质量分析与质量改进
培训内容2
2005-01-04
1、质量改进用的随机变量分布
连续随机变量的概率分布问题。
采用概率密度的概念，即是随机变量（连
续）单位长度上的概率p（x）
概率密度函数是概率密度与随机变量（自
变量）的变化关系，显然p（x）≥0，它与x
轴所夹的面积恰好为1。其在区间（a，b）
上取值的概率P（a≤x ≤ b）为概率密度曲线
下，区间（a，b）上的面积。
一、随机变量分布技术
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正态分布：
①概率密度函数
a、根据函数可知图形以 值构成纵向对称，
呈钟形曲线；
b、 为正态分布均值，是分布中心位置，
是正态分布的方差，表明分散性。 决定了正态
分布曲线的形状，故正态曲线用
表示；
c、曲线围绕横轴的总面积等于1；
d、固定 ，不同的 ，则曲线形状不变，只
是在横轴上的位置改变；
e、固定 ，改变 ，则曲线位置不变，只
是改变了形状。
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正态概率分布函数
②标准正态分布
当 的正态分布，称标准正态分布，记
为 u ～ N（0，1）。其随机变量记为u，概率密度函
数记为
标准正态曲线只有一条（唯一），因而可制成表绘成
图，可以根据u的大小在表中查得对应的概率。
标准正态概率密度和标准正态概率分布表起同样的
作用
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根据定义及图形可获得如下的计算公式：
③标准正态分布的分位数
N（0，1）的 分位数是一个在分位数左侧面积为
，右侧面积恰好为 的分界线，即 分位数是满
足下列等式的实数
就是分位数，可根据概率 的大小在标准正态
表中查到。尾数可用内插法决定。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
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例1：求 的分位数
因为表中 都大于，不能直接查表，故需变换，
根据对称性知：
例2：求 的分位数
因为正态分布表中不能直接查 ，只有
由于 刚介于与中间，故
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④正态分布的计算
任一正态变量x经过标准化变换 后 都可以变
换成标准正态变量u。
例：
因此以下正态分布的概率计算可方便的利用标准变换。
式中 为标准正态分布函数，可以直接查表。
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举例1：电阻器的规格限为 ，服从正态分布，
均值， 则其低于 的概率和超过
的概率分别为
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举例2：
已知：1、受控情况下，产品质量特性的分布
2、产品规格限，包括上规格限 和下规格限 ，它
们是依据文件中的规定，顾客要求，公认的标准，企业
下达的任务书等来决定的。
问题一：分布中心与规格中心 重合时，产
品的质量特性x超出规格限 的不合格
品率。
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规格限 合格品率（％） 不合格品率
（ppm）
317300
45500
2700
63
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问题二：分布中心与规格中心不重合时。不合格品率的计
算。1、允许有 的偏移；2、偏移只在一个方向上，
不能上下同时发生。
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2、统计量与抽样分布
⑴、统计量
样本通过加工把零散的信息集中起来以反映总体的特
征，其中构造样本函数是一种有效的方法，不同函数
反映总体的不同特征，通常我们将不含未知参数的样
本函数称为统计量。
统计量举例
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⑵、抽样分布
统计量的分布称抽样分布
抽样分布的解释
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样本1 样本2 样本3 样本4
11 9 11 12
11 40 10 9
9 11 9 10
10 8 11 11
8 13 13 10
总体
8
9
9
11
10
9
11
12
10
13
9
10
11
13
10
10
9
10
10
12
•计算每个样本的均值，它们不全相等
•为什么这些样本均值不全相等呢？因为抽样的随机性
•若取更多的样本，会发生什么呢？会产生样本均值分布
样本1 样本2 样本3 样本4
•计算每个样本的标准差，它们也不全相等
•由于抽样的随机性，该样本标准差不全相等
•若取更多样本，会产生样本标准差的分布
抽样分布的解释
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可以得出：
1) 每个统计量都有一个抽样分布；
2) 不同统计量有不同的抽样分布，当样本来自
时，其样本均值 ，方差 ，以及它们的某种
组合所组成的抽样分布，在理论上已经导出；
3) 抽样分布是统计推断的基础。
4) ⑶、正态分布的 抽样分布。
5) ①当 已知时，正态总体 的样本
均值分布为 这可通过标准化变换得
到,
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②当 未知时，即用样本标准差S代替上式中的 ，
此时。
称服从自由度为n－1的t分布，即t(n-1)
i. t (n-1) 与N（0，1）的概率密度函数类似，是对称分
布；
ii. t (n-1) 的峰值比N（0，1）略低，底部略宽；
iii. 当自由度（n－1）超过30时，两者区别不大。
iv. ③正态样本 的分布—— 分布
v. 定义：正态样本方差 除以总体方差 的（n
－1）倍的分布，是自由度为（n－1）的 分布，
记为2005-01-04
分布的概率密度函数在正半轴上是偏态函数
④两个独立的正态样本方差之比的分布——F分布
定义：a、两个独立的正态总体
方差相等；b、 是分别来自
的两个样本，它们互相独立；c、这两个样
本方差之比的分布是自由度为n－1和m－1的F分布
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二、参数估计
在实际问题中，总体的参数都是未知的，需要选用
适当的统计量作为未知参数的估计，此统计量称为
点估计量。
㈠点估计
⑴定义：用样本的某一函数作为总体中未知参数的估
计。
设 是总体的某个未知参数，X是该总体的随机变
量， 是总体的一个样本量为n的样本，若
构造一个统计量， 用它作为对 的
估计，则称 是 的点估计。
如抽取到一个 ，就可计算出 值，
此乃估计量中的一个具体值。
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⑵点估计优良性标准
是随机的，不能用某个具体的估计值来评价 是否接近
的优劣，应从多次使用中来评定。
与 之间总有偏差，即 ，但因 未知，其差也无法
得到，通常用多次采样，将不同的 进行 的平均。即
用
来表征估计量 的优劣，因此
此时称 是无偏的，否则称有偏的，无偏性是表示估计优
良性的一个重要指标，在选择估计值时尽量选用无偏估计量。
式中 是估计量的方差，希望方差愈小愈好，这是估
计优良性的另一指标。2005-01-04
⑶点估计方法
无论是总体均值 或总体方差 都可用样本的均值
或方差作出估计，这就是点估计：
①用样本矩去估计相应的总体矩。
②用样本矩的函数去估计相应的总体矩的函数。
此法简单实用， 对 的估计是无偏的， 对 的
估计也是无偏的，但这种估计未必总是有效的，也不
唯一。
⑷点估计举例（正态总体参数的无偏估计）
例：把钢材弯成钢夹，其间隙大小是一个重要特性，现
从生产线上随机取5个钢夹测量其间隙，得数据如下：
已知钢夹间隙服从正态分布 ，试定出参数
的无偏估计。
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解：用样本均值 估计 ，用样本方差 估计 ：
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㈡区间估计
⑴概述：点估计只给出参数的一个具体估计值，未给
出估计精度，而区间估计是用一个区间来估计未知
参数，区间体现了估计的精度。
⑵区间估计定义
是总体的待估计参数，其一切可能取值组成参数
空间 。记 是总体的样本量为n的样本，
对给定的 确定两个统计量：
若对任意 ，则称随机
区间 是 的置信水平为 的置信区间。
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⑶正态总体参数的置信区间
①总体均值 的置信区间求法
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注：ⅰ、该区间的中心为 ，区间半径为
ⅱ、置信水平增大时，置信区间的长度将增加，因为
此时 减小，则 就增大。
ⅲ、若要提高估计精度，势必要缩短置信区间的长度，
在置信水平及标准差都不变的情况下，只有加大n.
②总体 的置信区间求法
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⑷应用举例
例1：某溶液中的甲醛浓度服从正态分布，从中抽取一个
n＝4的样本得 ＝％，样本S＝％，分别求
正态均值 的95％的置信区间。
解：求 的置信区间，因 未知，故用t分布来求。
根据 ＝％， S＝％，及n＝4， ＝，查
t分布表，得。
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例2：一物体的重量未知，若用天平去称，所得称重总
有误差，且是一个随机变量，通常服从正态分布。如
果已知称重误差的标准差为克（根据天平精度给
出），为使 的95％的置信区间长度不超过，则
至少应称多少次？
这是估计样本量的问题，在 已知时， 的95％置
信区间为：
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三、假设检验
㈠假设检验问题
用来判定获取的样本值与总体值或几个样本值之
间的差异是确实存在还是由于偶然因素产生的。
对总体参数分布做某种假设，再根据抽取的样本
观测值,运用统计分析方法，检验这种假设是否成
立，从而决定是接受或拒绝这一假设。 这一过程
就是假设检验。
例：装配线的直通率在最近三个月内由95％降为85
％，经分析认为，由于供应商A和B提供的电子物
料品质（某参数均值）不同，是造成直通率下降
的原因，试通过假设检验对这种判断进行检验。
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例：某车床加工零件的外园直径目标值为550mm，
之前，零件尺寸的标准差 ，现从加工零件
中抽取35个，测得35个数据，试问外园直径均值是
否偏离目标值。
意义：1、用样本代替总体（节省时间，降低成 本，
替代某种不可能的事。 ）
2、确认这种替代的精确性或可行性。
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㈡假设检验步骤
1、
2、步骤：根据所获样本，运用统计分析方法，对总体的某
种假设H0作出接收或拒绝的判断。
⑴建立假设：
日生产化纤纤度肯定会偏离目标值，若是随机误差引
起的差异,则认为H0: 会成立。若是别的特殊因素
引起的差异，则应拒绝H0 ，此时相反的假设
这叫备择假设，若
也叫备择假设，但这是单侧检验问题。
。
，
＝
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⑵选择统计量，给出拒绝域的形式
由于检验涉及 ，因此选用样本均值 是合适的，把
作为 分布的均值更易把 区分开来。
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⑶显著性水平 的含义
利用统计技术处理问题，难免不犯错误，问题在于控制
犯错误的概率，假设检验中常犯两种错误：第一类错误
（拒真错误）和第二类错误（取伪错误）。它们发生的
概率分别为 。
判断正确
第二类错误
（发生概率为
）
第一类错误
（发生概率为
）
判断正确
接受H0
接受H1
统
计
判
断
真实情况
H0成立 H1成立
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理论分析表明：
①在相同样本量时， 取得小，必导致 增大。
②在相同样本量时，要使 小，必导致 增大。
③要同时使 都减小，只有增大样本量n才能实现。
通常是控制 ，不使 过小，常选
从中制约 。
把第一类错误概率控制在 的意思是：“ ”
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⑷确定临界值c，给出拒绝域W
据N（0，1）的分位数性质：
⑸ 判断
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本例通过u统计量实施假设检验，故称作u检验，
在正态总体中，有关它的假设检验总是涉及两个
参数 ，如果是 的假设检验，而 已知，
则如上所述，用u检验，如果 未知，则用t检验，
如果是 的假设检验，则用 检验，上述各种正
态总体 的假设检验综合在下表：
检验法 条件 H0 H1 检验统计量 拒绝域
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㈢举例
例1：据环保法规定，倾入河流的废水中有毒物质平均含量不得超过
3ppm，已知废水中该有毒物质含量服从正态分布，现对倾入河中
的废水进行检查，15天的记录如下（单位：ppm）
，，，，，，，，，，，，
，，
试在 水平上判断该厂排污是否符合环保规定。
解：①如果符合环保规定，那么 ， 应该不超过3ppm，不符合的话应
该大于3ppm。所以立假设：
②由于 未知，故选用t检验
③～④根据显著性水平 及备择假设确定拒绝域为
⑤根据样本观测值，求得 ，因而有
由于它大于，所以检验统计量t落在拒绝域中，因此在
水平上拒绝原假设，认为该厂不符合环保规定，应该采取措施降低
废水中该有毒物质的含量。
2005-01-04
例2：某导线电阻服从 未知，要求电阻标准差
不得超过 ，现从一批导线中随机抽取了9根，其
样本的标准差为S＝，问：在 水平时该
批导线电阻是否合格。
解：①建立假设：
②选用 检验。
③～④根据显著水平 及备择假设，可确定拒绝
域为：
⑤由样本观测值，求得：
由于 值未落在拒绝域中，所以不能拒绝原假设，可
以认为该批导线电阻波动合格。
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四、正交试验
㈠概述
1、质量改进项目，涉及多个因素和多个水平，要确
定其中的主要影响因素和水平，要找到因素和水平
之间的最佳组合，以达到改进目的。
2、由试验获得的结果是客观和可信的，试验综合了
现场的各种条件，试验结果比理论分析结果更真实，
可靠。
3、试验涉及多个因素和水平，要从众多的试验中寻
找最佳结果并非易事，试验工作量大，如
使人望而生畏。试验设计为我们提供了一
种试验工作量小，又能获取优化结果的有效方法。
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㈡有关名词解释
⑴试验指标：考察要达到的效果（目标），有数量指标
（长度、电压、强度），非数量指标（颜色、外观等定
性指标）。
⑵因素：对试验指标产生影响的参数，定量描述因素，定
性描述因素，单因数试验，多因素试验。
⑶水平（位级）：因素变化的各种状态和条件，一个因素
往往有好几个水平。
⑷完全因素水平组合：
㈢正交表：正交设计的基本工具，它是运用组合数学和试
验设计经验，构成的规范化表格。
⑴正交表符号
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正交表举例：
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1
2
3
3
1
2
2
3
1
列号
试验号
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⑵正交表正交性
正交性体现在两方面，整齐可比性；因素水平的均
衡分散性。
①整齐可比性：表中每一因素的每一水平，所出现的
次数完全相同。每个因素及水平在试验结果中与其
它因素及水平参与试验的机率完全相同，以保证各
水平平等参与不造成干扰。
②均衡分散性：表中任意两列（因素）的搭配（横向
数字对）完全相同，保证试验条件均衡分散在因素
水平的完全组合之中，具有很好的代表性。
分散可比性就是正交性
图中以三个平面，每个平面上分成等间隔的三行，三
列。每行、每列都有一个点。
2005-01-04
2005-01-04
二、无交互作用的正交设计与数据分析
㈠试验的设计
步骤：
⑴、明确试验目的；
⑵、确定试验指标，用来判断试验条件的好坏，指标越大
（或越小、相等），试验条件越好；
⑶、选择因子与水平：首先要分析影响指标的因素是什么，
每个因素取哪些水平，通过理论与实践的经验综合判定。
⑷、选用合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划 。
首先根据试验中考察的因子水平数和因子的个数具体选定
一张表。
ⅰ、把因子放到选定的正交表的列上去，即是表头设计。
ⅱ、试验计划即是将列中因子的数字换成因子的相应水平，
不放因子的列就不考虑，允许有空白列。
2005-01-04
㈡进行试验和记录试验结果
将试验结果记录在试验条件后面
1、试验注意事项：
①、试验次序要随机化，避免因考虑不周而产生系统
误差；
②、试验中应避免操作人员不同，仪器设备不同引起
的系统误差，尽可能使试验外的其它因素固定，若
不能避免时，可增加一个区间因子。（如人）
③、试验时，常需要在同一条件下进行重复，可观察
试验的稳定性。
㈢应用实例
例：按质量要求，磁鼓电机输出力矩应大于
·m，欲通过试验设计找到好的条件，以提
高磁鼓电机输出力矩。
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ⅰ目的：提高磁鼓电机的输出力矩。
ⅱ指标：输出力矩是考察指标。
ⅲ因子与水平：经分析影响力矩的因子是：A：充磁
量，B：定位角度，C：定子线圈匝数。
根据以往经验，本试验采用如下水平：
1 2 3
A：充磁量
（ ）特
900 1100 1300
B：定位角
度（度）
10 11 12
C：定子线
圈匝数（匝）
70 80 90
因子
水平
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①选用正交表，本题涉及三个因子，三个水平的正交表，
故选用 。
②将因子列中的数字换成相应的因子水平。
③正交表安排了9个不同的试验，呈“整体设计”，由三
维图看9个试验点的分布。
④记录试验的结果。
1、数据直观分析。
⑴寻找最好的试验条件
按水平号将数据分成三组，
每组三个试验结果的和与平均值
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①上述计算的 之间的差异只反映了A的三个水平间
的差异,其中二水平数据最佳。
②同理可分析第2列，第3列，得到：因子B的二水平，因
子C的三水平最好。
③综上可知，使指标达到最大的条件是
即充磁量取 特，定位角取11度，线圈取90匝
时，力矩最大，达到·m。比原力矩提高了
％。
⑵各因子对指标影响程度的分析
①采用极差分析法，该“极差”是指某一因子的。
②极差大，说明该因子对指标造成的变化大，影响大，
因子Ｂ极差最大，故影响最大，其次是因子Ａ，再次是因
子Ｃ。
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⑶因子水平对指标的影响图
170
160
180
190
200
210
220
900 1300 10 11 12 70 80 90
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2、数据方差分析
①问题：上述分析用极差评价各因子对指标的影响，那极差要
小到何种程度时，可认为该因子对指标值已没有显著影响了
呢？实际上，极差方法，不能辨别指标变化是因素水平还是
误差原因所造成的，数据的方差分析可解决这个问题。
②假设：ⅰ上述每一试验都是独立进行的。
ⅱ每一试验条件下的试验指标服从正态分布。
ⅲ试验随机变量分布的均值与试验条件有关，可能
不相等。它们的方差是相等的。
⑴离差平方和分解
①各试验结果不同是由于试验条件不同及试验中存在误差。
用总离差平方和ST描述，即是九次试验结果数据的总波动
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表头设计 A B C
Y
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1
2
3
3
1
2
2
3
1
160
215
180
168
236
190
157
205
140
T1
T2
T3
555
594
502
485
656
510
555
523
573
536
562
553
S
试验号
列号
2005-01-04
②数据波动源自各因子所取的不同水平及可能的试验误差
（组间平方和）， 分别表示各因子在三个水平下
试验结果的平均值，则：
③未置因子的空白列，可安放由于误差造成的数据波动，
称误差的离差平方和Se （组内平方和） ，其值为正交表
上空白列的离差平方和相加。令Se＝S4。
④用代数法可证明：在 中有如下关系：
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⑵F比：
① 认为在显著性水平 上因
子是显著的， 分别是因子的均方与自由度，
是误差的均方与自由度。
②因子与误差自由度的决定
来源 平方和 自由度 均方 F比
因子A 2
因子B 2
因子C 2
误差e 2
总计 8 （2，2）＝， （2，2）＝
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ⅰ、列自由度＝水平数－1；
ⅱ、因子自由度与所在列自由度相等；
ⅲ、误差自由度为正交表上空白列自由度相加；
ⅳ、总离差平方和的自由度是试验次数n－1；
ⅴ、当正交表中n，p，q满足（*）时，离差平方和有
（**）式。
自由度具有
⑶计算
用列表法计算各列的离差平方和与总离差平方和。
利用（**）可验证离差平方和计算是否正确。
对F比的计算可借助方差分析表
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3、最佳条件的选择
原则：对显著因子应选择其最好的水平，对不显著因子可
任意选择水平，实际上常根据降低成本，操作方便等其
它因素来确定。
本例最佳条件：A2B2或A2B2 C，C无下标表示有很大灵活
性。
4、因子贡献率
当试验指标不服从正态分布时，方差分析的依据就不充
分，此时采用“因子贡献率”来衡量因子作用的大小。
来源 平方和 自由度 纯平方和 贡献率（％）
因子A 2
因子B 2
因子C 2
误差e 2
总计 8
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结论：①因子B最重要，其水平变化在数据引起的
波动中占总离差的％；
②因子A的水平变化引起的指标变化占
％，也是显著因素。
5、验证试验
分析所得的最佳条件未必出现在试验中，为此通
常需要验证试验，如A2B2 C1（不在9次试验中）。
即使在试验条件中出现也需通过验证，看其是否
稳定。
2005-01-04
㈣几点说明
①质量指标的要求是望小值，望目值时，数据的处理。
②非数字指标的试验设计举例。
③调优试验
一般情况下通过一轮正交试验设计，难以捕捉到最佳试
验方案。为此应多轮反复使用，以逼近最佳方案。每一
轮正交试验后，应根据试验结果进行分析，然后作调优
试验（确定下轮正交试验设计的因素和水平）。
调优的原则为：
ⅰ、重要因素有苗头处加密水平。
ⅱ、次要因素按技术、经济两方面来综合考虑舍取。
ⅲ、有疑问的因素重复考虑。
ⅳ、意外发现的因素补充考虑。
ⅴ、若试验结果与预期目标差异较大时，应重新考虑因素
位级的选择。
2005-01-04
三、有交互作用的正交设计与数据分析
多因子试验中，两个因子不同水平的搭配，对指标也
会有影响，这种影响称A、B间的交互作用。
提高某农药收率的试验设计。
㈠试验设计
设计与上述基本相同，但略有差异。
⑴试验目的：提高农药收率；
⑵试验指标：农药收率，指标越高越好。
h
hB2
B1
A1 A2A1A2
B2
B1
B2
B1
A2A1
2005-01-04
⑶确定考虑的因子与水平及交互作用：因素有四个，据经
验反应温度与反应时间的交互作用，对收率有较大影响
A×B。
⑷选用合适的正交表。进行表头设计，列出试验计划。
本题要考察4个二水平因子及一个交互作用，因而可看
成有5个二水平因子，故选用正交表 是适当的。
表头设计时要利用交互作用表，指明任意两列的交互
作用所在的列号，不可随意放置。
因子 水平1 水平2
A：反应温度（ ） 60 80
B：反应时间（小时）
C：两种原料配比
D：真空度（kPa） 50 60
2005-01-04
列号 1 2 3 4 5 6 7
（1
）
3 2 5 4 7 6
（2
）
1 6 7 4 5
（3
）
7 6 5 4
（4
）
1 2 3
（5
）
3 2
（6
）
1
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有了表头便可写试验计划并进行计算，见下表：
表头设计 A B A×B C D
列号 1 2 3 4 5 6 7
表头设计 A B A×B C D Y
1 2 3 4 5 6 7
1 1（60
）
1（
）
1 1（
）
1 1 1（50） 86
2 1（60
）
1（
）
1 2（
）
2 2 2（60） 95
3 1（60
）
2（
）
2 1（
）
1 2 2（60） 91
4 1（60
）
2（
）
2 2（
）
2 1 1（50） 94
5 2（80
）
1（
）
2 1（
）
2 1 2（60） 91
6 2（80
）
1（
）
2 2（
）
1 2 1（50） 96
7 2（80
）
2（
）
1 1（
）
2 2 1（50） 83
8 2（80
）
2（
）
1 2（
）
1 1 2（60） 88
T1 366 368 352 351 361 359 359
T2 358 356 372 373 363 365 365
S 8 18 50
试验号 列号
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㈡数据分析
1、方差分析
每一列离差平方和用下式计算：
利用方差分析公式，可证明第三列的离差平方和即是交
互作用的离差平方和，除误差外，只反映交互效应不同
所引起的数据波动，记为 。
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的自由度为两因子自由度的乘积，是1。在 中
同样有平方和分解式，各列离差平方和用
计算。
由表可知，在 水平上，因子C与交互作用
A×B 对指标有显著的影响。
来源 平方和 自由度 均方 F比
A 1
B 1
C 1
D 1
A×B 1 20
E 2
总计 7 （1，2）＝
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2、最佳条件选择
当两因子交互作用显著时，暂不考虑每一因子是
否显著，先分析两个因子不同搭配的指标均值，从
中选择最好的搭配组合。
A、B因子各占一列，各有两个水平，其搭配见下
表：
由此可见AB搭配A2×B1以为最好，因子D不显著，
水平可任取。
最佳条件是A2B1 C2
A1 A2
B1 (86+95)/2= (91+96)/2=
B2 (91+94)/2= (83+88)/2=
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㈢避免混杂现象
避免在一列中同时存在两个因子或交互作用的情
况，否则存在两个因子或交互作用的列，将难以
判别何者是显著因子，选用较多列数的正交表可
避免此问题。
原则：
1、安排时，因子与所在列的自由度与因子的自
由度相同；
2、交互作用的自由度应与交互作用所占列的自
由度之和相同。
3、选择的正交表必须满足（必要条件），所考
察因子的自由度与交互作用的自由度之和≤n－1。
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举例：1、A，B，C，D为二水平因子，且要考察交互作
用A×B，A×C。
选二水平正交表，因子与交互作用的自由度之和为：
2、 A，B，C，D为二水平因子，且要考察交互作用A×B
，C×D。
选二水平正交表，因子与交互作用的自由度之和为6。
表头设计 A B A×B C A×C D
列号 1 2 3 4 5 6 7
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3、 A，B，C，D，E为三水平因子，且要考察A×B。
选三水平正交表，因子与交互作用的自由度之和
表头设计 A B
A×B
C×D
C D
列号 1 2 3 4 5 6 7
表头
设计
A B A×B C D C×D
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
表头
设计
A B A×B C D E
列号 1 2 3，4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
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