排列组合的应用
高中数学教学课件
CONTENTS
01 知识回顾：计数原理与基本概念
02 核心方法：排列问题的解题策略
03 核心方法：组合问题的解题策略
04 综合应用：排列组合的实际案例
05 课堂小结与练习
知识回顾：两个基本计数原理
分类加法计数原理
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方
法，……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件
事共有：
N = m1 + m2 + … + mn
关键词：“或”，类类独立
分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方
法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
N = m1 × m2 × … × mn
关键词：“且”，步步相关
知识回顾：排列与组合的概念
排列 (Arrangement)
从n个元素中取出m个元素，按一定顺序排成一列。
核心特征：有序 (顺序不同结果不同)
组合 (Combination)
从n个元素中取出m个元素合成一组。
核心特征：无序 (顺序不同结果相同)
示意图：小组/代表选取 (不考虑顺序)
知识回顾：排列数与组合数公式
排列数公式 (Permutation)
公式：A(n, m) = n! / (n - m)!
含义：从 n 个元素中取出 m 个进行排列
组合数公式 (Combination)
公式：C(n, m) = n! / [m! (n - m)!]
含义：从 n 个元素中取出 m 个进行组合
重要规定：规定 0! = 1，这是进行阶乘计算的基础前提。
核心方法一：特殊元素/位置优先法
方法原理讲解
当题目中存在有限制条件的元素或位置时，应优先
安排这些“特殊对象”，再处理其他普通元素。
典型例题
题目：用 0, 1, 2, 3, 4 这五个数字，可以组成多少个
无重复数字的三位偶数？
分析：
• 特殊位置：个位（必须是0,2,4）、百位（不能是0）
• 解题策略：优先考虑个位，分情况讨论
详细解题步骤
步骤1：分类讨论（按个位数字）
情况一：个位是 0
百位有4种选择，十位有3种选择。
计算：4 × 3 = 12 种
情况二：个位是 2 或 4
个位2种，百位3种（非0非个位），十位3种。
计算：2 × 3 × 3 = 18 种
步骤2：总计结果
总数 = 情况一 + 情况二 = 12 + 18 =30 种
核心方法二：捆绑法（相邻问题）
方法原理讲解
当要求某些元素必须相邻时，将这些元素“捆绑”成
一个“大元素”，与其他元素一起排列，同时注意“大
元素”内部的排列。
A B [ A B ]
图示：将必须相邻的 A 和 B 视为一个整体单元
典型例题解析
题目：7人站成一排，其中甲、乙两人必须相邻，有多
少种不同的排法？
Step 1. 内部捆绑：甲乙视为一体，内部排列 A(2,2) =
2 种。
Step 2. 整体排列：共6个元素全排列，A(6,6) = 720
种。
Step 3. 总计结果：2 × 720 = 1440 种。
最终答案：共有1440种不同的排法
核心方法三：插空法（不相邻问题）
核心原理解析
当要求某些元素不能相邻时，策略是“先排其他，再
插空”。
Step 1: 排列无限制元素
A B C
Step 2: 识别空隙 (元素间+两端)
Step 3: 插入不相邻元素
典型例题解析
题目：7人站成一排，其中甲、乙两人不能相邻，
有多少种不同的排法？
1. 排其余5人：A(5,5) = 120 种
2. 形成空隙：5人产生 6 个空隙（含两端）
3. 插入甲乙：从6个空隙选2个，A(6,2) = 30 种
4. 总计排法：120 × 30 = 3600 种
核心方法四：排除法（正难则反）
方法原理解析
当直接计算符合条件的情况数较复杂时（如涉及“至
少”、“至多”），采用“正难则反”策略：
符合条件 = 总情况数 - 不符合条件情况数
典型例题演示
题目：从4名男生和3名女生中选出3人，求至少有1
名女生的选法种数。
计算总选法：C(7,3) = 35 种
计算反面（全男生）：C(4,3) = 4 种
符合条件选法：35 - 4 = 31 种
核心方法五：定序问题除法
方法原理与逻辑
核心思想：
当某些元素的相对顺序必须固定时，先将所有元素进行全
排列，再除以这些定序元素本身的全排列数。
为什么要“除法”？
在全排列中，定序元素的所有可能顺序都被重复计算了。
为了消除这些不符合题意的重复情况，我们需要用除法来
剔除多余的排列。
典型例题解析
题目：7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，有多少
种不同的排法？
7人全排列：A(7,7) = 5040 种
3人全排列：A(3,3) = 6 种 (需剔除的重复数)
结果：5040 / 6 =840 种
核心方法六：分组分配问题
核心概念辨析
非均匀分组
各组元素个数不同，直接组合计算，无需额外处理。
均匀分组（重点）
存在元素个数相同的组，需除以均匀组数的全排列数以
消除重复。
分配问题
先按要求分组，再将分好的组分配给不同对象（乘以对
象的排列数）。
典型例题解析
题目：将6本不同的书分给3名同学，每人2本，有多
少种分法？
步骤1：初步分组计算
C(6,2) × C(4,2) × C(2,2) = 15 × 6 × 1 = 90 种
步骤2：消除均匀分组重复
由于是均匀分组，需除以 A(3,3)：90 ÷ 6 = 15 种
步骤3：分配给具体对象
此例中分组即分配，最终结果为 15 种。
综合应用：排列组合的魅力
从理论到实践，感受数学的应用价值
生活场景应用 概率统计分析 逻辑思维训练
应用案例一：密码学中的排列组合
案例分析
一个6位数字的密码，每一位可以是0-9中的任意一个，
那么总共有多少种可能的密码？
分步乘法原理应用
每位有10种选择，总共有 10^6 =1,000,000种可能。
延伸思考
如果密码要求字母和数字组合，复杂度会如何变化？
应用案例二：体育赛事赛程安排
案例分析：单循环赛制
4支球队进行单循环比赛（每两队只赛一场），共需安
排多少场？
组合问题解答
这是一个组合问题，从4支球队中选2支：C(4,2) = 6
场。
延伸：双循环赛制
若为主客场双循环（排列问题），则为 A(4,2) = 12 场。
应用案例三：公平的抽奖活动
案例分析
抽奖箱中有10个球（1红9白），从中抽取3个球。求至少
抽到1个红球（中奖）的概率。
数学解答
• 总抽法：C(10,3) = 120 种
• 中奖抽法：120 - C(9,3) = 120 - 84 = 36 种
• 中奖概率：36 / 120 = (即 30%)
应用案例四：最短路径问题
案例分析
在一个网格图中，从A点到B点，只能向右或向上走，
有多少条不同的最短路径？
数学模型与解答
设需向右走m步，向上走n步。总步数为m+n，路径
数等价于在总步数中选择m步向右，即组合数：
C(m+n, m) 或 C(m+n, n) 图示：网格中的路径示意
应用案例五：人员选拔与任务分配
案例分析
从5名男同学和4名女同学中选出3人参加3项不同的活动，要求
至少有1名女同学，求不同的选法总数。
解题思路与计算
方法一（直接法）：分类讨论
• 1女2男：C(4,1)×C(5,2)×A(3,3) = 4×10×6 = 240 种
• 2女1男：C(4,2)×C(5,1)×A(3,3) = 6×5×6 = 180 种
• 总计：240 + 180 = 420 种
方法二（排除法）：间接求解
• 总选法：C(9,3)×A(3,3) = 84×6 = 504 种
• 全男选法：C(5,3)×A(3,3) = 10×6 = 60 种
• 符合条件：504 - 60 = 420 种
课堂小结
核心概念与基本原理
• 一个核心：准确区分“有序排列”与“无序组合”
• 两个原理：分类加法计数原理、分步乘法计数原
理
解题方法与实际应用
• 六种方法：特殊优先、捆绑法、插空法、排除法、
定序除法、分组分配
• 多种应用：密码设置、赛事安排、抽奖活动、路
径规划、人才选拔等
课堂练习（一）
练习题 1：人员分配问题
从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻
译工作，则选派方案共有多少种？
练习题 2：数字排列问题
用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？
课堂练习（二）
练习题 1：不相邻问题变形
马路上有编号为1,2,3,...,9的九盏路灯，为节约用电，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的两盏
或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法有多少种？
练习题 2：分组分配问题综合
将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
练习答案与解析
练习一：排列组合基础
1. 任务分配问题
思路：特殊位置优先法。先选翻译，再排其余。
计算：C(4,1) × A(5,3) = 4 × 60 = 240 种
2. 五位数偶数问题
思路：个位受限（2/4），万位受限（非0/非个位）。
计算：2（个位）× 3（万位）× A(3,3) = 36 个
练习二：技巧应用进阶
1. 不相邻插空问题
思路：亮灯形成空隙，插入不亮的灯（不插两端）。
计算：C(5,3) = 10 种
2. 捆绑与排列结合
思路：先捆绑2个球，再将“3个元素”放入3个盒子。
计算：C(4,2) × A(4,3) = 6 × 24 = 144 种
感谢聆听
Q&A 问答环节
