理论频（50хPi )
P
50
3
7
17
23
天数f
合计
3
2
1
0
一天交通事故数
[解] 由资料知
查泊松分布表，得理论分布
将实测频数与理论频数比较，可知题中所述稀有事件是
满足泊松分布的。
≥
第三节 卡方分布
卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布，主要用于列联表
检验。
1.数学形式
设随机变量X1，X2，…Xk，相互独立，且都服从同一的正态
分布N (μ，σ2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量
Z1，Z2，…Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布
（ 分布）的随机变量 （ 读作卡方），且
我们把随机变量 的概率分布称为 分布，其概率密度记
作 。其中k为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量
的个数。
关于卡方分布的分布函数，附表7对不同的自由度k及不同的临
界概率α(0＜α＜1)，给出了满足下面概率式的 的值(参见
图)。
注意 写法的含义：它
表示自由度为k的卡方分布，当
其分布函数
时，其随机变量 的临界值(参
见图)。具体来说，在假设检验
中，它表示在显著性水平α上卡
方分布随机变量 的临界值。
[解] 查卡方分布表(附表7)得
[例] 试求下列各值：
[例] 已知k＝5， ＝15，求临界概率α。
[解] 查卡方分布表，在表中自由度为5的横行中找到
与15最接近的数值是15．086，得到α的近似值为0．01。
由此可知 ≈0．01．
式中：σ2代表总体方差，自由度为n―l。
2.卡方分布的性质
(1) 恒为正值 。
(2)卡方分布的期望值 是自由度k，方差 为2k。
卡方分布取决于自由度k，每一个可能的自由度对应一个具体
的卡方分布。卡方分布只与自由度有关，这就给卡方分布的实际应
用带来很大方便。分布由正态分布导出，但它之所以与正态分布的
参数μ和σ无关，是因为标准正态变量Z与原来的参数无关。
(3)卡方分布具有可加性
(4)利用卡方分布可以推出样本方差 S2 的分布
所以，样本方差S 2落在3．3和8．7之间的概率约为90％。
3. 样本方差的抽样分布
[例] 由一正态总体抽出容量为25的一随机样本，已知σ2＝6，求
样本方差S 2在3．3到8．7之间的概率。
[解] 已知n＝25，σ2＝6，由 得
第四节 F 分布
F 分布是连续性随机变量的另一种重要的小样本分布，
可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是
否相等。还是方差分析和正交设计的理论基础。
1.数学形式
设 和 相互独立，那么随机变量
服从自由度为(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由
度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。
我们把随机变量F的概率分
布称为F分布，其概率密度记
作 。本书附
表8，对不同自由度(k1，k2)及
不同的临界概率α(0＜α＜1)，
给出满足下列概率式的Fα(k1，
k2)的值(参见图)。
注意 写法的含义：它表示自由度为 (k1，k2)的F
分布，当其分布函数 时，其随机变量 F 的临界值(参
见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平α上F分布
随机变量 F 的临界值。
[例] 试求下列各值：
如果 和 是两个独立随
机样本的方差，样本来源于具有相同
方差σ2的两个正态总体，样本容量
分别为n1和n2，那么根据(8．22)式，
随机变量F 服从于自由度为(n1―1和
n2―1)的F分布。
[解]查F分布表(附表8)得
2. F分布性质
(1)随机变量F恒为正值，
F分布也是一个连续的非对
称分布。
(2)分布具有一定程度的
反对称性。
(3) F分布的期望值与变异数(方差)
第九章 参数估计
（Parameter’s estimation)
参数估计，通俗地说，就是根据抽样结果来合理
地、科学地估计总体的参数很可能是什么？或者在什
么范围。
点估计：根据样本数据算出一个单一的估计值，
用来估计总体的参数值。
区间估计：计算抽样平均误差，指出估计的可信
程度，进而在点估计的基础上，确定总体参数的所在
范围或区间。
第一节 点估计(Point estimation)
点估计：点值估计，是以一个最适当的
样本统计值来代表总体参数值。
估计量如果具有无偏性、一致性和有效
性，就可以认为这种统计量是总体参数的合理
估计或最佳估计。
一、求点估计值的标准
无偏性：要求统计量抽样分布的均值恰好等于被估计的参数之值。比如，中心极限定理告诉我们，样本均值抽样分布的均值恰好等于总体均值，因此用样本均值估计总体均值就满足这个标准。
有效性：要求估计值的抽样分布有较小的分散性，即选择抽样分布的标准差较小的统计量作为估计量。
一致性：要求统计量随着样本容量n的增大以更大的概率接近被估计参数。
二、点估计值的计算
1. 总体均值的点估计
2. 总体方差的点估计值
在统计学中，常常用符号“ ” 来表示无偏估计量。数学上可以证明，对于随机样本而言， 才是总体方差 的无偏估计量，它称为修正样本方差 。
[例]研究者要调查某社区居民家庭收入分
布的差异情况，现随机抽查了10户，得到样本
方差为＝200(元2)。试以此资料估计总体家庭
收入分布的差异情况。
[解] 因为样本容量较小，宜用修正样本
方差作为总体方差点估计量。即
＝ ＝ ＝
第二节 区间估计（Interval estimation)
一、有关区间估计的几个概念
1. 置信区间：区间估计是求所谓置信区间的方法。置信区间就是我们为了增加参数被估计到的信心而在点估计两边设置的估计区间。
2. 显著性水平 ：用置信区间来估计的不可靠程度。
区间估计的任务是，在点估计值的两侧设置一个区间，使得总体参数被估计到的概率大大增加。可靠性和精确性(即信度和效度)在区间估计中是相互矛盾的两个方面。
3. 置信度（水平） ：用置信区间估计的可靠性（把握度）
4. 抽样平均误差 与概率度 Z
抽样平均误差 ：样本均值抽样分布的标准差。反映在参数周围抽样平均值的平均变异程度。
越大，样本均值越分散。
概率度：Z在参数估计中被称为概率度，其大
小由 决定.
显著性水平、置信水平、概率度
之间的关系：
=时， =，Z α/2=
=时， =，Z α/2=
=时， =，Z α/2=
二、区间估计的做法
从点估计值开始，向两侧展开一定倍数的抽样平
均误差，并估计总体参数很可能就包含在这个区间之
内。
对参数 的区间估计的步骤：
1. 首先从总体抽取一个样本，根据收集的样本资
料求出它 的均值。
2. 根据合乎实际的置信水平查表求得概率度
3. 根据总体标准差和样本容量求出抽样平均误差
4. 以均值为基准，向两侧展开 倍抽样平均误差
的区间。
抽样极限误差（更普遍地可以写成抽样估计的允许误差 ）
抽样估计的精度
三、大样本，总体均值的区间估计
（ 根据总体方差是否知道，估计分两种情况）
1. 已知
2. 未知，用 代替
[例] 设某工厂妇女从事家务劳动服从正态分布
[ ， ]，根据36人的随机抽样调查，样本每天平均从事家务劳动的时间为小时，求 的置信区间（置信度 =）。
[解] 按题意，此为大样本，且总体方差已知，又
＝36， ＝ ， ＝， ＝。
查表得 ＝，代入公式有
＝ ± ＝ ±
因此，有95％的把握，该厂妇女的平均从事家务劳动的时间在 ~ 小时之间。
从来自在“白领犯罪与罪犯生涯：一些初步研究结果”的一项研究报告的数据表明，白领犯罪可能是年纪较大者，并且显示比街头罪犯有较低的犯罪率。给出数据为：白领犯罪发作平均年龄为54岁， =100，标准差被估计为岁。建立真实平均年龄的90%置信区间 。
[例] 从某校随机地抽取100名男学生，测得平均身
高为170厘米，标准差为厘米，试求该校学生平均身
高95％的置信区间。
[解] 按题意，此为大样本，且总体方差未知，又
＝100， ＝170， ＝， ＝．
查表得 ＝，代入公式有
＝170± ＝170±
因此，有95％的把握，该校学生的平均身高在
~ 厘米之间。
第三节 其他类型的置信区间
1. 小样本，且为正态总体 ，总体均值的区间估计(用
分布)
[例] 在一个正态总体中抽取一个容量为25的样本，其均值为52，标准差为12，求置信水平为95％的总体均值的置信区间。
[解] 根据题意，总体方差未知，且为小样本，故用 分布统计量。由95％置信水平查 分布表得概率度 ＝ (24)＝
代入公式得
＝52± ＝52±
因此，置信水平95％的总体均值的置信区
间是从到。
2. 大样本总体成数的估计
从总体的均值估计过渡到总体的成数估计，其方法和
思路完全相同，只要用 代替 ，用 代替
若总体成数未知，允许误差取
或
[例]假若从某社区抽取一个由200个家庭组成的样
本，发现其中有36%的家庭由丈夫在家庭开支上作决
定的次数超过半数。试问家庭开支的半数以上由丈夫
决定的家庭的置信区间是多少？（置信水平99%）
[解法一]
[解法二]
三、总体方差的区间估计
由第八章 分布的性质，我们知道有
因此，对于给定的置信水平
，总体方差的区间估计为
[ 例] 研究者调查某社区居民家庭收入情况，现随机抽查了10
户，得到样本方差为S＝200(元2)，试以90％的置信水平估计居民
总体家庭收入之方差的置信区间。
[解] 根据题意，查分布表得
＝ ＝
＝ ＝
代入公式有
≤ ≤
所以该社区居民收入之方差90％置信水平的置信区间为
∽(元2)。
第四节 抽样平均误差
1. 简单随机抽样
回置抽样
不回置抽样
校正因子 主要用于总体不够大时。
抽样设计效果指标deff
Deff<1,说明该抽样方式误差小于简单随
机抽样
2.分层抽样
层内方差的平均（层间方差不进入）：
回置抽样：
不回置抽样
3.整群抽样
总体可看作是以群为单位的简单随机抽样。
群间方差（群内方差不进入）：
整群抽样平均误差：
第五节 样本容量的确定
回置：
不回置：
设某市家庭月户均收入服从正态分布，标准差为
160元，现要对该市家庭之月平均收入加以估计，
（1）若置信水平为95%，平均收入的最大误差在
10元以内，问样本容量为多少？
（2）若置信水平为90%，平均收入的最大误差在
10元以内，问样本容量为多少？
（3）若置信水平为99%，平均收入的最大误差在
10元以内，问样本容量为多少？
（4）若置信水平为95%，平均收入的最大误差在
20元以内，问样本容量为多少？
（5）改变最大误差，对样本大小有什么影响？
（6）改变置信水平，对样本大小有什么影响？
（983，697，1704，246）
练习
1、根据居民100户抽样家计调查，居民用于食品
费用占总收入的比例平均为45%，比例的标准差为
20%。求食品费用占居民总收入比例的区间估计（置
信度为95%）。
2、根据某大学100名学生的抽样调查，每月平均
用于购买书籍的费用为元，标准差为5元，求大学
生每月用于购买书籍费用的区间估计（置信度为
95%）。
3、某工厂根据200名青年职工的抽样调查，其中60%
参加各种形式的业余学习。求青年职工参加业余学习
比例的区间估计（置信度为95%）。
（，）（，）（，）
4、从7225名社区居民中以不回置法抽取500成人
的调查显示，51%的回答者认为“父母在必要时应该打
小孩”。尽管大部分儿童成长专家说，打是不恰当的。
请指出在置信水平为99%时成人总体参数 的估计的
最大误差。
5、进行电话调查来估计有个人电脑的住户的比
例。被调查的350户中，75户有个人电脑。（1）给出
有个人电脑的总体比例的点估计；（2）给出95%的置
信度时估计的最大误差。
第十章 双样本假设检验及区间估计
我们在掌握了单样本检验与估计的有关方法与原理
之后，把视野投向双样本检验与估计是很自然的。双样
本统计，除了有大样本、小样本之分外，根据抽样之不
同，还可分为独立样本与配对样本。
独立样本, 指双样本是在两个总体中相互独立地抽取的 。
配对样本，指只有一个总体，双样本是由于样本中的个体两两匹配成对而产生的。配对样本相互之间不独立。
第一节 两总体大样本假设检验
为了把单样本检验推广到能够比较两个样本的均值的检验，必须
再一次运用中心极限定理。下面是一条由中心极限定理推广而来的重
要定理：如果从 和 两个总体中分别抽取容量为
n1和n2 的独立随机样本，那么两个样本的均值差 的抽样分
布就是 。与单样本的情况相同，在大样本的
情况下(两个样本的容量都超过50)，这个定理可以推广应用于任何具
有均值μ1和μ2以及方差 和 的两个总体。当n1和n2逐渐变大
时， 的抽样分布像前面那样将接近正态分布。
1．大样本均值差检验
（1）零假设：
（2）备择假设：
单侧 双侧
或
（3）否定域：单侧 双侧
（4）检验统计量
（5）比较判定
[例]为了比较已婚妇女对婚后生活的态度是否因婚
龄而有所差别，将已婚妇女按对婚后生活的态度分为“满
意”和“不满意”两组。从满意组中随机抽取600名妇女，
其平均婚龄为年，标准差为年；从不满意组抽出
500名妇女，其平均婚龄为年，标准差年。试问在
显著性水平上两组是否存在显著性差异？
500
不满意组
600
满意组
标准差
均值
人数
样本
[解] 据题意，
“不满意”组的抽样结果为： ＝年， S1＝年， n1＝500；
“满意”组的抽样结果为： ＝ 年，S2＝ 年， n2＝600。
H0：μ1―μ2＝D0＝0
H1： μ1―μ2 ≠0
计算检验统计量
确定否定域，
因为α＝，因而有 Zα/2＝＜
因此否定零假设，即可以认为在显著性水平上，婚龄对妇女婚
后生活的态度是有影响的。同时我们看到，由于样本计算值Z＝ 远大
于单侧 的临界值1. 65，因此本题接受μ1―μ2 ＞0 的备择假设，即可
以认为妇女婚龄长容易对婚后生活产生“不满意”。
2．大样本成数差检验
（1）零假设：
（2）备择假设：
单侧 双侧
或
（3）否定域：单侧 双侧
（4）检验统计量
其中:
为总体1的
样本成数
为总体2的
样本成数。
当p1和p2未知，须用样本成数 和 进行估算时，分以下两
种情况讨论：
① 若零假设中两总体成数的关系为 ，这时两总体可看作成数
P 相同的总体，它
们的点估计值为
此时上式中检验
统计量 Z 可简化为
② 若零假设中两总体成数 ，那么它们的点估计值有
此时上式中
检验统计量Z为
（5）判定
[例]有一个大学生的随机样本，按照性格“外向”和
“内向”，把他们分成两类。结果发现，新生中有73％属
于“外向”类，四年级学生中有58％属于“外向”类。样本
中新生有171名，四年级学生有117名。试问，在水平
上，两类学生有无显著性差异？
27%
73%（171）
一年级
42%
58%（117）
四年级
内向
外向
[解] 据题意
新生组的抽样结果为： ＝， ＝，n1＝171
四年级学生组的抽样结果为: ＝， ＝，n2＝117
H0：p1―p2＝D0＝0
H1：p1―p2＝D0≠0
计算检验统计量
确定否定域
因为α＝，因而有 Zα/2＝＝＜
因而否定零假设，即可以认为在显著性水平上，两类学生在
性格上是有差异的。
第二节 两总体小样本假设检验
与对单总体小样本假设检验一样，我们对两
总体小样本假设检只讨论总体满足正态分布的情
况。
1. 小样本均值差假设检验
(1) 当 和 已知时，小样本均值差
检验，与上一节所述大样本总体均值差检验完全
相同，这里不再赘述。
(2) 和 未知，但假定它们相等时， 关键是要解决
的算式。
现又因为σ未知，所以要用它的
无偏估计量 替代它。由于两个样
本的方差基于不同的样本容量，因而
可以用加权的方法求出σ的无偏估计
量，得
注意，上式的分母上减2，是因为
根据 和 计算S1和S2时，分别损
失了一个自由度，一共损失了两个自由
度，所以全部自由度的数目就成为
(n1+ n2―2)。 于是有
这样，对小样本正态总体， 和 未知，但σ1＝σ2 ，
其均值差的检验步骤如下:
（1）零假设：
（2）备择假设：
单侧 双侧
或
（3）否定域：单侧 双侧
（4）检验统计量
（5）比较判定
[例]为研究某地民族间家庭规模是否有所不同，各做
如下独立随机抽样：
民族A：12户，平均人口人，标准差人
民族B：12户，平均人口人，标准差人
问：能否认为A民族的家庭平均人口高于B民族的家
庭平均人口（ α=）？（假定家庭平均人口服从正态
分布，且方差相等）t=
[例] 某市对儿童体重情况进行调查，抽查8岁的女孩
20人，平均体重千克，标准差千克；抽查8岁的
男孩18人，平均体重千克，标准差千克。若男女
儿童体重的总体方差相等，问在显著性水平5%上，该年
龄男女儿童之体重有无显著差异?
[解] 据题意，
女孩组的抽样结果为： ＝(千克)， S1＝(千克)，n1＝20(人)
男孩组的抽样结果为： ＝(千克)，S2＝(千克)， n2＝18(人)
H0：μ1―μ2＝D0＝0
H1：μ1―μ2≠0
计算检验统计量
确定否定域
因α＝，因而有t (36)＝＞
故不能否定H0，即可认为男女儿童平均体重无显著性差异。
(3) 和 未知，但不能假定它们相等
如果不能假定σ1＝σ2 ，那么就不能引进共同的σ简化 ，也不能计算σ的无偏估计量 。现在简单的做法是用
估计 ，用 估计 ，于是有
[例] 用上式重新求解前例题。
[解] 用上式，检验统计量的计算为
可以看出，求算用()式和()式，得出的结果差别不大。
2．小样本方差比检验
在实际研究中，除了要比较两总体的均值外，有时还需要比较两总体的方差。例如对农村家庭和城镇家庭进行比较，除了平均收入的比较外，还要用方差比较收入的不平均情况。此外，刚刚在小样本均值差的检验中曾谈到，当方差未知时，往往还假设两总体方差相等。因此，在总体方差未知的情况下，先进行方差比检验，对于均值差检
检验也是具有一定意义的。
设两总体分别满足正态分布 和 。现从这两
个总体中分别独立地各抽取一个随机样本，并具有容量n1，n2和方差
， 。根据第八章()式，对两总体样本方差的抽样分布分别有
根据本书第八章第四节F分布中的()式有
由于 ，
所以简化后，检验方差比所
用统计量为
当零假设H0： σ1＝σ2时，
上式中的统计量又简化为
这样一来，小样本正态总体方差比检验的步骤有
(1) 零 假 设H0 ：
备择假设H1 ：
单侧 双侧
H1 ： H1 ：
H1 ：
(2) 检验统计量
（ ）
（ ）
（ ）
单侧
双侧
(3)否定域(参见下图)
单侧 Fα（n1―1，n2―1），双侧Fα/2（n1―1，n2―1）
方差比检验，比起前面所介绍的检验有一个不同点，那就是无
论是单侧检验还是双侧检验，F 的临界值都只在右侧。其原因是我
们总是把和中的较大者放在分子上，以便使用者掌握。因此有
≥1 或者 ≥1
[例] 为了研究男性青年和女性青年两身高总体的方差是否相等，分别作了独立随机抽样。对男性青年样本有n1＝10， ＝(厘米2)；对女性青年样本有 n2＝8， ＝(厘米2)，试问在水平上，男性青年身高的方差和女性青年身高的方差有无显著性差异?
[解] 据题意，
对男性青年样本有n1 ＝10， ＝(厘米2)
对女性青年样本有n2 ＝8， ＝(厘米2)
H0 ： H1 ：
计算检验统计量
确定否定域，因为α＝，
Fα/2（n1―1，n2―1）＝(9,7)＝＞
因而不能否定零假设，即在水平上，我们不能说男性青年身
高的方差和女性青年身高的方差有显著性差异。
第三节 配对样本的假设检验
配对样本，是两个样本的单位两两匹配成
对，它实际上只能算作一个样本，也称关联样
本。因此对它的检验，用均值差检验显然是不行
的。因为2 n个样本单位(每个样本n个)不是全部
独立抽取的。而如果把每一配对当作一个单位，
在符合其他必要的假定条件下，统计检验与单样
本检验相差无几。
1．单一实验组的假设检验
对于单一实验组这种“前—后”对比型配对样
本的假设检验，我们的做法是，不用均值差检验，
而是求出每一对观察数据的差，直接进行一对一的
比较。如果采用“前测”“后测”两个总体无差异的零
假设，也就是等于假定实验刺激无效。于是，问题
就转化为每对观察数据差的均值μd ＝0的单样本假
设检验了。求每一对观察值的差，直接进行一对一
的比较。
设配对样本的样本单位前测与后测的观察数据分别
是X 0i与X 1i，其差记作di
d i＝ X 1i―X 0i
如果假设两总体前测与后测无显著性差别，即μ1
＝μ0 或者 。那么对取自这两
个总体的配对大样本有
对于大样本，当二总体的方差未知时，可以用样本标准差来近似。
若为小样本则需用 t 分布，即对配对(小)样本而言，其
均值差的抽样分布将服从于自由度为(n—1)的 t 分布。所以
对单一实验组实验的假设检验，其检验统计量为
[例] 随机地选择13个单位，放映一部描述吸烟有害于身体健康的影片，下表中的数字是各单位认为吸烟有害身体健康的职工的百分比，试在显著性水平上检检验实验无效的零假设。
[解] 零 假 设H0：μd＝0
备择假设H1：μ1＞μ0
根据前三式，并参照上表有
计算检验统计量
确定否定域，因为α＝，并为单侧检验，因而
有 t (12)＝＜
所以否定零假设，即说明该实验刺激有效。
练习一：以下是经济体制改革后，某厂8个
车间竞争性测量的比较。问改革后，竞争性有无
增加？（ 取α=）t=
改革后 86 87 56 93 84 93 75 79
改革前 80 79 58 91 77 82 74 66
练习二：为了了解职工的企业认同感，根据
男性1000人的抽样调查，其中有52人希望调换工
作单位；而女性1000人的调查有23人希望调换工
作，能否说明男性比女性更期望职业流动？
（ 取α=）
2．一实验组与一控制组的假设检验
单一实验组实验的逻辑，是把实验对象前测
后测之间的变化全部归因于实验刺激。在社会现
实生活进行的实际实验中，对象前测后测之间的
变化，有时除了受到实验刺激外，还受到其他社
会因素的作用。因而，配对样本的一实验组与一
控制组之假设检验，要设法把实验变量的作用和
额外变量的作用区分开来，然后就像对待单一实
验组实验一样，把问题转化为零假设μd＝0的单
样本检验来处理。
在一实验组与一控制组的实验设计之中，对前测后
测之间的变化，消除额外变量影响的基本做法如下：
(1)前测：对实验组与控制组分别度量；
(2)实验刺激：只对实验组实行实验刺激；
(3)后测：对实验组与控制组分别度量；
(4)求算消除了额外变量影响之后的 d i
后测实验组―前测实验组＝前测后测差实验组
后测控制组―前测控制组＝前测后测差控制组 实验效应di
＝前测后测差实验组―前测后测差控制组
[例] 假定实施一种新教学法有助于提高儿童的学习成绩，现将20名儿童两两匹配成对，分成一实验组与一控制组，然后对实验组实施新教学法两年，下表列示了控制组与实验组前测后测的所有10组数据，试在显著性水平上检验实验无效的零假设。
[解] 零 假 设H0：μd＝0 , 即“实验无效”
备择假设H1：μ1＞μ0
根据前三式，并参照上表有
计算检验统计量
确定否定域，因为α＝，并为单侧检验，因而
有 t (9)＝＜
所以否定零假设，即说明该教学法有效。
3．对实验设计与相关检验的评论
有了独立样本和非独立样本的认识，读者自
然会提出什么时候使用配对样本以及什么时候不
使用配对样本的问题。很显然，匹配样本损失了
自由度，使用配对样本相当于减小了一半样本容
量。这样做是不是得不偿失呢?答案是要看我们
能否恰当地配对。
在配对过程中，最好用掷硬币的方式决定
“对”中的哪一个归入实验组，哪一个归入控制
组。从而使“对”内随机化。
第四节 双样本区间估计
双样本区间估计和双样本假设检验的联系是很紧密的。双样本区间估计，即是为均值差或成数差设置置信区间的方法，这需要我们汇合单样本区间估计和双样本假设检验两方面的知识
1. 和 已知，对均数差的区间估计
根据本章第一节中心极限定理的推论，既然两样本的均值差 的抽样分布就是 ，那么对
统计量Z 自然有
对于给定的置信水平（1―α），以 构造
的置信区间如下
同理考虑 的置信区间，只需将上式中的
改为 即可。
[例] 设甲乙两乡镇企业职工月收入总体分布的方差分别为 ＝120(元2)， ＝90(元2)。现从甲企业随机抽取20人，平均月收人为840元：从乙企业随机抽取10人，平均月收入为670元，试以95%置信水平估计两企业人均月收入差额之范围。
[解] 据题意，
甲企业的抽样结果为： ＝840(元)， ＝ 120(元2) ，
n1＝20(人)
乙企业的抽样结果为： ＝670(元)， ＝90(元2) ，
n2 ＝ 10(人)
由（1―α）＝0．95，得Zα/2＝，代入前式有
得到在95％置信水平上，两企业人均收入之差额在元到元之间。
对于大样本， 和 未知，可以用 和 替
代，然后用前式求出均值差的置信区间即可。
对于小样本， 和 未知，两样本均值差的抽样分布就不再服从Z分布，而是服从 t 分布了。此时对给定的置信水平（1―α），得 之估计区间为
2. 和 未知，对均数差的区间估计
由上式可见，要解决小样本均值差区间估计问题，关键是要解决 的算式问题，而如果能假设 ，这个问题已经在本章第二节中解决了，即
[例] 某市对儿童体重情况进行调查，抽查8岁的女孩20人，平均体重千克，标准差千克；抽查8岁的男孩18人，平均体重千克，标准差千克。若男女儿童体重的总体方差相等，试在95％置信水平上，估计8岁男女儿童体重差额之范围。
[解] 据题意，
女孩组的抽样结果为： ＝(千克)， S1＝ (千克)，n1＝20(人)
男孩组的抽样结果为： ＝(千克)， S2＝(千克)， n2＝18(人)
代人前式得
由（1―α）＝，得t α/2(n1+ n2 ―2)＝t (36)＝，于是
[(―)―×，(—) + ×)]
得在95％置信水平上8岁男女儿童体重之差额在―千克到千克之间。
如果不能假设 ，求算 则要用下
式，即
[例] 研究正常成年男女血液红细胞的平均数之差别，
抽查男子20人，计算得红细胞平均数465万／毫米3，样本
标准差为万／毫米3；抽查女子24名，计算得红细胞
平均数422万／毫米3，样本标准差为49．2万／毫米3，试
以99％的置信水平，求正常成年男女红细胞平均数的差异
范围。
[解] 据题意，
男性组抽查结果为： ＝465， S1＝54. 8， n1＝20(人)
女性组抽查结果为： ＝422， S2＝49. 2， n2＝24(人)
代人前式得
由（1―α）＝，得t α/2(n1+ n2 ―2)＝t (42)＝，于是
[(465―422)―×，(465—422) + ×)]
得在99％置信水平上，正常成年男女红细胞平均数之差异范围在―万／毫米3到万／毫米3之间。
3．大样本成数差的区间估计
与单样本成数的区间估计一样，成数差区间估计
可以被看作均值差的特例来处理(但它适用于各种量度
层次)。即对给定的置信水平（1―α），得两总体成数
差(p1―p2)之估计区间为
当p1和p2未知，须用样本成数 和 进行估算，同时分以下两
种情况讨论：
① 若能假设 ，上式变为
式中:
②若不能假设 ，上式变为
[例] 有一个大学生的随机样本，按照性格“外向”和“内向”，把他们分成两类。结果发现，新生中有73％属于“外向”类，四年级学生中有58％属于“外向”类。样本中新生有171名，四年级学生有117名。试在99％的置信水平上，求新生、老生性性格“外向”的成数差的置信区间。
[解] 据题意，
新生组的抽样结果为： ＝， ＝0 27， n1＝171(人)
四年级学生组的抽样结果为： ＝， ＝0. 42，n2＝117(人)
由（1―α）＝，得Zα/2＝＝，代入上式得
得在99％置信水平上，新生、老生性格“外向”的成数差的置信区间为(，)。
4．配对样本均值差的区间估计
配对样本均值差的区间估计与独立样本均值差的区间估计不同，它实质上是μd的单样本区间估计。
既然对统计量 t 有
对给定的置信水平（1―α），μd 的区间估计是
[例] 在8名患者身上用A和B两种催眠药加以试验，增多睡眠小时数的数据如下表所示，试在95％的置信水置信水平上，求μd的置信区间。
[解] 据()式和()式，计算过程参见上表，得
由（1―α）＝，得tα/2(n ―1)＝t (7)＝，代入上式有
得在95％的置信水平上，两种催眼药平均药效之差μd的置信区间为
土(小时)，即
(小时) ≤ μd ≤ (小时)。
第十一章 非参数检验
在社会研究中我们经常要采用定序尺度，但直到现
在，我们都还没有机会讨论涉及到定序尺度的显著性检
验。本章要讲述某些用于定序尺度的双样本检验。与以
前所讲的检验不同，使用这类方法不需要对总体分布作
任何事先的假定(例如正态总体)。同时从检验的内容来
说，也不是检验总体分布的某些参数(例如均值、成
数、方差等)，而是检验总体某些有关的性质，所以称
为非参数检验。非参数检验，泛指“对分布类型已知的
总体进行参数检验”之外的所有检验方法。
与均值差等检验比较，非参数检验有什么优点呢？
在对均值差进行t检验时，不仅要有定距尺度的假定，
还要有正态总体的假定。当然，对于大样本，正态总体
的假定可以放松。但正是对于小样本，这种假定最容易
出问题。因此，在满足下面两条件之一时，我们期望用
非参数检验代替均值差检验：①没有根据采用定距尺
度，但可以安排数据的顺序(即秩)；②样本小且不能假
定具有正态分布。由于非参数检验不能充分利用全部现
有的资料信息。因此，如果有根据采用定距尺度，并且
如果对于小样本能够假定其具有正态性，或对大样本能
够放松对正态性假定的要求，一般宁愿使用均值差检
验，而不用非参数检验。
非参数检验，无需做出经典统计所必要的
关于分布的任何假设。唯一需要的假设是：全
部数据或数据对都出自相同的基本总体，且取
样是随机的、相互独立的。基于这种原因，非
参数检验又称为分布自由(或无分布)检验。“无
分布”不是指总体真的无分布，而是指虽有时对
总体分布一无所知，但仍可以进行分析。不仅
如此，这些很容易理解的方法还可以用于处理
等级的资料和定性的信息。
很显然，如果把从一个正态总体中抽取的数据用分布
自由来处理，其效果肯定不如相应的参数检验有力。我们
一般用下述指标来确定非参数检验的“效率” 。
式中的n 0和n分别是两种检验
保证实现给定的检验力所需的样本
容量。如果说某种非参数检验的检
验效率为95％，就意味着这种非参
数检验在使用100个数据时的效力等
于t检验(在正确模型条件下)使用95
个数据的效力。
检验力又称检验势，它是用1―β或[1―（犯第二类错误的概率）]来定义的。也就是说，对于固定的样本容量，检验能够否定错误假设的能力越大，其相对检验力越大。
第一节 符号检验
“符号检验”是针对观察结果之差的符号来作估价的。在
单一实验组的实验中，对于样本中每个个体的前测与后测，
如果我们并不关心（X1―X0）的具体数值，而只关心是增大
了还是减小了。具体来说，就是只研究差值d 的符号，即
若X1＞X0，记作“+”；
若X1＜X0，记作“―”；
若X1＝X0，删去。
那么我们面对的就将是配对样本的“符号检验”问题
了。“符号检验”并不要求配对样本出自同一个总体，重要
的是各个对的结果要相互独立。
符号检验的零假设就是配对观察结果的差平均起来等于零：人们期望这些差中有一半小于零(负号)，而另一半大于零(正号)，因此符号检验就是对差分布之中位数为零的零假设检验。现将符号检验的零假设和备择假设表达如下
H0：p (+)＝p (―)＝
H1：单侧检验 p (+)＞p (―)或 p (+)＜p (―)
双侧检验 p (+)≠p (―)
很显然，符号检验就是先假设 p＝，按二项分布计算正号“+”出现次数之抽样分布，然后以样本中正号“+”出现的次数 x 作为检验统计量。如果它是B(x；n，)下的小概率事件，便否定对差分布之中位数为零的零假设，即认为两总体存在平均水平上的差别。由此可见，符号检验是二项检验的一种实际应用。
[例] 假设我们观测15个相配的对，获得两个差为零和13个差不为
零，其中有11个正号，2个负号，试在％的显著性水平上进行单
侧检验。
[解] H0：p＝
H1：p (+)＞p (―)
由α＝确定否定域，查二项分布表（附表2）
P (13；13，)＝
P (12； 13，)＝
P (11； 13，)＝
P (10； 13，)＝
P (13) + P（12）+ P (11)＝ + + ＝＜
P (13) + P (12) + P (11) +P（10）＝ + ＝＞
所以否定域由x等于11，12，13组成。现检验统计量 x＝11，
所以零假设 p＝在％显著性水平上被拒绝。
[例] 随机地选择13个单位，放映一部描述吸烟有害于身体健康
的影片，下表中的数字是各单位认为吸烟有害身体健康的职工的百分
比，现试在显著性水平上，用符号检验检验实验无效的零假设。
[解] H0：p＝0．5
H1：p (+)＞p (―)
由上例知，B(x；13，)在α＝显著性
水平上，单侧检验（p＞）否定域由 x 由11，
12，13组成。
观察前表知，在13个相配的对中，10个差为
正号，3个差为负号，即检验统计量 x＝10。所
以零假设 p＝在％显著性水平上不能被拒
绝。
对比[例]和[例]可见，由于符号检验只计
及差值d 的符号，而没有计及差值d的大小，所以有时用t
检验可以作出拒绝零假设的判定，如改用符号检验却往往
不能作出这样的判定。因此说，符号检验效力较低。根据
计算，就满足正态分布而言，符号检验法的效率是配对样
本 t 检验的63％。即如果符号检验法需要样本容量为100
的话，那么t检验法只需n＝63就可作出相同的检验。但符
号检验运用于定类尺度，对总体分布又无需加以限制，所
以就配对样本的显著性检验而言，其适应面是相当广的。
像符号检验这样的非参数值验，在分布自由检验中称为
简便检验(或快速检验)。
第二节 配对符号秩检验
对于配对样本，至此我们已经接触了两种
检验，即符号检验和t检验。在符号检验中，
只考虑差值d的符号而不管其大小，并且应用
二项分布检验零假设。另一方面，最有力的检
验—— t 检验，则不仅需要定距尺度，而且还
要求假定差值d服从正态分布。配对符号秩检
验兼备了上述两种检验的某些特征，其效力也
介乎两者之间。
配对符号秩检验对于非正态分布的d 值，是最佳检验，其检验效力大大高于符号检验。如果 t 检验的假定成立，配对符号秩检验的检验效力对于大、小样本都近乎为95％。因此，在定距尺度测量的水平上，若由于样本容量太小而不能假定正态分布的时候，配对符号秩检验特别有用。
配对符号秩检验的零假设基本上和符号检验以及用于
配对样本的 t 检验的零假设相同。配对符号秩检验的步骤
如下：
(1) 首先求出每对数据的差值d 。
(2) 不计正负，按绝对值大小把差值d按顺序排列起来。
(3)绝对值最小者赋秩为l，第二小者赋秩为2，……绝对
值最大者赋秩为n (其中绝对值相等者，将它们应得的秩均
分之)，再在差值前补填上符号。
(4)求得正差值的秩和T+ 及负差值的秩和T- 。我们期望
两个秩和应该近似相等。如果T+和T-相差太大，就应该否定
零假设。
(5)取两个秩和中较小的一个，即T＝min(T+ ，|T-|)，
作为检验统计量。
(6)给定显著性水平α。如果n小，从配对符号秩检验
表(附表9中直)接查出临界值Tα(n)。如果n大(n＞25)，就
要应用正态近似法，查出Zα(单侧检验)或Zα/2(双侧检验)，
同时检验统计量Z按下式计算
(7)若T ≤ Tα(n) ，就拒绝零假设，同时认为总体间有
显著性差异。
[例] 随机地选择13个单位，放映一部描述吸烟有害于身体健康
的影片，下表中的数字是各单位认为吸烟有害身体健康的职工的百分
比，现试在显著性水平上，用配对符号秩检验检验实验无效
的零假设。
[解]
H0：T+ ＝|T-|，即在总体中，正秩和等于负秩和。
H1：T+ ＞|T-|。
前表给出了有关资料，由此又列出了配对符号
秩检验所需要的数据。根据表中数据，可以看出负
秩和小于正秩和。因此检验统计量T 取负秩和。
T ＝|T-|＝ + 4 + 8＝
由α＝，n＝13，查表得单侧检验的
(13)＝l7＞，所以否定T+ ＝|T-|的零假设，
即说明该实验刺激有效。
将[例]与[例]和[例]对比，可见配对符号秩检验
的效力比符号检验的效力高得多，而很接近于t 检验的效力。理论研
究表明，对于配对样本非正态分布的差值d，配对符号秩检验是最佳
检验。
虽然本例中n 很小，但是为了说明用法，我们仍然使用正态近似
法计算一下检验统计量
在单侧检验中，Zα＝＝＜，我们可以否定零假
设。但必须指出，正态近似计算法没有把同数值（或同分对）的情
况考虑在内而作出修正。因此，它在同数值的数目很大时不能使用。
第三节 秩和检验
前面我们刚刚讨论过的符号检验和配对符号秩检
验，都只适用于配对样本。当样本为独立样本时，可采
用本节所讨论的秩和检验法。其具体步骤为：
(1)设从两个未知的总体1和总体2中分别独立、随机地各抽取一
个样本，样本1的容量为n1，样本2的容量为
n2，两样本的数据分别列示如下：
样本1：X1，X2，…，
样本2：Y1，Y2，…，
(2)把样本1和样本2混合起来，并按数值从小到大顺序编号，每
个数据的编号即为它的秩。如果混合样本中有相同数值的数据，则
将它们应得的秩均分。
(3)分别计算两样本的秩和：样本l中所有X1，X2，…，的秩和记作R1；样本2中所有Y1，Y2，…，的秩和记作R2。
(4)秩和检验是针对两个总体具有完全相同的形式的零假设而进行检验的。在均值差检验中，研究的重点放在中心趋势的差异上，而不是离差的差异或形式的差异。秩和检验的零假设则可以用任何差异形式表示出来。
(5)计算检验统计量U 。检验统计量U是对混合样本中n1+ n2个元素根据它们的秩和和它们所属的总体标出的双重指标
检验统计量U是U1和U2中较小的一个，即U＝
min(U1,U2)，然后用下式核对计算
U1 + U2 ＝n1 n2
(6)给出显著性水平α，从秩和检验表(附表10)中
查出临界值Uα，如果计算出的U值小于或等于从附表10
中查出的临界值Uα(n1 ，n2)，则零假设被拒绝。
[例] 设评审专家对19所大专院校按校园环境质量排
名次，环境质量最好的学校记分数为1，环境质量最差的
学技记分数为19。其中10所学校是本科院校，其他9所学
校是专科院校。假定这19所学校是分别从全部大专院校
中随机地抽取的，试问：专科类院校和本科类院校的环
境质量是否有显著性差异(α＝)?
本科院校环境质量的名次(秩)为：
1，2，4，5，6，7，9，11，14，17 (n1＝10)
专科院校环境质量的名次(秩)为：
3，8，10，12，13．15．16，18，19 (n2＝9)
[解] H0：专科类院校和本科类院校的环境质量无差异
H1：专科类院校和本科类院校的环境质量有差异
根据题意
R1＝l+2+4+5+6+7+9+11+14+17＝76
R2＝3+8+10+12+13+15+16+18+19＝114
代入下两式得
所以检验统计量U＝min(U1,U2)＝U2＝2l
由α＝查附表10得
Uα(n1 ，n2)＝U (10 ，9)＝20＜2l
所以不否定零假设，说明在的水平上，不能认为专科类院
校和本科类院校的环境质量有显著性差异。
秩和检验本来可直接用R1和R2，不必求U 。但由于对于n小
的U ，其值可以准确地从数表中查出，所以在秩和检验中一般使
用统计量U比较方便。秩和检验因而也有了U检验之称。如果n较
大，U的抽样分布接近正态分布N (μ，σ2)，可以利用正态分布
作近似检验，其均值、标准差和标准正态变量分别是
第四节 游程检验
游程检验是适用于独立样本的另一种检验法。游程检
验的基本原理和计算方法很简单：先把两个样本混合起
来，按大小排列，并赋予其秩。那么，当样本所属的总
体是同分布的话，是不大可能出现来自总体1的样本全是
高秩、而来自总体2的样本全是低秩的情况；反之亦然。
可能性最多的情况是，来自总体1和总体2的样本，其秩
是随机交错的。因此，根据混合样本中两样本交错的次
数来检定秩交错次数是随机的零假设，这就是游程检
验。其具体步骤如下：
(1 ) 设从两个未知的总体1和总体2中分别独立、随机地各抽取1个
样本，样本1的容量为n1，样本2的容量为n2 。
(2 ) 把样本1和样本2混合起来，并按数值从小到大顺序编号，每
个数据的编号就是它的秩。
(3)点算游程数目。一个游程指混合样本中接连属于一个样本的一
串秩，其前后是另一个样本的秩。
例如，A和B分别代表混合样本中来自第一个样本的秩和来自第
二个样本的秩，这样一来，混合样本被赋予秩的数据序列便呈以下形
式
ABBABAAABABBABBAAABAAB
在此例中，第一个游程由一个A组成，第二个游程由两个B组
成，然后又是一个A组成的游程……，游程的总数为14。
(4)根据显著性水平α确定否定域( n1，n2)。游程数
目r 的抽样分布(见附表11)可用于建立否定零假设的否定
域。
(5)检定零假设。以混合样本中的游程数目为检验统
计量：如果游程的数目很大，就表明两个样本混合得很
好，不能否定零假设；相反，如果游程的数目较小，零
假设就很可能是错的，应该否定。
[例] 设评审专家对19所大专院校按校园环境质量排
名次，环境质量最好的学校记分数为1，环境质量最差的
学技记分数为19。其中10所学校是本科院校，其他9所学
校是专科院校。假定这19所学校是分别从全部大专院校
中随机地抽取的，试问：专科类院校和本科类院校的环
境质量是否有显著性差异(α＝)? （请作游程检验）
本科院校环境质量的名次(秩)为：
1，2，4，5，6，7，9，11，14，17 (n1＝10)。
专科院校环境质量的名次(秩)为：
3，8，10，12，13．15．16，18，19 (n2＝9)。
[解] 将大专院校按校园环境质量的优劣顺序混合排列，然后在
第一个样本的游程下画上横线，属于第二个样本的游程下则不画横
线：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
得检验统计量 r＝12
由α＝，查表得临界值
rα ( n1，n2)＝(10，9)＝6＜l2
所以不否定零假设，说明在的水平上，不能说专科类院校
和本科类院校的校园环境质量有显著性差异。
对于同一道例题，对照此解和上解，我们看到秩和检验和游程
检验做出了相同的判断。但应用前者，更接近于否定零假设。所
以，如果零假设实际上是错误的，应用秩和检验比应用游程检验犯
第二类错误的可能性小。
当n1和n2都小于20时，游程数目的准确抽样分布
可以从附表11中查找。当n1和n2都大于20时，的抽样分
布近似于正态分布N (μ，σ2)，其均值、标准差及标
准正态变量分别是
第五节 累计频数检验
累计频数检验是另一种双样本的非参数检验，它所需要的假定同秩和检验和游程检验一样。以上各种非参数检验，对于定序变量，都要求等级分得较多较细，实际上用的是未分组资料。但在社会研究中，对定序变量往往也用分组资料。例如一位研究者可以将一个城市社区的居民按文化程度分成六组，从中独立、随机地抽取两个样本。样本l是喜爱围棋者，容量为n1；样本2是不喜爱围棋者，容量为n2。将n1和n2分配到以文化程度为秩尺度的六个组中，这样我们就得到了两个样本的分组资料〔参见后表〕。在样本容量较大而等级划分又很有限的情况下，累计频数检验就显得十分有用了。
累计频数检验的原理很简单：如果独立随机样本
取自两个形式完全相同的总体的零假设正确，即可期
望两个样本累计相对频数分布基本上相似。累计频数
检验使用的检验统计量是由两个累计频数分布构成的
一系列差值之最大值D，即
如果D大于零假设前提下偶然性作用的期望值，
就表明两个分布相差太大，以致应否定零假设。累计
频数检验的步骤如下：
(1)设从两个未知的总体1和总体2中，分别独立、随机地抽取两
个样本，样本容量分别为n1和n2。
(2 )将两个样本分别按同一秩尺度分组，得到如前表所示的两个
频数分配数列。
(3) 根据两个样本的频数分布，做出两个样本的累计频率分布。
(4) 根据两个样本的累计频率分布，算出差值 的一
系列数值，找出最大差 ，即为检验统计量D。
(5)抽样分布是零假设下随机变量D的各个取值的概率分布。当
n1＝n2，且n值较小(≤40)时，可以给出D抽样分布的准确形式。但
我们不讨论这种情况。因为在n很小时，可以不用累计频数检验，而
用秩和检验；而且在大多数社会研究中，两个样本容量正好相等的
情况极少。如果两样本的容量都大于40，则分两种情况加以讨论：
如果没有预测方向，临界值D可以由下式近似求得
其中：k α是由下 表给出的依赖于显著性水平α的常数。
如果已经预测方向，检验统计量应改用卡方近似法求得，即
注意：在累计频数检验中，卡方的自由度总为2。
(6)判定。如果检验统计量落在否定域内，就否定零假设；如果
检验统计量落在否定域外，则不否定零假设。
[例] 对表所示资料作累计频数检验，显著性水平
选为，分别作双侧检验和单侧检验。
[解] ①双侧检验
H0：对围棋的喜好与文化程度的高低无关
H1：对围棋的喜好与文化程度的高低有关
检验统计量的计算过程参见后表。
由于α＝，查表，代人下式得临界值
＜
所以拒绝零假设，即不能说对围棋的喜好与文化程
度的高低无关。同时 ，为小学
文化程度组的相对频数之差，它表示不喜爱围棋的人更
多地集中在文化程度低的人群中。因此，可以说文化
程度高的人对围棋的喜爱超过文化程度低的人。
②单侧检验
H0：对围棋的喜好与文化程度的高低无关
H1：文化程度高的人对围棋的喜好超过文化
程度低的人
代入下式计算检验统计量
由于α＝，查表得
＜
同样拒绝零假设，并接受备择假设。
累计频数检验可以检验经验分布和理论分布拟合到了什么程度。要检验的零假设是，样本来自一个已知分布函数F(x)的总体。对立的备择假设是，样本来自不具有分布函数F(x)的总体。基本方法是：先算出零假设下各期望值的频数fe，这些值的累计频数为Fe，并且列出各观察值的频数fo，这些值的累计频数为Fo；然后可得到差(Fo―F e),以及差的最大绝对值max(|Fo―F e|)。用此最大值除以样本容量n，即为累计频数检验用于拟合优度检验(参见第第十三章第一节)时的检验统计量
当样本容量n＞35时，否定域用下表给出的
临界值进行估算。
[例] 将一枚骰子掷120次，6个面出现的频数分别是18，23，21，15，25，18，试以这一数据分布检定“公正骰子”的零假设(显著性水平取α＝)。
[解] H0：“公正骰子”
H1：“不公正骰子”
检验统计量的计算过程参见后表：
由于α＝，查表得临界值
Dα ＝ ＝ ＞
因此零假设不能被拒绝，即在显著性水平上不能否定“公正骰子”的零假设。
第十二章 相关与回归分析
第一节 相关关系及种类
第二节 定类变量的相关分析
第三节 定序变量的相关分析
第四节 定距变量的相关分析
第五节 回归分析
社会上，许多现象之间也都有相互联系，例如：身高与体重、教育程度和收入、学业成就和家庭环境、智商与父母智力等。在这些有关系的现象中，它们之间联系的程度和性质也各不相同。
本书第十章提出了两总体的检验及估计的问题，这意味着我们开始与双变量统计方法打交道了。双变量统计与单变量统计最大的不同之处是，客观事物间的关联性开始披露出来。这一章我们将把相关关系的讨论深入下去，不仅要对相关关系的存在给出判断，更要对相关关系的强度给出测量，同时要披露两变量间的因果联系，其内容分为相关分析和回归分析这两个大的方面。
第一节 变量之间的相互关系
1. 相关程度
完全相关，指变量之间为函数关系；完全不相关指变
量之间不存在任何依存关系，彼此独立。不完全相关介于
两者之间。不完全相关是本章讨论的重点。
由于数学手段上的局限性，统计学探讨的最多的是定
距—定距变量间能近似地表现为一条直线的线性相关。在
统计中，对于线性相关，采用相关系数（记作r）这一指标
来量度相关关系程度或强度。就线性相关来说，当r ＝l
时，表示为完全相关；当r =0时，表现为无相关或零相
关；当0< r <1时，表现为不完全相关。
2. 相关方向：正相关和负相关
所谓正相关关系是指一个变量的值增加时，另一变
量的值也增加。例如，受教育水平越高找到高薪水工作的
机会也越大。而负相关关系是指一个变量的值增加时，另
一变量的值却减少。例如，受教育水平越高，理想子女数
目越少。要强调的是，只有定序以上测量层次的变量才分
析相关方向，因为只有这些变量的值有高低或多少之分。
至于定类变量，由于变量的值并无大小、高低之分，故定
类变量与其他变量相关时就没有正负方向了。
3. 因果关系与对称关系
因果关系中两个变量有自变量（independent
Variable)和因变量(dependent Variable)之分：
（1）两个变量有共变关系；
（2）因变量的变化是由自变量的变化引起的；
（3）两个变量的产生和变化有明确的时间顺序，前者
称为自变量，后者称为因变量。
表现为对称关系的相关关系，互为根据，不能区分自
变量和因变量，或者说自变量和因变量可以根据研究目的
任意选定，例如身高和体重之间的关系。
4. 单相关和复相关
从变量的多少上看，单相关只涉及两个变量，亦称二元
相关；三个或三个以上变量之间的关系称为复相关，亦称多
元相关。
五、直线相关和曲线相关
从变量变化的形式上看，如果关系近似地表现为一条直
线，称为直线相关或线性相关；如果关系近似地表现为一条
曲线，则称为曲线相关或称为非线性相关。
由于数学手段的局限性，我们以学习线性相关为主。在
统计学中，通过分段处理线性相关也可以用于处理曲线相
关。
第二节 定类变量的相关分析
本节内容：
1、列联表
2、削减误差比例
3、λ系数
4、τ系数
1. 列联表
列联表，是按品质标志把两个变量的频数分布进
行交互分类，由于表内的每一个频数都需同时满足两个
变量的要求，所以列联表又称条件频数表。
例如，某区调查了357名选民，考察受教育程度与投
票行为之间的关系，将所得资料作成下表，便是一种关
于频数的列联表。
习惯上把因变量Y放在表侧，把自变量X放在表头。
2×2列联表是最简单的交互分类表。
r×c列联表 r(row)、c(column)
2×2频数分布列联表的一般形式
r×c频数分布列联表的一般形式
100
14
54
32
总数
10
4
4
2
增广见闻
50
7
41
2
理想工作
40
3
9
28
快乐家庭
增广见闻
理想工作
快乐家庭
总数
知心朋友志愿
自己志愿
两个边际分布：
条件频数表中各频数因基数不同不便作直接比较，因此有必要将频数化成相对频数，使基数标准化。这样，我们就从频数分布的列联表得到了相对频数分布的列联表(或称频率分布的列联表)。下表是r×c相对频数分布列联表的一般形式。
r×c相对频数分布列联表的一般形式
在相对频数分布列联表中，各数据为各分类
出现的相对频数(或者频率)。将频数 化成相对
频数 有两种做法：
①相对频数联合分布
两个边际分布 或
②相对频数条件分布
或
r×c相对频数联合分布列联表
控制X，Y相对频数条件分布列联表
控制Y，X相对频数条件分布列联表
[例A1]试把下表所示的频数分布列联表，转
化为自变量受到控制的相对频数条件分布列联
表，并加以相关分析。
357
190
167
合计：
289
68
129
61
160
7
投票
弃权
大学以下
大学以上
受教育程度X
投票行为Y
从上表可知，受过大学以上教育的被调查者绝大多
数（占%）是投票的，受教育程度在大学以下的被调
查者虽多数也参与投票（占%）,但后者参与投票的百
分比远小于前者；前者只有%弃权，而后者则有%
弃权。两相比较可知，受教育程度不同，参与投票的行
为不同，因此两个变量是相关的。
%
(357)
%
(190)
%
(167))
%(289/357)
%(68/357)
%(129/190)
%(61/190)
%(160/167)
%(7/167)
投票
弃权
大学以下
大学以上
受教育程度X
投票行为Y
[例A2]试把下表所示的频数分布列联表，转
化为相对频数条件分布列联表和自变量受到控制
的相对频数条件分布列联表，并加以相关分析。
357
190
167
合计：
214
143
114
76
100
67
投票
弃权
大学以下
大学以上
受教育程度X
投票行为Y
上表显示，大学以上文化程度和大学以下文化程度同样
各有60%的人参与投票，40%的人弃权，并没有因为受教育
程度不同，而使参与投票的行为有所不同。因此，此时的两
个变量是不相关的，或者说是独立的。我们不难发现，此时
反映全体投票情况的相对频数的边际分布( )也各有60%
的人参与投票，40%的人弃权。
%
(357)
%
(190)
%
(167))
%(214/357)
%(143/357)
%(114/190)
%(76/190)
%(100/167)
%(67/167)
投票
弃权
大学以下
大学以上
受教育程度X
投票行为Y
上表显示，当两个变量不相关时有 。
如× =。
%
(357)
%
(190/357)
%
(167/357)
%(214/357)
%(143/357)
%(114/357)
%(76/357)
%(100/357)
%(67/357)
投票
弃权
大学以下
大学以上
受教育程度X
投票行为Y
[例B]某社区调查了120名市民，考察性别与
对吸烟态度之间的关系，试将所得资料作成相对
频数的联合分布、边际分布和条件分布列联表，
并进行相关分析。
性别与对吸烟的态度
64
44
20
反对
120
52
68
合计
56
8
48
容忍
女
男
合计
性别X
态度Y
相对频数联合分布列联表
100 % (120)
%
%
%
%
%
反对Y2
%
%
%
容忍Y1
女( X2 )
男( X1 )
性别X
态度Y
相对频数条件分布列联表
100 %
(120)
100 %
(52)
100 %
(68)
%(64)
%
%
反对
%(56)
%
%
容忍
女( )
男( )
性别X
态度Y
2675名双亲和他们10071个子女
的智力的关系(%)(相对频数条件分布列联表)
劣＋劣
一般＋一般
优＋劣
优＋优
子女智力
低下
子女智力
一般
子女智力
优秀
父母智力
组合
通过列联表研究定类变量之间的关联性，这
实际上是通过相对频数条件分布的比较进行的。
如果对不同的X，Y的相对频数条件分布不同，且
和Y的相对频数边际分布不同，则两变量之间是
相关的。而如果变量间是相互独立的话，必然存
在着Y的相对频数条件分布相同，且和它的相对
频数边际分布相同。后者用数学式表示就是
或者
2. 削减误差比例 PRE
（Proportionate Reduction in Error)
通过相对频数条件分布列联表的讨论，可以就自变量
X和因变量Y的关联性给出一个初步的判断。但是对关联
性给出判断，肯定没有用量化指标表达来得好。所以，下
面我们将关注于如何用统计方法，使相关关系的强弱可以
通过某些简单的系数明确地表达出来。
在社会统计中，表达相关关系的强弱，削减误差比
例的概念是非常有价值的。削减误差比例的原理是，如果
两变量间存在着一定的关联性，那么知道这种关联性，必
然有助于我们通过一个变量去预测另一变量。其中关系密
切者，在由一变量预测另一变量时，盲目性必然较关系不
密切者为小。
PRE：用不知道Y与X有关系时预测Y的全部误差E1，减去知道Y与X有关系时预测Y的联系误差E2，再将其化为比例来度量
PRE的取值范围是
0≤PRE≤l
削减误差比例PRE适用于各测量层次的变量，λ系数和τ系数便是在定类测量的层次上以削减误差比例PRE为基础所设计的两种相关系数。
PRE=（56-28）/56=
64
44
20
反对
120
52
68
合计
56
8
48
容忍
女
男
合计
性别X
态度Y
3.λ系数
在定类尺度上测量集中趋势只能用众数。
λ系数就是利用此性质来构造相关系数的。
（1）不对称的λ系数
[例] 对下表所示资料，用λ系数反映性别与收
入高低的相关关系。
190
70
120
高
400
220
180
合计
210
150
60
低
女
男
合计
性别X
收入Y
（2）对称的λ系数
[例] 研究工作类别与工作价值的关系，工
作类别可分为三类：工人、技术人员、管理/行
政人员；工作价值也可分为三类：以收入/福利
为最重要的职业选择标准的称为经济取向型，以
工作的创造性、挑战性为最重要的职业选择标准
的称为成就取向型，以工作中的人际关系为最重
要的职业选择标准的称为人际关系取向型。对下
表所示资料，用λ系数反映工作类别与工作价值
的相关关系 。
职工的工作种类与工作价值
400
110
140
150
合计：FX
220
110
70
50
20
40
70
60
10
100
30
20
经济取向型
成就取向型
人际关系取向型
管理/行政人员
技术人员
工人
合计
工作种类 X
工作价值 Y
性质：
（1）0≤λ≤1
（2）具有PRE意义。
（3）对称与不对称情况下，有不同的公式。
（4）以众数作为预测的准则，对条件频数分
布列联表中众数频数以外的条件频数不予理会。
（5）如果众数频数集中在条件频数分布列联
表的同一行时，λ=0，从而无法显示两变量之间
的相关性。
4.τ系数
τ系数的统计值域是[0，1]，其特点是在计
算时考虑所有的边际频数和条件频数 。
注意：当众数很突出且众数分布不在同一行，同一
列时，用λ系数较好；但当众数不突出时，用τ系数更
好；若众数集中在某一行或某一列，一定用τ系数。
[例] 对下表所示资料，用τ系数反映性别与
收入高低的相关关系，并对系数的PRE意义加以
解释。
190
70
120
高
400
220
180
合计
210
150
60
低
女
男
合计
性别X
收入Y
练习：
调查100名青年人与其知心朋友的志愿，条
件次数分布如下：计算知心朋友的志愿与自己志
愿之间的相关关系，并提出研究结论。
100
14
54
32
总数
10
4
4
2
增广见闻
50
7
41
2
理想工作
40
3
9
28
快乐家庭
增广见闻
理想工作
快乐家庭
总数
知心朋友志愿
自己志愿
第三节 定序变量的相关分析
定序变量只能排列高低次序，因而在分析时只能考虑
两变量变化的顺序是否一致及其等级之间的差距。以此来
计算两变量的相关系数。
1、同序对、异序对和同分对
2、Gamma等级相关系数
3、肯德尔等级相关系数
4、萨默斯系数（d系数）
5、 Spearman等级相关系数
6、肯德尔和谐系数
1. 同序对、异序对、同分对
社会学研究常用的两定序变量的相关测量
法，有一类是以同序对、异序对、同分对的概念
为基础的，如Gamma系数、肯德尔系数、d系数
等。所以我们在讨论这几种相关系数之前，先来
了解这三个概念。
在定序相关测量中，首先要搞清楚“次序对（pair）”的概念。例如，
假设研究员工的工作满足感与归属感的关系，将工作满足感从低到高，分为
低（1）、中（2）和高（3）三个级别，归属感也从低到高分为低（1）、中
（2）和高（3）三个级别。下表列示的是5名被访者A、B、C、D、E的情况。
1
3
E
3
2
D
3
1
C
2
1
B
2
1
A
Y
X
单元
同序对
参见上表（注意，为了容易识别各种次序对，该表已先将被
访者按定序变量X由低到高作了排列），在观察X序列时如果我
们看到Xi＜ Xj ，在Y序列中看到的是Yi＜ Yj，则称这一配对是同
序对。同序对只要求X变化方向和Y变化方向相同，并不要求X变
化大小和Y变化大小相等。同序对的总数用符号ns表示。
异序对
见上表，在观察X序列时如果我们看到Xi＜ Xj ，在Y序列中看
到的是Yi ＞ Yj，则称这一配对是异序对。同样，异序对只要求X
变化方向和Y变化方向相同，并不要求X变化大小和Y变化大小相
等。同序对的总数用符号nd表示。
同分对
如果在X序列中，我们观察到Xi＝ Xj (此时在Y序列中无Yi ＝
Yj)，则这个配对仅是X方向上而非Y 方向上的同分对；X 的这种同
分对用符号nx表示。如果在Y 序列中，我们观察到Yi ＝ Yj(此时在X
序列中无Xi＝ Xj )，则这个配对仅是Y 方向上而非X方向上的同分
对；Y 的这种同分对用符号ny表示。如果我们观察到 Xi＝ Xj时，也
观察到Yi ＝ Yj ，则称这两个配对为X与Y 同分对，以符号nxy表示。
X 同分对的总数用符号Tx表示， Tx ＝ nx + nxy ；Y 同分对的总数用
符号Ty表示, Ty ＝ ny + nxy 。
n个单位两两配对，总对数＝ ns + nd + nx + ny + nxy
计算Gamma系数，肯得尔系数、 d 系
数等，我们面对的经常是两定序变量已形
成列联表的资料，所以对我们来说很重要
的是要学会定序变量列联表中这五种“次序
对”的计算和识别。
同序对：“右下余子式”法
异序对：“左下余子式”法
工作满足感与归属感
5
4
4
低
1
5
6
中
3
4
8
高
低
中
高
2. Gamma系数
性质：
（1）取值范围[-1，1]
（2）具有PRE意义
（3）属对称相关测量。
（4）不考虑同分对。
例：在某市200户中调查，看住户人口密
度与婆媳冲突是否有关，交互分类后分布如
下，计算G相关系数并提出研究结论。
总数
住户密度
婆媳冲突
200
56
102
42
总数
59
24
27
8
低
94
28
55
11
中
49
4
20
23
高
低
中
高
3. 肯德尔等级相关系数
(1)Tau-a 系数
适用于不存在任何同分对的情况。
某市有12 所大专院校，现组织一个评审委员
会对各院校校园环境及学生体质进行评价，评价
结果如表（表中已先将学校按X作了次序排列）
所示，试计算校园环境和学生体质关系的肯德尔
相关系数。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 1 5 3 7 4 6 8 10 9
环境名次（X）
体质名次（Y）
A B C D E F G H I J
学校名
（2）Tau-b系数
当出现同分对时，对分母进行修正。与G系
数一样， Tau-b系数也具有消减误差比例的意
义。 Tau-b系数的特殊性在于，只有在列联表的
行数与列数相同（r=c）的情况下，其系数值才
可能是-1或+1，否则便不确定。
（3）Tau-c系数
当同分对很多时，且r≠c ，可以用
Tau-c系数来测量。 m取r×c列联表 中r和
c值较小者。
Tau-c系数没有消减误差比例的意义。
4. 萨默斯 （d系数）
萨默尔斯提出的，对G系数进行修正。
d系数具有PRE意义，取值[-1，1]，为不对称测量。
5. Spearman等级相关系数
运用上式计算等级相关系数很简便：首先将定序变
量X和Y的数值形成对应的两个序数数列(其中先将X由小
到大排)。如遇有相等的数值时，则应将原有的等级求其
平均数，让它们以这平均等级并列。然后求出等级差，
经平方后求和，运用上式即可求得斯皮尔曼等级相关系
数。
例：为了解活动能力与智商是否有关，作了10名
同学的抽样调查，资料如表，问这10名同学的智商与活
动能力是否有关。
110
105
105
100
94
120
95
105
110
110
智商
3
10
J
6
9
I
6
8
H
8
7
G
10
6
F
1
5
E
9
4
D
6
3
C
3
2
B
3
1
A
智商名次
活动能力名次
学生
6. 肯德尔和谐系数
前面我们谈的都是对双变量求等级相关系
数。对于多变量求等级相关系数，如多个专家
对同一事物评价的一致性或相关程度的衡量，
肯德尔运用数理分析方法，提出了一个计算公
式
假设四位专家对10所大专院校环境质量进行排序，有
关评价结果列于下表中，试通过计算肯德尔和谐系数，
检验专家意见的一致性和相关程度。
——
6066
9 9 7 17 18 28 27 29 38 38
81 81 49 289 324 784 729 841 1444 1444
等级和R
R2
——
——
——
——
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 2 1 4 5 8 6 7 10 9
1 3 2 4 5 7 6 8 9 10
4 2 1 5 3 7 8 6 10 9
A
B
C
D
A B C D E F G H I J
合计
大专院校名
专家名
例：通过对1500多名青年作社会调查，
探讨当代青年择业倾向与对社会经济生活
的基本态度，得资料如表，求等级相关系
数（当代青年择业倾向与他们对职业社会
地位的等级认定的关系；择业倾向与他们
对职业的富裕程度认定的关系）。
8
7
8
农民
6
1
7
个体户
7
8
6
工人
5
2
5
商业
4
6
4
教师
3
3
3
企业
1
4
2
各类专业
2
5
1
行政事业
择业理想
富裕程度
社会地位
等级认为
职业
试就以下单元数据，列举其中的同序
对、异序对、同分对。
3
2
E
1
1
D
1
3
C
1
3
B
2
3
A
Y
X
单元
根据交互分类表计算：ns、nd、 nx 、 ny 、 nxy 、 Tx 、 Ty 、 T（总对数）
f33
f32
f31
低
f23
f22
f21
中
f13
f12
f11
高
低
中
高
5
10
5
低
10
30
20
中
5
12
10
高
低
中
高
练习：1.在某地抽选469名已婚男人，研究他们对父
亲的感情是否会影响他们对婚姻的适应。试计算G系数并
提出研究结论。
丈夫与父亲的感情对其婚姻适度之影响
469
109
128
157
75
总数
204
59
61
69
15
好
138
22
41
47
28
一般
127
28
26
41
32
恶劣
很好
良好
不错
平淡
总数
与父亲感情
婚姻适应
2. 以下是两位评判员对10名参赛人员的打分
排序：试用一系数描述两评判员打分相近程度。
10
9
7
8
6
5
4
3
2
1
评判2
10
9
6
7
8
5
3
4
2
1
评判1
J
I
H
G
F
E
D
C
B
A
参赛人
第四节 定距变量的相关分析
前两节，主要借助于列联表，我们解决了一
些定类、定序测量层次的相关测量问题。对于定
距变量，根据其变量值的数学特征，我们自然可
以引进更为精确的量化指标来反映它们之间的相
关程度。两个定距变量之间的相关测量，最常用
的就是所谓积差系数．它是由英国统计学家皮尔
逊(Pearson)用积差方法推导出来，所以也称皮尔
逊相关系数，用符号r表示。
1. 相关表和散点图
相关表：经整理后反映两变量之间对应关系的数据表。
散点图：将相关表中各个有对应关系的数据在直角坐标
系上标出来，就得到散点图。散点图可以直观地观察两变
量之间对应关系。
9
8
7
4
3
2
3
2
1
技术考
核分Y
7
7
7
5
5
5
3
3
3
1
1
1
工龄
(年)X
散点图表示的相关的类型
★正相关 ★负相关 ★完全正相关 ★完全负相关 ★称零相关
2．积差系数的导出和计算
r 是协方差与X和Y的标准差的乘积之比
试就下表所示资料，计算关于员工的工龄
和技术考核分的皮尔逊相关系数。
9
8
7
5.
4
3
2
3
2
1
技术考
核分Y
7
7
7
5
5
5
3
3
3
1
1
1
工龄
(年)X
252
48
合计
1
2
3
6
9
12
49
56
63
1
4
9
4
9
16
49
64
81
1
1
1
9
9
9
25
25
25
49
49
49
1
2
3
2
3
4
7
8
9
1
1
1
3
3
3
5
5
5
7
7
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
XY
Y 2
X 2
技术考核分Y
工龄X
N0
解：计算过程见上表
r=
3 ．积差系数的性质
（1） r 是线性相关系数。
（2）适用于定距/定比变量。
（3）取值[-1，1]，绝对值越大，相关程度越高。r 的
绝对值在以下表示不相关；~表示低度相关；
~表示中等相关；以上表示高度相关。
（4）X与Y是对称关系。
（5）相关系数的数值不受坐标点变化的影响。
（6）r2具有PRE意义。
（7）r 公式中的两个变量都是随机的，因而改变两者的位置并不影响r的数值。
注意事项：
（1）注意实际意义
进行相关回归分析要有实际意义，不可把毫无关系
的两个事物或现象用来作相关回归分析。例如，有人
说，孩子长，公园里的小树也在长。求孩子和小树之间
的相关关系就毫无意义，用孩子的身高推测小树的高度
则更加荒谬。
（2）注意虚假相关
两个事物间能计算出相关系数，并不一定能证明事
物间有内在联系。例如，有人发现，对于在校儿童，鞋
的大小与阅读技能有很强的相关关系。然而，学会新词
并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素‑‑ 年龄。当儿
童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大也穿
不下原来的鞋。
（3）利用散点图
对于性质不明确的两组数据，可先做散点图，在图
上看它们有无关系、关系的密切程度、是正相关还是负
相关，是直线相关还是曲线相关，然后再进行相关分
析。
（4）注意变量范围
相关分析和回归方程仅适用于产生样本的原始数据
范围之内，出了这个范围，两变量的相关关系和回归关
系不能就此得到说明。
第五节 回归分析
在分析定距变量间的关联性时，最初关注的仅仅是变量相关的强度和方向，即进行积差相关分析。然而积差系数并不能表明X和Y之间的因果关系，要明确一个变量的变化能否由另一个变量的变化来解释，或要通过已知变量很好地预测未知变量，就要进行回归分析。
在回归分析中，如果自变量只有一个，则称为一元回归；如果自变量有两个或两个以上则称为多元回归。而根据回归方程式的特征，又可以分为线性回归和非线性回归。一元线性回归分析是所有回归分析的基础，
另外，回归分析与相关分析具有密切的联系。一般说来，只有当两个变量之间存在着较高程度的相关关系时，回归分析才变得有意义和有价值。因此，往往先进行相关分析，然后才选用有明显相关关系的变量作回归分析。
1. 线性回归
线性回归分析，一般是先依据相关表做出
散点图，直观地估计X和Y关联性。如果两变量
的确呈现出一定的线性相关趋势，便可以设所
要求的回归直线方程为
是因变量Y的预测值或称估计值。
回归方程的建立： ① 先做散点图；②利
用最小二乘法。
运用最小平方法可以在所有可能的直线中找到使 Q达到最小的回归直线。
分别对a、b求偏导并令其为零，求得两个标准方程：
解联立方程，得到 a 和 b 的计算公式：
X
Y
在回归方程中，b有十分重要的意
义，被称为回归系数。b值的大小，
反映了X对Y有多大的影响，即b值就
是当X增加一个单位时Y值的增量。
例：为了研究受教育年限和职业声望之间的关系，设
以下是8名社会成员抽样调查的结果，求直线回归方程。
解：
直线回归方程是
1552
7864
560
104
合计
144
900
75
12
8
25
220
44
5
7
100
650
65
10
6
441
1890
90
21
5
361
1634
86
19
4
81
450
50
9
3
256
1280
80
16
2
144
840
70
12
1
x2
xy
声望y
年x
调查
对象
X
Y
总变差 = 回归变差 + 剩余变差
2. 决定系数（r2）
三种变差平方和
总变差 SST
回归变差 SSB
剩余变差 SSW
是r2而非r 具有PRE意义
决定系数也可以表达为回归变差在总变差中所占比例
相关指数R，对于直线相关来说，等同于r，
即R＝r。但对于非线性相关来说，就只能用相关
指数R来加以测量了。
3.相关指数R
总变差：不知回归方程时，
剩余变差：Y值对于回归直线的偏差,。
回归变差：回归已知时误差减少的量。
总变差 = 剩余变差 + 回归变差
总平方和 = 未解释的平方和 + 已解释的平方和
SST = SSe + SSA
r 2=（总变差 - 剩余变差）/总变差
=回归变差/总变差
是r2而非r 具有PRE意义，所以r≤时判定无相关。
4.积差系数的PRE意义
第六节 曲线相关与回归
非线性相关和回归的一般课题太复杂，无法在
本书中充分地展开。幸运的是，一些非线性关系，
有可能通过适当的变量变换，将非线性函数转化为
线性函数，从而把非线性相关和回归问题转化为线
性相关和回归问题来处理。而且，这些比较简单的
非线性方程对于社会研究中产生的许多非线性关系
来说，通常还是足以胜任的。
1. 可线性化的非线性函数
2. 二次曲线
3. 指数曲线
估计标准误差
为了测定回归线的代表性，引入 用来反
映围绕回归线的Y值分布的离散程度。又称回归
标准差。
估计标准误差的解释
（1）Y的实际观测值在对应的每个估计值YP
周围呈正态分布，越靠近YP的地方Y值出现的机
会越多。
（2）所有的正态分布都具有相同的标准差：
同方差性。据此，可以对Y进行估计和推断。
练习：以下是生活期望值与个人成就
的抽样调查。
求：相关系数和回归直线。
2
3
1
2
4
10
9
7
个人成就
1
2
3
4
6
7
8
10
生活期望值
第十三章 检验与方差分析
我们前面已经比较系统地讨论了双样本的参数和非参数检验的问题。现在，我们希望利用一般的方法来检验三个以上样本的差异， 检验法和方差分析法就是解决这方面问题的。 检验法可以对拟合优度和独立性等进行检验，方差分析法则可以对多个总体均值是否相等进行检验。后者由于通过各组样本资料之间的方差和组内方差的比较来建立服从F分布的检验统计量，所以又称F检验。
第一节：拟合优度检验
第二节：无关联性检验
第三节：方差分析
第四节：回归方程与相关系数的检验
第一节 拟合优度检验
运用Z检验、t检验等讨论假设检验的问题，一般要求总体服从正态分布，或者在大样本条件下可以利用渐近正态分布理论来描述抽样分布。也就是说，我们都要直接或间接地假定对象总体具有已知的分布形式，然后对总体的未知参数进行假设检验。如果不知道总体的分布形式，就无法运用t检验法等对总体参数进行假设检验。于是，这里有一个前面留下来的尚未讨论的问题很重要，就是怎样检定总体是否具有正态或其他分布形式？拟合优度检验正是就这一问题而言的检验方法。
第十一章最后一节，我们将累计频数检验用于经验分布与理
论分布的比较，实际已经提供了拟合优度检验的一种方法。 拟
合优度检验与累计频数拟合优度检验相对应，在评估从经验上得
到的频数和在一组特定的理论假设下期望得到的频数之间是否存
在显著差异时，是一种更普遍的检验方法。
现在我们再来看看第七章提到的著名的孟德尔豌豆试验。根
据孟德尔提出的分离规律，纯种豌豆杂交后的子二代出现分化，
红花植株与白花植株的数目应为3∶1。但由于随机性,观察结果与
3∶1理论值总有些差距。因此有必要去考察某一大小的差距是否
已构成否定3∶l理论的充分根据。这正是我们所讨论的拟合优度
检验的问题。解决这类问题的工具，是卡·皮尔逊在1900年发表的
一篇文章中引进的所谓 检验法。
1．问题的导出
首先把问题表述成一般模式。设一总体包含c种可区别的个体。根据某
种理论或纯粹的假设，第i 种个体出现的概率应为某个已知的数Pi ( i＝1 ，
2，…，c),有Pi ＞0， ＝1。这一组概率(P1 ，P2 ，…，Pc)就构成了我
们的理论分布。现在在该总体中随机地抽取一个容量为n的样本，发现其中
第 i 种个体的数目为fi (i ＝1，2，…，c)，并有 ＝n。我们要据此检
验理论分布。
用概率论的语言可以这样说，设对象总体中随机变量X有c种取值。当X的
取值是xi 时，按零假设，其总体分布等于理论分布，即P( )＝Pi ( i＝1，
2，…，c)
例如，就孟德尔的3∶1理论来说，c ＝2，P(x1)＝3/4，P(x2)＝1/4。现
在从该总体中随机地抽取一个容量为n的样本，发现其中xi(i＝1，2…，c)出
现的次数为fi (i ＝1，2，…，c)，并有 ＝n。知道了频数也就知道了频
率，即： 出现的频率为 ，并有 ＝1。
现在我们就是要据此经验分布来检验总体分布等于理论分布的零假设。
2．拟合优度检验(比率拟合检验)
拟合优度检验如何进行?
关键是确定合适的检验统计量以及该统计量所服从的概率分布。这里不可避免地要引进某种人为因素，即人们设计出下面这样的综合性可比指标：
其中k1，k2，…，kc 是适当选取的常数。仔细观察不难 发现，L值大，意味着经验分布与理论分布偏离大；L值小，意味着经验分布与理论分布偏离小。当在某个选定的水平上，经验分布显著偏离理论分布，那么对象总体具有某种分布形式的零假设便被否定。
结论：
用 作为检定Ho成立的检验统计量，理论证明，当n足够大
时，该统计量 服从 分布，它是一种具有已知的并制成表的概率
分布，因此对给定的显著性水平α，可求得临界值 ，与 比
较，进而作出检验结论。
显而易见，理论频数 fe 与观测频数 fo 越接近， 统计值越小，经验分布与理论分布拟合程度越好。反之，fe 与 fo 差距越大， 值越大，经验分布与理论分布拟合程度越差，拟合优度检验由此得名。
[例 ] 孟德尔遗传定律表明：在纯种红花豌豆与白花豌豆杂交后所生的子二代豌豆中，红花对白花之比为3：1。某次种植试验的结果为；红花豌豆176株，白花豌豆48株。试在α＝0．05的显著性水平上，对孟德尔定律作拟合优度检验。（参见下表）
应用举例
3．正态拟合检验
[例] 试对下表所给男青年身高分布的数据作正态拟合检验，选取α＝0．05。
[解]
检验的另一个重要应用是对交互分类资料的独立性检验，即列联表检验。在上一章，我们曾多次提到过性别与收入高低有无关联的问题，在实际中类似的问题很多。例如受教育程度与投票行为有无关联?吸烟与寿命长短有无关联?家庭小孩多少与收入多少有无关联?受教育时间长短与收入多少有无关联?血型与某种性格上的差异有无关联?等等，把这类问题上升到一般，就是在列联表的基础上考察变量X与Y有无关联。由于列联表一般是按品质标志把两个变量的频数进行交互分类的，所以：
① 检验法用于对交互分类资料的独立性检验，有其它方法无法比拟的优点；
②如何求得列联表中的理论频数就成了独立性检验的关键。
第二节 无关联性检验
1、独立性、理论频数及自由度
应用此式，不必计算理论频数
计算与 这个检验统计量相联系的自由度
算出 统计量之值并定出其自由度后，就可以依前述的方法，在给定了显著性水平之后，来对X，Y属性无关联的零假设进行检验了。
应用举例
检验也适用于定类变量和定类变量的相关统计，即可以用它检定λ和τ系数是否显著。就下表所示资料，试以 检验检定性别与收入之间的相关程度是否显著(α取0．001)。
[解]
故拒绝H0，即认为总体上性别与收入高低之间不独立，有显著相关关系。
[例] 在某种流行病流行的时候，共有120个病人进行了治疗，其中40个病人按标准剂量服用某种新药，另有40个病人按标准剂量的2倍服用了这种新药，其余40个病人只按病状治疗(而不是按病因治疗)，治疗结果按迅速痊愈、缓慢痊愈、未痊愈分为三类，最后交叉分类的情况列于下表，试问这三种疗法之间有没有差别(α取0．05)。
[解]
H0：这三种疗法之间没有差别
H1：这三种疗法之间有差别
由于α＝0．05；自由度k＝(c―l)(r ―l)＝2×2＝4，查 分布表得临界值：
在零假设下，计算检验统计量，计算过程参见后表。
因此 ＞ ，故拒绝零假设，即三种疗法之间有显著差别。
第三节 方差分析
方差分析，是一种很重要的分析方法，它可以检验两个以上样本均值之差。方差分析是均值差检验的推广，一般用于处理自变量是一个（或多个）定类变量和因变量是一个定距变量之间的关系。方差分析所包含的假定与均值差检验所包含的假定差不多，例如正态分布、独立随机样本、等方差性等，但检验本身却很不相同。方差分析直接涉及的是方差而不是均值和标准差。同时，比较也不取两种估计量之差，而是取两种估计量的比率。在两种估计量彼此独立的前提下，两种估计量之比率F具有已知的抽样分布，因而可进行很简单的检验。
1．总变差及其分解
总变差 :在方差分析中记作SST，它表示 对于总均值 的偏差之平方和。即：
SST＝
式中: ni是第i个样本的容量, n＝
为什么会形成总变差这个散布度呢？
一是三个样本可能不同，这使全部数据 有三个“中心”；
二是随机抽样误差的影响，使数据在每个中心附近有散布。
总变差分解
可以看出，总变差分解成两部分：
第一部分是各观测值 对其所属类别均值 的偏差的平方和，称为组内变差( Within-groups Sum of Squares)，记作SSW。组内变差反映了数据围绕各“中心”的散布程度，即反映了 因随机波动所产生的变异，与自变量因素无关。换言之,SSW是自变量因素所没有解释的 的变异。因此，又称之为残差。
第二部分是组间平方和 ( Between-groups Sum of Squares)，记作SSB ，它涉及到诸类别均值 对总均值
的偏差，反映了前表中数据的c个“中心”的散布程度。
2．关于自由度
弄清了组间变差和组内变差，检验“A1≠A2≠A3”(也就是零假设μ1＝μ2＝μ3)的思路也就梳理出来了：关键是比较两种变差是否有显著差异。若第一种变差明显大于第二种变差，则认为家庭因素对孩子图书消费是有影响的；若第一种变差与第二种变差之间无显著区别，则不能认为家庭因素对孩子图书消费有影响。但在统计学上，方差分析不取两者之差而取两者之比来进行这种比较。而且，方差分析不是直接用SSB/SSW作为检验统计量，而是用可以解释的方差/不能解释的方差作为检验统计量，即：
组间平方和代表c个样本均值对总均值的偏差。也就是每个可看作为一个单位，c个可看作为c个单位，有c个自由度，求用去一个自由度。因而，与组间平方和相联系的自由度为c―1。再看组内平方和，计算时每列失去一个自由度。因而，与组内平方和相联系的自由度为n―c。最后看总平方和，计算总均值时失去一个自由度。因而，与总平方和相联系的自由度为n―l。总的来看有:
n―l ＝（n―c）+（c―1）
总自由度＝组内自由度 + 组间自由度
上式是在在零假设(H0：μ1＝μ2＝…＝μc)之下，检验统计量Fo的计算公式。
理论证明：上式服从分子自由度为k1＝c―1、分母自由度为k2＝（n―c）的F分布。于是，给定显著性水平α，我们就可以很方便地从F分布表中查到临界值Fα(c―1，n―c)。如果出现Fo＞Fα的情况，我们将在这个显著性水平上拒绝零假设。在实际运用中，方差分析的结果常用一种称为“方差分析表”的标准形式的表格表示出来，其基本形式如表后所示。
3．关于检验统计量Fo的计算
为了简化检验统计量Fo的计算，有必要将SST 、SSW、SSB这三个定义式展开，其方法与分解总变差的方法相同。于是有：
注意，由于总变差等于另两个变差之和，所以三个变差中仅需求出两个变差。求出组内平方和比求另两个平方和繁琐得多，故通常我们都是从总平方和减去组间平方和来求组内平方和的。
[例] 试对下表中的资料，计算SST 、SSW、SSB ，并检验μ1＝μ2＝μ3的零假设(α取0．05)。
解：据题意，n1＝n2＝n3＝8，n1+ n2+ n3＝24
组内自由度＝n―c＝24―3＝21
组间自由度＝c―1＝3―1＝2
分别计算SST和SSB ，计算过程参见下表。
由于α＝0．05，查F分布表得临界值 ：
Fα(c―1，n―c)＝F (2，21)＝3．47＞1．19
故在显著性水平上不否定零假设，即没有充分根据提出这三类家庭的孩子在图书消费方面有显著不同。
[例]研究某种商品销量与品牌的关系，得下表资料，其中A1，A2，A3表示不同的品牌，数据表示销量。试以显著性水平10％判断品牌对该种商品的销量有无影响。
[解]据题意，n1＝n1+ n2+ n3＝2 + 4 + 3 ＝ 9
组内自由度＝n―c＝9―3＝6
组间自由度＝c―1＝3―1＝2
分别计算SST和SSB ，计算过程参见前表。
于是得MSB 和 MSW
MSB＝SSB／（c―1）＝
MSW ＝SSW／（n―c）＝30/6＝
再根据(13．19)式求检验统计量Fo
Fo＝ ＝ ＝ ＜1
故在0．10显著性水平上不否定零假设，即不能判断不同品脾对
该种商品的销量有显著影响。
4．相关比率
当方差分析的检验呈显著性后，进一步讨论两变量间的相关程度是很自然
的。方差分析中相关程度的测定仍采用PRE法。当不知因变量Y 的取值与自变量
X 的取值A1，A2，…，A c有关时，最好的预测是以总均值 作为Y 的估计值。
此时，估计所犯的错误将等于SST
E1＝SST ＝
当已知因变量Y 的取值与自变量X 的取值A1，A2，…，A c有关后，自然用各
样本的均值 作为各类别的预测值，此时预测所产生的误差将等于SSW
E2＝SSW ＝
所以消减误差比例可写成 PRE＝ ＝ ＝
正是因为上式，我们把SSB称为已解释的变差。显然，已解释的变差越大，
预测Y 所减少的误差就越多，X与Y 之间的关系就越密切。据此，方差分析中把
已解释的变差对总变差的比值称为相关比率，用符号 表示
＝1― ＝
可用于一个定类变量与一个定距变量的相关程度的测定，当然也可以用
于定序—定距变量或定距—定距变量的相关程度的测定。
[例] 试以表13．12的资料，分析孩子图书消费与家庭类型的关系。
[解] 据前面例题中已计算的结果，已知SSB＝28，SST＝276，因而有
＝1― ＝ ＝ ＝%
可见，就表给资料而言，利用家庭类型预测孩子图书消费量，只能削减%的预测误差。
小结：
相关比率 研究的是定类—定距变量之间的相关程度。由于定类变量不具有数量大小的问题，不存在关系是否线性的问题。因此，当 被用于研究定距—定距变量之间的关系时，不仅可以作为线性相关的量度，也可以作为非线性相关的量度。这意味着，对线性相关，相关比率 与r2(积差系数之平方)有相同的PRE性质；但如果对非线性相关，用积差系数r 来讨论就不行了。
对于定距—定距变量，曲线相关既然要用R来测量，那么反过来，同一资料通过相关指数R与积差系数r计算的比较，可以判断确定两定距变量的关系是不是直线。如果同时求出r与R，r 等于或略大于R，可说明两变量关系是直线的，用r去测量是合适的；如果r＜R，则说明两变量关系可能是曲线的。
5．关于方差分析的几点讨论
首先 ，MSB和MSW可以分别称为组间方差和组内方差，其中(在等方差的假设下)组内方差总是σ2的无偏估计；而组间方差，只有当诸总体(即各样本所代表的子总体)均值实际上相等时，它才是σ2的无偏估计。这就是说，如果零假设为真，MSB和MSW之间将没有太大的差别。反之。如果零假设实际不正确，可以期望MSB和MSW的比值大于1。如果这个比值小于1，则不从F分布表中查找临界值Fα就可以判断零假设不能被否定。
其次，以上两个例题也可以用均值差检验来处理。均值差检验涉及t分布，可以做三组合的比较．即A1与A2，A2与A3，A1与A3。与均值差检验不同，方差分析仅进行一次检验来判定三种类别的家庭(或品牌)在消费（或销售）上彼此是否有显著性差异。方差分析的优点在于，一个检验可以代替多个检验。如果有四个类别，均值差检验需做(4×3)／2＝6次；如果有六个类别，需做(6×5)／2＝15次；如果有十个类别，需做(10×9)／2＝45次。况且，如果做15次均值差检验。其中4次结果具有显著性，这时应当下什么结论?可能很难回答。
第三，方差分析中的自变量X如果是二分变量，也可以采用均值差t检验。在这种情况下，F 的分子自由度是2―1＝1，分母自由度是n―2，这与均值差检验中的t相同。经过计算可知，具有自由度n―2的t 2值等于具有分子自由度为1和分母自由度为n―2的F 值。比较F 表和t 表也可以核实这一点。换言之，t是分子自由度为l的F 的平方根。这当然意味着，对于样本而言，此时不论采用方差分析或均值差检验，其结果完全相同。
第四，本节集中讨论了自变量为一个定类变量而因变量为一个定距变量的情况。如果对因变量Y影响的自变量由一个变为两个以上，我们就将面对多元方差分析了。总变差分解的思想可以直接推广至多因素显著性检验。例如就两个自变量（A和B）独立对因变量Y 影响的情况，可以得到下述方差分析表(表13．17)。
相关与回归，由于其广泛应用，如今在统计学中是高
度发展的分支之一。而从实用的观点来看，线性关系是最简
单也是最重要的一种关系。本书第十二章已经对积差系数与
回归直线作了比较细致的讨论。但有关假设检验的内容，由
于要借助于推论统计的知识方能阐明，所以本书将这部分内
容集中放到这一节来加以补充。学过推论统计的人要克制自
己免受直线的诱惑，对此，讨论回归系数和积差系数之假设
检验将具有重要意义。
第四节 回归方程与相关系数的检验
1．回归系数的检验
检验两个总体变量(定距—定距变量)是否具有线性关系，主要检验
总体的回归系数B是否等于零。因此，对于总体线性检验的假设可写成
如下形式：
H0：B＝0 H1：B≠0
为了寻求检验H0的方法，我们需要对离差平方和进行分解。而
这项工作，前面已经完成。我们发现，估计Y，当不知Y 和X 的关系
时，对它的最佳估计值只能是 。离差之平方和（总变差），正是
不知Y 和X 的关系时，估计Y的全部误差E0
E0＝ ＝ SST
做了回归预测之后．我们可以用Yc估计Y (参见下图)。这时
估计Y 的误差变为E1(剩余变差):
E1＝ ＝ SSW
显然，利用Yc去估计Y 比用去 估计Y 要消减一些误差。消减的误差E0―E1就是被回归直线解释掉的误差(回归变差)。
从第十二章已经讨论过的回归变差和剩余变差的意义来看，一个回归方程效果的好坏，取决于它们两者之间的比较。已解释的回归变差越大，用Yc 去估计Y 比用去 估计Y 消减的误差就越多，回归预测的效果也就越好。依此，并按上一节方差分析的思想，在H0成立的条件下，检验回归直线的统计量可构造为
E0―E1＝
Fo＝ ~ F（1，n―2）
自由度问题
因回归变差中仅含一个自变量X，故自由度为l。而总变差所含自由度为（n―1），从而由总自由度＝组内自由度+组间自由度，得剩余变差的自由度为(n―2)。
对选定显著性水平α，可查表得临界值Fα。若出现Fo＞Fα(1，n―2)的情况，则拒绝H0，即认为回归方程中X变量对Y的解释力是显著的；若出现Fo＜Fα(1，n―2)的情况，则不能拒绝H0，即认为回归方程中X 变量对Y 没有的显著的解释力。
[例] 对[例12．5．1]所建立的回归方程进行回归直线的检验(α取0．05)。
[解] 根据表和[例]的计算结果可知：
＝48， ＝252， ＝，
＝， ＝
a＝，b＝0．975，n＝12
＝
＝―×―0．975×
＝
＝
＝()2×[252― ]
＝57．04
计算检验统计量
Fo＝
＝ ＝
对α＝0．05，查F 表得临界值
Fα(1，n―2)＝F0．05 (1，10)＝4．96≪
所以拒绝H0，即可以认为对总体配置回归直线是
有意义的。
2．积差系数的检验
对于定距—定距变量，上一章讨论的积差系数是就样本而言的。如同样本均值、成数不能完全代表总体均值、成数一样，样本积差系数r 也不就是总体积差系数ρ。但在社会研究中，要想确切了解两总体变量 (定距—定距变量)间的积差系数是很 难的。所以，通常需要通过样本积差系数的统计检验来认识总体的积差系数ρ。
设有两变量X 和Y，它们的积差系数记为ρ。当ρ＝0时，表示X和Y不具有线性相关关系，当ρ≠0时，表示X和Y 具有线性相关关系。
实践证明，样本积差系数r 值比较大时，并不等于总体积差系数ρ也比较大。尤其是样本中所含观测值较少时，更可能出现这种情况。例如，当X与Y各只有两个样本数据时，积差系数总是为1，但显然这不
能说明变量间一定完全相关。也就是说，有时即使样本积差系数很
大，也并不一定就表明总体积差系数ρ也一定很大。总体积差系数ρ
的情况，只有在对样本积差系数进行统计显著性检验后，才能得出结论。
那么判断线性相关的“显著”与“不显著”的检验统计量如何构造呢?
统计理论证明，样本积差系数是总体积差系数的一个无
偏估计量，有:
=ρ， =
积差系数检验的假设为:
H0：ρ＝0 (两总体不具有线性相关关系)
H1：ρ≠0 (两总体具有线性相关关系)
对选定的显著性水平α，查t分布表得临界值tα/2（n―2）,与统计值to作比较。若 ＞ ，则表明r在统计上是显著的，即总体积差系数显著地不同于零； ＜ ，则说明r在统计上不显著，即X与Y间并不存在线性相关关系。
而且当ρ＝0时，样本容量越大，r（显然为一随机变量）
的抽样分布越接近于自由度为n―2的t分布（见前图）。因而
有检验统计量 :
to＝r ~ t（n―2）
[例12．4．1]已对表12．21所示资料求出积差系数，试在显著性水平上作总体相关检验。
表
[解] 建立假设
H0：ρ＝0 H1：ρ≠0
已知r＝0．902，n＝12，于是得
to＝r ＝0．902× ＝6．608
对α＝0．05，查表得临界值
t α/ 2（n―2）＝t0。025(10)＝2．228＜6．608
故拒绝H0，接受H1，即认为员工的工龄和技术考核分之间存在线
性相关。
但是，为了使用者的方便，上述检验现已简化为使用相关系数r进
行直接检验。附表12是以r的抽样分布编制的相关系数表，只要给出显
著性水平α和自由度k＝n―2，便可以在表中直接查出相应的临界值
rα(n―2)。
例: 用附表12直接对上例进行积差系数检验。
[解] 已知r＝0．902，n＝12，对α＝0．05，k
＝12―2＝10，从附表12中查得
rα(n―2)＝rα(10)＝0．576＜0．902
故拒绝零假设，即在0．05显著性水平上可以认为员工的工龄和技术考核分之间存在线性相关。
小结：
上一小节，我们讲的是回归系数的检验，实际上那只是线性回归方程的检验。而这一小节讨论积差系数的检验，也是要确认总体线性相关的存在。因而假设H0：B＝0与假设H0：ρ＝0等价。也就是说，如果样本积差系数r 通过了检验(t 检验)，也必然导致回归系数b能通过检验(F检验)。实际上F公式与t 公式是有对应关系的。
Fo＝ ＝ ＝t 2
即具有自由度n―2的 t 2值等于具有分子自由度1和分母自由度n―2的F 值。也正是由于这个原因，有的教科书就是用t 统计量来检验回假设的。而如果有了r 检验表(附表12)，问题就变得更为简单，计算Fo值并进行F 检验也都不必要了。
3．回归方程的区间估计
估计Y
当不知Y 和X 有关系时，对它的最佳估计值只能是 ，估计的全部误差是 ；
当知道Y 和X 有关系时，可以改用Yc 来估计Y，此时估计的误差减少为 。
当知道Y和X有关系后，用Yc来估计Y固然可以消减不少估计误差，这也不过是点估计。而如果我们能在拟合值Yc上下设置一个合适区间，那么Y被估计到的可能性便会大大增加。
回归方程区间估计提出的背景
在回 归线两侧设置一个估计区间总是容易做到的，
但问题是我们需要对估计的信度和效度作通盘考虑。为
此，我们必须了解Y在Yc两侧的分布特征以及Y在Yc两侧
的分散程度。
由于误差为正态分布的原理(即中心极限定理)，当样本容量n大于30
时，我们可以作如下假定（参见前图）：
1）Y 的实际观测值在对应的每个估计值Yc周围都是正态分布，越靠
近Yc的地方，Y值出现的机会越多，反之出现的机会越少；
2）所有正态分布都具有相同的标准差，即所谓的同方差性。
于是，除了重温过去的知识，只有一个具体问题要解决：为了测定
回归线的代表性，有必要参照标准差的意义，引进一个离中趋势的量
度——估计标准误差，记作SY/X ，用来反映围绕回归线的Y值的离散程
度。在这里，求算估计标准误差具有第九章中求算抽样平均误差同样的
意义。
当知道Y和X有关系时，用Yc 来估计Y，估计的误差为
剩余变差 ，即SSW。所以，估计标准误差显然为
剩余方差MSW的平方根，即
SY/X＝
直接采用上式来计算估计标准误差比较麻烦，实际计
算时，一般用下式（前面已经证明)
SY/X＝
[例] 就表所示资料，在[例12．5．1] 的基础上，根据员工的工龄和技术考核分所建立的回归直线方程，求算估计标准误差。
[解] 就表所示资料，在[例12．5．1] 的基础上，参照[例l3．4．1]的计算结果，已知
＝ ＝
SY/X＝ ＝ ＝
所以，用回归线＝ + 估计因变量Y时的估计标准误差为（分）。
有了估计标准误差，再结合回归方程，就可以对因变量
Y进行估计和推断了。具体来说，就是建立回归估计的置信
区间(参见第九章“区间估计”一节)，借以确定回归方程预测
或控制Y的范围。现在根据上述两个假定，并参见第七章图
7．6，的取值或预测区间可以这样期望：
(1)取 ±1SY/X ，那么在散点图上约有68．26％的观测点落在其间(参见图13．3)。
(2)取 ±2SY/X ，那么在散点图上约有95．46％的观测点落在其间(参见图13．3)。
(3)取 ±3SY/X ，那么在散点图上约有99．73％的观测点落在其间(参见图13．3)。
[例] 试以表中的资料为例，说明回归置信区间建立的方法。
[解] 根据[例12．5．1]和上例计算的结果，已知
＝ + SY/X＝
假定自变量工龄X为5(年)，得技术考核分的拟合值
＝ + ×5＝
那么 + 1SY/X ＝ + ＝6．49
―1SY/X ＝―＝4．21
即对工龄为5年的员工，他们的技术考核分在4．21分至6．49分之间
的概率为68．26%。
+ 2SY/X ＝ + 2×＝7．63
―2SY/X＝―2×＝3．07
即对工龄为5年的员工，他们的技术考核分在3．07分至7．63分之间
的概率为95．46%。
第十四章 动态分析与指数分析
主
要
内
容
时间数列及其指标分析
时间数列的趋势分析
指数分析法
时间数列（动态数列）是指标数值按时间顺序排列而形成的数列。
第一节 时间数列及其指标分析
1. 时间数列的构成与分类
时间数列一般由两个基本要素构成，即被研究现象所
属的时间(t)和反映该现象在各个时间上的统计指标数值(a
或者Y)。
在指标分析中，对时间数列中顺序排列的统计指标的
各数值，引出了“发展水平”这个概念，一般用符号“a”表
示，并就此展开一系列对时间数列的指标分析。
根据发展水平在时间数列中所处的位置，通常把数列
中第一个指标数值称为最初水平a0 ，最后一个指标数值称
为最末水平an，其余各项指标数值称为中间水平。
在比较两个时间上的发展水平时，把所要研究的时间
上的发展水平称为报告期水平，用ai表示；把作为对比基
础的时间上的发展水平称为基期水平，用表示aj。
时点数列用于反映某一现象在一些时点上的状态和水平。时点数列之中的资料必定是静态资料，因而它也有两个特点：一是数列中各项指标数值不能相加，其相加没有实际意义；二是数列中各指标数值大小与时间间隔长短没有直接联系。。
时期数列用于反映某一现象在一段时期内发展过程的变化总量。时期数列之中的资料必定是动态资料，因此它具有两个特点：一是数列中各项指标数值可以相加，相加的合计数表示更长时期内的变化总量；二是数列中各指标数值的大小与时间间隔长短有直接联系。通常是时期越长，指标数值越大；反之亦然。
绝对数数列
相对数数列
平均数数列
时期数列
时点数列
时间数列
的分类
2．动态比较指标
编制时间数列，目的是要对其作动态分析，即对时间数列计算出一系列动态分析指标。动态分析指标一般都是以总量指标时间数列为基础构造的，分两大类：一是动态比较指标；二是动态平均指标。
由于时间数列是某一统计指标的数值依其发生的先后顺序排列而成的时间序列，因而，依据发展水平“a”，构造时间数列比较指标有两种方法：减法和除法。用减法得到的动态比较指标，具有同原资料相同的计量单位，表达绝对增长。用除法得到的动态比较指标，表达相对增长，且都是无名数。正因为如此，按惯例，时间数列的动态比较指标有三种，即增长量、发展速度和增长速度。
动态比较指标
增长量
发展速度
增长速度
逐期增长量
环比发展速度
定基发展速度
定基增长速度
环比增长速度
累计增长量
各动态比较指标之间的关系
累计增长量等于相应期内各逐期增长量之和
（2）
（3）
相邻的两个累计增长量之差等于相应的逐期增长量
（1）
定基发展速度等于相应期内各环比发展速度的连乘积
相邻的两个定基发展速度之比等于相应的环比发展速度
根据1990-1997年我国城镇新建住宅面积的资料，计
算增长量指标 、发展速度指标 、增长速度指标 。
定基（%）
环比（%）
定基（%）
环比（%）
累计
逐期
新建住宅面积
108m2
1997
1996
1995
1994
1993
1992
1991
1990
年份
——
增长
量
1. 35
——
105. 3
128. 3
——
发展
速度
228. 3
——
28. 3
——
——
128. 3
增长
速度
发展
水平
3. 动态平均指标
时间数列的动态平均指标则是对发展水平以及上
述三种动态比较指标求平均而得到的，因而有四种,
即平均发展水平以及平均增长量、平均发展速度、平
均增长速度。
(1)平均发展水平
平均发展水平就是时间数列中各期发展水平的平
均数，用来表明现象在一段时期内发展的一般水平。
统计上又称其为序时平均数或动态平均数，用 表
示。
序时平均数可以根据总量指标时间数列计算，也
可以根据相对指标时间数列和平均指标时间数列计算。
当然，总量指标时间数列的计算是基本的。
时间间隔相等
由时期数列计算序时平均数
时间间隔不等
由时点数列计算序时平均数
时间间隔相等
时间间隔不等
相对指标是两个有关的指标相除后得到的比值，即c＝a/b。由于相对指标不能直接相加，所以不能直接将相对指标时间数列的各项指标值加总平均求其序时平均数。a和b两指标数值的性质不同，相对指标时间数列的序时平均数的计算也不同。但不管有多少种变化，相对指标时间数列的序时平均数的基本计算公式都是
由相对指标时间数列计算序时平均数
由于平均指标时间数列中的各个指标数值不能相加，所以也不能直接将平均指标时间数列的各项指标值加总平均求其序时平均数。不过，平均指标实际上是标志总量和总体单位数相除的结果，所以平均指标时间数列也有对应其分子的标志总量时间数列和对应其分母的总体单位数时间数列。这样一来，可参照计算相对指标时间数列的序时平均数的做法来计算平均指标时间数列的序时平均数。
由平均指标时间数列计算序时平均数
平均增长量
平均增长量是逐期增长量的平均数，说明一个较长时期内现
象在绝对量方面的平均每期增减的变化情况，用表示。计算平均
增长量有两种方法．即水平法和总和法。
水平法
总和法
(3) 平均发展速度
平均发展速度是环比发展速度的平均，说明一个较长时期
内现象平均每期发展变化的程度。计算平均发展速度有两种方
法，即几何平均法(水平法)和方程法(累计法)。
几何平均法
方程法
或
平均增长速度＝
平均发展速度－1
增长量和平均增长量
水平分析指标
1·增长量
计算公式
逐期增长量
说明
水平法
适用于多期增长量平稳变化的数列
总和法
适用于各期增长变化较大的数列。
累计增长量
2·平均增长量
动态分析的速度指标
速度指标
1·发展速度
计算公式
环比发展速度
说明
水平法
（几何平均法）
定基发展速度
2·平均发展速度
方程法
3·（平均）增长速度＝（平均）发展速度－100％
两种方法比较
几何平均法
1、取值实际上不受中间各期发展
水平影响
2、侧重考察最末期发展水平或定
基发展速度
方程法
1、受各期发展水平或发展速度影
响
2、侧重考察整个发展期内各期发展
的累计总和
第一节 时间数列的趋势分析
在社会统计学中，对时间数列进行趋势分析，具有同指标分析
一样的重要性。时间数列也可以在直角坐标系上给出其相应的图形，
称为历时曲线。趋势分析就是通过修匀、拟合历时曲线的方法，消
除原时间数列中因某些偶然因素引起的不规则变动，从而比较明显
地反映出现象发展的基本趋势。注意：在对时间数列作趋势分析时，
各时间上的统计指标数值一般习惯用Y表示。
通常，趋势分析是对项数很多的时间数列进行的一种分析。由
于项数多，所以现象长期变动有可能显示出某种规律性。在统计学
中，趋势分析都是以直线型趋势为基础，然后再拓展到曲线型趋势。
常用的
方法
最小平方法
修匀
随手绘法
半数平均法
拟合
移动平均法
修匀法
随手画法
时距扩大法
序时平均法
适用于时期数列
时期、时点数列均适用
移动平均法
1）移动平均值须对应时间点；
2）根据现象的特点选择移动的时间跨度
用随手绘法对对时间数列进行趋势分析，是最简单易行的方
法，这种方法的步骤如下：
(1) 在直角坐标系上将时间数列资料绘制成历时曲线；
(2) 将不规则的历时曲线图依其原有的趋势变动，凭感觉绘出
一平滑曲线，此曲线(亦可能
为一直线)即为该时间数列的
变化趋势。 现兹以直线趋势
为例，说明随手绘法。右图中
实线就是根据下表资料绘成的
我国城镇新建住宅面积的历时
曲线，虚线则为我们利用随手
绘法所描出的拟合直线。 。
1. 随手绘法
移动平均法是对时间数列修匀的一种方法，它先
将原时间数列的时距扩大，然后对各时间上的指标数
值按照扩大的时距逐期移动计算算术平均数，以其作
为中间那个时间上的指标数值，这样就得到一个移动
平均数时间数列。由于它能消除现象短期不规则变动
的影响，整体上便使现象长期发展趋势显示出来（参
见下表）。
采用移动平均法修匀时间数列特别要注意：当移
动项数为偶数时，要进行二次移动平均(第二次为两
项移动平均)。因为偶数项移动需二次移动平均，同
时损失的信息也较奇数项移动稍多，所以一般应采用
奇数项移动。
2. 移动平均法
四年移动平均
第一次平均
第一次平均
五年移动
平均
新建住宅
面积情况
年份
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
我国城镇新建住宅面积情况 (单位:108 m2)
半数平均法系对直线趋势拟合的一种方法。它是
把时间数列的全期分为前后相等的两部分，每一部分
都计算出其算术平均数。接着，以这两个算术平均数
为纵坐标，以这两部分的中点时间为横坐标，可得两
点。再求经过这两点的直线，即为历时曲线的直线拟
合方程。半数平均法可用于某种程度的预测。
采用半数平均法，当时间数列的项数为偶数时，
每部分有n／2项；每部分中点时间为每部分中间时间
之和除以2。当时间数列的项数为奇数时，则中间一
项不予考虑（或考虑两次），为的是每部分中点时间
能取整数。
3.半数平均法
1
2
3
(4)
5
6
7
8
9
(10)
11
12
13
t
拟合值Yc
Y
年份
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
(单位:108 m2)
最小平方法，也是以数学方程拟合历史曲线的一种方法。在 数学上，对于直线拟合，这种方法较之半数平均法严格，并且可
以对现象作抛物线、指数曲线及其它形式的高次曲线的拟合。
4. 最小平方法
直线趋势拟合
[例]根
据前表的资
料，用最小
平方法，求
我国城镇新
建住宅面积
的直线趋势
的拟合方程
(参见右表)。
[解] 设直线趋势的拟合方程为
所以，直线趋势拟合方程为
[例] ，重求上例的直线趋势的拟合方程
所以，直线趋势拟合方程为
[解] 设直线趋势的拟合方程为
如现象的发展呈非线性变化，则应对其作非线性曲线的拟合。非线性方程的形式多种多样，最常见的有抛物线(即二次曲线)和指数曲线这两种形式。
非线性趋势拟合
求出 的反对数，可得 值。
1）二次曲线
2）指数曲线
第三节 指数分析法
指数这一概念，起始于反映物价变动，最早由英
国的优汉于1650年首创。后来，随着资本主义商品经济
的发展，指数被拓展为用来反映各种动态相对数。现在
指数的概念又得到进一步拓展，英国百科全书给出了这
样的定义：“指数是用来测定一个变量值对一个特定的变
量值大小的相对数。”所以在社会统计学中，指数既包括
动态指数，又包括静态指数。动态指数泛指两个不同时
间上的指标对比而计算的相对数，静态指数则是指那些
与时间先后无关的统计指数。
个体指数（ ）
综合指数（ ）
动态指数
1. 动态指数及其分类
数量综合指数
质量综合指数
数量个体指数
质量个体指数
前面，计算综合指数的方法的特点是：先综合，再对比。但有
时，已知条件并非是基期的质量指标数值(P0)、数量指标数值(Q0)和
报告期的质量指标数值(P1)、数量指标数值(Q1)，而是个体指数KP和
KQ及有关基期总量和报告期总量的资料。这时，欲计算综合指数，
就要利用个体指数和综合指数在计算上的联系了，即
2. 用与个体指数的联系来求综合指数
综合指数是说明由多个项目组成的复杂现象总体综合变动的比
较指标，指数体系则是对相关的综合指数作整体把握。指数体系中
各因素之间的数量关系，不仅反映在相对数之间，而且还反映在绝
对数之间。因此，指数体系的基本含义是：①总变动指数等于各因
素指数的乘积；②总变动指数引起的差额是各因素指数变动所引起
的差额之和。
3. 指数体系和因素分析
总量指标的两因素分析
平均指标的两因素分析，是指两个不同时期同一内容的平均
指标之比( )，构成一个指数体系，也可以进行两因素分析，即
平均指标的两因素分析
可变构成指数＝固定构成指数×结构变动指数
环境质量指数
环境质量可用各单要素的环境质量指数和总环境质量指数
来表示。但在实际工作中，往往先从单要素环境质量评价人手，
常用的公式有
4. 静态指数
总环境质量指数，则对各参数考虑了合理加权。“参数”的选
择和“权数”的确定，要根据各个国家、地区和城市的主要污染源
调查状况及其类型特点，按照评价的目的予以认定。计算总环境
质量指数公式为
欧希玛指数
在社会统计学中，对居民收入，除了居民收入量、人均收
入量等研究外，从社会整体角度考察居民收入在各阶层中的差
距，具有同等重要的意义。在第三章第四节我们已经了解了洛仑
兹曲线和基尼系数的方法，现在我们再来看看另一种方法，即欧
希玛指数的测量。
欧希玛指数是用来反映高低收入差距幅度的统计指标，分五
等分与十等分两种，其定义如下
PQLI指标及HDI指标
生活质量指数（PQLI指标）有三个组成部分：婴儿死亡率
指数(A)、1岁估计寿命指数(B)、识字率指数(C)。每个指数的设
计分值在0 ~100之间(但实际情况有可能突破)，它们的简单算术
平均，即为生活质量指数，其公式为
人文发展指数 (HDI) 是衡量人文发展的三个方面的平均成就
的综合性指标：健康长寿的生命，用出生时期望寿命来表示；知
识，用成人识字率及大中小学综合入学率来表示；体面的生活水
平，用按购买力平价法计算的人均国内生产总值来表示。在此基
础上用加权平均法分别计算出这三个方面的指数，然后将这三方
面的指数进行简单平均，即为人文发展指数。其中综合入学率的
计算公式如下
综合入学率＝小学入学率×[初中入学率×(1+高中入学率)/4]
