§2 离散型随机变量
研究一个离散型随机变量不仅要知道它可能取值而且要知道它取每一个可能值的概率．
一．概率分布：
设离散型随机变量 的可能取值是有限个或可数个值，设 的可能取值：
为了完全描述随机变量 ，只知道Ｘ的可能取值是很不够的，还必须知道 取各种值的概
率，也就是说要知道下列一串概率的值：
记 ，将 的可能取值及相应的既率成下表
这个表称为 的概率分布表。它清楚地表示出 的取值的概率分布情况．为简单起见，
随机变量 的概率分布情况也可以用一系列等式
(＊)
(＊) 称为 的概率分布或分布律。
例如：上节【例 1】 的概率分布表是
，
的概率分布是
上节【例 2】 的概率分布表是
的概率分布是
X X
1 2, , , ,nx x xL L
X X
1 2, , , ,kP X x P X x P X x L L
( 1, 2, )k kp P X x k L X
1 2 3
1 2 3
k
k
X x x x x
p p p p p
L L
L L
X X
X
( 1, 2, )k kp P X x k L
X
X
0 1
X
p
X
( 0, 1)kp P X k k
X
0 1 2
X
p
X
0
1
2
0 ,
1 ,
2
p P X
p P X
p P X
【例 1】某射手每次射击打中目标的概率都是 ，现他连续向一目标射击，直到第一次
击中目标为止， 记 ＝“射击次数”，则 是一个随机变量，求 的概率分布解： 的可能
取值的可能取值是一切自然数，即
= ，
且 ， 其中 ，
且 的概率分布表如下：
2．性质：
任何一个离散型随机变量的概率分布一定满足性质，
利用随机变量及其分布律，我们可求各种随机事件发生的概率。
【例 2】袋中有 5 个球，分别编号 1，2，３，４，5．从其中任取 3 个球，求取出的 3 个球中最大
号码的概率函数和概率分布表．
解：设 ＝“取出的 3 个球中的最大号码”,
则 的可能取值：3，4，5，
由古典概型知：
=0。1，
=0。3
=0。6
的概率分布为
3 4 5
p
(0 1)p p
X X X X
X ( 1, 2, )k k L
1( ) ( 1, 2, )kP X k pq k L 1q p
X
2 1
1 2 3
k
X k
p p pq pq pq
L L
L L
X
X
3
5
1 1
( 3)
10
P X
C
2
3
3
5
3
( 4)
10
C
P X
C
X
X
二．几个常用的离散型分布：
1. 两点分布： 如果随机变量 的分布（概率）为：
，
则称 服从两点分布（ 为参数），特别地，当 时，则称 服从“0 －１” 分布,即
，
“0 －１”分布也常称为贝努利分布. 例如: 上节【例 1】中， 服从“0 －１” 分布。
【例 3】 有 100 件产品，其中有 95 件是正品，5 件是次品，现在随机地抽取一件，假设抽到每
一件的机会都相同，则抽得正品的概率＝0．95，而抽得次品的概率＝0．05．
现定义随机变量 如下：
则 有
,
服从“0 －１” 分布。
2. 二项分布:
设随机变量 的可能取值为 0，1，2，…，n, 且
，
则称 服从参数为 的二项分布，
可验证：
特别地， 当 n＝１时的二项分布就是两点分布。
二项分布在讨论贝努里试验时很有用。贝努里试验是一种很重要且应用很广泛的数学模型。
【例3】 保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保人在一年内死亡若干人的概串 设某保
险公司的某人寿保险险种有 1000 人投保，每个人一年内死亡的概率为 o．005 个，试
求在未来一年中在这些投保人中死亡人数 不超过 10 人的概率．
X
( ) (0 1)
( ) 1
P X a p p
P X b q p
X p 1, 0a b X
( 1) (0 1)
( 0) 1
P X p p
P X q p
X
X
( 1)
( 0)
P X
P X
X
X
( ) ( 0,1, 2, , )k k n knP X k C p q k n
L
(0 1, 1 )p q p
X ,n p
X
解：对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次贝努里试验，1000 人就是做 1000 重贝努
里试验，因此， ，所求概率为
注意 ：从例中可以看到*要直接计算量大，可用泊松定理作近似计算(参看第一章§5)．
，
则
【例】
(1000, )X B:
10
1000
1000
0
( 10) () (1 ) k k
k
P X C
３．泊松（Poisson）分布：
设随机变量 的可能取值为 0，1，2，…，且
则称 服从参数为 的泊松分布，
泊松分布是概率论中重要分布之一。许多随机现象都可以用泊松分布来进行描述，如单位长度布
面上的疵点数，电话总机在单位时间内收到的呼叫数，一个地区每月发生的事故敛，物理学中热电子
的发射个数等等都服从泊松分布．
X
( ) ( 0,1, 2, ; 0)
!
k
P X k e k
k
L
X
【例】
下表记录
投在伦敦的飞弹
【例】
3. 几何分布：
4．超几何分布：
三．习题：Ｐ．５０ ―― ２，３，４，
