预测
飞(01. 35 , F'ORECASTING 2016 年第 1 期
资产定价核还原方法的算符表述及其应用
一一以中国股票市场泡沫诊断为例
林黎
(华东理工大学商学院，金融工程研究所，上海 200237)
摘 要:传统金融工程技术能够得到风险中性概率，但如采不还原出表征市场风险偏好结构的定价核，元法进一
步得到真实概率 O 围绕定价核的还原研究，近年来出现两类不同的方法: Ross 的矩阵法， Carr 和 YU 的微分方程
法 。 前者求解矩阵最大特征位，后者求解方程最小特征位心 本文通过引入状 态转移定价算符，探讨这两种方 法
的内在联系，给出统一表达的还原法:求解定价算符特征方程，其最大实特征佳对应市场贴坝，卒，而特征函数代
表各状态下的基准风险溢价水平 。 作为应用，本文研究了我 I司 2005 .- 2007 年股市泡沫下的定价核，估计出各行
业的风险补偿和贴现要求，证实了泡沫过程中货币幻觉存在性 们
关键词:风险中性概率;定价核还原;股市泡沫;算符特征二者程
中图分类号 : 文献标i只码 :A 文章编号: 1003-5192 ( 20 16 ) 01-0068-07 doi: 10 . 1 1 847/ fj. 35.
The Recovery Approach Based on State Transition Pricing Operator
Application to the Diagnosing of Bubbles in China Stock Market
LIN Li
( Institute 0/ Finαnc~α1 Engineering , Bμsine.\s Scho()! , East Chinα University 4 Science αnd Technοlοgy ， Shanghai
200237 , Chinα)
Abstract: Conventional financial engineering teehniqlw only helps one 10 estimate risk-neulraJ probabi lity. Howev旧， 11
is impossible 10 furth er obtain natural probability witholll recovering pric ing kernel that rel1ecting the struClure of risk
aversion preference for the overall marke t. A t present , lwo kinds of major approaches to recovery prieing kernel are pres-
ented , which are respeetively rnatrix-baseJ-method from Ross and differential e<juation rnethod derived in Carr and Yu
The forrner reJies on finding out the maxirnum eigenvalue , whereas the later works by searching the minimum eigenvalue
This paper discusses the internaJ re!ation-s hip hetween these two kinds of approacbes. By introducing the state transition
pTl CIT>g operator , the current two approaches can be un iforrned to solve the operator eigenvaJue equation , which eigenval-
ues and eigen-functions respectiv ely indicate the il1ter-temporal di ，部eou l1 t rate a l1d Ihe requíred numeraire risk prerniurn
As a l1 applicatiol1, the perforrnance of stoek bubbJes for China belwee l1 2005 and 2007 is diagnosed. Except for estima-
ting th e risk cornpensatioll in different indu stry , we also confinn th e presence of monev illusio l1 characterized by distorted
díscount rate
Key words: risk-neutral probability; prieing-kernel reeovery; stoc k buhhles ; operator e igen- fu l1ction
1 号 l 言
资产动态定价的核心问题之 →是估计资产未
来变化的真实概率。 当前流行的方法是在定价核
框架下研究此问题。 定价核，也称为随机折现因
子 [ 1 ] 其倒数对应着所谓基准汁价投资组合在未
来的价值[2) 。 资产定价基本定理表明，对于任何
无套利机会的金融市场，必然存在着走价核 3 ~。
收稿日期 :2015-01-22
以定价核来计价的资产，期望收益率都一致地等于
无风险利率，这是因为定价核平衡了各状态间风险
溢价的差异 [4 ， 本质上，定价核可视为市场潜在
的唯一系统性变动因素，对资产收益与披动的预测
也最终可划归为定价核动态性质的确定上。
然而，由于定价核本身不可观测，对定价核的
量化在实际中很难操作 。 一种变通的做法是将其
拆解为若干风险因子的线性叠加，通过对风险因子
基金项目:国家自然科学基金青年资助项 目 (71301051) ;中央高校基本科研业务费-探索研究基金资助项目
( WN 1323004)
.68 .
林黎:资产定价核还原方法的算符表述及其应用一一以中国股票市场泡沫诊断为例
的度量来间接衡量定价核水平，比如 Fama-French
三因子模型 [5 J 或 Mark 提出的四因子模型 r 6 J 但这
样无法保证所选因子的完备性。另一种方法是干
脆绕过定价核的确定，利用金融工程技术剥离出的
状态价格，然后计算风险中性概率作为资产变化真
实概率的预测。但中性概率仅度量了市场对各状
态的风险对冲偏好。比如，算出市场下月下跌超过
10% 的风险中性概率为 ，而下跌不超过 10% 的
风险中性概率仅为 ，这一事实仅表明，相对于
后一种情形，市场在整体上更多地愿意去对冲下月
下跌 10% 的风险。此时，为进一步确定真实概率
必须明确市场在各状态上的偏好结构，而这又回到
定价核的确定上。实际上，用风险中性概率作为真
实概率的预测隐含假设定价核与市场状态无关，这
过于牵强。
最近， Ross 找到了一种将定价核与真实概率
从风险中性概率中分离出来的方法，称为"还原定
理" [7J 。这一方法建立在离散状态的基础上，用矩
阵运算来表达。主要思路是从状态转移价格姐阵
解出其最大特征根和特征向量。假设技资者满足
Von Neumann 期望效用法则，且都运用时间可分、
状态间独立的效用函数来决策， Ross 证明了，如果
状态驱动因子为离散的齐时 Markov 链，那么最大
特征根刚好就是市场贴现率，而特征向量的分量也
恰好可以用来构造出状态转移定价核。由于状态
转移价格矩阵为非负实方阵， Perron-Frobenius 定
理在此可以保证其实值解的存在唯一性和定价核
的非负性 [ 。同时， Ross 的方法还可进-步获得
风险中性状态转移概率和真实的状态转移概率。
另一方面， Carr 和 Yu[叫也给出了一套定价核的还
原方法，但是此方法建立在连续状态的基础上，用
微分方程来表达。该方法以风险中性概率测度下
定价核满足的微分方程为基础，将定价核还原转化
为求解 Sturm-Liol川lle 特征值问题。只要定价核
有界，那么 Sturm-Liouville 方程的最小特征值刚好
对应着定价核变动的时间趋势，而方程的特征函数
就是定价核的倒数。此时 Sturm-Liouville 定理可
以保证该问题有实值解 [11 J 。该方法与 Ross 还原
方法非常类似，然而后者需要求解最大特征值，可
前者则需要求解特征值，两种不同形式的方法之间
的联系与区别尚有待进一步探寻。
本文研究发现，通过引人状态转移价格算符，
建立定价核还原的算符表述，可将 Ross ， Carr 和 Yu
的方法归纳为统一的形式。一方面， Ross 的还原
法等价于求解一个用有限维状态转移价格算符来
表述的特征方程。另一方面，当状态转移过程为连
续状态的齐时 Markov 过程时，状态转移价格算符
自然变为微分算符。与此同时， Caπ 和 Yu 的微分
方程也变形到统一表述法下的算符特征方程形式。
由此可见，两种不同的方法仅是不同算符形式的特
例， Ross 的方法对应矩阵算符，而 Caη 和 Yu 的方
法对应微分算符。不过，估测姐阵型状态价格转移
算符需要首先估计状态定价密度，这通常采用交替
最小二乘法 (Alternating Least Square) ，但估计结
果非常不稳定[ 12J 。而估测微分状态价格转移算符
是去求解估计状态因子风险中性方程，这方面的方
法则相对成熟许多，可参见文献 [13-16J 。另外，
微分方程法的待估参数数量也显著小于矩阵算符
的参数数量。因此，本文实证部分将采用微分算符
的形式。
国内学者对于定价核的研究在早期多限于理
论探讨的革畴，如肖辉和吴冲锋[ 17]临海和郑振
龙~ 18 J 的研究 O 近年来，也出现了一些基于定价核
的资产定价实证研究，吴鑫育等[凹]的权证定价研
究，邹高峰等[20J 基于从前景理论的价值函数出发
建立的 PTCAPM 模型，以及张玉龙和李怡宗 [21 J 在
分解出流动性特征和流动性风险基础上建立的
SDF-LCAPM 模型，但这些研究都事先假设好定价
核所满足特定的动态行为，没能够用数据说明定价
核为何取定为该形式。李仲飞和高金窑 [22J 在模型
不确定的情形下通过一般均衡推导出了定价核的
一个潜在形式，但并未见相应的实证结果。直接利
用实际数据估计出市场中定价核大小及其行为的
研究仍较为鲜见。
2 定价核还原方法
Ross 的定价核还原方法
ROSS[7 l 的方法首先假设金融市场可由有限的
n 个离散状态刻画，并以齐时 Markov 链演化，具有
转移概率矩阵 P = [PijLxn ， 其中 Pij表示市场从状
态 i 到 j 的转移概率。另外，投资者满足
Von Neumann期望效用法则，其效用函数在时间可
分，且在(时间，状态)上有独立偏好。市场处于状
态 i 时，投资者可获得市场承诺的状态证券 A矶，
即当且仅当下一期市场进入状态}，投资者方可获
得收益 1 元。记 ADij的价格为矶，他们构成状态转
.69.
Vo l. 35. 预测 2016 年第 1 期
移价格矩阵，记为 G=[ ηijJ n x n 。 投资者消费边际
效用向量记为 φ=[-J一一一」一一…一一]'，U' (c 1 ) , u' (c 2 )' , U' (c n )
Ross 证明川，在投资者进行最优投资决策时该向
盘满足如下的矩阵方程
Gφ=δφ (1)
其中 8 表示常数的效用贴现率。 由于矩阵 G 非负，
根据 Perron -Frobeni皿定理，上述方程存在唯一正
实数特征值 λ。，使其对应的特征向量所有的分量
严格为正;其余特征值的模都小于 λ。，且分量有虚
值或负数。 因此，该方程可解出唯一有经济意义的
8 及 U'(c) ， 进一步，可还原出从 L 到 j 的状态转移
l!' (cj ) φz 定价核为 mij = δ· 一一一 =δ 一。l!'(CJ φJ
Ross 原始的证明很繁琐，下面给出一个简洁
证明和表述。 其中，记号@表示矩阵 Kronecker 乘
积， 0 为 Hadamard 乘积，其逆运算(同型矩阵 A ， B
对应位置项相除)用记号去表示 。
命题 1 假设投资者满足 Von Neumann 期望
效用法则，其效用函数时间可分且在(时间，状态)
上偏好独立。那么由已知的状态转移价格矩阵
G=[ ηij] n)( n ，可求得状态定价核矩阵 m
φ③ l T [miiL Xn =δ· 主芒二。其中 δ 是矩阵 G 的唯一
'φa⑧1
最大正特征值， φ 为其对应的特征向量， 1 = ( 1 ,
.. , 1 ) T 为 n x 1 的单列矩阵。
证明 首先，从期望效用最优化出发，所解出
的 Euler 方程组可在形式上规筒，思路如下
max U(cJ + δL U(c)p , f:i - ' " J ' r'J U'(cι) -λ=O -E-l-t旦旦 (2 ) 一-
s. t. W Ci + 立马Pij
→ δU'(C)Pij - λη ij = 0 . G {)φ ⑧ c
φ@C 由 m 的定义，mτ，立即可知 m=δ· 立乒Lfφ'⑧1
一步，由概率性质 ， Pl =1 ， 可得
Pl =护。(内l) o (护T) . 1
1 Gφ =~GO ( φT⑧ 1) . 1 0一=一一= 1 (3) φ8φ
其中第二个等号成立因为矩阵运算性质 Amno(Ym ③
1:) . 1" = A • 1 oy ， 而第 三个等式的成立因为
Am" o (y~ ⑧ 1 "， )'ln=Ay ，最后一个等式给出了 Ross
的方程 Gφ=柿。 证毕 。
求解出定价核后，则可以很方便地从风险中性
转移概率矩阵 Q = [qij].xn还原出 P。 实际上，借
助资产定价基本定理 ， Q = (1 + rf ) G , Ross 还原方
法的最后一步表述为 P=一旦一一·豆豆1(1 + rf )δφ@C O
Carr 和 Yu 的定价核还原方法
Carr 和 Yu'lO]假设市场由连续的特定状态因
子 X 来驱动，其中资产的价格 S 由 X 和 t 所确定，
记为 S(X ， t):(X ， t) →S。 因子 X 在风险中性概率
测度下满足随机微分方程 dX = b( X) dt + α (X)dZ。
其中 Z 是 X 在风险中性世界的布朗运动 。 根据资
产定价基本定理，任意资产在风险中性概率测度下
的期望都是元风险利率，于是对 S(X ， t) 利用Itô 引
理有
.70.
。S(x ， t) . a2 (x) iS(x ,t) . " , ðS(x ,t) 一一一:...+一一一一一τ一+ b(x)一一一一 = rf(x)S(x ,t) ðt 2 ðx2 ðx J
(4)
假设表征定价核的基准计价投资组合 L 在真
实概率测度下的波动率为 σ (X) ， 由于 L 也满足
(4) 式，此时对 L(X ， t) 在风险中性概率测度下运
用Itô 引理，并考虑不同测度下的布朗运动所满足
变化式 dZ = σ (X)dt +dW ， Carr 和 Yu 推出 L(x ， t)
满足定态可分形式 ， L(x ， t) = φ (x) γ( t) ， 其中
("σ (s) φ (x) = 叫[ I 一-ds] ， γ(t) =叫[ρtJJ α (s)
同时 φ (x) 满足微分方程
2(X)" 2一φ '(x) +b(x) φ '(x) -r(x) φ (x) = -ρφ (x)
(5)
Carr 和 Yu 发现，上述方程可变形为如下所谓
的 Sturm -Liouville 方程
d r F ， dψ 一 [p (x) ~'f" ] + q (x) ψ =-ÀW(x) ψ dx Lr ,." F dx
X E (x mìn ,X max) ， ω (x) >0 (6)
求解该方程的特征值是经典的 Stur卧Liouville
问题。 其中有定理保证，在一定的适当性条件下，
上述方程只有可数个实特征值 λ ，每一特征值对
应的特征函数 ψλ 唯一且存在最小特征值 ρ。，ρ。对
应的特征函数 φ。 (x) 在定义域 (α ， b) 上恒为正。
按照基准计价技资组合的含义 ， L 进行贴现后的价
林黎:资产定价核还原方法的算符表述及其应用一一以中国股票市场泡沫诊断为例
值 E恒正且有界，因此从形式上，可将 E看做是方
程(5) 的最小特征值对应的特征函数 φ。 (x) ， 同时
L 的增长率就是该方程的最小特征值 poo 于是，
L(x ， t) 就可完全通过求解 Sturm-Liouville 问题来获
得。相应地，作为主倒数的定价核 m( 耳， t) 也可顺
利还原出来。此外， Carr 和 Yu[叫还证明了 σ( X)
可表达为 α(z)JLlnL(ZJ) ，因此，利用真实概率测
dX
度下 5，所满足的Itô 微分方程可进一步估计出 5，
达到各价格水平的真实概率。
3 状态转移价格算符与定价核坯原方法的统一表述
由前述讨论可看出， ROSS[7 l 的方法与 Carr 和
YU[10 l 的方法在形式上非常不同，前者须求解矩阵
特征值方程获得最大特征值，而后者须求解特征方
程获取最小特征值。不仅如此 ， C凹的方法在推
导时并不事先要求设定投资者的偏好特征。本节
将证明，在引入状态转移价格算符 Gx 后，两种方法
实际上服从相同的算符方程，他们只是不同算符设
定下的特例。
定义(状态转移价格算符) 金融资产价格所
构成的 Hilbert 空间如果定义在齐时 Markov 过程 z
之 t ，则称该空间中满足条件 Gx5， = 5，_的线性算
符 Gx 为状态转移价格算符。其中 S，和 S，_ 均是
Hilbert 空间中的元素，当时间维为离散时 ， S,_ =
5'_1 ;时间维连续时 ， S，_ =5，-卦。
线性算符 Gx 的含义很明显，未来价格(可视为
未来或有价值)通过它变换后恰好是当前的价格，因
此它是齐时 Markov 过程下的定价算符 ， x 对应市场
状态。当市场完全且无套利机会时，算符存在且唯
一。当市场不完全时，该算符可以有无限多个。
命题 2 [算符的具体形式]
(1)当 z 为有 n 个可选状态的离散 Markov 链
时，算符 Gx 退化为矩阵[ηij] 川 J
(2) 当 z 为齐时连续 Markov 链时，算符 Gx 形为
2 (X) i 二阶微分算子一了一τ + b (X) γ+ [1 -rr(x) ]I,
L dX- dX
其中 I 为单位算子。
证明 根据命题的形式分情况证明，
(1)当 Z 为离散可选状态的离散 Markov 链时，
Hilbert 空间变为有限维欧氏空间， 5， (x) 退化为有
限维向量。同时令 Gx 中的分量 η'1表示在 t - 1 时
市场处于状态 i 时能够提供出的状态证券
ADij--当未来状态转移到 j 时就支付 1 元的价
格，则算符 Gx 变为状态转移价格矩阵 G。显然 ， G
满足 GS， = S'_I = S ,_ ， 因此 GxS， = S ,_ ;
(2) 由风险中性概率测度下的资产价格方程
2(X) δz (4) ，有[τ+ 一了一 ?τ +b(x)-;:- -rr(x)]S, =0
dl L Bx- dx
同时，由 Gx 5 ， =S ,_ =S，- 古玩可得[去 +Gx -1] .
5, =0 ，对比可知 Gx 满足命题中的形式。证毕。
命题 3 [两种还原方法的等价性] Ross 以及
Carr 和 Yu 的定价核还原方法均等同于求解算符
特征方程 Gxψ=λψ，求解出最大实特征值 λ max及其
对应的特征向量 ψ (x) ， ψ (x) 正比于基准计价组合
的贴现价格 E。当时间离散时， λmax对应简单贴现
率，还原出的定价核 m(x ， t) 主主二;当时间连续ψ (x)
时， λmax对应于连续复合贴现率，还原出的定价核
(x , t) = 乙二ι-。当 λmax :::::: 1 时，两种方法还原ψ (x)
出的定价核也近似相等。
证明 先分开讨论 Ross 的方法与 Carr 和 Yu
的方法，最后证明 λmax :::::: 1 时，两种方法的结果近
似相等。
(1)首先看 Ross 的方法。它需要求解矩阵方
程 Gφ= 锄，找出最大实特征值 δ。根据命题 2 ，
Ross 的方法中的 G 就是状态转移算符 Gx ， 因此命
题中的 λmax 对应于 δ ， ψ (x i ) = 仇。同时，结合 E
L cb 与 Ross方法中 φ 的定义，有寸 = m ij = 子，因此
毛 v
ψ (x i ) 民主z 。另一方面，按照 Ross 的方法 ， t 期相对
于初期的贴现率 δ (t) 应当满足方程 c'φ= 8( t) φ ，
由方程 Gφ= 伸进行迭代易知 ， 8(t) = 矿，从而
(x ， t)= 土豆Lψ (x) 。
(2)再来看 Carr 和 Yu 的方法。根据命题 2 给
出的算符 Gx 微分算子形式 ， Carr 和 Yu 的定价核还
原方程 (5)满足(Gx - I) φ (x) = -ρφ (x) ，进行变换
后即得 Gxφ (x) = (1 -p) φ (x) 。易见，此为命题 3
中的算符特征方程 Gxψ=λψ。此时，最小特征值 p ，
恰好对应算符特征方程的最大特征值 λmax = 1 -ρ 。
同时，由 L(x ， t) =l(x) γ (t) = φ (x) γ( t) ， λmax对
• 71 •
Vol. 35. 预测 2016 年第 1 期
应的特征函数 φ (x) 本身即正比于 L( x) 。注意到
ρ 的含义为基准计价投资组合的复合增长率，因此
有 rn(ZJ)=-1=17ffi士;二
L(x , t) eP'. φ (xl ψ (x)
(3) 最后，当 λ nJlJ. X ~ 1 时， eAma'l:
符所还原出的;远辛价核 m叫(x ， t叫tο) ==艺L一土ψ (x) ψ (x) ,
端即是离散算符所还原出的定价核 m(x ， t) 0 正毕。
从命题 3 可以看出，民oss 方法与 Carr 和 Yu 的
还原方法仅是算符形式表述方法在市场不问
Markov 过程设定下的特例。只要算符为己知，求
解算符特征方程即可得到市场内部要求的贴现卒，
而特征向量(函数)则反映了状态间的风险调节关
系 O 另外，虽然 Can 和 Yu 的方法未引入效用，其
实风险偏好已隐含在算符 G 中 α (x) 和 b( 川的形
式设走上，因为这些参数决定了算符在不同状态上
的相对比值，间接表征了市场对于不同状态的偏好
程度。需要说明的是，算符形式的表述问样要求市
场元套利机会，不过在实际应用时并无需保证市场
的完全性，只要设定出驱动市场状态变化的因子
即可 "
4 应用定价核还原法分析股市价格泡沫
作为实证的例子，本节用算符表述的方法来研
究股市泡沫的定价核。林黎和i任若恩发现f23l 中国
股市泡沫中的价格演化 5 (t) 可由单一隐变量
随机临界时距 f 来刻画，数学形式为 5 ( t) == KT 飞
随机临界时距为当前时刻距泡沫理论上最远破灭时
刻的间隔，表征了泡沫的不稳定性。基于他们的研
究，我们假设泡味阶段中状态转移价格算符中的唯
a状态因子为临界时距 T ， 该状态因子在风险中性
概率测度 F服从几何布朗运动 dT == bTdt + αTdZ ， 相
应地，市场中的状态转移价格算特满足形式 GT ==
:"2T2 兰 + bT 主+ [1 - rJ ( T) ] 1。可证明该算符
牛。T O -j
满足状态价格转移算符的定义，它能够使 S ( t) ==
KT β对于为程 GT5 ， == 5，成立，川IH=[(i 一
b 、 2rr ，~_ _ 1 b
--':::2)" +-n o- - C -，;，丁) c
/l a Lα
为求解泡沫中的定价核，我们补充假定主( T)
主(1 )ρT满足以下适应性条件 :(I)~~LL~一=子 ， T 为泡沫
主( T + 1 ) "0
.72.
积累的总时间长度。该条件表明泡沫破灭最后一
个交易日市场充分意识到泡沫风险，因此风险调整
价格重新回到元泡沫状态 ;(2) 主( T) 单调递减，因
为距离临界时点越远，市场要求的风险补偿越小。
经计算，满足 k述适应性条件的算符 GT 最大特征
K((l 一 2rr )值为 8=l-V KZ 一一一一一ι，其对应特征函2 -- 2FJ
数通解形为主(T) == CT Y 0 同时可推得泡沫资产 SZ
d5 在真实概率测度 F 满足一一== (马+ K(}) dt + (}d W , 5 'J
。 αβ ， κ=αγ 。
我们基于上述提出的微分算符对中国 2005 -
2007 年股市泡沫进行了实证。统→选取 2005 年 9
月 1 日作为实证窗口起点，而窗口的终点选为其未
来 3 年内的到达历史最高点交易日的前 a天，由于
我国此轮泡沫大致在 2008 年初J破灭，所以绝大多
数的窗口终点都集中在 2007 年 9 月至 2008 年 1
月之间。实证时选取的资产组合为两支市场指数
以及 27 支细分的行业板块指数 O 我们认为对于泡
诛中的每」板块都存在着不同定价核，因为每个板
块对应的临界时距演化不尽相同。 fJ :ì主取为当时
的→年期活期存款日利率，数值为 O. 00811365 =
X 10- 5
估计的结呆在表 1 中显示 O 表中的第 5 列给
出了估计结果所对应的对数极大似然值(相反
数 ) ，第 6 列给出的是泡沫膨胀的罪指数，其数值
越大表明资产的增值越快，结果显示，在此轮泡沫
中的房地产、银行类、煤炭石油、机械、建材、农林牧
渔、外贸及有色金属板块泡沫积累速度较高 O 第
10 列给出的 μT 是 T 在真实概率下的时间趋势，表
明泡诛破灭的迫近趋势 O 可以看出，两市股指、房
地产、机械指数中的泡沫更快地趋于破灭。表最后
两列分别列出了所还原出的定价核 φ( T) 的事指
数和市场要求的贴现率，幕指数的绝对值越大代表
市场对于临界时点逼近越敏感，即单位临界时距变
化上所要求的风险补偿越大。实证结果可见，两市
场指数对于泡沫的破灭更为敏感，而行业板块中，
较敏感的则是房地产、机械及有色金属板块。同时
估计出的市场贴现率均为大于 l 。这揭示了泡沫
中存在着货币幻觉一一错置地认为未来的时间价
值要更高，因为只要也沫不破灭，资产增值就将远
超无风险利率，交易者们因此会忽略潜在的崩盘损
失风险，不急于抛售而更愿意骑行在泡沫上期待未
林黎:资产定价核还原方法的算符表述及其应用一一以中国股票市场泡沫诊断为例
来增值，因此整体上市场更愿意在将来实现变现， 更为看重未来的价值。
真实概率下 S，估计
表 1 2005 -2007 年股市泡沫中两市场指数及 27 个行业板块股指的定价核还原分析
L( T ， t) 估计
股票指数 窗口终点 No.
K 。
中性概率下 T 估计
β μT
MLL b γ 8 α
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，.哼，
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寸
AU寸
ZJA斗，‘JζJAa『CJεJζJA斗
句joy-且冒且1dq&1u，且句，"ou'At且2J《J句31且'Aqh匀
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5 结论
对于定价核还原方法和技术的研究，在国际上
才刚刚起步，本文在梳理和探讨 Ross 与 Carr 和 Yu
不同方法内在联系的基础上，通过引人状态转移价
格算符，用算符方程统一了两种方法的表述形式。
同时，我们给出了一个将统一表述应用于泡沫建模
的例子，通过求解算符特征方程，不仅能够确定资
产价格和定价核的运动形式，还可以分析泡沫的膨
胀速度并对市场贴现率进行估测从而确定货币幻
觉的存在性。
目前，定价核还原方法仅假设市场只由一个状
态因子所驱动，从理论上讲，在算符中还可加入其
他多个状态因子，此时需要界定每一个状态因子对
应适应性条件，由此可得市场的贴现率是各因子对
应贴现率的叠加，市场的定价核大小则可通过各因
子对应定价核乘积来还原出 。 无论如何，定价核的
还原方法研究还处于相当初步的阶段，很多问题尚
待解决。 比如，如何将鞍性(元套利)下的方法推
广到半鞍甚至更一般的情形;中国市场缺乏充足的
衍生工具，如何合理构建状态转移价格算符;如何
将行为因素加入算符中，等等。 这些问题给后续研
究留下诸多机遇与挑战。
• 73 •
Vol. 35 , 预
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