信阳师范学院学报:自然科学版įŔŚŗœņőŔŋĽŎœŞņœŌijŔŗŒņőĺœŎśŊŗŘŎřŞ第22卷 第4期 2009年10月ijņřŚŗņőĸňŎŊœňŊĪʼnŎřŎŔœĻŔő.22ijŔ.4Ĵňř.2009ĩĴĮ: (信阳师范学院数学与信息科学学院,河南信阳464000)摘 要:基于开放式基金的特征,运用单指数模型分析了在风险资产常值相关的情况下开放式基金的最优投资组合,并讨论了不允许卖空的情况下风险资产常值相关时开放式基金的最优投资组合.关键词:开放式基金;单指数模型;常值相关中图分类号:ī224 文献标志码:Ħ 文章编号:1003-0972(2009)04-0507-03ĹōŊĴŕřŎŒņőĵŔŗřŋŔőŎŔŘŔŋĴŕŊœīŔŚœʼnĺœʼnŊŗřōŊĦŘŘŚŒŕřŎŔœĹōņřřōŊķŎŘŐĦŘŘŊřŘĦŗŊĨŔœŘřņœřĨŔŗŗŊőņřŊʼnĭĦijįŎņœ-ŝŎœ＊,ĽĺĪľņœ-ŋņœŌ(ĨŔőŊŌŊŔŋIJņřōŒņřŎňŘņœʼnĮœŋŔŗŒņřŎŔœĸňŎŊœňŊŘ,ĽŎœŞņœŌijŔŗŒņőĺœŎśŊŗŘŎřŞ,ĽŎœŞņœŌ464000,ĨōŎœņ)ĦŇŘřŗņňř:īŔőŔŜŎœŌřōŊňōņŗņňřŊŗŎŘřŎňŔŋřōŊŔŕŊœŋŔŚœʼn,řōŊŕņŕŊŗŚŘŊʼnřōŊŘŎœŌőŊ-ŎœʼnŊŝŒŊřōŔʼnřŔņœņőŞŘŎŘřōŊŔŕřŎŒŚŒŎœśŊŘřŒŊœřňŔŒŇŎœņřŎŔœŔŋřōŊŔŕŊœŋŔŚœʼnŚœʼnŊŗřōŊņŘŘŚŒŕřŎŔœřōņřřōŊŗŎŘŐņŘŘŊřŘņŗŊňŔœŘřņœřňŔŗŗŊőņřŊʼn,ņő-ŘŔʼnŎŘňŚŘŘŊʼnřōŊŔŕřŎŒŚŒŎœśŊŘřŒŊœřňŔŒŇŎœņřŎŔœŔŋřōŊŔŕŊœŋŔŚœʼnŜōŎőŊŎřňņœœŔřŇŊŘōŔŗřŘŊőŎœŌ.İŊŞŜŔŗʼnŘ:ŔŕŊœŋŔŚœʼn;ŘŎœŌőŊ-ŎœʼnŊŝŒŔʼnŊő;ňŔœŘřņœřňŔŗŗŊőņřŊʼn0 引言产为Ħ0,定义文献[1]中首次提出了均值—方差投资组合ő=Ī(ő),σ2ő=śņŗ(ő),γŎ=ňŔś(ŗŎ,ő),模型,文献[2-4]讨论了证券的投资组合,并研究了γ=(γ1,γ2,…,γij),Ŋ=(1,1,…,1)Ĺ.卖空时的情况,文献[5]和文献[6]在均值—方差单指数模型的基本思想是认为各种资产的收益率模型的基础上用单指数模型分析了房地产和基金通过外在的因素发生关系,任一资产的收益率由这的投资组合,单指数模型克服了计算量大的问题,个外在因素和随机因素决定,即本文在风险资产常值相关的情况下用单指数模型ŗŎ=ņŎ+ŇŎĮ+εŎ,分析了开放式基金最优投资组合,给出了其解析其中:ņŎ,ŇŎ为参数;εŎ为随机变量且Ī(εŎ)=0,Ŏ=解,并讨论了不允许卖空的情况下最优投资组合的1,2,…,ij,Į是某一指数水平,可以是整个市场的选择方法.总体水平也可以是某一价格指数,还可以认为是对所有资产收益率影响最大某一个因素.指数Į的1 单指数模型的建立未来水平可以表示为Į=ņij+1+εij+1,其中ņij+1是考虑一个无摩擦的市场,假设市场中有ij种一个参数,εij+1为随机变量,且Ī(εij+1)=0,单指风险资产,其收益率ŗ=(ŗ1,ŗ2,…,ŗij),其中ŗŎ表数模型将资产的收益率分解为两部分,其一是投示第Ŏ种资产的随机收益率.投资组合为Ľ=资于该资产的基本特征获得的收益ņŎ+εŎ,该收益(ŝ1,2,…,ŝij)Ĺ,其中ŝŎ表示第Ŏ种资产的投资比与指数Į的水平无关.其二是来自于指数Į的收ij例益.单指数模型依赖于如下的假设:,则投资组合的随机收益率为ķŝ=Ŏ∑=ŝŎŗŎ.阶段1初融资为ő(1)随机变量εŎ期望值为0且互不相关,即0,阶段末融资为随机变量ő,阶段初总资 收稿日期:2009-02-24;修订日期:2009-08-05;＊.通讯联系人,Ī-ŒņŎő:ōŏŝŎœ2008@163.ňŔŒ 基金项目:信阳师范学院青年科研基金项目(20080210) 作者简介:韩建新(1979-),男,山东聊城人,硕士,主要研究方向为金融数学.·507·
第22卷 第4期信阳师范学院学报:自然科学版 ōřŕ://ŏŔŚŗœņő.ŝŞřň.ŊʼnŚ.ňœ2009年10月Ī(εijijŎ)=0,ňŔś(εŎ,εŏ)=0,Ŏ≠ŏ,Ŏ=1,2,…,ij,ŏ=1,2,…,ij.σ22ŕ=Ħ20Ŏ∑=ŝŎσ2εŎ+2Ħ01Ŏ∑=ŝŎγŎ+σ2ı.1(2)随机变量εŎ与指数水平Į互不相关2 单指数模型的求解,即ĨŔś(εŎ,Į)=0,Ŏ=1,2,…,ij. 允许卖空情况下模型的解基于模型的基本假设和收益率的分解,可以得设无风险资产的收益率为ŗŋ,投资者选择的最到单一资产收益率的期望值和方差以及两资产的优的风险资产组合为ī(σī,μī),根据两基金分离协方差,即的原理,投资者只需在无风险资产和最优风险资μŎ=Ī(ŗŎ)=Ī(ņŎ+ŇŎĮ+εŎ)=ņŎ+ŇŎμ,产组合之间选择一个恰当的比例就可以获得最优σ2Į=Ī(ŗŎ-μŎ)2=的资产组合ĵ.设最优风险资产组合ī的投资比Ī[(ņŎ+ŇŎĮ+εŎ)-(ņŎ+ŇŎμĮ)2]=例为αī,则无风险资产的投资比例为(1-αī),那Ň2ŎĪ(Į-μĮ)2+2ŇŎĪ[εŎ(Į-μĮ)]+么最优风险资产组合ĵ的收益与风险分别为Ī(εŎ)2=Ň2Ŏ+σ2Į+σ2εĮ,μŕ=αīμī+(1-αī)ŗŋ,σŎŏ=Ī[(ŗŎ-μŎ)(ŗŏ-μŏ)]=σ2ŕ=α2īσ2ī+2αī(1-αī)ňŔś(ŗī,ŗŋ)+Ī{[(ņŎ+ŇŎĮ+εŎ)-(ņŎ+(1-αī)2σ2ŗŋ=α2īσ2ī.ŇŎμĮ)][(ņŏ+ŇŏĮ+εŏ)-(ņŏ+ŇŏμĮ)}=由以上两式得Ī{[ŇŎ(Į-μĮ)+εŎ][Ňŏ(Į-μĮ)+εŏ]}=Ňμŕ=ŗŋ+μī-ŋŋσσŕ.ŎŇŏĪ[Į-μ2Į]+ŇŎĪ[εŏ(Į-μĮ)]+īŇŏĪ[εŎ(Į-μĮ)]+Ī[εŎεŏ]=ŇŎŇ这在σ-Ī平面上是经过Ħ(0,ŗŋ),斜率为μī-ŗŋŏσ2Į+σ2εσ的Ŏ,ī相应的开放式基金的资产组合ĵ的收益率的期望一条射线(见图1).和方差为μŕ=Ī[Ħ0(1+ķŝ)+ő]=Ħ0+ő+Ħ0Ī[∑ijŎ=ŗŎŝŎ]=1Ħ0+ő+∑ijŎ=ŝŎĪ[ŗŎ]=1Ħ0+ő+Ħ0(∑ijŎ=ŝŎņŎ+∑ij1Ŏ=ŝŎŇŎμĮ),1σ2ŕ=Ī[Ħ0(1+ķŝ+ő-μŕ)2]=Ī[Ħ0(1+ķŝ+ő-Ħ0(1+μĮĽ)+ő)2]=图1 均-方示意图ĪīŎŌ.1ĸŐŊřňōŒņŕŔŋņśŊŗņŌŊ-śņŗŎņœňŊ[Ħ0(ŗ-μ)ĹĽ+(ő-ő)2]=Ħ20ĽĹĻĽ+σ2在存在无风险借贷且无风险借入贷出利率相ő+2Ħ0ĻĹĽ=ijijij等的假设下最优资产组合应满足Ħ20Ŏ∑=∑1ŏ=ŝŎŝŏσŎŏ+2Ħ01ŏ∑=ŝŎγŎ+σ2ő=1ijijŒņŝμŕ=Œņŝŗŋ+μī-ŗŋĦ2σσŕ.ī0Ŏ∑=1ŏ∑=[ŝŎσŎŏ(ŇŎŇŏσ2Į+σ2ε1Į)]+ijijij2Ħ0ŏ∑=ŝŎγŎ+σ2ı=Ħ20(1Ŏ∑=∑1ŏ=ŝŎŝŏŇŎŇŏσ2令ı=μī-ŗŋσ,则上式等价于Į+ī1ijijijĦ20Ŏ∑=∑1ŏ=ŝ2Ŏŝŏσε1Ŏ)+2ĦŒņŝı=μŕ-ŗŋσ=0ŏ∑=ŝŎγŎ+σ2ı=1ŕijijĦ220(Ŏ∑=(ŝŎŇŎσĮ)2+1Ŏ∑=ŝŎσ2ε1Ŏ)+(∑ijŎ=ŝŎ(μŎ-ŗŋ))/[Ħ20∑ijŎ=ŝ2Ŏσ2Ŏ+11ijijijijĦ22Ħ200ŏ∑=ŝŎγŎ+σ2ı.Ŏ∑=Ŏ∑ŝŎŝŏ+2Ħ0Ŏ∑1=1=γŎŝŎ+1σ2ő],11ijŎ≠ŏ令ŝij+1=Ŏ∑=ŝŎŇŎ,则有由ʼnı1ijʼnŝ=0,Ŏ=1,2,…,ij有Ŏμŕ=Ħ0+ı+Ħ0Ŏ∑=ŝŎņŎ,1(μŎ-ŗŋ)-μŕ-ŗŋσ[Ħ20ŝŎσ2Ŏ+ŕ·508·
韩建新,等:资产收益率的相关系数为常数的开放式基金的投资组合ijĦ2ρ11ij∑μŏ-ŗŋ10Ŏ∑=ŝŏσŎŏ+Ħ0γŎ]=Ŏ≠ŏ1-ρσŏŏ=[1(1-ρ)σ+1+ijρŏ令ŕ1-ρŎ=μŕ-ŗŋσ2ŝŎ,可得ŝŎ=σ2ŕŕμŕ-ŗŕŎ,代入上式得ŋ(μŕ-ŗŋ)γŏμσ2]+(μŕ-ŗŋ)γŏŕĦ0(1-ρ)σŏσ2ŕĦ0(1-ρ)σ2=ŎŎ-ŋŋ=ŕŎĦ20σ2Ŏŏ+Ħ20∑ijŎŎ≠=ŕŏσŎŏ+μŕ-ŗŋσĦ0γŎ=ŏ1ŕμŎ-ŗŋŕŎĦ20σ2Ŏŏ(1-ρ)+ρŕŎĦ20σ2Ŏŏ+Ħ20σ2Ŏ(1-ρ)-Ħρ11ijμŏ-ŗŋ20∑ijŎ=ρŕŏσŎσŏ+μŕ-ŗŋ1Ŏ≠ŏσĦ0γŎ=ŏ∑=[ŕ1-ρ1-ρ+ijρσŎ1σ+ŏŕ(μŕ-ŗŋ)γŏŕ-ŗŋ)γŏŎĦ20σ2Ŏŏ(1-ρ)+ijσ2ŕĦ0σ]+(μŏσ2ŕĦ0(1-ρ)σ2=ŎρĦ20σŎŏ∑=ŕŏσŏ+μŕ-ŋŋĦ0γŎ,1σŕ1所以有(1-ρ)σ{μŎ-ŗŋŎĦ20σ-Ŏρ-ŗŋ1-ρ+ijρ∑ijμŏŕŎ=μŎ-ŗŋĦŏ=[1σ+2ŏ0σ2Ŏ(+1-ρ)-ρ11-ρσ∑ijŎŏ=ŕŏσŏ1(μŕ-ŗŋ)γ(μŕ-ŗŋ)γŏŎσ2σ2]+(μŕ-ŗŋ)γŏσ2ŕĦ0σ}.ŕĦ0σŏŎŕĦ,(1)0(1-ρ)σ2Ŏ在ŕ 不允许卖空情况下模型的解Ŏ两边乘以σŎ并对Ŏ求和有ijijμŎ-ŗŋ1ijρij与单指数模型不允许卖空的情况类似,最优值Ŏ∑=ŕŎσŎ=1Ŏ∑=1(1-ρ)σ-Ŏ∑Ŏ=11-ρŏ∑=ŕŏσŏ+存在的条件,满足库恩—塔克条件所以根据库恩—1ij(μŕ-ŗ塔克条件和上面的结果可以设ŋŎ∑)γŎ=1σ2ŕĦ0(1-ρ)σ,ŎŕŎ=[Ħ0(ņŎ+ŇŎμĮ)+ő+Ħ0-ŗŋ]Ħ20σ2-所以有εŎ∑ijσ2ĮŇŎ∑ijŏ=ŕŏŇŏ1ŕ-ŗŋ)σ2-γŎ(μŏ=ŕŏσŏ=∑ijμŏ-ŗŋ1ρ1ŏ=1(1-ρ)σ-ŏ∑ijŏ=11-ρ∑ijŏ=ŕŏσŏ+1ij(μεŎĦ0σ2ŕσ2+λŎ,εŎŕ-ŗŋŏ∑)γŏ其中:ŕŎ≥0,λŎ≥0,且ŕŎλŎ=0,对于所有的Ŏ都成立.=1σ2ŕĦ0(1-ρ)σ,ŏ故可以得到3 结束语ijij∑μŏ-ŗŋ1一般地,我们取λŎ=0,所以当λŎ=0,ŕŎ>0ŏ=ŕŏσŏ=11ijρŏ∑=[11+(1-ρ)σ+ŏ1-ρ时,资产Ŏ选为该组合的资产,而当λŎ=0,ŕŎ<0(μ时,资产Ŏ不选入该组合.这样将上组资产中的符ŕ-ŗŋ)γŏσ2合条件的资产选为最优资产,分别计算ŕŎ,然后再ŕĦ0(1-ρ)σ],ŏ将上式代入(1)式有计算出期望收益和收益率方差,从而得到最优资产组合的有效边界.ŕŎ=μŎ-ŗŋĦ20σ2Ŏ(1-ρ)-参考文献:[1] IJņŗŐŔŜŎřşĭIJ.ĵŔŗřŋŔőŎŔŘŊőŊňřŎŔœ[į].įīŎœņœňŊ(ĸ1614-2446),1952(3):151-158.[2] 马永开,唐小我.卖空与证券组合投资[į].预测,1999,18(1):56-60.[3] 叶中行,林建忠.数理金融[IJ].北京:科学出版社,1998.[4] 李仲飞,汪寿阳.投资组合优化与无套利分析[IJ].北京:科学出版社,2001.[5] 刘伟锋,谭 冰.单指数模型在房地产投资组合中的应用[į].经济与社会发展,2005,3(5):55-57.[6] 林广茂.开放式基金的最优选择[į].运筹与管理,2001,10(2):119-124.责任编辑:郭红建·509·
