第三章
随机变量与随机向量
目录
随机变量、随机向量及其概率分析
1
条件随机变量及随机变量的独立性
2
随机变量和向量的统计平均
3
随机变量的估计与误差的概率
4
随机变量随机向量及其概率分析
随机变量与随机向量
定义随机变量
若有实函数X（s），将基本可能实验结果s与实数x对应起来，有函数关系：x=X（s）（）则X（s）称为随机实验E上的随机变量。随机变量取值x与s的对应关系如图3-1所示，因此随机变量是随机实验样本空间S上定义的基本实验结果s的实函数X（s）。随机变量X（s）的取值可以是连续的、离散的或者混合的。相应地，X（s）分别称为连续随机变量、离散随机变量或者混合随机变量。
图3-1随机变量映射图
定义随机向量。
随机向量X（s）是样本空间S上定义的基本实验结果，其向量函数如图3-2所示，它可表示为X（s）=［X1（s），X2（s），…，XK（s）］T（）其中上标T表示转置。
图3-2 随机向量图
图3-3电阻分压器
随机变量的概率分布和密度函数的定义
（一）随机变量的概率分布和密度函数
定义 随机变量的概率分布函数。
1.区间概率特性
2.单调递增性
3.极限特性
4.右连续性
定义 随机变量的概率密度函数。
非负性
归一性
区间概率特性
（二）典型的概率密度函数举例
1．二项式分布
图3-4离散随机变量概率密度与分布函数式
图3-5二项式分布与泊松分布二项式分布随机变量K是离散取值的。
2．泊松（Poisson）分布
3．均匀分布
图3-6均匀分布和指数分布
4．指数分布
图3-7 正态、瑞利和柯西分布
5．正态（或高斯）（Normal/Gaussian）分布
6．瑞利（Rayleigh）分布
7．柯西（Cauchy）分布
例一个电子服务系统为5个用户服务。若一个用户使用系统时，系统输出功率为，而且各用户独立使用系统，使用概率均为。
（1）求电子服务系统输出功率的概率分布函数；
（2）系统输出大于2W时，系统过载，求其过载的概率。
解： 系统输出的功率X是一个随机变量，它随着使用系统的用户数目的增加而增加。若使用系统的用户数目为K，则系统输出功率为X=的可能取值记为xi， i=0，1，…，5。则系统输出功率的可能数值的集合为（0，，，，，）。
二维随机向量的概率分布和密度函数
定义二维随机向量的概率分布函数。
图3-8事件{X≤x，Y≤y}的文氏图
（一）联合概率分布F（x，y）的基本性质
边缘概率分布
极限取值特性
区间概率特性
单调递增性
（二）二维概率密度函数的性质
边缘概率分布
非负性
区间概率特性
归一性
例样本空间S上有事件A和B。通过随机变量X和Y，事件A映射为{X∈（x1，x2］}，事件B映射为{Y∈（y1，y2］}，试求随机向量（X，Y）联合样本空间SJ中对应的事件，并且指出样本空间S中事件A和B与SJ中事件的对应关系。
解： 使用文氏图，在样本空间S和SJ中分别表示出事件A={X∈（x1，x2］}和B={Y∈（y1，y］}并且经过随机变量X和Y建立事件之间的关系，如图3-9所示。
图3-9 样本空间S和随机向量（X，Y）样本空间的对应关系
例某电子系统有部件A1和A2。部件正常工作记为n，发生故障记为f。且P［A1=f］=，P［A2=f］=。有随机变量X1和X2：X1=1，0，A1=n A1=f X2=1，0，A2=n
A2=f
（1）作出观察系统工作情况的样本空间S和随机向量（X1，X2）的联合样本空间SJ；
（2）指出S和SJ中事件对应关系；
（3）计算（X1，X2）的概率密度函数。
图3-10
条件随机变量及随机变量的独立性
条件随机变量
定义 条件随机变量的概率分布函数。
条件随机变量X|（Y∈B），若其条件概率P［Y∈B］＞0，则其概率分布函数定义为F（x|Y∈B）=P［X≤x|Y∈B］=P［X≤x，Y∈B］ P［Y∈B］（）
即是说，Y∈B的条件下，X≤x的概率是条件随机变量X|（Y∈B）的概率分布函数。
定义条件随机变量的概率密度函数。
条件随机变量的概率密度函数定义为f（x|Y∈B）=d〖〗dxF（x|Y∈B） （）
条件概率分布与密度函数的基本性质与前面讨论的一般概率分布与密度函数类似，这里不再重复讨论。请对照式（）至式（）进行分析。
点条件随机变量的概率分布与密度函数
定义点条件随机变量的概率分布函数和概率密度函数。
点条件随机变量的概率密度函数的基本性质如下：
部分条件随机变量的去除
链式分解规则。
部分主随机变量的去除
随机变量的独立性及其判别条件
随机变量和向量的统计平均
图3-11随机变量取值的基本统计特性
统计平均算子与统计平均
单调性
线性
随机变量的统计矩
性质
方差的均方偏离最小性
方差与标准差
独立随机变量的方差
线性变换的方差
中心矩与原点矩的关系
方差运算
相关系数，互不相关和正交性
图3-12统计独立、相互正交与互不相关的关系例
条件平均
随机变量的估计与误差的概率
习题
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